Dokumen ini membahas tentang sifat getaran dalam zat padat dan konsep panas jenis pada volume tetap. Penjelasan mencakup teori-teori klasik dan kuantum mengenai kapasitas panas serta hubungan antara energi getaran kisi dengan suhu. Juga dibahas tentang kecepatan gelombang elastik dan pengaruh suhu terhadap kapasitas panas zat padat.

1. PANAS JENIS
Paper Ini Disusun Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah
Pengantar Fisika Zat Padat
Oleh :
Mutiara Efendi (140310110016)
Maria Oktaviani (140310110018)
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN
2014

2. PENDAHULUAN
Bahasan struktur kristal pada bab lalu menganggap bahwa atom bersifat statik pada
masing-masing titik kisinya. Sebenarnya, atom tidaklah statik, melainkan berosilasi di sekitar
titik setimbangnya sebagai akibat energi termal. Getaran atom-atom pada suhu ruang adalah
sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dimiliki atom-atom pada suhu
tersebut.
Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal.
Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom
dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pedekatan gelombang
panjang.
Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki
panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini,
gelombang akan “melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit; sehingga
pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit.
Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari
jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan
gelombang.
3.1 Getaran Dalam Zat Padat
3.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar
Padatan terdiri dari atom diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di sekitar titik
setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. Namun, saat gelombang yang merambat
mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besar daripada jarak antaratom, sifat
atomik dapat diabaikan dan padatan dapat dianggap sebagai medium kontinu. Dengan
demikian persoalan fisisnya menyangkut lingkup makro. Gelombang yang demikian disebut
gelombang elastik.
Misalnya, gelombang suara elastik longitudinal merambat dalam suatu batang
isotropik, yang mempunyai penampang A, massa jenis ρ dan modulus Young Y. Batang ini
mempunyai ilustrasi seperti berikut :

3. Gambar 1 ilustrasi batang berpenampang A
tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut :
σ =Y∈ ... (1)
dengan Y menyatakan Modulus elastik atau Modulus Young. Selanjutnya, menurut hukum
kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :
Δσ= F/A
F = A Δσ
F = A {σ(x+dx) - σ(x)} ...(2)
akan menyebabkan massa (m) elemen batang tersebut (ρAdx) mendapatkan percepatan
sebesar ∂2u/∂t2 sehingga :
F = A {σ(x+dx) - σ(x)}
m a = A {σ(x+dx) - σ(x)}
...(3)
dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan σ adalah tekanan.
Regangan e=du/dx dan tekanan σ dihubungkan oleh hukum Hooke
σ = Y u
Untuk bagian yang kecil sesungguhnya
Δσ = σ (x+dx) – σ (x) = (∂σ /∂x) dx
sehingga persamaan gerak gelombang (3) di atas menjadi
...(4)
yang dikenal sebagai persamaan gelombang satu dimensi.

4. Diambil solusi berbentuk propagasi gelombang bidang, yaitu
u = Ao ei(kx - ωt) ...(5)
Dimana Ao, k dan ω adalah amplitudo, bilangan gelombang dan frekuensi radial
gelombang. Substitusi solusi (5) ke dalam persamaan gelombang (4) menghasilkan
ω = vs k ...(6)
dengan
vs = (Y/ρ)1/2 ...(7)
adalah kecepatan fasa gelombang. Hubungan (6) antara frekuensi dan bilangan gelombang
disebut relasi dispersi. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier, dengan kemiringan
kecepatan fasa, seperti disajikan pada Gambar 2 berikut
Gambar 2 Kurva dispersi gelombang elastik
Penyimpangan terhadap sifat linier di atas disebut dispersi. Ketidaklinieran terjadi
karena, khususnya, panjang gelombang yang relatif kecil jika dibandingkan dengan jarak
antar atom. Hal ini akan dipelajari pada getaran dalam kisi kristal. Apabila gelombang elastik
satu dimensi di atas hanya diperhatikan solusi domain ruangnya saja, yakni
u = Ao eikx ...(8)
dan ujung batang sebelah kanan berosilasi sama dengan sebelah kiri sehingga memiliki syarat
batas periodik
u (x=0) = u (x=L) ...(9)
dengan L adalah panjang batang, maka substitusi (8) ke dalam (9) menghasilkan kondisi

5. eikL = 1 ...(10)
sehingga
kn = (2π/L) n, dimana n=0, ±1, ±2, … (11)
Setiap nilai n di atas memberikan satu harga k sebagai representasi sebuah moda
getar. Jika L besar sekali, maka kn hampir kontinu (pandangan makro). Dalam domain k,
jarak antar titik adalah (2π/L), sehingga jumlah moda getar antara k dan (k+dk) sebesar
dN = (L/2π) dk ...(12)
Dalam domain frekuensi, dN di atas terletak antara ω dan (ω+dω). Rapat keadaan
g(ω) didefinisikan sedemikian sehingga bentuk g(ω)dω memberikan jumlah moda getar
yang mempunyai frekuensi antara ω dan (ω+dω) seperti di atas. Oleh karena itu didapatkan
Ungkapan ini hanya berlaku untuk gerakan dalam satu arah positip saja. Dengan
demikian g(ω) yang mencakup gelombang ke kiri dan ke kanan adalah
...(13)
Terlihat bahwa rapat keadaan g(ω) bergantung pada relasi dispersi. Untuk
hubungan linier (6), dimana dω/dk=vs, maka didapatkan
...(14)
yang konstan tidak bergantung pada ω.
Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikan syarat bahwa
ei kxL+k yL+kzL = 1

6. sehingga
(kx , ky , kz) = [ n (2π/L) , m (2π/L) , l (2π/L) ] ...(15)
dimana n, m, l = 0, ±1, ±2, …. Representasi dalam ruang k menunjukkan bahwa sebuah
titik mempunyai volume (2π/L)3 dan merepresentasikan satu moda getar, seperti Gambar 3
berikut ini.
Gambar 3 Nilai diskrit k untuk gelombang yang merambat tiga dimensi
Semua moda getar dengan k tertentu direpresentasikan oleh satu titik yang terletak pada
permukaan bola dalam ruang k, dengan jari-jari k dan berpusat di (kx , ky , kz) = (0,0,0).
Semua moda getar dengan vektor gelombang antara k dan (k+dk) terletak dalam elemen
volume 4πk2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k+dk).Dengan demikian, jumlah
moda getar dalam selang vektor gelombang di atas
...(16)
dimana V=L3 adalah volume sampel. Rapat keadaan g(ω) diperoleh dengan menggunakan
hubungan dispersi ω(k). Apabila digunakan hubungan dispersi linier (6), maka didapatkan
...(17)
yang dilukiskan dalam Gambar 4 berikut.

7. Gambar 4 Rapat keadaan dalam medium elastik
Ternyata bahwa bertambahnya g(ω) berbanding lurus dengan ω2, tidak seperti dalam
kasus satu dimensi dimana g(ω) berharga konstan. Hal ini terjadi karena kenaikan elemen
volume permukaan bola yang berbanding lurus dengan k2; dan karena itu berbanding lurus
juga dengan ω2 karena ω sebanding dengan k. Ungkapan g(ω) di atas bersesuaian dengan
moda tunggal untuk setiap nilai k. Sebenarnya, dalam tiga dimensi untuk setiap nilai k
mengandung tiga moda. berbeda, yaitu satu moda longitudinal dan dua moda transversal.
Hubungan dispersinya juga berbeda. Dengan demikian rapat keadaan (17) menjadi
...(18)
dimana vL dan vT, masing-masing merupakan kecepatan gelombang longitudinal dan
transversal. Jika vL=vT, maka ungkapan (18) menjadi :
...(19)
Sampai sejauh ini, kita telah membahas rambatan gelombang elastik pada bahan
padat. Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik
(bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut
dapat menyebabkan getaran kisi. Untuk selanjutnya, paket-paket energi getaran kisi disebut
fonon. Fonon dapat dipandang sebagai “kuasi partikel” seperti halnya foton pada gelombang

8. cahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme partikel-gelombang” ini,
rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon.
Tabel 1. Beberapa eksitasi parlementer pada zat padat
3.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat
Pembahasan mengenai panas jenis zat padat pada volume tetap Cv ternyata membuka
pengertian mengenai sifat getaran dalam suatu zat padat. Ternyata bahwa model-model
tentang getaran kisi yang dibuat untuk menerangkan perilaku harga Cv dengan suhu mutlak T
memberi pentunjuk bahwa energy getaran kisi Kristal terkuantisasi, artinya bahwa harga-
harga energy itu tidaklah continue , tetapi terbatas pada harga-harga diskrit tertentu. Dalam
butir-butir berikut ini akan diuraikan mengenai berbagai teori tentang panas jenis zat padat
(Kristal) yang memberi landasan tentang konsep terkuantisasi energy getar Kristal.
3.2.1 Kapasitas Panas
Dalam padatan, terdapat dua jenis energi thermal yang tersimpan di dalammya yaitu
energi vibrasi atom-atom di sekitar posisi keseimbangannya dan energi kinetik yang
dikandung elektron-bebas. Jika suatu padatan menyerap panas maka energi internal yang
tersimpan dalam padatan meningkat yang diindikasikan oleh kenaikan temperaturnya. Jadi
perubahan energi pada atom-atom dan elektron-bebas menentukan sifat-sifat thermal padatan.
Sifat-sifat thermal yang akan kita bahas adalah kapasitas panas.
Tiap-tiap atom pada benda padat ini dapat berosilasi ke tiga arah secara bebas dan
independen, sehingga padatan dapat dipandang sebagai sistem yang memiliki 3N osilator
harmonik sederhana, dengan N menunjukkan jumlah atom dalam kekisi kristal tersebut. Oleh

9. karena tiap osilator harmonik memiliki energi rata-rata kBT, energi total rata-rata padatan itu
adalah sebesar 3NkBT, dan kapasitas kalornya adalah 3NkB.
Dengan mengambil nilai N sebagai tetapan Avogadro NA, dan menggunakan
hubungan R = NAkB antara tetapan gas R dengan tetapan Boltzmann kB, hal ini akan
menjelaskan hukum Dulong-Petit mengenai kapasitas kalor jenis benda padat, yang
menyatakan bahwa kapasitas kalor jenis (per satuan massa) suatu benda padat berbanding
terbalik terhadap bobot atomnya. Dalam versi modernya, kapasitas kalor molar suatu benda
padat adalah 3R ≈ 6 cal/(mol·K).
Namun, hukum ini menjadi tidak akurat pada temperatur yang rendah. Hal ini
disebabkan oleh efek-efek kuantum. Selain itu, hukum ini juga tidak konsisten dengan hukum
ketiga termodinamika, yang menurutnya kapasitas kalor molar zat apapun haruslah menuju
nilai nol seiring dengan temperatur sistem menuju nol mutlak. Teori yang lebih akurat
kemudian dikembangkan oleh Albert Einstein (1907) dan Peter Debye (1911) dengan
memasukkan pertimbangan efek-efek kuantum.
Kapasitas Panas adalah sejumlah panas (ΔQ) yang diperlukan per mol zat untuk
menaikkan suhunya 1 K, disebut kapasitas kalor. Untuk membedakan dengan kapasitas panas
yang ditulis dengan huruf besar (Cv dan Cp), maka panas spesifik dituliskan dengan huruf
kecil (cv dan cp). Bila kenaikan suhu zat ΔT, maka kapasitas panas adalah :
Jika proses penyerapan panas berlangsung pada volume tetap, maka panas yang
diserap sama dengan peningkatan energi dalam zat ΔQ = ΔU. Kapasitas kalor pada volume
tetap (Cv) dapat dinyatakan:
Dengan U adalah energi internal padatan yaitu total energi yang ada dalam padatan baik
dalam bentuk vibrasi atom maupun energi kinetik elektron bebas. Kapasitas panas pada
tekanan konstan, (Cp) dengan relasi

10. dengan H adalah enthalpi. Pengertian enthalpi dimunculkan dalam thermodinamika karena
sesungguhnya adalah amat sulit menambahkan energi pada padatan (meningkatkan
kandungan energi internal) saja dengan mempertahankan tekanan konstan. Jika kita
masukkan energi panas ke sepotong logam, sesungguhnya energi yang kita masukkan tidak
hanya meningkatkan energi internal melainkan juga untuk melakukan kerja pada waktu
pemuaian terjadi. Pemuaian adalah perubahan volume, dan pada waktu volume berubah
dibutuhkan energi sebesar perubahan volume kali tekanan udara luar dan energi yang
diperlukan ini diambil dari energi yang kita masukkan. Oleh karena itu didefinisikan enthalpi
guna mempermudah analisis, yaitu
dengan P adalah tekanan dan V adalah volume.
Kapasitas panas zat pada suhu tinggi mendekati nilai 3R; R menyatakan tetapan gas umum.
Karena R ≅ 2 kalori/K-mol, maka pada suhu tinggi kapasitas panas zat padat :
Gambar 5. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu
1. Teori Klasik
Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas tersimpan
sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakan bahwa besaran fisis
energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak atau momentum, maka untuk
setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki energi sama, yaitu (½)k0T, dengan k0 adalah
konstanta Boltzmann. Hal ini berarti energi kinetik setiap atom gas memiliki energi (½)k0T.

11. Gas monoatomik memiliki tiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk
gas sebanyak 1 kilomol
...(20)
Dengan demikian, kapasitas panas pada volume konstan
...(21)
Sesungguhnya, kapasitas panas permol didefinisikan sebagai panas ΔQ yang
diperlukan tiap satu mol untuk menaikkan suhu ΔT, yakni C=ΔQ/ΔT. Jika proses
berlangsung pada volume tetap, maka ΔQ=ΔU, dimana ΔU adalah kenaikan energi dalam
sistem. Dalam hal persamaan di atas, NA adalah bilangan Avogadro dan R adalah tetapan
gas. Menurut (21) teori ini menghasilkan nilai CV=12,47 J/0K kmol. Harga ini sesuai untuk
gas He dan Ar pada suhu kamar. Setiap atom dalam kristal, disamping memiliki 3 derajat
kebebasan untuk geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki
energi potensial atom dalam gerak harmoniknya. Pada gerak selaras sederhana, energi kinetik
rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energi total sistem atom dalam
kristal menurut hukum ekipartisi
...(22)
Ungkapan ini menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstan
adalah :
...(23)
Harga (23) sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit (1819), yang berlaku untuk
hampir semua zat padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi. Selanjutnya, eksperimen
menunjukkan bahwa nilai CV menurun apabila T menurun, dan mendekati nol apabila T
menuju 0 K. Disamping itu, terdapat indikasi yang sangat kuat bahwa pada suhu yang sangat
rendah mendekati nol mutlak

12. CV ∼ T3
Penyempurnaan bahasan kapasitas panas ini, selanjutnya menggunakan teori
mekanika kuantum.
2. Teori einstein tentang CV Zat Padat
Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam menerangkan radiasi benda hitam, maka
konsep kuantisasi energi itu juga diterapkan Einstein dalam teorinya tentang CV zat padat.
Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian sebagai berikut.
a. Atom kristal merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki frekuensi
sama dan energi diskrit
εn = n ћ ω , n = 0, 1, 2, … (24)
dengan ω adalah frekuensi osilator. Jarak antartingkat energi ini sebesar ћ ω.
b. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi
Boltzmann
f (εn) = e−εo / k n T ... (25)
Sebuah osilator dengan satu derajat kebebasan mempunyai energi ratarata
Substitusi (24) dan (25) ke persamaan di atas menghasilkan :
... (26)
Gambar 6 berikut menyajikan perbandingan energi kuantum rata-rata osilator dan energi
klasik kristal untuk satu derajat kebebasan.

13. Tampak bahwa pada suhu tinggi, sehingga koT>>ћω, osilator berada dalam keadaan
kuantum tereksitasi tinggi. Pada keadaan demikian sifat kuantum spektrum dapat diabaikan,
sehingga dihasilkan energi klasik rata-rata Pada suhu rendah, koT<<ћω, dan energi
koT tidak cukup untuk mengeksitasikan osilator ke tingkat eksitasi pertama. Dalam hal ini
energi osilator jauh lebih kecil daripada koT. Oleh karena itu, pada suhu rendah ini, sifat
kuantum gerakan lebih dominan.
Bila zat padat sebanyak 1 kmol dan setiap atom mempunyai 3 derajat kebebasan,
maka energi totalnya
... (27)
dimana ωE adalah frekuensi Einstein (frekuensi bersama osilator). Kapasitas panas pada
volume konstan
... (28)
dimana θE=(ћωE/ko) adalah suhu karakteristik Einstein. Secara grafik CV di atas
ditunjukkan dalam Gambar 7 berikut.
Gambar 7 Kapasitas panas tembaga. Titik-titik merupakan hasil eksperimen.
Kurva mengungkapkan teori Einstein untuk suhu θE=240 K
Secara teori dapat dibuat kurva CV terhadap T/θE yang bentuknya sama untuk
berbagai macam kristal. Data eksperimen (CV,T) suatu kristal tertentu, dapat dicari
kesesuaiannya yang terbaik, sehingga θE dapat ditentukan. Selanjutnya, frekuensi Einstein ωE
pun dapat diperoleh. Untuk θE= 240 K didapatkan ωE = 2,5.1013/s dalam daerah inframerah.

14. Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.
a. Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T>>θE, bentuk eθ E / T dapat diekspansikan dalam
deret pangkat θE/T, sehingga menghasilkan CV ≅ 3 R seperti hasil teori klasik.
b. Pada suhu yang sangat rendah, dimana T<<θE, bentuk eθE / T jauh lebih besar daripada
satu, sehingga
... (29)
dimana B(T) adalah fungsi yang relatif tidak peka terhadap suhu. Karena bentuk eksponensial
eθ E / T , maka kapasitas panas ini terus berkurang sehingga mendekati nol dengan cepat
sekali. Jadi CV →0 saat T→0. Hasil ini sesuai denga eksperimen.
2. Teori Debye tentang CV Zat Padat
Dalam model Einstein, atom-atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di
sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling
berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik
dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak kolektif.
Frekuensi getaran atom bervariasi dari ω=0 sampai dengan ω=ωD. Batas frekuensi ωD
disebut frekuensi potong Debye.
Untuk menerangkan kebergantungan CV terhadap T, Debye memodelkan getaran kisi
dengan mengambil anggapan sebagai berikut.
a. Atom kristal merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan daerah frekuensi
ω=0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah moda getar yang
diperkenankan. Dengan demikian pada kristal terjadi gerakan kisi secara keseluruhan
sehingga terdapat moda kisi bersama. Kristal merupakan medium elastik kontinu.
b. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda bersama. Oleh karena itu moda
kisi mempunyai hubungan dispersi linier kontinu (6) dan rapat keadaan (19) yang sama
dengan bahasan gelombang elastik yang lalu. Setiap modus getaran merupakan osilator

15. harmonik tunggal ekivalen yang mempunyai energi rata-rata (26) seperti osilator model
Einstein. Oleh karena itu energi total getaran seluruh kisi
(30)
dimana integrasi dilakukan terhadap semua frekuensi yang diperkenankan. Frekuensi batas
bawah, tentunya, adalah ω=0. Sedangkan frekuensi batas atas ditetapkan oleh debye dengan
batasan bahwa jumlah moda yang dicakup dalam rentang frekuensi tersebut haruslah sama
dengan jumlah derajat kebebasan untuk keseluruhan padatan. Jadi
... (31)
dimana frekuensi atas ωD disebut frekuensi Debye. Hasil integrasi di atas, setelah
mensubstitusikan (19) memberikan nilai
... (32)
dimana n=NA/V adalah konsentrasi atom dalam padatan.
Energi total (30) dapat ditulis kembali
... (33)
dan kapasitas panas pada volume konstan
... (34)
Apabila x=(ћω/koT) dan suhu Debye didefinisikan sebagai θD=(ћω/ko), maka persamaan
(34) dapat ditulis dalam bentuk

16. ... (35)
Suhu Debye θD dapat diperoleh dengan mencocokkan kurva eksperimen dari data
(CV,T) suatu kristal dengan kurva universal teoritis CV terhadap T/θD. Untuk suatu zat
tertentu, sudu Debye θD adalah suhu yang dipilih sedemikian rupa sehingga kurva
eksperimen akan berimpit dengan kurva universal teoritis.
Tabel 2. Suhu Debye untuk Beberapa Zat
Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut.
a. Pada suhu tinggi, T>>θD, didapatkan CV ≅ 3 R yang sesuai dengan hukum Dulong-
Petit. Dalam keadaan demikian, setiap moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energi
klasik rata-rata Jika kita substitusikan energi klasik rata-rata tersebut ke dalam
(30) akan didapatkan E = 3RT dan CV=3R.
Penjelasan :
Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil, demikian juga
variabel x. Sebagai pendekatan dapat diambil : ex ≅ 1 + x sehingga integral yang
bersangkutan menghasilkan :

17. Masukkan hasil ini kepersamaan (35)
Sesuai dengan hukum Dulong-Petit, pada suhu tinggi model ini sesuai dengan hasil
eksperimen.
b. Pada suhu rendah, T<<θD,
dengan menggunakan hubungan analitik
didapatkan
... (36)
Penjelasan :
Pada suhu rendah (T<<θD), batas integral pada persamaan (35) menuju tak berhingga dan
integral tersebut menghasilkan 4π4
/15. Dengan demikian:
Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasil pengamatan. Dalam keadaan
demikian, hanya sedikit moda tereksitasi, yakni moda yang memiliki energi kuantum
ћω, yang lebih kecil daripada kT.

18. Pada grafik berikut ini menunjukkan betapa baiknya hasil pengukuran dengan teori
untuk berbagai Kristal.
3.2.2 Konsep Fonon
Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar,
seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau
gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukleasi dan
pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, disertai
dengan penataan atom–atom atau molekul-molekul secara teratur dengan berulang sehingga
sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal
dan elektron di dalamnya.
Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan
keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau molekul–
molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya coulomb). Kisi–kisi
tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom–atom yang menyusun zat padat
bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya sehingga kisi–kisi kristal pun ikut bervibrasi.
Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan
energi dengan panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik
disebut fonon. Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat
dianalogikan seperti dalam foton dalam gelombang elektromagnetik

19. Konsep fonon tersirat dalam teori Debye yang sangat penting dan jauh mencapai
konsepnya. Kita telah melihat bahwa energi setiap mode adalah terkuantisasi, energi dari unit
kuantum menjadi ћω. Karena mode yang kita miliki adalah gelombang elastis, yang pada
kenyataannya, terkuantisasi energi gelombang suara elastis. Prosedur ini analog dengan yang
digunakan dalam mengkuantisasi energi medan elektromagnetik, di mana sel hidup alam
lapangan diungkapkan dengan memperkenalkan foton. Dalam kasus ini, partikel seperti
entitas yang membawa energi unit bidang elastis dalam modus tertentu disebut sebuah Fonon.
Energi fonon tersebut yaitu:
є = ћω ... (37)
Sedangkan Fonon juga merupakan gelombang berjalan, ia membawa momentum
sendiri. Analogi foton (sama seperti persamaan de Broglie), momentum Fonon diberikan oleh
p = h / λ, dimana λ adalah panjang gelombang. Ditulis λ = 2π / q, dimana q adalah vektor
gelombang, kita memperoleh momentum untuk Fonon tersebut:
p = ћq ... (38)
Sama seperti kita berpikir tentang gelombang elektromagnetik sebagai aliran foton,
sekarang kita melihat sebuah gelombang suara elastis sebagai aliran fonon yang membawa
energi dan momentum gelombang. Kecepatan perjalanan Fonon sama dengan kecepatan
suara dalam medium.
Dalam hal ini dapat dibayangkan bahwa bila gelombang elektromagnet merambat
identik dengan adanya arus foton, sedangkan pada rambatan gelombang mekanik atau
gelombang suara identik dengan adanya aliran arus fonon yang membawa energi dan
momentum seperti pada persamaan (37) dan (38)
Jumlah fonon dalam suatu moda gelombang pada keseimbangan termal dapat
diprediksi dari persamaan :
Karena energi setiap fonon adalah hω dan energi rata-rata fonon diberikan oleh persamaan
diatas maka jumlah rata-rata fonon dalam suatu moda gelombang adalah :

20. Jadi, jumlah fonon bergantung suhu, pada T = 0, n = 0, tetapi bila T meningkat, n
akan bertambah. Pada suhu tinggi n ≅ kT/ . Dengan demikian dapat dikatakan fonon tercipta
dengan menaikkan suhu; dan hal ini berbeda dengan partikel lain (proton, elektron) yang
jumlahnya tetap meskipun suhunya berubah.
3.3 Vibrasi Dalam Kisi kristal
Telah dibahas rambatan gelombang dalam padatan sebagai medium kontinu, yaitu
kediskritan kisi dapat diabaikan. Saat panjang gelombang jauh lebih besar daripada jarak
antar atom, yaitu k→0, maka dihasilkan relasi linier ω=vsk. Tetapi, saat panjang gelombang
menurun dan k membesar, maka kediskritan kisi menjadi berperan karena atom-atom mulai
menghamburkan gelombang. Akibatnya kecepatan menurun, dan dalam hal ini menyebabkan
kurva relasi dispersi tidak lagi linier melainkan mengalami penurunan kemiringan.
3.3.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi
Perhatikan kisi monoatom (hanya tersusun oleh satu jenis atom) satu dimensi seperti
ditunjukkan oleh gambar 8. Pada keadaan seimbang atom-atom secara rata-rata menduduki
titik kisi. Kemudian, atom-atom akan menyimpang dengan simpangan sebesar ….un-1, un, un
+1,............dst.
Gambar 8. Kisi eka-atom satu dimensi dalam keadaan seimbang (atas) dan dirambati
gelombang longitudinal (bawah).
Menurut hukum kedua Newton, persamaan gerak atom ke-n dapat diungkapkan sebagai
berikut :
(39)
m massa atom, C tetapan elastik ikatan antar atom (semacam tetapan pegas), dan t
menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian berbentuk :

21. un = A exp [i (qxn - ωt) ] (40)
A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke-n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang dan
dapat dituliskan :
xn = na (41)
n bilangan bulat dan a tetapan kisi. Masukkan solusi (40) ke dalam persamaan gerak (39), dan
dengan menggunakan hubungan Euler :
2 cos y = eiy
+ e-iy
diperoleh solusi ω :
(42)
Dengan :
Hasil (42) menyatakan hubungan antara ω dan q, jadi jelas bahwa persamaan tersebut
menyatakan hubungan dispersi yang dalam kasus ini berbentuk/bersifat sinusoida. Dalam
pembahasan di atas secara implisit telah digunakan pendekatan gelombang pendek, karena
medium “tampak” sebagai deretan atom-atom diskrit. Dari hasil dapat dikatakan bahwa
untuk kisi diskrit atau pendekatan gelombang pendek, hubungan dispersinya sinusoida (tidak
linier); lihat gambar 9.
Gambar 9. Hubungan dispersi, ω vs q, sinusoida dari kisi diskrit
(pendekatan gelombang pendek)

22. 3.3.2 Kecepatan Gelombang
Untuk gelombang “murni”, yaitu gelombang yang hanya memiliki satu nilai q dan
satu nilai ω, gelombang menjalar dengan satu nilai kecepatan v. Pada gambar 10 ditunjukkan
gelombang murni dan gelombang paket. Gelombang yang disebut terakhir merupakan hasil
perpaduan (superposisi) dari sejumlah masing-masing dengan nilai q1, q2, q3 .......... dan ω1,
ω2,ω3, ........... Perhatikan gelombang paket pada gambar 10c, gelombang tersebut
mempunyai dua komponen; yaitu gelombang “isi” yang frekuensinya lebih besar dan
gelombang “sampul”
yang mempunyai frekuensi lebih kecil. Kedua komponen gelombang merambat dengan
kecepatan yang berbeda secara umum.
Gelombang “isi” merambat dengan apa yang disebut kecepatan fasa (vf); sedangkan
gelombang “sampul” merambat dengan kecepatan kelompok/grup (vg). Kedua kecepatan ini
didefinisikan sebagai berikut :
(43)
Gambar 10. a. Gelombang murni merambat dengan satu nilai kecepatan. b.
Superposisi gelombang dengan nilai q dan ω berbeda-beda menghasilkan gelombang seperti
pada c. Gelombang paket dengan dua komponen, masing-masing merambat dengan
kecepatan vf dan vg.
untuk selanjutnya akan ditentukan kecepatan rambat gelombang untuk kisi malar maupun kisi
diskrit. Untuk kisi malar, panjang gelombang (λ) besar sedemikian sehingga :

23. Dari hubungan dispersi secara umum, lihat persamaan (42) sebagai berikut :
oleh karena q→ 0, maka :
dan ini berarti :
(44)
Dengan :
Tampak bahwa untuk kisi malar, kecepatan rambat gelombang baik kecepatan fasa
maupun kecepatan kelompok sama dengan kecepatan rambat vs. Kisi malar, sebagai medium
perambatan gelombang yang bersifat demikian (hubungan dispersi linier, vf = vg = vs)
disebut medium dispersif. Di pihak lain, untuk kisi diskrit, karena hubungan dispersinya
sinusoida maka kecepatan rambat gelombang yang bersangkutan adalah :

24. (45)
Terlihat bahwa :
Medium yang bersifat sebagai kisi diskrit adalah medium tak-dispersif. Perhatikan ungkapan
untuk kecepatan kelompok, bahwa untuk nilai q = ± (π/a) menghasilkan kecepatan kelompok
vg = 0. Bila hal ini terjadi akan dapat diamati bahwa gelombang “isi” tetap merambat
sedangkan gelombang “sampul” diam (menghasilkan gelombang berdiri).
3.3.3. Kisi Diatomik Satu Dimensi
Pembahasan untuk kisi eka-atom seperti yang telah diuraikan di atas dapat diterapkan untuk
kisi dwi-atom. Pada gambar 2.8, atom-atom yang berukuran lebih kecil, dengan massa m,
diberi nomer genap, sedangkan atom-atom yang lebih besar, dengan massa M, diberi nomer
ganjil. Apabila kisi dirambati gelombang, atom-atom akan mengalami penyimpangan sebesar
........ U2r-1, U2r, U2r+1 ...........dan seterusnya.
Gambar 11. Kisi diatomik satu dimensi
Persamaan gerak untuk atom bernomer ganjil adalah :
(46)

25. dan untuk atom bernomer genap :
(47)
Selanjutnya, kita ambil fungsi gelombang berbentuk :
(48)
dan substitusikan ke persamaan gerak di atas : (46) dan (47), menghasilkan :
yang dapat ditulis dalam bentuk matrik :
(49)
Persamaan matrik ini akan mempunyai penyelesaian “non-trivial” (solusi yang tidak nol) bila
determinannya dama dengan nol. Jadi,
dan memberikan hasil :
(50)

26. Bila diperhatikan, persamaan (50), untuk kisi dwi-atom satu dimensi. Pada gambar 12, titik
potong kurva ω(q) dengan sumbu ω adalah
(51)
Gambar 12. Hubungan dispersi kisi dwi-atom satu dimensi.
Persamaan (50) menghasilkan dua penyelesaian, yaitu penyelesaian I :
(52)
yang disebut frekuensi cabang optik. Disebut demikian karena bila dihitung nilai frekuensi ini
(sekitar ω2) ada di bawah gelombang inframerah (optik). Sedangkan penyelesaian II :
(53)

27. yang disebut frekuensi cabang akustik, karena sifatnyaseperti gelombang bunyi : q → 0,
ω→0, dan q meningkat, ω juga meningkat secara “hampir” linier. Bagaimanakah atom-atom
bergetar oleh rambatan gelombang ini ? untuk melihat gerakan atom-atom, perhatikan
amplitudo A1 dan A2 pada persamaan (48). A1 adalah amplitudo bagi getaran atom nomer
ganjil dan A2 untuk atom-atom nomer genap. Dapat dibuktikan bahwa untuk cabang akustik
A1 dan A2 sefasa, sedangkan untuk cabang optik A1 berlawanan fasa dengan A2. Lihat gambar
13.
Gambar 13. Getaran atom pada cabang optik dan akustik :
a. longitudinal optik b. longitudinal akustik
c. transversal optik c. transversal akustik.
Pada kurva dispersi dalam gambar 12, untuk daerah frekuensi antara ω1 dan ω2 tidak ada
kurva ω(q) yang memenuhi dalam selang nilai Daerah frekuensi ini (antara ω1 dan
ω2) disebut celah frekuensi (frequency gap). Hal ini berarti bahwa kisi dwi-atom tidak
merambatkan gelombang yang berfrekuensi antara ω1 dan ω2, tetapi meredamnya. Keadaan
ini memungkinkan kisi bertindak sebagai filter mekanik lolos pita, artinya meloloskan selang
(pita) frekuensi tertentu dan meredam selang (pita) frekuensi yang lain.

28. REFERENSI
El-Habsyi, Habib. 2012. Dinamika Kisi Kristal. Dilansir dari situs www.academia.edu
diakses tanggal 13 maret 2013.
Drs. Parno, M.Si. 2006. Diktat Kuliah Fisika Zat Padat. Universitas Negeri Malang
NN. 2013. Kapasitas Panas dan Konsep Fonon. [PDF]
Suardika, Komang. 2011. Makalah Fisika Zat Padat. Universitas Pendidikan Ganesha