อธิบายเกี่ยวกับลำดับถึงลำดับเลขคณิต

1. ลำดับ

2. พิจารณาแบบรูปของจำนวน 1, 3, 5, 7, 9, . . . , 2 n – 1 เขียนความสัมพันธ์ระหว่างลำดับที่กับจำนวนแต่ละจำนวนในรูปได้ดังนี้ จากตารางจะเห็นว่า ความสัมพันธ์ข้างต้นเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5, …} จะมีเรนจ์เป็น {1, 3, 5, 7, 9, …}  (1,1), (2,3) , (3,5) ,(4,7), (5,9), . . .  ลำดับที่ 1 2 3 4 5 ... จำนวน 1 3 5 7 9 ...

3. 1 5 2 3 4 6 2 12 10 4 6 8 n 2n  (1,2), (2,4) , (3,6) ,(4,8), (5,10), . . ., (n,2n) 

4. 1.  (1,1), (2,3) , (3,5) ,(4,7), (5,9), . . .  2.  (1,2), (2,4) , (3,6) ,(4,8), (5,10), . . ., (n,2n)  ________________________________  ×  ×  ×  ×   เป็นฟังก์ชัน  เป็นลำดับ × ไม่เป็นลำดับ

5. ลำดับ ฟังก์ชัน ที่มี โดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ที่เรียง จากน้อยไปมาก โดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรียกว่า

6. 1.  (1,1), (2,3) , (3,5) ,(4,7), (5,9), . . .  2.  (1,2), (2,4) , (3,6) ,(4,8), (5,10), . . ., (n,2n)  ________________________________  ×   ×   เป็นลำดับจำกัด × เป็นลำดับอนันต์

7. ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, …, n} จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า ลำดับจำกัด ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, …} จะเรียกลำดับ ดังกล่าวว่า ลำดับอนันต์ วิธีการเขียนลำดับ # การแจงพจน์ # พจน์ทั่วไป ลำดับ 1, 3, 6, 10, 15 , . . . เมื่อ ลำดับ 1, 3, 5, 7, 9, ... เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม

8. ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะ สมาชิก ของเรนจ์เรียงกันไป กล่าวคือ ถ้า a เป็นลำดับจำกัดจะเขียนแทนด้วย a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ในกรณีที่ a เป็นลำดับอนันต์จะเขียนแทนด้วย a 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a n ,... เรียก a 1 ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ a 2 ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ a 3 ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ a n ว่า พจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ( general term ) ของลำดับจากตัวอย่างที่กล่าวมา

9. ตัวอย่างที่ 1 จงหาสี่พจน์แรกของลำดับ วิธีทำ ดังนั้นสี่พจน์แรกของลำดับนี้คือ 1, 4, 7, 10 = 3(1) – 2 = 1 = 3(2) – 2 = 4 = 3(3) – 2 = 7 = 3(4) – 2 = 10

10. การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ คือ การเขียนแสดงพจน์ทั่วไป ในรูปที่มี n เป็นตัวแปร และเมื่อแทน n ด้วยสมาชิกในเซต {1, 2, …, m} แล้วได้พจน์ที่ 1, 2, 3, ..., m ของลำดับตรงตามที่กำหนดวิธีการหาพจน์ทั่วไปเช่นนี้ โดยทั่วไปใช้การสังเกตความสัมพันธ์ของพจน์ต่างๆ และความสัมพันธ์ระหว่างพจน์กับลำดับที่ของพจน์ดังตัวอย่างต่อไปนี้

11. ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดต่อไปนี้ วิธีทำ = 1 = 4 = 1 + 3 = 1 + 3(1) = 7 = 1 + 3 + 3 = 1 + 3(2) = 16 = 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3(5) = 13 = 1 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3(4) = 10 = 1 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3(3) จะได้ = 1 + 3(n - 1) = 3n – 2 เมื่อ n {1,2,3,4,5,6}

12. ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 3, 4, 5, 6, 7 จะได้ a 1 = 3 = 1 + 2 a 2 = 4 = 2 + 2 a 3 = 5 = 3 + 2 a 4 = 6 = 4 + 2 a 5 = 7 = 5 + 2 วิธีทำ จากลำดับจำกัด 3, 4, 5, 6, 7 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ a n = n +2 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

13. ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 2, 4, 8, 16, 32 วิธีทำ จากลำดับจำกัด 2, 4, 8, 16, 32 จะได้ a 1 = 2 = 2 1 a 2 = 4 = 2 2 a 3 = 8 = 2 3 a 4 = 16 = 2 4 a 5 = 32 = 2 5 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ a n = 2 n เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

14. ตัวอย่างที่ 4 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 1, -2, 3, -4, 5 จะได้ a 1 = 1 = (-1) 1 +1 ( 1 ) a 2 = -2 = (-1) 2 +1 ( 2 ) a 3 = 3 = (-1) 3 +1 ( 3 ) a 4 = -4 = (-1) 4 +1 ( 4 ) a 5 = 5 = (-1) 5 +1 ( 5 ) วิธีทำ จากลำดับจำกัด 1, -2, 3, -4, 5 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ a n = (-1) n +1 ( n ) เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

15. ตัวอย่างที่ 5 เศษ 5, 6, 7, 8, 9 ส่วน 6, 7, 8, 9, 10 a n = n + 4 a n = n + 5 พจน์ทั่วไปของลำดับนี้คือ เมื่อ n = 1,2,3,4,5 เศษ ส่วน a n =

16. ตัวอย่างที่ 6 6, 10, 18, 30, 46, . . . 6, 10, 18, 30, 46, . . . 4 8 16 12 4 a n = an 2 + bn + c a 1 = a(1) 2 + b(1) + c 6 = a + b + c 4 = 3a + b, b = 4 - 3a a 2 = a(2) 2 + b(2) + c 10 = 4a + 2b + c ……  ……   -  a 3 = a(3) 2 + b(3) + c 30 = 9a + 3b + c ……   -  24 = 8a + 2b, b = 12 - 4a a = 8 , b = -20 , c = 18 a n = 8n 2 - 20n + 18 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 

17. ลำดับ 1 1,4,7,10,…,3n-5,3n-2,… 2 1,3,5,7,…,2n-3,2n-1,… 3 3,10,17,24,…,7n-11,7n-4,… 4 5,1,-3,-7,…,13-4n,9-4n,… 5 6 a 2 - a 1 a 3 – a 2 a 4 – a 3 a n – a n-1 4 - 1 = 3 7- 4 = 3 10–7= 3 3 2 2 2 2 7 7 7 7 -4 -4 -4 -4

18. ลำดับเลขคณิต ผลต่าง ของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ ให้ , , , . . . เป็นลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำ พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมี ค่าคงที่เสมอ ลำดับดังกล่าวนี้จะเรียกว่า ลำดับเลขคณิต และ เรียก ผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม (d) d = a n - a n-1 พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต a n = a 1 + (n-1)d

19. หลักการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ สิ่งที่ต้องการหา สิ่งที่กำหนดให้ ความรู้ที่ใช้ แก้ปัญหา ตรวจสอบ ถูกต้อง ไม่ถูกต้อง ตอบ

20. ตัวอย่าง ที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 6, 2, -2, -6,... a n a 1 ,a 2 สูตร หา d,a n แก้สมการ a n = a 1 +(n-1)d ตรวจสอบ ถูกต้อง ไม่ถูกต้อง ตอบ

21. ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 6, 2, -2, -6,... วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต 6, 2, -2, -6, ... จะได้ d = 2 – 6 = -4 และ = 6 จาก = + (n - 1)d จะได้ = 6 + (n - 1)(-4) = 6 – 4n + 4 = 10 – 4n นั่นคือ พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ หรือ = 10 – 4n

22. ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้พจน์ที่ 10 และพจน์ที่ 18 ของลำดับเลขคณิต เท่ากับ 32 และ 48 ตามลำดับจงหาพจน์ที่ 28 วิธีทำ จาก a n = a 1 +(n-1)d จะได้ a 10 = a 1 +9d และ a 18 = a 1 +17d นั่นคือ a 1 +9d = 32 -------(1) a 1 +17d = 48 -------(2) (2)-(1), 8d = 16 , d = 2 แทนค่า d=2 ใน (1) จะได้ a 1 +9(2) = 32 , a 1 = 14 a 28 = a 1 + 27d = 14+27(2) = 68 ดังนั้น พจน์ที่ 28 คือ 68

23. ตัวอย่างที่ 3 -36 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับเลขคณิต 21, 18, 15, … วิธีทำ ให้ – 36 คือ พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต a n = -36, a 1 = 21, d = 18 – 21 = -3 จาก a n = a 1 + (n-1)d -36 = 21+(n-1)(-3) -36 = 21-3n+3 3n = 24+36 n = 20 – 36 คือ พจน์ที่ 20 ของลำดับเลขคณิต 21, 18, 15, …

24. ตัวอย่างที่ 3 ถ้า 5, a, b, c, 21 เป็นพจน์ 5 พจน์ ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหาค่าของ a, b และ c วิธีทำ a 1 = 5, a 5 = 21 = a 1 + 4d, 5 + 4d = 21, d = 4 จะได้ a = a 2 = a 1 + d = 5 + 4 = 9 b = a 3 = a 1 + 2d = 5 + 2(4) = 13 c = a 4 = a 1 + 3d = 5 + 3(4) = 17 a = 9, b = 13, c = 17

25. วิธีวิเคราะห์ จำนวนนับที่หารด้วย 9 ลงตัว แต่ละพจน์จะต่างกันอยู่ 9 จึงเป็นลำดับเลขคณิต วิธีหา a 1 ให้นำ 9 ไปหาร 200 เหลือเศษ 2 ต้องนำ 7 ไป บวก กับเศษ 2 เพื่อรวมกันให้เศษเป็น 9 พจน์แรก คือ a 1 = 207 และ d = 9 ดังนั้น 200+7 = 207 เป็นพจน์แรกที่ 9 หารลงตัว พจน์สุดท้าย คือ a n วิธีหา a n นำ 9 ไปหาร 800 เหลือเศษ 8 นำเศษ 8 ไปลบออกจาก 800 จะได้ 800 - 8 = 792 เป็นพจน์สุดท้ายที่ 9 หารลงตัว ดังนั้น จำนวนนับที่ 9 หารลงตัว คือ 207, 216, 225, …, 792 เป็นลำดับเลขคณิต มี a n = 792 และ d = 9 แทนค่าในสูตร a n = a 1 +(n-1)d แก้สมการ จะได้ค่า n

26. 1. จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 ที่หารด้วย 9 ลงตัว 2. จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 ที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว

27. 1. จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 ที่หารด้วย 9 ลงตัว 2. จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 ที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว a 1 = 207 d = 9 a n = 792 ลำดับเลขคณิต คือ 207, 216, 223, …, 792 จาก a n = a 1 +(n-1)d 792 = 207+(n-1)(9) = n-1 n = 66 ดังนั้น จำนวนนับที่มีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 ที่หารด้วย 9 ลงตัวมี 66 พจน์ จำนวนพจน์ที่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว = จำนวนพจน์ทั้งหมด – จำนวนพจน์ที่หารด้วย 9 ลงตัว = (800-200+1)-6 = 601 – 66 = 535 พจน์

28. แบบฝึกหัด 1. ถ้าพจน์ที่ 4 และ พจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิต เท่ากับ 18 และ 16 ตามลำดับ จงหาพจน์ที่ 1 ผลต่างร่วม และพจน์ที่ 20 2. ถ้าลำดับเลข คณิต มี a 10 = 19 และ a 16 = 31 จงหา a 8 3. ถ้า a 5 = 7x-8y, a 21 = 23x-40y จงหา a 1 และ d 4. ถ้า 1, p, q, r, -19 เป็นพจน์ห้าพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิตจงหาค่าของ p, q, r 5. ถ้า 4, x, y, z, 10 เป็นพจน์ห้าพจน์ ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหา x, y, z 6. จงหาจำนวนอีกหกจำนวนของลำดับเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง 11 และ 32 7. -176 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับเลขคณิต – 1, -6, -11, …

29. แบบฝึกหัด 8. พจน์แรกที่เป็นจำนวนเต็มลบของลำดับเลขคณิต 200, 182, 164, 146,… มีค่าต่างจากพจน์ที่ 10 เท่ากับเท่าใด 9. บริษัทรถยนต์แห่งหนึ่ง ซื้อรถยนต์คืนจากผู้ซื้อรถของบริษัทในอัตราดังนี้ คือ รถที่ใช้แล้ว 1 ปี จะซื้อในราคาที่ต่ำกว่าราคาที่ซื้อจากบริษัท 10,000 บาท และหลังจากนั้นราคาของการซื้อคืนจะลดลงปีละ 4,000 บาท จงหาราคาลดลงของรถยนต์ที่ใช้แล้ว 8 ปี 10. ถ้าจัดแผ่นไม้กองหนึ่งซ้อน ๆ กัน ให้ชั้นล่างมีไม้เรียงตามแนวยาวชิดกันตลอด 52 แผ่น วางชั้นที่สองให้แนวกึ่งกลางของไม้แต่ละแผ่นในชั้นนี้อยู่ตรงกับรอยต่อของไม้แต่ละคู่ในชั้นแรก ทำเช่นนี้ในชั้นต่อๆ ไปจนชั้นบนสุดมีไม้ 7 แผ่น จงหาความสูงของไม้กองนี้ ถ้าไม้ทุกแผ่นเรียบและมีขนาดเท่ากัน คือ กว้าง 15 เซนติเมตร ยาว 90 เซนติเมตร และหนา 3 เซนติเมตร

30. เฉลยแบบฝึกหัด 1. 2. 15 3. 4. -4, -9, -14 5. 6. 14, 17, 20, 23, 26, 29 7. 36 8. 54 9. 38,000 บาท 10. 138 เซนติเมตร