Persamaan Schrodinger digunakan untuk menemukan fungsi gelombang partikel. Persamaan ini harus memenuhi tiga kriteria: konsisten dengan hukum kekekalan energi, konsisten dengan persamaan de Broglie, dan berharga tunggal. Untuk partikel bebas dalam satu dimensi, fungsi gelombang berbentuk sinusoidal yang bergantung pada momentum dan energi partikel. Dalam tiga dimensi, persamaan Schrodinger meliputi ketiga arah dimensi terse

1. BAB II
PEMBAHASAN
A. Persamaan Schrodinger Pada Gerak Partikel Bebas
Dalam Ruang Tiga Dimensi
1. Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Satu Dimensi
Persamaan Schrodinger diperlukan untuk menemukan fungsi gelombang bagi
suatu sistem mikroskopis. Bentuk paling umum suatu persamaan yang penyelesaiannya
berupa suatu fungsi adalah persamaan diferensial. Karena fungsi yang dihasilkan dari
persamaan Schrodinger adalah fungsi gelombang y(x, t) , yang merupakan fungsi dua
variable, yaitu x dan t, persamaan Schrodinger harus merupakan persamaan diferensial
parsial. Itulah petunjuk paling umum untuk mendapatkan persamaan Schrodinger.
Berdasarkan tentang asas pendiskripsian keadaan sistem, yaitu keadaan system
dideskripsikan sebagai fungsi gelombang y(x, t) , dengan ini didapatkan petunjuk
bahwa fungsi gelombang y(x, t) yang dihasilkan persamaan Schodinger harus dapat
digunakan untuk mengetahui nilai berbagai besaran fisik yang dimiliki sistem.
Cara mengetahui nilai besaran fisik adalah dengan melakukan pengukuran.
Menurut asas pengukuran, mengukur adalah mengerjakan operator pada fungsi
gelombang yang mendeskripsikan keadaan sistem pada saat pengukuran. Kemudian
petunjuk ini akan diterapkan pada kasus khusus, yaitu pengukuran energi total bagi
sistem konsevatif.
Pada sistem konservatif berlaku hukum kekekalan energi, yaitu jumlah energi
kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal: artinya tidak bergantung pada waktu dan
posisi. Sebagaimana diketahui, hukum kekekalan energi tersebut telah dapat dijelaskan
baik oleh Fisika Klasik. Dengan demikian, sebagai teori yang lebih baru, persamaan
Schrodinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi
Secara sistematis, hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan persamaan:
2
p + =
2
p m E E
m
6

2. Persamaaan Schrodinger merupakan persamaan differensial yang akan
menghasilkan penyelesaian yang tepat terhadap masalah-masalah Fisika Kuantum.
Persamaan demikian ini haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut :
a. Konsisten dengan hokum kekekalan energi, Ek + Ep = Em …………………………………… (2.1)
b. Persamaan ini bagaimanapun bentuknya, harus konsisten dengan persamaan de
Broglie. Oleh karena itu untuk partikel bebas dengan momentum p dan panjang
gelombang l =h/p, dari persamaan
1
E mv
( )
k
2
=
E mv
k
1
= =
E p
k
2
= =
E k
m
p k
m
p mv
m
k
2
;
2
;
2
2 2
2
2


=
maka energi kinetik Ek = p2/2m = 2k 2 /2m ……………………...……………..
(2.2)
c. Karena persamaan ini menunjukkan peluang untuk menemukan partikel, maka
persamaan ini haruslah berharga tunggal , tidak boleh ada dua peluang yang berbeda
untuk menemukan partikel pada titik yang sama dalam ruang. Persamaan ini harus
linier, sehingga gelombang itu memiliki sifat superposisi.
Persamaan gelombang satu dimensi yang merambat sepanjang koordinat x
dengan kecepatan v yang berlaku untuk gelombang nondispersif tersebut adalah
v y
2
2
= 2
¶
2
2
x
t
y
¶
¶
¶
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa solusi persamaan gelombang tersebut dapat
ditentukan sebagai berikut. Solusi persamaan di atas mengandung dua variabel.
y = X T
dimana X=X(x) dan T=T(t)
Dengan memisahkan variabel (separasi variabel) diperoleh
ö çè
÷ø
v T X
= ¶
¶ ´æ
X ¶
T
¶
1
2
2
2
2
2
XT
x
t
7

3. 2
2
1 2 1
= 2
¶
2
x
X
X
v
t
T
¶
T ¶
¶
Ruas kiri hanya mengandung variabel t dan ruas kanan hanya mengandung variabel x
sehingga kedua ruas harus sama dengan konstanta ( misalnya μ )
=m
1 2 1
= ¶
¶
¶
¶
2
2
2
2
x
X
X
v
t
T
T
dimana konstanta yang sesuai untuk persamaan di atas adalah
2w
m =-
sehingga
1 2 1 = -w
2
2
2
= 2
¶
2
¶
¶
¶
x
X
X
v
t
T
T
atau
1 2 =-w
¶
2
2
¶
t
T
T
2
v
2
Sekarang masing-masing persamaan di atas hanya mempunyai satu variabel
2
¶
x
2 1 = -w
¶
X
X
sehingga bisa ditentukan solusinya masing-masing (menentukan nilai X dan T).
Menentukan nilai T
1 2 =-w
¶
2
2
¶
t
T
T
1 2 0
¶ w
t
2
2
+ =
¶
T
T
¶ T
t
2 0
2
2
+ =
¶
T w
solusi persamaan tersebut adalah
T C ei t 1
= w atau T = C e - i w
t 1
Menentukan nilai X
2
2
2
¶
x
2 1 = -w
¶
X
X
v
2
ö
¶ X
x v
0 2
2
2
= ÷ ÷
ø
æ
+
ç ç
è
¶
X w
8

4. ¶ k X
x
2 0
2
2
+ =
¶
X
solusi persamaan tersebut adalah
X = C eik x 2 atau X = C e -
ik x 2
Dengan demikian, maka solusi
y = X T
mempunyai beberapa kemungkinan, salah satunya adalah sebagai berikut :
Jika T C1 e i t
= - w dan X C eik x = 2 , akan diperoleh
y = X T
y C2 C1 (eik x ) ( e i t )
= - w ; dengan C2 C1 = A merupakan konstanta
y = A ei (k x-w t)
y = Acos(k x -w t) +i Asin(k x -w t)
Nilai y dapat dinyatakan dari bagian real dan imajiner persamaan tersebut menjadi :
9
y = Acos(k x -w t) atau y = Asin(k x -w t)
Kembali pada bentuk persamaan gelombang pada tali y (x,t) = A sin (kx - wt) ,
dan untuk gelombang elektromagnetik yang juga mempunyai bentuk yang sama
E (x,t) = E0 sin (kx - wt)
dan B (x,t) = B0 sin (kx - wt)
Oleh karena itu dipostulatkan gelombang de Broglie untuk partikel bebas juga
mempunyai bentuk yang sama
Y (x,t) = A sin (kx - wt)……………………………………………..
(2.3)
Gelombang ini mempunyai panjang gelombang l = 2p / k dan frekuensi n =w / 2p .
Untuk sementara diambil bahwa t = 0, sehingga Y (x,t) menjadi Y (x,t = 0),
sehinnga
Yx = A sin kx ………………………………………
(2.4)
Sebelumnya telah didapatkan bahwa Ek = 2k 2 /2m dan satu-satunya cara untuk
mendapatkan bentuk k adalah dengan mengambil turunan kedua dari Y(x) = A sin kx
terhadap x,

5. dy kA cos kx ……………………………………………………………..
- m Ek Y
- m (Em-Ep ) Y
2
d + = 2
2 - y y y
x
y
z
Y(x) = A sin kx
=
dx
(2.5)
= 2
2
dx
d y - k2 A sin kx
= 2
2
dx
d y - k2 y
= 2
2
dx
d y
2
2

= 2
2
dx
d y
2
2

2 - = 2
2m
2
dx
d y Em Y- EpY
2m
p m E E
dx
…………………………………………………..
(2.6)
Persamaan inilah yang memenuhi ketiga kriteria tersebut dan inilah persamaan
Schrodinger bebas waktu dalam satu dimensi (2.6).
2. Persamaan Schrodinger Pada Gerak Partikel Bebas Dalam Ruang Tiga Dimensi
Partikel yang berada dalam kotak potensial berukuran x, y dan z seperti gambar 1.
Setiap dinding kotak berpotensial besar sekali, Ep ~ ¥. Sedangkan potensial dalam
kotak sama dengan nol.
Gambar 1. Kotak potensial tiga dimensi
Untuk tiga dimensi persamaan Schrodinger menjadi :
10
0

6. x y z E = E + E + E ,
11
di mana untuk persamaan Ex, adalah persamaan Schrodinger untuk partikel dalam kotak
satu dimensi yang telah dibahas diatas.
d y + y = y
2 - 2 ( ) ( )
2m
2
p x m x E E
dx
d y + y = y
2 - 2 ( ) ( )
2m
2
p y m y E E
dx
d y + y = y +
2 - 2 ( ) ( )
2m
2
p z m z E E
dx
d y + d
y + d
y + E y =E y
p ( x, y, z) m ( x, y, z) 2 - ( ) 2
2m
2
2
2
2
2
dz
dy
dx
2
2
d + d
+ d
y + E y = E y
p (r ) m (r ) 2 - ( ) 2 ( )
2m
2
2
2
r dz
dy
dx
Dalam pembahasan Fisika Modern telah diketahui bahwa, persamaan Schrodinger
untuk partikel bebas ( energi potensial Ep = 0 ) dalam tiga dimensi biasa ditulis sebagai
berikut :
2
2
d + d
+ d
y =E y
m (r ) 2 - ( ) 2 ( )
2m
2
2
2
r dz
dy
dx
karena Ek + Ep = Em sedangkan untuk nilai energi potensial Ep = 0, maka Ek = Em sehingga
persamaan Schrodinger untuk partikel bebas dalam tiga dimensi dapat ditulis
2
2
d + d
+ d
y =Ey k (r ) ………………………….………. (2.7)
2 - ( ) 2 ( )
2m
2
2
2
r dz
dy
dx
B. Persamaan Energi Kinetik Elektron Yang Bergerak Bebas
Dalam Ruang Tiga Dimensi
1. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Satu Dimensi
Bila suatu partikel bebas bergerak dalam suatu kotak satu dimensi yang
panjangnya L, maka partikel tersebut terkurung dalam kotak. Hal seperti ini berlaku pada
elektron bebas yang bergerak dalam sebuah kawat linier yang panjangnya L. karena
energi potensial elektron dapat dipandang dimana-mana sama maka energi potensial
elektron bisa diacu sama dengan nol (Ep = 0). Misalkan dinding kotak berada pada
koordinat x = 0 dan x = L, seperti gambar berikut.

7. ¥ ¥
Ep ¥ Ep ¥
X = 0 X = L
Gambar 2. Partikel bergerak bebas dalam arah satu dimensi
12
Pada sistem konservatif berlaku hukum kekekalan energi, yaitu jumlah energi
kinetik ditambah energi potensial bersifat kekal, artinya tidak bergantung pada waktu
maupun posisi. Sebagaimana telah diketahui, hukum kekekalan energi tersebut telah
dapat dijelaskan secara baik oleh Fisika Klasik. Dengan demikian, sebagai teori yang
lebih baru, persamaan Schrodinger harus konsisten dengan hukum kekekalan energi
tersebut.
Secara matematis, hukum kekekalan energi dapat diungkapkan dengan rumusan
2
p + =
2
p m E E
m
Suku pertama ruas kiri menyatakan energi kinetik, suku kedua menyatakan energi
potensial dan ruas kanan menyatakan suatu tetapan yang biasanya disebut sebagai energi
mekanik atau energi total. Karena pada keadaan tersebut energi potensialnya sama
dengan nol, maka energi kinetik sama dengan energi kintiknya
m E
2
p =
2
m
, karena k m E = E
2
p =
2
Sehingga energi kinetiknya menjadi k E
m
, dengan p =k
Persamaan Schrodinger untuk 0 £ x £ L, bila Ep = 0. identik dengan persamaan
(2.7), sehingga memiliki pemecahan yang sama, yakni :
k 2 = 2
mE
y (x) = Asin kx + Bcos kx , dengan 2

pemecahan ini belum lengkap karena belum ditentukan nilai A dan B, serta belum
dihitung nilai energi E yang diperbolehkan. Untuk menghitungnya harus diterapkan
syarat bahwa y(x) harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang. Dalam hal ini,

8. dipersyaratkan bahwa pemecahan untuk x < 0 dan x > 0 bernilai sama di x = 0; begitu
pula, pemecahan untuk x > L dan X < L haruslah bernilai sama di x = L.
di mulai di x = 0. untuk x < 0, telah didapat y = 0, jadi harus mengambil nilai x
pada 0 £ x £ L yang bernilai sama dengan nol pada x = 0.
y (0) = Asin 0 + Bcos0 = 0
jadi, B = 0
karena y = 0 untuk x > L, maka haruslah berlaku y(L) = 0, maka
y (L) = Asin kL + Bcos kL = 0
karena telah didapatkan bahwa nilai B = 0, maka haruslah berlaku A sin kL = 0, disini
ada dua pemecahan, yaitu A = 0 memberikan y = 0 dimana-mana; y 2 = 0 dimana-mana,
yang berarti bahwa dalam kotak tidak terdapat partikel atau sin kL = 0, yang hanya
benar apabila :
kL = p,2p,3p,... atau kL = np , dimana n = 1, 2, 3, . . .
karena k = 2p /l , dapat diperoleh nilai l = 2L / n , ini identik dengan hasil yang
diperoleh dalam Fisika Dasari panjang gelombangdari gelombang berdiri dalam sebuah
dawai yang panjangnya L dan kedua ujungnya terikat. Jadi, pemecahan persamaan
Schrodinger bagi sebuah partikel yang terperangkap dalam suatu daerah linear sepanjang
L tidak lain adalah sederetan gelombang berdiri de Broglie. Tidak semua panjang
gelombang diperkenankan, tetapi hanyalah sejumlah nilai tertentu yang ditentukan oleh
kL = np yang dapat terjadi.
Untuk menentukan persamaan gelombangnya, harus kembali ke persyaratan
normalisasi yaitu ò ¥
y2dx =1. karena y = 0 kecuali untuk 0 £ x £ L maka (kecuali
¥ -
dalam kota) integralnya tidak nol, sehingga berlaku
L
A n x
0
2 sin2 p 1
ò dx
=
L
, yang memberikan nilai A.
Dengan demikian, pemecahan lengkap bagi fungsi gelombang untuk 0 £ x £ L adalah :
y(x) = Asin npx , dengan n = 1, 2, 3, . . .
L
2. Partikel Bergerak Secara Bebas Dalam Daerah Tiga Dimensi
13

9. 14
Partikel yang terperangkap dalam suatu kotak sama seperti suatu gelombang tegak
dalam suatu tali yang direntangkan antara dinding-dinding kotak. Dalam kedua hal
tersebut, variabel gelombang itu (simpangan transversal untuk tali dan fungsi gelombang
y untuk partikel yang bergerak) haruslah nol pada dinding, karena di sini gelombang itu
berhenti. Oleh karena itu, panjang gelombang de Broglie dari partikel dalam kotak
ditentukan oleh lebar kotak L seperti gambar berikut.
L
Gambar 3. Partikel terbatas dalam kotak yang lebarnya L
Kotak potensial tiga dimensi dapat didefinisikan sebagai berikut :
Ep (x,y,z) = 0, 0 £ x £ L, 0 £ y £ L, 0 £ z £ L
= ¥, untuk yang lainnya
jika dibayangkan sebuah benda bermassa yang bergerak tanpa gesekan dalam sebuah
kardus dan bertumbukan secara elastis pada dinding-dinding batasnya di x = 0, x = L, y =
0, y = L dan z = 0, z = L. ( untuk menyederhanakan, kotaknya dipilih berbentuk kubus,
potensialnya bernilai nol bila 0 £ x £ a, 0 £ y £ b, 0 £ z £ c).
Pemecahan persamaan diferensial parsial memerlukan teknik yang lebih rumit
daripada yang ditinjau, sehingga tidak akan membahas cara memperoleh pemecahannya
secara terinci. Seperti pada kasus sebelumnya, di identifikasi bahwa y(x, y, z) =0 di
luar kotak, agar probabilitas bernilai nol di sana. Dalam kotak, ditinjau pemecahan-pemecahan
yang terpisahkan; artinys fungsi dari x, y dan z yang ditinjau dapat
dinyatakan sebagai hasilkali sebuah fungsi yang hanya bergantung pada x dengan fungsi
lain yang bergantung pada y dan fungsi lainnya yang bergantung pada z:
y(x, y, z) = f (x)g( y)h(z)
bentuk masing-masing fungsi dari f, g dan h di ruas kana sama seperti dengan persamaan
y(x) = Asin kx + Bcos kx . Maka persamaannya menjadi :

10. f ( x ) = A sin k x +
B cos
k x
x x
g ( y ) = C sin k y +
D cos
k y
y y
h ( z ) = E sin k z +
F cos
k z
z z
bilangan gelombang dalam contoh sebelumnya kinui menjadi bilangan gelombang
terpisah kx bagi f(x), ky bagi g(y) dan kz bagi h(z).
Syarat kontinu pada y(x, y, z) yang menghendaki bahwa pemecahan dalam dan
luar kotak bernilai sama pada daerah batas kotak, jadi y =0 di x = 0 dan x = L, y =0 di
y = 0 dan y = L dan y =0 di z = 0 dan z = L. Persyaratan pada x = 0, y = 0 dan z =
0menghendaki bahwa, dengan cara sebelumnya, B = 0, D = 0 dan F = 0. Persyaratan pada
x = L menghendaki bahwa sin kxL = 0, sehingga kxL merupakan kelipatan bilangan bulat
dari p , persyaratan pada y = L menghendaki kyL merupakan kelipatan bilangan bulat
dari p , begitu pula pada z = L menghendaki kzL merupakan kelipatan bilangan bulat
dari p . Semua bilangan bulat ini tidak perlu sama, karena itu masing-masing disebut nx,
ny dan nz untuk membedakan bilangan-bilangan tersebut. Jadi diperoleh :
x y z A nx x y zp p p
n x
n x
( , , ) 1 sin( ) sin( ) sin( )
L
L
L
y =
dengan A1 adalah hasil kali A, C dan E.
Jika elektron-elektron itu diletakkan dalam sebuah kubus dengan panjang sisi-sisinya
sebesar L, maka fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri yang mirip
dengan penggabungan tiga fungsi gelombang elektron dalam sebuah sumur potensial satu
dimensi yang kedalamanya tak hingga, yaitu sebagai berikut (mengasumsikan pada
peristiwa diatas):
r A nx x y z y ( ) sin p sin p sin p ……………………………..
÷ø ö
çè æ
ö çè
÷ø
æ
÷ø ö
çè æ
n z
= L
L
n y
L
(2.8)
di mana nx, ny, nz adalah bilangan bulat positif. Biasanya sangat menyenangkan jika kita
menggunakan sebuah fungsi gelombang yang periodik, artinya :
y(x, y, z) =y(x +L, y, z) =y(x, y +L, z) =y(x, y, z +L)…………………..
(2.9)
Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schodinger (2.7) dan yang
periodik adalah berbentuk gelombang berjalan sebagai berikut :
15

11. y(r) =exp(ik.r)……………………………………………………………
(2.10)
Dapat diperhatikan bahwa komponen k.r adalah perkalian vektor yang menghasilkan
skalar (dot product). Nilai komponen-komponen k pada persamaan (2.10) diatas adalah
sebagai berikut :
kx,ky,kz = 0, p p p p 2 n
p ,
............... L
± 2 ± ± ± ± . ……………………
8
,
6
,
4
,
L L L L
(2.11)
di mana n adalah bilangan bulat positif. Komponen-komponen dari k tersebut adalah
merupakan bilangan kuantum dari partikel yang dibicarakan pada permasalahan ini.
Disamping itu, bilangan kuantum lainnya yang digunakan untuk menandai partikel
tersebut yang dalam hal ini elektron adalah bilangan kuantum magnetik ms, yang
berkaitan dengan spin elektron itu sendiri.
Sekarang akan dibuktikan bahwa nilai-nilai kx,ky dan kz ini memenuhi syarat yang
ditunjukkan oleh persamaan (2.9) di atas, yaitu dengan cara menggantikan r pada
persamaan (2.10) dengan x, sebagai berikut :
(x) exp(ik .x) x y =
Untuk nilai x diambil pada posisi (x + L ), sehingga diperoleh
(x L) exp(ik .(x L)) x y + = + ………………………………………………..
(2.12)
Selanjutnya mensubtitusikan nilai kx dari persamaan (2.11) yaitu kx = L
2np , kedalam
persamaan (2.12). akan didapat hasil sebagai bereikut :
y x + L = i np x + L
( ) exp( 2 .( ) L)
x L i n x
( ) exp( 2 . ).exp 2
y p p
( ) exp( 2 . ).exp 2
+ =
y p p
L i n
x L i n x
L
i n L
L
+ =
Karena nilai exp (i2np ) = 1, maka
y x + L = i np x
( ) exp( 2 . L).1
16

12. y ( x + L ) = exp( i 2 np . x L).
yang berarti bahwa nilai kx = 2np
L
(x L) exp(ik .x) x y + = , dan ingat bahwa nilai (x) exp(ik .x) x y =
y(x +L) = y(x)……………………………………………………………
(2.13)
Persamaan (2.13) membuktikan bahwa nilai kx ini memenuhi syarat yang ditunjukkan
oleh persamaan (2.9) di atas.
Selanjutnya akan dihitung energi elektron bebas dalam tiga dimensi, yaitu
mensubtitusikan persamaan (2.10) kedalam persamaan (2.7), dengan cara sebagai berikut:
y(r) =exp(ik.r) disubtitusikan ke persamaan
2
2
d + d
+ d
y =Ey
k (r ) 2 - ( ) 2 ( )
2m
2
2
2
r dz
dy
dx
sehingga akan didapatkan :
2
2
d + d
+ d
=
E exp(ik.r) k 2 - ( ) exp( . ) 2
2m
2
2
2
ik r
dz
dy
dx
2
2
d
d
d
2 - ( ) exp( ) 2
2m
2
2
2
ik x k y k z
dz
dy
dx
x y z + + + + E ik x k y k z k x y z = exp( + + )
2 - ( k 2 k 2 k 2 ) exp(ik x k y k z) x y z x y z + + + + E ik x k y k z k x y z = exp( + + )
2m
2
- 2 2 2
k + k + k ik x + k y +
k z
( ) exp( )
x y z x y z
k + +
exp( )
2m
ik x k y k z
E
x y z
=

Sehingga nilai Ek sama dengan

= + +
k x y z
2
2
2 2 2
2
2
( )
2
k
m
E
k k k
m
E
k

=
…………………………………………………………… (2.14)
Persamaan (2.14) ini menyatakan energi kinetik elektron bebas dalam ruang tiga dimensi.
Ingat bahwa energi potensial elektron bebas adalah nol sehingga energi elektron sama
dengan energi kinetiknya. Nilai k ini sering dikaitkan dengan nilai panjang gelombang
elektron melalui persamaan berikut :
2p , di mana l adalah panjang gelombang
k = l
17

13. 18
disamping itu momentum sudut linear juga sering dikaitkan dengan vektor gelombang k
melalui persamaan, P = k
C. Persamaan Energi Fermi Pada Elektron Yang Bergerak Bebas
Dalam Ruang Tiga Dimensi
Sifat logam sebagai bahan bahan padat yang cukup menonjol, antara lain mampu
menghantarkan listrik maupun kalor dengan sangat baik. Dalam logam banyak terdapat
elektron bebas. Oleh karena itu, dengan model elektron bebas berbagai sifat logam dapat
dijelaskan. Elektron yang terdapat dalam logam dapat berfungsi sebagai pendukung
dalam hal hantaran atau konduksi. Jika ditinjau secara kimia, elektron konduksi ini
berasal dari elektron valensi. Dengan demikian jumlah elektron bebas pada logam
sebanding dengan valensi dari atomnya.
Sebuah kotak yang berukuran tertentu diisi dengan suatu gas pada suhu dan
tekanan tertentu maka apapun jenis zat yana dimasukkan, kotak tersebut akan memuat
jumlah partikel (yaitu atom atau molekul) yang selalu sama. Peristiwa tersebut dapat
diketahui karena partikel-partikel gas yang bergerak bebas itu memberikan tekanan yang
selalu sama besar pada dinding wadahnya. Untuk suatu gas pada suhu 0 0C dan tekanan 1
atmosfer standar, dapat dibuat kotak berukuran sedemikian rupa sehingga berisi gas yang
sama besar dan berat molekulnya dinyatakan dalam gram. Untuk itu, volume kotak harus
22,4 liter. Berat dari molekul dan atom diukur dalam satuan yang dibuat berdasarkan
massa atom hidrogen. Massa satu atom hidrogen adalah. Terdapat dua buah atom
hidrogen didalam setiap molekul hidrogen sehinga berat molekul hydrogen adalah 2. jika
gas didalam kotak adalah hidrogen maka kotak tersebut memuat 2 gram hidrogen.
Demikian pula, satu atom oksigen memiliki berat atom sebesar 16 (16 kali berat atom
hydrogen), dan setiap molekul oksigen terdiri dari dua atom oksigen. Jika gas didalamnya
oksigen maka kotak tersebut beriasi 32 gran oksigen.
Energi yang menimbulkan gelombang elektromagnetik harus dibangkitkan
dengan jalan menggerakkan sebuah muatan listrik atau magnet secara bolak balik (keatas
dan kebawah maupun kekiri dan kekanan). Cara yang paling umum untuk melakukanya
adalah dengan menggunakan arus listrik yang sesungguhnya adalah muatan-muatan

14. 19
listrik yang bergerak dan terdiri dari elektron- elektron dalam jumlah yang amat besar
pada seberkas kawat. Elektron sebagai pembawa muatan listrikditemukan pada tahun
1890-an dan memainkan peran penting didalam ilmu fisika modern meskipun partikel-partikel
ini dapat dijelaskan oleh Mekanika Klasik Newtonian dan Medan
Elektromagnetik Maxwellian
Tinjauan secara klasik ternyata hasilnya kurang cermat, sehingga dalam
pembahasan selanjutnya akan digunakan konsep secara kuantum bahwa energi elektron
itu terkuantisasi, dan dapat ditunjukkan dalam bentuk level-level energi serta menurut
Bohr bahwa elektron dalam atom hanya dapat memancarkan kuanta cahaya utuh, bukan
potongan-potongan kecil. Jadi, elektron tidak mungkin terpelintir kedalam, elektron
hanya dapat melompat dari satu orbit ke orbit lainnya tepat satu kuantum energi lebih
dekat ke inti. Seperti terlukis dalam gambar di bawah ini.
Ef f(E)
1 T = 0 K
T > 0 K
0 Ef E
Gambar 4. Level energi Gambar 5. Fungsi distribusi f(E) vs E
Gambar di atas 4. melukiskan level-level energi yang terkuantisasi. Elektron-elektron
didalam logam menempati level-level energi tersebut. Menurut prinsip larangan
Pauli, satu level energi dapat terisi oleh dua elektron yang berspin, dan pengisian level
energi, dimulai dari yang terendah sampai yang tertinggi. Level energi tertinggi yang
dapat terisi disebut level energi Fermi.
Distribusi elektron dalam level-level tersebut, biasanya diberikan dengan fungsi
distribusi atau f(E), yang didefinisikan sebagai peluang level E terisi electron. Dengan
demikian jika level kosong atau tidak terisi elektron , maka f(E) = 0, sedangkan level

15. yang terisi penuh maka f(E) = 1. dengan kata lain f(E) mempunyai harga antara 0 dan 1,
seperti yang ditunjukkan gambar (d). fungsi distribusi elektron pada T = 0 K dapat
dituliskan dalam bentuk :
f(E) = 1, jika E < Ef
f(E) = 0, jika Ef < E
Fungsi distribusi f(E) pada T ¹ 00 K mengikuti distribusi Fermi-Dirac yang dapat
kx
kz
2
2 f f k
m
E  = ………………………
ky
Ef
dinyatakan dalam bentuk :
1
( ) 1( ) / +
= e E-EF KT
f E
Fungsi distribusi tersebut dilukiskan pada gambar 5.
Dalam keadaan dasar (T = 0 K ) semua energi yang terletak dibawah energi Fermi
dan energi Fermi itu sendiri akan ditempati elektron. Oleh karena itu, vektor gelombang
terbesar adalah vektor gelombang untuk elektron yang berada pada tingkat energi Fermi.
Dengan demikian, jika dimisalkan vektor gelombang Fermi dengan huruf kf, maka energi
Fermi dapat dituliskan sebagai berikut 2
(2.15)
Dalam ruang k (ruang resiprok) kita dapat menggambarkan sebuah bola dengan
jari-jari kf yang menampung semua elektron didalamnya. Artinya tidak ada elektron lain
yang terletak di luar bola, karena vektor gelombang terbesar pada keadaan dasar adalah
kf. volume bola ini tentunya sama dengan 4/3 3f
pk , dimana kf menyatakan jari-jari bola.
Bola tersebut dapat dilihat pada gambar berikut :
Gambar 6. Elektron terletak di dalam bola yang berjari-jari kf,
20

16. Dari persamaan (2.11) dapat diketahui bahwa nilai terkecil dari kx,ky dan kz adalah
2p /L (bukan nol, karena jika k = 0 berarti tidak ada elektron). Sehingga jika diambil
elemen volume (volume terkecil yang berbentuk kubus dengan sisi-sisi kx,ky dan kz dari
bola tadi, maka volumenya menjadi(2p /L)3. Dapat diperhatikan pada gambar berikut
ini :
kx
di mana kf adalah vektor gelombang Fermi
Ef
kz
ky
Gambar 7. Elemen volume kubus dengan sisi-sisinya (2p / L ) pada bola
Dan dalam elemen volume ini hanya ada satu nilai k yaitu gabungan kx,ky dan kz.
setiap nilai k ini dimiliki oleh sebuah elektron (oleh dua buah elektron dengan spin yang
berlawanan). Jadi, jumlah total elektron (N) dalam bola tadi adalah sama dengan volume
bola dibagi dengan volume dari elemen volume kubus dikali 2 ( karena elektron boleh
memiliki spin-up dan spin-down ) yaitu masing sebagai berikut :
æ
ö
= ……………………………………. (2.16)
4
3
p
k
3
æ
8
3 3
ö
2 =
f
( ) ( ) 3
3
3
3
3
3 8 3
2
f f L k k L
L
N
p p
p
p
= ÷ ÷ ø
ç ç
è
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
Karena L3 = volume kubus (V), maka jumlah elektron (N) dapat ditulis sebagai berikut :
3 2 f N V k
3
= ………………………………………………………….(2.17)
p
Dari persamaan (2.17) dapat dilihat vektor gelombang Fermi adalah bergantung pada
konsentrasi elektron (n = N/V , sehingga kf dapat dituliskan sebagai berikut :
æ
ö
= ………………………………………………… (2.18)
k N f p p = ÷ ÷ø
( 1
2
)3
3
1
2
3 3 n
V
ç çè
21

17. 22
Dengan demikian, energi Fermi dalam sistem tiga dimensi dapat diperoleh dengan
mensubtitusikan persamaan (2.18) kedalam persamaan (2.15) sehingga diperoleh sebagai
berikut :
2
2
E  =
f 2 f k
m
p
ö
æ
( 2 ) 2
3
2
3
2
2 2
3

2
3
2
n
m
E
V
N
m
E
f
f
p

=
÷ ÷ø
ç çè
=
………………………………………………………. (2.19)
Persamaan (2.19) diatas ini mengaitkan energi Fermi dengan konsentrasi elektron n =N/V