เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57

คำนำ
เอกสารประกอบการเรียนเล่มนี้ จัดทาขึ้นประกอบกับหลักสูตรสถานศึกษา โรงเรียนพิชัย
เพื่อให้นักเรียน ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 แผนการเรียน วิทย์- คณิตได้ศึกษา วิชาคณิตศาสตร์
รอบรู้ 6 รหัสวิชา ค33202 ในเรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์กาหนดการเชิงเส้น ตามหลักสูตร
ของแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 หนังสือเรียนของสถาบันวิทยาศาสตร์และ
เทคโนโลยี ( สสวท.) ยังมีเนื้อหาบางอย่างที่นักเรียนควรจะรู้เพิ่มเติม ครูผู้สอนขาดเอกสาร
ประกอบการสอนและนักเรียนขาดเอกสารในการ ค้นคว้า ครูผู้สอนจึงจัดทาเอกสารประกอบการ
เรียนการสอนเล่มนี้ขึ้นมาและเลือกเนื้อหา ตัวอย่าง แบบฝึกหัด กิจกรรมที่ ที่เหมาะสมกับนักเรียน
มากขึ้น
การจัดทาเอกสารเล่มนี้ผู้จัดทาได้ศึกษาค้นคว้าจากเอกสาร หนังสือ ตารา หลายๆ เล่ม และได้
ปรึกษาที่มีประสบการณ์และผู้เชี่ยวชาญ ที่ได้ช่วยให้คาแนะนาในการจัดทาเอกสารเล่มนี้
หวังว่าเอกสารเล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อครู นักเรียน ซึ่งเป็นเนื้อหาที่ ฝึกทักษะนักเรียนให้มี
ทักษะการคิดเป็น ทาเป็นและแก้ปัญหาเป็น นอกจากนี้ยังเป็นความรู้พื้นฐานในการเรียนวิชา
คณิตศาสตร์ที่ใช้ในการเรียนต่อระดับมหาวิทยาลัย ต่อไป
( นางรัศมี ธัญน้อม )
ตาแหน่ง ครูชานาญการ

2
สำรบัญ
บทที่ 1 ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์
1.1 ลำดับและอนุกรม 2
1.1.1 ความหมายของลาดับ 2
1.1.2 ลาดับเลขคณิต 4
1.1.3 ลาดับเรขาคณิต 6
1.1.4 อนุกรมเลขคณิต 9
1.1.5 อนุกรมเรขาคณิต 11
1.1.6 อนุกรมรูปแบบอื่น ๆ 12
1.2 ลำดับอนันต์ 18
1.2.1 ลิมิตของลาดับอนันต์ 18
1.2.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 23
1.3 อนุกรมอนันต์ 25
1.3.1 อนุกรมอนันต์ 25
1.3.2 ประโยชน์ของอนุกรมอนันต์ 28
บทที่ 2 กำหนดกำรเชิงเส้น
2.1 กราฟของระบบอสมการเชิงเส้น 33
2.2 การแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้นโดยวิธีใช้กราฟ 34
ผลการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์รอบรู้ 6 รหัสวิชา ค33202
1. นาความรู้เรื่องลาดับและอนุกรมไปใช้แก้โจทย์ปัญหาได้
2. หาลิมิตของลาดับอนันต์โดยใช้ทฤษฎีเกี่ยวกับลิมิต
3. หาผลบวกของอนุกรมอนันต์
4. แก้ปัญหาโดยใช้แบบจาลองทางคณิตศาสตร์และใช้วิธีการของกาหนดการเชิงเส้นที่ใช้กราฟ
ของสมการและอสมการที่มีสองตัวแปร
5. หาลิมิตของฟังก์ชันที่กาหนดให้
6. บอกได้ว่าฟังก์ชันที่กาหนดให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่
7. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กาหนดให้ได้
8. นาความรู้เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ไปประยุกต์ได้
9. หาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของฟังก์ชันที่กาหนดให้ได้
10. หาปริพันธ์จากัดเขตของฟังก์ชันบนช่วงที่กาหนดให้
11. หาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งบนช่วงที่กาหนดให้ได้

3
บทที่ 1
ลำดับและอนุกรม
1.1 ลำดับและอนุกรม (Sequence and Series)
1.1.1 ควำมหมำยของลำดับ
Look at Sequence 1 , 4 , 7, 10 , …
The general form of a sequence is represented by :
Domain: 1, 2, 3, 4, …,n…
Range 1, 4, 7, 10, …
Refer as : a1 , a2, a3, a4,… an , …
So = {(1 , 4) , (2 , 4) , (3 , 7) , (4 , 10) , … }
พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
(1.) สุนีย์นาเงินไปฝากธนาคารทุกเดือน เดือนละ 500 บาท เป็นเวลา 8 เดือน เขียนตารางแสดงจานวนเงิน
สะสมในแต่ละเดือนได้ดังนี้
เดือนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8
จานวนเงิน
(บาท)
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
จากตารางจะเห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่างเดือนที่ฝากเงินกับจานวนเงินสะสมในแต่ละเดือนเป็นฟังก์ชันที่
มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } และมีเรนจ์เป็น {500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000}
สร้ำงฟังก์ชัน f(n) = 500n
(2.) แบคทีเรียขยายพันธุ์โดยการแบ่งตัวจากหนึ่งตัวเป็นสองตัวทุกๆหนึ่งวินาที เริ่มต้นด้วยแบคทีเรียหนึ่ง
ตัวเขียนตารางแสดงจานวนแบคทีเรีย เมื่อเวลาผ่านไปในแต่ละวินาทีได้ดังนี้
วินาทีที่ 1 2 3 4 5 6 …
จานวนแบคทีเรีย(ตัว) 2 4 8 16 32 64 …
จากตารางจะเห็นว่า ความสัมพันธ์ระหว่างเวลาเป็นวินาทีกับจานวนแบคทีเรียในแต่ละวินาทีเป็น
ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น {1, 2, 3, 4, … } และมีเรนจ์เป็น {2, 4, 8, 16, …,2n
,… }
ความสัมพันธ์ในข้อ (1) และ (2) เป็นความสัมพันธ์ที่มีสับเซตของเซตของจานวนเต็มบวกเป็น
โดเมนและความสัมพันธ์ทั้งสองต่างก็เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เรียกความสัมพันธ์เช่นนี้ว่า ลาดับ โดยให้บท
นิยามดังนี้
บทนิยำม ลาดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, …,n } หรือ มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

4
เรียกลาดับที่มีโดเมนเป็นเซต{1, 2, 3, …,n } ลาดับจากัด (finite sequence) และ
เรียกลาดับที่มีโดเมนเป็นเซต{1, 2, 3, …,… } ว่า ลาดับอนันต์ (infinite sequence)
ในกำรเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป เขียนแทนด้วย
ลาดับจากัด คือ a1, a2, a3,… an เรียก พจน์ที่ 1 , พจน์ที่ 2 ,พจน์ที่ 3 , ... , พจน์ที่ n
ลาดับอนันต์คือ a1, a2, a3,… an,…เรียก พจน์ที่ 1 , พจน์ที่ 2 ,พจน์ที่ 3 , ... , พจน์ที่ n ,…
เรียก an ว่าพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป (general term)
กำรเขียนลำดับมี 2 แบบ คือรูปแจงพจน์หรือรูปพจน์ทั่วไป
การเขียนลาดับในรูปการแจงพจน์
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาสี่พจน์แรกของลาดับ an = 3n – 2
วิธีทำ แทน n ด้วย 1 , 2 , 3 , 4 ใน an = 3n – 2
a1 = 3(1) – 2 = 1
a2 = 3(2) – 2 = 4
a3 = 3(3) – 2 = 7
a4 = 3(4) – 2 = 10
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้คือ 1 , 4 , 7 , 10
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาสี่พจน์แรกของลาดับ an = 1 + (-1)n
วิธีทำ แทน n ด้วย 1 , 2 , 3 , 4 ใน an = 1 + (-1)n
a1 = 1 + (-1)1
= 1 - 1 = 0
a2 = 1 + (-1)2
= 1 + 1 = 2
a3 = 1 + (-1)3
= 1 - 1 = 0
a4 = 1 + (-1)4
= 1 + 1 = 2
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับนี้คือ 0 , 2 , 0 , 2
กำรเขียนลำดับในรูปพจน์ทั่วไป
วิธีที่ 1 โดยใช้การสังเกตความสัมพันธ์
การพิจารณาความสัมพันธ์ของแต่ละพจน์ค่าที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงหรือยกกาลัง
หรือมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
an = (-1)n
=



1
1
จานวนคี่ an = 2n - 1 , จานวนคู่ an = 2n
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัดต่อไปนี้
1 , 5 , 9 , 13 , 17
วิธีทำ
a1 = 1 = 1
a2 = 5 = 1 + 4 = 1 + 4 (1)
a3 = 9 = 1 + 4 + 4 = 1 + 4 (2)
a4 = 13 = 1 + 4 + 4 + 4 = 1 + 4 (3)
a5 = 17 = 1 + 4 + 4 + 4 + 4 = 1 + 4 (4)
จะได้ an = 1 + 4(n-1) = 4n – 3 เมื่อ n {1,2,3,4,5}
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัดต่อไปนี้
- 1 , 2 , - 3 , 4 , - 5
วิธีทำ
a1 = - 1 = (- 1)1
 1
a2 = 2 = (- 1)2
 2
a3 = - 3 = (- 1)3
 3
a4 = 4 = (- 1)4
 4
a5 = - 5 = (- 1)5
 5
จะได้ an = (- 1)n
 n เมื่อ n {1,2,3,4,5}

5
ทฤษฎีบท 1 (Polynomial Difference Theorem )
ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันพหุนำมดีกรี n ก็ต่อเมื่อ สำหรับค่ำ x ที่เป็นจำนวนเต็มที่เรียงติดกัน
ผลต่ำงของค่ำฟังก์ชันเป็นค่ำคงตัวครั้งที่ n มีค่ำเท่ำกัน ซึ่งไม่เท่ำกับศูนย์และผลต่ำงของค่ำของฟังก์ชัน
ครั้งที่ n – 1 มีค่ำไม่เท่ำกัน
กำรเขียนลำดับในรูปพจน์ทั่วไป
วิธีที่ 2 การใช้ฟังก์ชันพหุนามโดยใช้ผลต่างคงที่
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 3 , 5 , 7 , 9
วิธีทำ พิจารณาค่า x , f(x) และผลต่างของ f(x)
x 1 2 3 4
f(x) 3 5 7 9
ผลต่างของ f(x) 2 2 2
พจน์ทั่วไปของลาดับนี้อยู่ในรูป an = an + b เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัว
แทน n ในพจน์ทั่วไปด้วย 1 , 2, ,3, 4 สร้างสมการ 2 สมการ
a1 = 3 = a + b ………….(1)
a2 = 5 = 2a + b ………….(2)
จาก (1) จะได้ a = 3 – b ………….(3)
แทนค่า a = 3 – b ในสมการ(2) จะได้5 = 2(3 - b) + b
5 = 6 – 2b + b
5 = 6 – b , b = 1
แทน b = 1 ในสมการ (3) a = 3 – 1 = 2
ดังนั้น an = an + b คือ an = 2n + 1
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 1 , 3 , 7 , 13
วิธีทำ พิจารณาค่า x , f(x) และผลต่างของ f(x)
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 7 13
ผลต่างครั้งที่ 1 2 4 6
ผลต่างครั้งที่ 2 2 2

6
พจน์ทั่วไปของลาดับนี้อยู่ในรูป an = an2
+ bn + c
แทน n ในพจน์ทั่วไปด้วย 1 , 2, ,3, 4
a1 = 1 = a + b + c ………….(1)
a2 = 3 = 4a + 2b + c ………….(2)
a3 = 7 = 9a +3 b + c ………….(3)
กาจัด c
(2) – (1) ; 2 = 3a + b ………….(4)
(3) – (2) ; 4 = 5a + b ………….(5)
(6) – (5) ; 2 = 2a
a = 1
แทนค่า a = 1 ในสมการ(4)
จะได้ 2 = 3(1) + b
b = - 1
แทนค่า a = 1 , b = - 1 ในสมการ(1)
1 = 1 + (-1) + c
c = 1
ดังนั้น an = an2
+ bn + c คือ an = n2
- n + 1
หมำยเหตุ วิธีการหาพจน์ทั่วไป ให้ a , b ,c , … เป็นค่าคงตัว
1. ถ้าเป็นผลต่างครั้งที่ 1 พจน์ทั่วไปอยู่ในรูป an = an + b
2. ถ้าเป็นผลต่างครั้งที่ 2 พจน์ทั่วไปอยู่ในรูป an = an2
+ bn + c
3. ถ้าเป็นผลต่างครั้งที่ 3 พจน์ทั่วไปอยู่ในรูป an = an3
+ bn2
+ cn + d
…
สรุปได้ว่า ถ้าเป็นผลต่างครั้งที่ n พจน์ทั่วไปอยู่ในรูป an = ann
+ bnn-1
+ cnn-2
+ …

7
1.1.2 ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Seguence)
บทนิยำม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งมีผลต่ำงที่ได้จำกกำรนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n
เป็นค่ำคงตัวที่เท่ำกัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่ำคงตัวที่เป็นผลต่ำงนี้ว่ำ
ผลต่ำงร่วม (common difference)
จากบทนิยาม ลาดับ an จะเป็นลาดับเลขคณิต ก็ต่อเมื่อมีค่าคงตัว d ที่ d = a2 – a1 , a3 – a2 = an+1– an
สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n
พิจารณาลาดับต่อไปนี้
(1.) กาหนดลาดับ 5, 10, 15, 20, 25,…,5n,… ลาดับนี้คือ an = 5n ซึ่งเป็นลาดับเลขคณิตที่มี 5 เป็นผลต่างร่วม
(2) กาหนดลาดับ 1, 1, 1, 1,…,1,…ลาดับนี้คือ an = 1 ซึ่งเป็นลาดับเลขคณิตที่มี 1 เป็นผลต่างร่วม
เราสามารถกาหนดลาดับเลขคณิต a1, a2, a3,… an,… โดยความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ดังนี้
ให้ a1 , d เป็นค่าคงตัว และ ให้ an = an-1+ d เมื่อ n 2
จะได้ a2 = a1+ d
a3 = a2 + d = (a1+ d)+d = (a1+ 2d)
a4 = a1+ d = (a1+ d)+d = (a1+ 2d) +d = a1+ 3d

ดังนั้น จะได้ลาดับเลขคณิต an คือ an, a1+ d, a1+ 2d, a1+ 3d,…
เราสามารถหาพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิต an โดยการเขียนย้อนกลับดังนี้
an = an-1+ d
= (an-2+ d) + d
= an-2+ 2d
= ( an-3+ d) + 2d = an-3+ 3d

= ( an(n-3)+ d) + (a-2)d = a1+ (n+1)d
ดังนั้น สูตรพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ
an = a1 + (n-1)d เมื่อ a1 คือ พจน์แรก และ d เป็นผลต่ำงร่วมของลำดับเลขคณิต

8
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาพจน์ที่ 40 ของลาดับเลขคณิต
1 , 5 , 9 , 13 , …
วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 1 , d = 5 – 1 = 4 , an = ?
an = a1 + (n-1)d
= 1 + (40 - 1)(4)
= 1 + (39)(4)
= 157
ดังนั้น พจน์ที่ 40 ของลาดับคือ 157
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต
5 , 2 , -1 , -4 , …
วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 5 , d = 2 – 5 = - 3 , an = ?
an = a1 + (n-1)d
= 5 + (n - 1)(-3)
= 5 – 3n + 3
= 8 – 3n
ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลาดับนี้คือ an = 8 – 3n
ตัวอย่ำงที่ 3 ถ้ำพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 9 ของลาดับ
เลขคณิตมีค่าเท่ากับ 9 และ 19 ตามลาดับ
แล้วจงหาพจน์แรก
วิธีทำ จากโจทย์ a4 = 9 , a9 = 19
an = a1 + (n-1)d
a4 = 9 = a1 + 3d ………(1)
a9 = 19 = a1 + 8d ………(2)
(2) - (1) ; 10 = 5d
d = 2
แทนค่า d = 2 ใน (1)
9 = a1 + 3(2)
3 = a1
ดังนั้น พจน์แรกเท่ากับ 3
ตัวอย่ำงที่ 4 จานวนที่อยู่ระหว่าง 100 และ 500
มีจานวนเต็มบวกกี่จานวนที่ 9 หารลงตัว
วิธีทำ จานวนเต็มบวกระหว่าง 100 และ 500
ที่ 9 หารลงตัว
จานวนแรก (a1) คือ 108 และจานวนสุดท้าย ( na )
คือ 495
na = a1+ (n–1) d
na = 495 , a1 = 108 , d = 9 , n = ?
495 = 108+ ( n–1) (9)
387 = ( n–1) (9)
43 = n–1
44 = n
n = 44 จานวน

9
ตัวอย่ำงที่ 5 ในการเรียงไม้ฟืนที่มีขนาดเท่ากันหนา 5 เซนติเมตร โดยให้แถวล่างมากกว่าแถวบนอยู่ 1 ท่อน
เสมอ ถ้าแถวบนมีไม้ฟืน 6 ท่อน และแถวล่างมี 25 ท่อน จงหาว่าไม้กองนี้สูงเท่าไร
วิธีที่ 1 เรียงจากแถวล่างขึ้นแถวบน
จากโจทย์ a1 = 25 , an = 6 , d = - 1 n = ?
an = a1 (n-1)d
6 = 25 + (n - 1) (-1)
- 19 = (n - 1) (-1)
19 = (n - 1)
20 = n
ไม้ฟืนแต่ละท่อนที่มีขนาดเท่ากันหนา 5 เซนติเมตร
ไม้กองนี้สูง 20 5 = 100 เซนติเมตร หรือ 1 เมตร
วิธีที่ 2 เรียงจากแถวบนลงแถวล่าง
จากโจทย์ a1 = 6 , an = 25 , d = 1 n = ?
an = a1 (n-1)d
6 = 25 + (n - 1) (-1)
- 19 = (n - 1) (-1)
19 = (n - 1)
20 = n
ไม้ฟืนแต่ละท่อนที่มีขนาดเท่ากันหนา 5 เซนติเมตร
ไม้กองนี้สูง 20 5 = 100 เซนติเมตร หรือ 1 เมตร
1.1.3 ลำดับเรขำคณิต (Geometic Seguence)
บทนิยำม ลำดับเรขำคณิต คือ ลำดับซึ่งมีอัตรำส่วนร่วมของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่ำคงตัวที่เท่ำกัน
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่ำคงตัวที่เป็นอัตรำส่วนร่วมนี้ว่ำ อัตรำส่วนร่วม(common ratio )
จากบทนิยาม ลาดับ an จะเป็นลาดับเรขาคณิต ก็ต่อเมื่อมีค่าคงตัว r ที่ r =
n
n
a
a 1
สาหรับ ทุกๆ จานวนเต็มบวก n
พิจารณาลาดับต่อไปนี้
(1.) กาหนดลาดับ 1, 2, 4, 8,…,2n-1
,… ลาดับนี้คือ an = an-1
ซึ่งเป็นลาดับเรขาคณิตที่มี 2 เป็นอัตราส่วนร่วม
(2.) กาหนดลาดับ -1, 1, -1,…,(-1)n
,…ลาดับนี้คือ an = (-1)n
ซึ่งเป็นลาดับเรขาคณิตที่มี -1 เป็นอัตราส่วนร่วม
เราสามารถกาหนดลาดับเรขาคณิต a1, a2, a3,… an,…โดยความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ดังนี้
ให้ a1, r เป็นค่าคงตัว ซึ่งไม่เท่ากับ 0 และให้ an = an-1r เมื่อ n 2
จะได้ a2 = a1 r
a3 = a2 r = (a1 r) = a1 r2
a4 = a3 r = (a1 r)r = (a1 r2)
= a1 r3
ดังนั้น จะได้ลาดับเรขาคณิต an คือ a1, a1 r, a1 r3
,…
เราสามารถหาพจน์ที่ n ของลาดับเรขาคณิต an โดยการเขียนย้อนกลับดังนี้

10
an = an-1r
= ( an-2r)r = ( an-2r)r2
= ( an-3r)r2
= an-3r3

= (an-(n-1)r)r(n-1)-1
= a1 r n-1
ดังนั้น สูตรพจน์ที่ n ของลำดับเรขำคณิต คือ
an = a1 r n-1
เมื่อ a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตรำส่วนร่วมของลำดับเรขำคณิต
ตัวอย่ำง ลำดับเรขำคณิต
ตัวอย่ำงที่ 1 ถ้า a8 = 4374 และ a4 = 54 แล้ว
จงหาอัตราส่วนร่วม (r)
วิธีทำ จาก a8 = a1rn-1
a8 = a1r2
= 4374 ……… (1)
a4 = a1r3
= 54 ……….(2)
3
1
1
1
ra
ra
=
54
4374
r4
= 81
r = 4
81 =  3
ดังนั้น อัตราส่วนร่วม (r) =  3
ตัวอย่ำงที่ 2 ลาดับเรขาคณิต 2, 6, 18, 54, ......
จงหาว่า 1458 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลาดับนี้
วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 2 , an = 765 , r = 3
จาก an = a1rn-1
1458 = 2(3)n-1
36
= 3n-1
(จาก am
= an
ก็ต่อเมื่อ m = n)
จะได้ 6 = n-1
7 = n
ดังนั้น 1458 เป็นพจน์ที่ 7 ของลาดับนี้
ตัวอย่ำงที่ 3 ก ข และ ค มีอายุ 10, 18 และ 30
ปี ตามลาดับแล้ว อีกกี่ปีอายุของ ก ข และ ค
จะมีลักษณะเป็นลาดับเรขาคณิต
วิธีทำ ให้อีก x อายุของ ก ข และ ค จะมีลักษณะ
เป็นเรขาคณิต
ซึ่งอัตราส่วนร่วม ( r ) ของอายุ ก ข และ ค เท่ากัน
r =
10
18


x
x
=
18
30


x
x
(x + 18)(x + 18) = (x + 30)(x + 10)
x2
+ 30x + 324 = x2
+ 40x + 330
ตัวอย่ำงที่ 4 ลาดับเรขาคณิต 54, 36 , 24 , 16 , ......
จงหาพจน์10 ของลาดับนี้
วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 54 , r =
3
2
, an = ? ,
จาก an = a1rn-1
a10 = 54(
3
2
)10-1
= 54(
3
2
)9
= 6
9
3333
)2(54


11
24 = 4x
6 = x
แสดงว่า อีก 6 ปี อายุของ ก ข และ ค
จะมีลักษณะเป็นลาดับเรขาคณิต
= 6
10
3
2
=
729
1024
ดังนั้นพจน์10 ของลาดับนี้เท่ากับ
729
1024
ตัวอย่ำงที่ 3 กำหนดให้เริ่มฝำกเงินด้วยเงินต้น 10,000 และอัตรำดอกเบี้ยทบต้น 5% ต่อปี
จงหำ สูตรกำรคิดจำนวนเงินในบัญชีหลังจำกคิดดอกเบี้ยแล้วเมื่อสิ้นปีที่ n
วิธีทำ ให้ A แทนเงินต้น เป็น 10,000
ให้ a1, a2, a3,… an แทนจานวนเงินในบัญชีหลังจากคิดดอกเบี้ย เมื่อสิ้นปีที่ 1, 2, 3 ,…,n
เมื่อสิ้นปีที่ 1 จะได้ a1 = จานวนเงินในบัญชีที่ 1 + ดอกเบี้ยปีที่ 1
= A+ (1.05)A = (1.05)A
= (1.05)A+(0.05) [(1.05)A]
= [1+0.05](1.05)A = (1.05)2
A
= (1.05)2
A+(0.05) [(1.05)n-1
A]
= [1+0.05](1.05)2
A = (1.05)3
A

เมื่อสิ้นปีที่ n จะได้ a2 = จานวนเงินในบัญชีที่ n + ดอกเบี้ยปีที่ n
= (1.05)n-1
A+(0.05) [(1.05)n-1
A] = [1+0.05](1.05)n-1
A = (1.05)n
A
ดังนั้น สูตรการคิดจานวนเงินในบัญชีหลังจากคิดดอกเบี้ย เมื่อสิ้นปีที่ n คือ an = (1.05)n
(10,000)ซึ่งเป็น
พจน์ที่ n ของลาดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก คือ 10.500 และมี 1.05 เป็นอัตราส่วนร่วม
ตัวอย่ำงที่ 4 การศึกษาการกาจัดสารพิษชนิดหนึ่งจากโรงงานอุตสาหกรรม โดยการฝังไว้ใต้ดินและปล่อยให้
สลายตัวเองตามธรรมชาติ พบว่าในแต่ละปีสารพิษดังกล่าวจะสลายตัวโดยมีน้าหนักลดลงเหลือครึ่งหนึ่งจาก
น้าหนักเดิมและเป็นที่ยอมรับกันว่า ปริมาณสารพิษดังกล่าวที่ต่ากว่า 1 กรัมในธรรมชาติจึงจะถือว่าปลอดภัย
อยากทราบว่าจะต้องฝังสารพิษชนิดนี้ที่มีน้าหนัก 1 กิโลกรัม นานเท่าใด จึงจะถือว่าดินบริเวณที่ฝังสารพิษมีความ
ปลอดภัย
วิธีทา กาหนดให้ลาดับ an แทนปริมาณของสารพิษที่ยังคงอยู่เมื่อเริ่มต้นของปีที่ n และให้ a1
แทนปริมาณของสารพิษเมื่อเริ่มต้นของปีที่1 ซึ่งเท่ากับ 1 กิโลกรัม หรือ 1000 กรัม

12
จากอัตราการสลาย จะได้
1n
n
a
a
=
1
2
1


an
an
=
2
1
ดังนั้น an เป็นลาดับเรขาคณิตที่มี
2
1
เป็นอัตราส่วนร่วม
คานวณหาปริมาณของสารพิษที่ยังคงอู่ในตอนเริ่มต้นของปีต่อๆไป ได้ดังนี้
a2 = a1r = (1000) 





2
1
= 500
a3 = a1r2
= (1000)
2
2
1






= 250
a4 = a1r3
= (1000)
3
2
1






= 125

a 10 = a1r9
= (1000)
9
2
1






= 1.953125
a11 = a1r10
= (1000)
10
2
1






= 0.9765625
ดังนั้น ปริมำณของสำรพิษจะต่ำกว่ำ 1 กรัม เมื่อเริ่มต้นของปีที่ 11 หรือ เมื่อเวลำผ่ำนไปนำน
10 ปี ซึ่งแสดงได้ด้วยแผนภำพดังนี้
เริ่มต้น เริ่มต้น เริ่มต้น เริ่มต้น เริ่มต้น
ปีที่ 1 ปีที่ 2 ปีที่ 3 ปีที่ 10 ปีที่ 11
…
1000 500 250 1.953 0.976 ปริมาณของสารพิษ
1.1.4 อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)
อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่มำจำกลำดับเลขคณิต
อนุกรมเลขคณิต เช่น 1 + 3 + 5 + 7 + .... + 99
กำรหำผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิต (The sum of the first n terms of an arthemtic series (Sn)
ถ้ากาหนดให้ a1 , a2 , a3 , …., an เป็นลาดับเลขคณิต
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
Sn = a1 + a2 + a3 +….. + an

13
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ns = 1a +( 1a +d)+( 1a +2d)+…+( na – d)+( na – d)+ na -------- 
หรือ ns = na +( na –d)+( na –2d)+…+( 1a – 2d)+( 1a – d)+ 1a -------- 
+ได้ ns2 = ( 1a + na )+( 1a + na )+ ( 1a + na )+…+( 1a + na )+( 1a + na )+ ( 1a + na )
ns2 = n( 1a + na )
ns = )aa(
n
n1
2

 ns = )aa(
n
n1
2

 na = 1a (n–1)d
และ ns =
2
n
[ 1a2 + (n–1)d ]
 ns =
2
n
[ 1a2 + (n–1)d ]
อนุกรมเลขคณิต ]d)n(a[
n
s 12
2
1n  …………………………สูตรที่ 1
Sn = )aa(
n
n1
2
 …………………………สูตรที่ 2
สมบัติของซิกมำ
หมำยเหตุ สัญลักษณ์ 
N
i
ix
1
แทนผลบวกของตัวแปร x ซึ่งประกอบด้วยค่าจากการสังเกตทั้งหมด
N จานวน เรียกสัญลักษณ์  ว่า ซิกมา
สมบัติของ  ที่ควรทรำบมีดังนี้
ถ้า c และ d เป็นค่าคงตัวใดๆ
1) 
N
i
c
1
= Nc
2) 
N
i
icx
1
= 
N
i
ixc
1
3) 

N
i
ii yx
1
)( = 
N
i
ix
1
+ 
N
i
iy
1
4) 

N
i
ii yx
1
)( = 
N
i
ix
1
- 
N
i
iy
1

14
ค่ำต่ำงๆของ  ที่ควรทรำบมีดังนี้
1. 
5
1
8
i
= 8 + 8 + 8 + 8 +8 = 5 x 8 = 40
2. 
N
i
ix
1
= )1(
2
N
N
เช่น 
20
1i
ix =
2
)21(20
= 210
3. 
N
i
ix
1
2
=
6
)12)(1(  NNN
3.1 หาผลบวก
25
1
i
ix = 12
+ 22
+ 32
+ 42
+ 52
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
3.2 ใช้สูตร 
N
i
ix
1
2
=
6
)12)(1(  NNN
= )11)(6(
6
5
= 55
4. 
N
i
ix
1
3
=
2
1







N
i
ix =
2
)1(
2 





N
N
4.1 หาผลบวก 
N
i
ix
1
3
= 13
+ 23
+ 33
+ 43
+ 53
= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225
4.2 ใช้สูตร ถ้า 
N
i
ix
1
3
=
2
)6(5
= ดังนั้น 
N
i
ix
1
3
=
2
1







N
i
ix = (15 = 225
กำหนด ให้ x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = 4
y1 = 6 , y2 = 7 , y3 = 8 , y 4 = 9 และ c = 5
(แนวคิด x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
y = 6 + 7 + 8 + 9 = 30
 2
x = 12
+ 22
+ 32
+ 42
= 30
 2
y = 62
+ 72
+ 82
+ 92
= 230
xy = 6 + 14 + 24 + 36 = 80
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาค่าของ

4
1
)2(
i
ix
วิธีทำ 

4
1
)2(
i
ix =   

4
1
4
1
2
i i
ix
= 10 – (4 2 )
= 2
ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาค่าของ )3x( i
2
4
1i


วิธีทำ )3x( i
2
4
1i


= )96(
4
1
2


i
ii xx
= 30 – 6(10) + 9(4)
= 30 – 60 + 36 = 6

15
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาค่าของ

4
1
)53(
i
iii yyx
วิธีทำ 

4
1
)53(
i
iii yyx =
  

4
1
4
1
)53
i i
iii yyx = 3(80) - 5(30)
= 240 – 150
= 90
ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาค่าของ )yx( ii
2
4
1i


วิธีทำ )yx( ii
2
4
1i


= )(
4
1
22


i
iiii yyxx
= 30 – 80 + 230
= 180
ตัวอย่ำงโจทย์อนุกรมเลขคณิต
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาผลบวก 30 พจน์แรกของอนุกรม
เลขคณิต 1 + 3 + 5 + 7 + ...
วิธีทำ ns =
2
n
[ 1a2 + (n–1)d ]
1a = 1 , d = 2 , n = 30 , ns = ?
17s =
2
30
[2 (1) + 29(2) ]
= 15(2 + 58)
= 15 × 60
= 900
ตัวอย่ำงที่ 2 นายมาริโอ ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง
ในเดือนแรกฝากเงิน 1200 บาท และในทุกๆเดือนจะ
ฝากเพิ่มขึ้นเดือนละ 300 บาท เมื่อสิ้นปีเขาจะมีเงินฝาก
ธนาคารทั้งหมดกี่บาท
2
n
[ 1a2 + (n–1)d ]
1a = 1200 , d = 300 , n = 12 , ns = ?
12
s =
2
12
[2 (1200) + 11(300) ]
= 6 (2400 + 3300)
= 34200
เมื่อสิ้นปีเขาจะมีเงินฝากธนาคารทั้งหมด 34200 บาท
ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาผลบวกของจานวนตั้งแต่ 1 – 200
ซึ่งจานวนแต่ละจานวนดังกล่าว
1) หารด้วย 15 ลงตัว
2) หารด้วย15 ไม่ลงตัว
วิธีทา 1) หารด้วย 15 ลงตัว
จากโจทย์a1= 15 , na = 195 , d = 15 , n = ?
na = a1+ (n–1) d
195 = 15+ ( n–1) (15)
180 = ( n–1) (15)
12 = ( n–1)
n = 13 จานวน
อนุกรมเรขาคณิต Sn = )aa(
n
n1
2

 S28 = )19515(
2
13

= 13(105) = 1365
2) หารด้วย 7 ไม่ลงตัว


n
1i
i
a - 1365 =
2
)1n(n 
- 1365


200
1i
i
a - 1365 =
2
)201(200
- 1365
= 20,100 - 1365 = 18,735
1) หารด้วย 7 ลงตัว เท่ากับ 1365
2) หารด้วย 7 ไม่ลงตัว เท่ากับ 18,735

16
ตัวอย่ำงที่ 4 สัญญาการก่อสร้างอาคารสานักงาน
แห่งหนึ่งจะต้องสร้างเสร็จในวันที่ 1 เมษายน 2554
ถ้าไม่เสร็จตามกาหนดเวลา เจ้าของอาคารจะปรับเงิน
กับผู้รับเหมาเป็นค่าปรับแต่ละวัน ดังนี้
7000 , 10500 , 14000 , 17500 , …
ถ้าผู้รับเหมาสร้างอาคารเสร็จช้าไป 2 สัปดาห์
จะต้องเสียค่าปรับเป็นเงินเท่าไร
2
n
[ 1a2 + (n–1)d ]
1a = 7000 , d = 3500 , n = 14 , ns = ?
12
s =
2
14
[2 (7000) + 13(3500) ]
= 7(14000 + 45500)
= 7(59500)
= 416500
ดังนั้น ผู้รับเหมาต้องเสียค่าปรับเป็นเงิน 416,500 บาท
ตัวอย่ำงที่ 5 ไม้กองหนึ่งวางซ้อนกันเป็นชั้น ๆ แต่
ละชั้นมีจานวนไม้มากกว่าจานวนไม้ในชั้น ที่ถัดขึ้นไป
เป็นจานวน 3 ท่อนเสมอ ถ้าจานวนไม้ชั้นบนสุดมี 70
ท่อน ชั้นติดกับพื้นดินมี 376 ท่อน จงหาว่าไม้กองนี้
มีกี่ท่อน และวางซ้อนกันกี่ชั้น
วิธีทำ ไม้กองนี้วางซ้อนกันเป็นลาดับเลขคณิต
ให้ชั้นบนสุดมีไม้ 1a = 70 ท่อน
และชั้นล่างสุดมีไม้ na = 376 ท่อน
จานวนไม้ในแต่ละชั้นต่างกัน (d) = 3 ท่อน
na = 1a +(n–1)d
376 = 70+(n–1) (3)
306 = (n–1) (3)
102 = n–1
n = 103
 จานวนไม้วางซ้อนกัน 103 ชั้น
ns = )aa(
n
n1
2

=
2
103
(70+376)
= 103 × 223 = 22,969
 จานวนไม้ทั้งหมด = 22,969 ท่อน
1.1.5 อนุกรมเรขำคณิต คือ ผลบวกของลำดับเรขำคณิต
อนุกรมที่มำจำกลำดับเรขำคณิต 2 + 4 + 8 + 16 + ....
กำรหำผลบวก n พจน์แรกของลำดับเรำขคณิต
(The sum of the first n terms of an arthemtic series (Sn)
ถ้ากาหนดให้ a1 , a2 , a3 , …., an เป็นลาดับเรขาคณิต
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ns = a1 + a2 + a3 + ….+ an-1 + an
ns = a1 + a1 r+ a1 r2
+ ….+ a1 rn-1
-------- 
-r ns = - a1r - a1 r2
- a1 r3
+ ….- a1 rn-1
- a1 rn
-------- 
+ Sn - r ns = a1 - a1 rn
Sn(1 - r) = a1 (1 - rn
)

17
Sn =
r1
)r1(a n
1


= เมื่อ r  1
ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต คือ Sn =
r1
)r1(a n
1


หรือ
1r
)1r(a n
1


เมื่อ r  1
ตัวอย่ำง อนุกรมเรขำคณิต
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของ อนุกรม
2 + 4 + 8 + 16 + .......
วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 2, r = 2 , n = 10
จากอนุกรมเรขาคณิต
Sn =
1
)1(1


r
ra n
S10 =
12
)12(2 10


= 2(2024-1)
= 2046 
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาผลบวก 18 พจน์แรกของ อนุกรม
27 + 18 + 12 + 8 + .........
วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 27 , r =
3
2
, n = 18
Sn = n
n
r
ra


1
)1(1
S18 =






















3
2
1
3
2
127
18
=





















3
1
3
2
127
18
=















16
3
2
181
ตัวอย่ำงที่ 3ปี พ.ศ.2545 ประชากรของจังหวัดหนึ่งมีจานวน
800,000 คน ถ้าจานวนประชากรของจังหวัดนี้มีอัตราเพิ่ม 5%ของ
จานวนประชากรในแต่ละปี
จงหาจานวนประชากรของจังหวัดนี้เมื่อสิ้นปี 2550
วิธีทำ ให้ปี 2545 เป็นปีที่ 1 มีประชากร 800,000 คน
ปี 2546 เป็ นปี ที่ 2 มีประชากร 800,000+800,000  0.05 =
800,000(1 + 0.05)
ปี 2545 เป็นปีที่ 3 มีประชากร = 800,000(1+0.05)2
ตัวอย่ำงที่ 4 ถ้าพจน์ที่ 3 ของลาดับเรขาคณิตเท่ากับ 80
และผลบวกของ 3 พจน์แรกเท่ากับ 65 จงหาพจน์แรก
และอัตราส่วนร่วม
วิธีทำ จากโจทย์ a3 = 80 , S3 = 65
จากลาดับเรขาคณิตan = a1rn-1
; 80 = a1r2
a1 = 2
80
r
…………….(1)
จากอนุกรมเรขาคณิต sn = n
n
r
ra


1
)1(1
s3 =
r
ra


1
)1( 3
1

18
n มีประชากร = 800,000(1+0.05)n-1
ดังนั้นในปี 2550 มีประชากร 800,000(1+.05)5
คน #
65 =
)1(
)1)(1(80
2
2
rr
rrr


: r  0
65r2
= 80 + 80r + 80r2
80 + 80r + 80r2
= 0
15r2
+ 16r + 16 = 0
(3r + 4)(r + 4) = 0
r =
3
4 , -4
ถ้า r = -
3
4 จะได้ a1 = 45
ถ้า r = - 4 จะได้ a1 = 5 
อนุกรมรูปแบบอื่นๆ
1. อนุกรมเลขคณิตและเลขคณิต
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาผลบวก 20 พจน์ของอนุกรม
...433221 
วิธีทำ อนุกรมนี้ประกอบด้วยอนุกรม
1 + 2 + 3 + .... + nและ 2 + 3 + 4 + ...+ (n+1)
an = n(n+1) = n2
+ n
Sn = 
n
i
ia
1
=  

n
i
n
i
ii
11
2
S20 = )1(
2
)12)(1(
6
 n
n
nn
n
= )120(
2
20
)1)20(2)(120(
6
20

= 2870 + 210 = 3080
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาผลบวก 20 พจน์ แรก ของอนุกรม
nn 2)12(.....87654321 
วิธีทำ an
= (2n-1) 2n
ให้ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
s20 = 
20
1n
na = )24( 2
20
1
nn
n

= nn
nn
 

20
1
2
20
1
24
= 4
6
n
(n+1)(2n+1)-2
2
n
(n+1)
= 4 )120(
2
20
2]1)20(2)[120(
6
20

= 11480 – 420 = 11060
ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาผลบวก n พจน์ของอนุกรม ตัวอย่ำงที่ 5 จงหาผลบวก n พจน์ของอนุกรม

19
....54343232 
วิธีทำ  อนุกรมนี้ประกอบด้วย
1 + 2 + 3 + …… n และ 2 + 3 + 4 + .... + (n+2)
 an = n(n+1)(n+2) = n3
+ 3n2
+ 2n
 Sn =
n
i
ia
1
=    

n
i
n
i
n
i
iii
1 1
2
1
3
23
=
)1(
2
2)1)(12(
6
3)1(
2
2




 n
n
nn
n
n
n
= 



 2)12()1(
2
)1(
2
nn
n
n
n
= 




 

2
424
)1(
2
2
nnn
n
n
= )65)(1(
4
2
 nnn
n
12
+ 32
+ 52
+ 72
+ ......
วิธีทำ an = (2n-1)2
= 4n2
– 4 n+1
= nn
n
nn
n






 )1(
2
4)1)(12(
6
4
= nnn
n
x 





 1)12(
3
1
)1(
2
4
= n
n
nn 




 

3
312
)1(2
=
3
3)22)(1(2 nnnn 
= )3)22)(1(2(
3
 nn
n
= )3)1(4(
3
2
n
n
= )14(
3
2
n
n
2. อนุกรมเลขคณิตและเรขำคณิต
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม
132
2.....2423221 
 n
n
แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
132
2.....2423221 
 n
n ns
nn
n nns 22)1(.....24232221 1432
 
nn
nn nss 22.....)21()21()21()21()21(12 14332
 
nn
n 221...22221 432

อนุกรมเรขาคณิต
1
)1(1



r
ra
s
n
n 11 a 2r
n
n
ns 2
12
)12(1
2 



nn
n ns 212 
nn
n ns 212 
1010
10 21210 s
= 10(1024) + 1 – 1024 = 10240-1023 = 9217

20
แบบฝึกหัด 1.1
1. จงหาสี่พจน์แรกของลาดับต่อไปนี้
1) an = 5n – 2
2) an = -3n + 5
3) an =
n
2
1






4) an = n(n-2)
5) an =
1n
n3

6) an =
n
)1(
1
1n


2. จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับต่อไปนี้
1) 3 , 7 , 11 ,15 , 19 , …
2) 3 , 0 , -3 , - 6 , - 9 , …
3) 0.3 , 0.03 , 0.003 , 0.0003 , …
4)
2
1
,
3
2
,
4
3
,
5
4
, …
5) 6 , 11 , 18 , 27 , 38 , …
6) 1 , 5 . 9 , 13 , 17 , …
7) 2 , 8 ,20 , 38 , 62 , …
8)
1.จงหำห้ำพจน์แรกของลำดับ an ที่กำหนดโดยใช้ควำมสัมพันธ์เวียนเกิดต่อไปนี้
(1.) a1 = 0 และ an = an-1+ n-1 เมื่อ n ≥ 2
(2.) a1 =1000 และ an = 1+ (0.05) an-1 เมื่อ n ≥ 2
(3.) a1 = 2 และ an = 6an-1 เมื่อ n ≥ 2
(4.) a1 = 1, a2 = 2 และ an = an-1+ 2an-2 เมื่อ n ≥ 3
(5.) a1 = 2, a2 = 0 และ an = an-1+ an-2 เมื่อ n ≥ 3
2.จงบอกว่ำลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต ลำดับใดเป็นลำดับเรขำคณิต พร้อมทั้งบอก
ผลต่ำงร่วม หรืออัตรำส่วนร่วมของลำดับนั้นๆด้วย
(1.) 7, 9, 11, 13,…,(2n + 5) (2.) 6, -6, 6, -6,…,6(-1)n-1
(3.) 4, 2, 0, -2,…,(6- 2n) (4.) 3, 1,
3
1
,
9
1
,…,9(
3
1
)n
(5.) -
4
1
, -
5
2
,-
2
1
,-
7
4
,…, -
3n
n
3.จงหำพจน์ทั่วไปของลำดับทั่วไปของลำดับเลขคณิตต่อไปนี้
(1.) -2,4, 10,… (2.) -
6
1
,
6
1
,
2
1
,…
(3.) 11, 13
2
1
, 16,… (4.) 19,74, 22, 54, 25, 34,…
(5.) x, x+2 ,x+ 4,… (6.) 3a, 2b, 2a+4b, a+6b,…
4.ถ้ำ p, 5p , 6p+9 เป็นสำมพจน์เรียงในลำดับเลขคณิต จงหำค่ำของ p และเขียนลำดับนี้ต่อไปอีกสี่พจน์
5.ถ้ำผลบวกสำมพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 12 และผลบวกของกำลังสำมของแต่ละพจน์นั้นคือ 408

21
จงหำลำดับนี้
6.จงหำพจน์ที่ n ของลำดับเรขำคณิตต่อไปนี้
(1.) -3, - 6, -12,… (2.) 10, - 5 ,
2
5
,…
(3.)
4
1
,
4
5
,-
4
25
,… (4.)
6
5
,
3
5
,
3
10
,…
(5.) -
9
2
,
12
1
,-
32
1
,… (6.) ab3
,a2
b2
,a3
b,…
7. ถ้ำจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นพจน์สองพจน์ในลำดับต่อไปลำดับเรขำคณิตจงหำอีกสำมพจน์ซึ่งเรียงอยู่
ระหว่ำงพจน์ทั้งสองนี้
(1.) -15 และ -1215 (2.)
3
4
และ
64
27
8. ลำดับเรขำคณิตเมื่อนำจำนวนจำนวนหนึ่งไปบวกกับ 3, 20 และ 105 ตำมลำดับ ผลบวกที่ได้ของแต่ละจำนวน
จะเป็นพจน์สำมพจน์ที่รียงกันในลำดับเรขำคณิต จงหำ จำนวนที่นำไปบวกนั้น
แบบฝึกหัด 1.3 ลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิต
จงพิจารณาลาดับที่กาหนดให้ข้อเป็นลาดับเลขคณิตหรือลาดับเรขาคณิตและ
หาผลต่างร่วม(d) หรืออัตราส่วนร่วม(r)
1) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …
2) 3 , 6 , 9 , 12 , …
3) 5 , 2 , -1 , -4 , …
4) 22 , 24 , 26 , …
5) x , x + 3 , x + 6
6) 4a + 3b , 3a + 5b , 2a + 7b , …
7) 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , …
8) 3 , 9 , 27 , 81 , …
9) 2 ,
3
4
,
9
8
,
27
16
, …
10) 5 , -5 , 5 , -5 , …
11) 1 , x , x2
, x3
, …
12) 0.2 , 0.02 , 0.002 , 0.0002 , …

22
แบบฝึกหัด 1.4 เรื่อง ลำดับและอนุกรม
1. จงแสดงว่า 239 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลาดับเลขคณิต 2,5,8,11,...
2. จานวนที่อยู่ระหว่าง 100-500 ที่หารด้วย 7 ลงตัวมีกี่จานวน
3. กาหนดให้พจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 10 ของลาดับเลขคณิตเท่ากับ 10 และ 28 ตามลาดับ
จงหาพจน์ที่หนึ่งและผลต่างร่วม
4. ในการเรียงไม้ฟืนที่มีขนาดเดียวกันหนา 5 ซ.ม. โดยให้แถวล่างมากกว่าแถวบนอยู่ 1 ท่อนเสมอ
ถ้าแถวบนมีฟืน 8 ท่อนและแถวล่างมีฟืน 30 ท่อน ไม้กองนี้สูงกี่เมตร
5. ถ้าผลบวกของสามพจน์แรกของลาดับเลขคณิตเท่ากับ 12 และผลบวกกาลังสามของแต่ละพจน์เท่ากับ
408 จงหาลาดับนี้
6. ถ้าพจน์ที่ 3 และพจน์ที่ 6 ของลาดับเรขาคณิตเท่ากับ 24 และ 192 ตามลาดับแล้ว จงหาอัตราส่วนร่วม
7. ลาดับเรขาคณิต 3,6,12,... จงหาว่า 1536 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลาดับนี้
8. ถ้า ก ข และ ค มีอายุ 8 ,16 และ 28 ปี ตามลาดับ อีกกี่ปีอายุของ ก , ข และ ค จะมีลักษณะเป็นลาดับ
เรขาคณิต
9. ในปี 2541 ประชากรของจังหวัดหนึ่งมีจานวน 800,000 คน ถ้าประชากร ของจังหวัดนี้มี อัตราเพิ่มขึ้น
5% ของจานวนประชากรทั้งหมด จงหาวจานวนประชากรของจังหวัดนี้เมื่อสิ้นปี 2546
10. ลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่งประกอบด้วย 6 พจน์ โดยที่พจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ
8
1
และ 128
ตามลาดับ จงหาลาดับเรขาคณิตและพจน์ที่เหลือ
11. ถ้าผลบวกของลาดับเรขาคณิต 3 จานวน เท่ากับ 98 และผลคูณมีค่าเท่ากับ 1728 แล้ว
จงหาลาดับเรขาคณิตชุดนี้
12. พจน์ที่6 และพจน์ที่ 9 ของลาดับเรขาคณิตคือ
2
tan3 
และ 3
sin ตามลาดับ จงหาอัตราส่วนร่วม (r)
13. จงหาลาดับเรขาคณิตเมื่อกาหนด 16015  aa และ 4824  aa
14. จงหาผลบวกของจานวนตั้งแต่ 100-300 เมื่อจานวนเต็มแต่ละจานวนดังกล่าว
14.1 หารด้วย 6 ลงตัว 14.2 หารด้วย 6 ไม่ลงตัว
15. พจน์ที่ 8 ของลาดับเลขคณิตเท่ากับ 33 และผลบวก 8 พจน์ แรกเท่ากับ 180
16. ให้อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 12 พจน์แรกเท่ากับ 102 และผลต่างร่วมเท่ากับ 3 จงหาพจน์ที่ 12
17. ให้ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ 4 และพจน์ที่ 20 เท่ากับ 79
จงหาผลบวกของ 20 พจน์แรก
18. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่งมีพจน์ที่ n เท่ากับ 33 ผลบวก n พจน์เท่ากับ 195 และผลต่างร่วมเท่ากับ 3
จงหาพจน์แรกและค่าของ n
19. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 2+8+32+128+.....

23
20. จงหาผลบวก 10 พจน์รกของอนุกรมเรขาคณิต 6+2+
3
2
+…
21. (Quota 40 ) อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีพจน์ที่สองเท่ากับ
5
9
และ พจน์ที่ 3 เท่ากับ
25
27
จงหาผลบวกแรกและอัตราส่วนร่วม
22. ถ้าพจน์ที่ 3 ของลาดับเรขาคณิตเท่ากับ 45 และผลบวกของ 3 พจน์และเท่ากับ 35
จงหาพจน์แรกและอัตราส่วนร่วม
23. ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่ง ,.....,, 321 aaa มีพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 10 เป็น 11 และ 29 ตามลาดับ
จงหา 


20
1i
i )i2a(
24. (Ent’ 43) ลาดับเลขคณิตชุดหนึ่ง ,.....,, 321 aaa มีพจน์ที่ 10 และ พจน์ที่ 15 เป็น -19 และ -34
ตามลาดับ จงหา 


20
1i
i )i2a(

24
แบบฝึกหัด 1.5 แบบฝึกทักษะ 1 คน 1 ข้อ (อนุกรมเลขคณิต)
คำสั่ง ให้นักเรียนทำคนละข้อเรียงตำมเลขที่
1. จงหาผลบวกของจานวนตั้งแต่ 1 – 100 เมื่อจานวนเต็มดังกล่าวหำรด้วย 3 ลงตัวและไม่ลงตัว
2. จงหาผลบวกของจานวนตั้งแต่ 1 – 100 เมื่อจานวนเต็มดังกล่าว หำรด้วย 4 ลงตัวและไม่ลงตัว

25
50 จงหาผลบวกของจานวนตั้งแต่ 1 – 400 เมื่อจานวนเต็มดังกล่าว หำรด้วย 14 ลงตัวและไม่ลงตัว
แบบฝึกหัด 1.6 เรื่อง อนุกรมรูปแบบอื่นๆ
1. จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
)n(n..... 154433221 
2. )n(n... 1274533211 
3. )n(n... 1258463422 
4. )n(n... 12278563412 
5.
22222
127531 )n(... 
6.
22222
1274533211 )n(n... 
7. )n)(n(n... 21654543432321 
8. )n(n... 3716695441 2


26
9.
33333
15432 )n(... 
10 )n)(n(n... 1212975753532311 
2.จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
1. ....2n...232221 n222

2. ...
2
1
n...
2
1
4
2
1
3.
2
1
2
2
1
1
n432


























3. ...
3
2
n...
3
2
4
3
2
3
3
2
2
3
2
1
n432


























4. ...
2
3
n...
2
3
4
2
3
3
2
3
2
2
3
1
n432


























5. log 2 + log 4 + log 8 + log 16 +…..log n
2 +…..
6. 1 +
2
5
+ 2
2
12
+ 3
2
22
+ 4
2
35
+ …
1.2 ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)
1.2.1 ลิมิตของลำดับอนันต์ (Limit of Infinite Sequence)
การหาลิมิตของลาดับ คือ การพิจารณาค่าของ an ของลาดับเมื่อ n มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆไม่สิ้นสุด
(ซึ่งใช้สัญลักษณ์ n  ) ว่ามีลักษณะอย่างไร
ถ้าเรามาพิจารณาค่าของ an ของลาดับ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นไม่สิ้นสุด เราจะพบลักษณะของค่าของ an
ซึ่งมีลักษณะต่างๆต่อไปนี้
ลักษณะที่ 1 ค่าของ an มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับค่าคงที่ค่าใดค่าหนึ่ง เช่น
ก. ลาดับ 1,
2
1
,
3
1
,
4
1
,.....,
n
1
,... เป็นลาดับซึ่งค่าของ an เข้าใกล้0 เมื่อ n 
ข. ลาดับ 2, 1
2
1
, 1
3
1
, 1
4
1
,...., 1
n
1
... เป็นลาดับซึ่งค่าของ an เข้าใกล้1 เมื่อ n 
ค. ลาดับ 5, 5, 5,...,5, ... เป็นลาดับซึ่งค่าของ an = 5 เมื่อ n 
ง. ลาดับ 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4,….เป็นลาดับซึ่งค่าของเมื่อ n > 4 แล้ว an = 4
ลักษณะที่ 2 ค่าของ an เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีขอบเขต เช่น
ก. ลาดับ 1, 2, 4, 8,... เป็นลาดับซึ่งมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต
ข. ลาดับ 6, 3, 0, -3, -6,… เป็นลาดับซึ่งค่าลดลงอย่างไม่มีขอบเขต
ลักษณะที่ 3 ค่าของ an เพิ่มขึ้นและลดลงสลับกันไป เช่น
ก. ลาดับ 1, -1, 1, -1, 1, -1,… เป็นลาดับซึ่งมีค่าเพิ่มขึ้น ลดลงสลับกันไปซึ่งไม่เข้าใกล้หรือ

27
เท่ากับค่าคงที่ค่าหนึ่งค่าใด
ข. ลาดับ 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, … เป็นลาดับซึ่งมีค่าเพิ่มขึ้น ลดลงอย่างมีระเบียบ แต่ไม่เข้า
ใกล้หรือเท่ากับค่าหนึ่งค่าใด
ลักษณะที่ 4 ค่าของ an เปลี่ยนแปลงโดยไม่มีกฎเกณฑ์แน่นอน เช่น
ก. ลาดับ 2, 5, -8, 7, 11,… เป็นลาดับซึ่งเราบอกไม้ได้ว่า เมื่อ n 
แล้ว an มีค่าเป็นอย่างไร
จากที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ลาดับที่มีลิมิตคือลาดับที่ค่าของ an เข้าใกล้หรือเท่ากับค่าคงที่ค่าใดค่า
หนึ่ง ตามลักษณะที่ 1 ส่วนค่าของ an เมื่อ n  ใน ลักษณะที่ 2, 3 และ 4 นั้นเป็นลักษณะของลาดับที่ไม่มีลิมิต
ลาดับลิมิตเรียกว่า ลาดับลู่เข้า (Convergent Sequence) ส่วนลาดับที่ไม่มีลิมิตเรียกว่า ลาดับลู่ออก
(Divergent Sequence)
ถ้า L เป็นค่าคงที่ใดๆ และ L เป็นลิมิตของลาดับ an เราเขียนแทนด้วย Lan
n


lim
กำรหำลิมิตของลำดับมี 2 วิธี
วิธีที่ 1 เขียนกรำฟ
1. สร้างตารางคู่อันดับ
1.1 กาหนดค่าของ n
1.2 หาค่าของ an (แทนค่าของ n )
2. เขียนกราฟ
3. พิจารณาแนวโน้มของกราฟ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด ( n  )
3.1 ถ้ากราฟมีค่าเข้าใกล้จานวนจริงจานวนหนึ่ง เรียกว่า มีลิมิตหรือหาค่าได้ คือ Lan
n


lim
3.2 ถ้ากราฟมีค่าไม่เข้าใกล้จานวนจริงเลย เรียกว่า ไม่มีลิมิตหรือหาค่าไม่ได้
วิธีที่ 2 ใช้ทฤษฎีลิมิต
แบบที่ 1 ถ้าเลขชี้กาลังสูงสุด(n)ของเศษ f(n) เท่ากับส่วน g(n) แล้ว ลิมิตของลำดับจะมีค่ำเท่ำกับ
สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดของทั้งเศษและส่วนหำรกัน(ตัวอย่างที่4 , 5 หน้า 8 , 9 )
แบบที่ 2 ถ้าเลขชี้กาลังสูงสุด(n)ของเศษ f(n) น้อยกว่ำเลขชี้กาลังสูงสุดของส่วน g(n) แล้ว
ลิมิตของลำดับจะมีค่ำเท่ำกับ 0 เสมอ
แบบที่ 3 ถ้าเลขชี้กาลังสูงสุด(n)ของเศษ f(n) มำกกว่ำเลขชี้กาลังสูงสุดของส่วน g(n) แล้ว
ลิมิตของลำดับจะไม่ลิมิตหรือ หำค่ำไม่ได้

28
สิ่งที่ควรทรำบ ( ไม่นิยำมตัวหำรด้วย 0 ) เช่น 0;
1
x
x
หรือ 2;
2
1


x
x
1. 0
1
0
 2. 
0
1
หาค่าไม่ได้
3.

1
= 0 4.
0
0
= หาค่าไม่ได้
สรุปลิมิตของลำดับได้ดังนี้
1. ลาดับที่จะนามาพิจารณาลิมิตนั้นต้องเป็นลาดับอนันต์
2. ถ้ากล่าวว่า L เป็นลิมิตของลาดับที่มีพจน์ที่ n เป็น an หมายถึง เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด
พจน์ที่ n ของลาดับจะมีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับจานวนจริง จานวนเดียวเท่านั้นกล่าวได้ว่า
L เป็นลิมิตของลาดับที่มีพจน์ที่ n เป็น an และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Lan
n


lim
(อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an เมื่อ n มีค่ามากขึ้น โดยไม่มีที่สิ้นสุด เท่ากับ L)
3. ลาดับที่มีลิมิตเรียกว่า ลาดับลู่เข้า ส่วนลาดับที่ไม่มีลิมิตเรียกว่า ลาดับลู่ออก
4. การพิจารณาว่าลาดับใดจะมีลิมิตหรือไม่นั้น อาจทาได้โดยการพิจารณากราฟของลาดับ
เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด
ตัวอย่ำง จงหาลิมิตของลาดับต่อไปนี้1. an =
n
1
วิธีที่ 1 เขียนกราฟ
n 1 2 3 4 5
an =
n
1 1
2
1
3
1
4
1
5
1
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  =
1
x
จากกราฟสรุปได้ว่า
nn
1
lim

= 0

29
2. an =
1n
n3

n 1 2 3 4 5
an =
1n
n3
 2
3 2
4
9
5
12
6
15
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  =
3x
x+1
n
lim
1n
n3

= 3
3. an = 2
3
n
1n 
n 1 2 3 4 5
an = 2
3
n
1n  2
4
9
9
28
16
65
25
125
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  =
x3+1
x2
n
lim 2
3
n
1n 
= หาค่าไม่ได้

30
4. an =
1n
n4
2
2

n 1 2 3 4 5
an =
1n
n4
2
2

2
5
16
5
18
17
64
13
50
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
f x  =
4x2
x2+1
n
lim
1n
n4
2
2

= 4
4. an =
3
14 2


n
n
n 1 2 3 4 5
an =
3
14 2


n
n
4
5
= 0.56
5
17
= 0.82
6
37
= 1.01
7
67
= 1.17
8
101
= 1.26
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
f x  =
4x2+1
x+3
n
lim
3
14 2


n
n
= 2

32
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ให้ an , bn , tn เป็นลาดับของจานวนจริง A,B เป็น จานวนจริงและ เป็นค่าคงตัวใดๆ โดยที่
n
lim an = A และ
n
lim bn = B จะได้ว่า
1. ถ้า tn = c แล้ว
n
lim tn =
n
lim c = c
2. ถ้า
n
lim can = c
n
lim an = cA
3. ถ้า
n
lim (an + bn ) =
n
lim an +
n
lim bn = A + B
4. ถ้า
n
lim (an - bn ) =
n
lim an -
n
lim bn = A – B
5. ถ้า
n
lim (an  bn ) =
n
lim an 
n
lim bn = A  B
6. ถ้า bn  0 ทุกจานวนเต็มบวก n และ B  0 แล้ว
n
lim (
n
n
b
a
) =
n
n
nn
blim
alim


=
B
A
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาลิมิตของลาดับที่มี an = 2
2
n
1n4 
วิธีทำ นา n2
หำรทั้งเศษและส่วน
an =
2
2
22
2
n
n
n
1
n
n4

=
1
n
1
4 2

ดังนั้น
n
lim 2
2
n
1n4 
= 4 + 0 = 4
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาลิมิตของลาดับที่มี an =
1n3
n3n2
3
2


an =
33
3
33
2
n
1
n
n3
n
3
n
n2


=
3
3
n
1
3
n
3
n
2


n
lim
1n3
n3n2
3
2


=
03
00


= 0
ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาลิมิตของลาดับที่มี an =
1n2
3n5n2


an =
22
222
2
n
1
n
n2
n
3
n
n5
n
n


=
2
2
n
1
n
2
n
3
n
5
1


n
lim
1n2
3n5n2


=
00
001


ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาลิมิตของลาดับที่มี
an = n - 4n
วิธีทำ n - 4n คอนจุเกตคือ n + 4n
an = n - 4n 







4nn
4nn
=
4nn
4


=

4
= 0

33
=
0
1
= หาค่าไม่ได้ n
lim = n - 4n = 0
an =
1212
22


 n
n
n
n
วิธีทำ an =
1212
22


 n
n
n
n
=
)12)(12(
)12()12( 22


nn
nnnn
=
14
22
2
2323


n
nnnn
=
14
2
2
2


n
n
=
2
1
4
2
n

2
1
-
4
2
-
lim


na
n
an =
4n3
2n2


วิธีทำ an =
4n3
2n2


=





 





 
n
4
3n
n
2
1n 2
2
=





 





 
n
4
3n
n
2
1n 2
n
lim
4n3
2n2


=
03
01


=
3
1
แบบฝึกหัดที่ 1.2 ก
จงหาลิมิตของลาดับต่อไปนี้ โดยวิธีเขียนกราฟ
1. an = n
2
1
2. an =
12
6
n
n
3. an =
1
2
2
2
n
n
4. an = 1 +
n
)( n 1
1 

5. an =
n
1
cos n 6. an = 2
2
1)n(
n

แบบฝึกหัดที่ 1.2 ข
จงหาลิมิตของลาดับต่อไปนี้ และพิจารณาว่าลาดับ an ที่กาหนดให้ เป็นลาดับลู่เข้า หรือลู่ออก
1. an =
n5
3
2. an =
2
1
2
n
3. an =
n






3
2
4. an =
)2)(1(
1
 nn
5. an =
1
2
2
n
6. an =
nn 1
1
7. an =
54
3
n
8. an =
534
14
2
2


nn
nn
9. an =
52
12
5 2
2



n
nn
10. an =
5
13
2


nn
n

34
11. an =
12
252


n
nn
12. an =
nn
nn
235
1
4
3


13. an =
n
n
n
n
1
1
3


14. an =
43
2
2
1
1
5
)3)(1(
nn
nn

 
15. an = 2
2
)1(
4
n
n
16. an =
3
54
12








n
n
17. an =
1
4
n
n
18. an =
65
234
2
4


n
nn
19. an = 12  nn 20. an =
32
152


n
nn
21. an = n
n n
2
2
sin2 1 

22. an = 1+
n
n
)1(
23. an =
n
1
cos n 24. an =
12
32


n
n
25. an =
5
12
2
3


n
nn
26. an =
72
3
n
27. an =
12
1
2


nn
n
28. an =
8n
nn4
2
4


29. an =
n
16n4 
30. an = n
1n
2
52 
1.3 อนุกรมอนันต์ (Infinite series)
อนุกรมอนันต์ a1 + a2 + a3 + ….. an + …….
ลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม
ลาดับผลบวกย่อย (partial sum) ของอนุกรม a1 + a2 + a3 + …. + an + …..
คือ S1 , S2 , S3, ……..Sn, …..
เมื่อ S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , S3 = a1+ a2+a3 + ….. + an
และเรียกแต่ละพจน์ของลาดับว่า “ผลบวกย่อย” (partial sum)
ลิมิตของลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม
ลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม a1+ a2+a3 + ….. + an คือ = S1 , S2 ,S3 ,….. , Sn ,…
ลิมิตของลาดับผลบวกย่อยคือ
n
lim Sn

35
ถ้าลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมมีลิมิต แสดงว่าอนุกรมนั้นหาผลบวกได้ หรืออนุกรมนั้นหาผลบวก
อนันต์ได้และเป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ (Convergent Series) และถ้าลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมหาลิมิตไม่ได้
แสดงว่าอนุกรมนั้นหาผลบวกไม่ได้ เรียกอนุกรมนั้นว่า อนุกรมไดเวอร์เจนต์ (Divergent Series)
ดังนั้น ผลบวกอนันต์ของอนุกรม ก์คือ
n
lim Sn
ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1+ .....
2
1
......
8
1
4
1
2
1
1
 n
และบอกลิมิตของลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมด้วย
วิธีทำ S1 = 1, S2 = 1 + ,
2
1
1
2
1
 S3 = 1 +
4
3
1
4
1
2
1

S4 = 1 + .......,
8
7
1
8
1
4
1
2
1

Sn = 1 + 1
2
1
.....
4
1
2
1

 n
=
2
1
1
)
2
1
1(1

 n
= 2- n
2
2
ลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ 1, 1 ),.....
2
2
2,......(
8
7
1,
4
3
1,
2
1
n
n
lim Sn =
n
lim 




  n
2
2
2
 ลิมิตของลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ = 2
หรือผลบวกอนันต์ของอนุกรมนี้คือ 2
กำรหำผลบวกของอนุกรมเรขำคณิต (ผลบวกอนันต์)
อนุกรมเรขาคณิต
Sn =
r
ra n


1
)1(1
; r< 1 …..สูตรที่ 1
Sn =
1
)1(1


r
ra n
; r> 1 ….สูตรที่ 2
 อนุกรมเรขำคณิตจะหำผลบวกได้ เมื่อ r< 1
และ n
n
S

lim = 0
1
1

 r
a
=
r
a
1
1

36
 ผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต (S) =
r
a
1
1
; r< 1
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมต่อไปนี้ และอนุกรมใดบ้างที่เป็นอนุกรมคอน
เวอร์เจนต์ และมีผลบวกเป็นเท่าใด
1) ......
3
1
2
1
.....
18
1
6
1
2
1
1







n
วิธีทำ  S1 = ,......
18
13
18
1
6
1
2
1
S,
3
2
6
4
6
1
2
1
S,
2
1
32 
Sn =
1
3
1
2
1
....
18
1
6
1
2
1








n
=
3
1
1
3
1
1
2
1







 n
= n
3.4
3
4
3

 ลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ n
3.4
3
4
3
,...,
18
13
,
3
2
,
2
1

อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง a1 =
3
1
r,
2
1

 1r  อนุกรมนี้เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์
 ผลบวกขออนุกรมนี้คือ
r
S
n
n


 1
alim 1
=
3
1
1
2
1

=
4
3
2) 3 + 2 + ...
3
2
3...
3
4
1







n
วิธีทำ  S1 = 3 , S2 = 3 + 2 = 5, S3 = 3 + 2 +
3
19
3
4

Sn = 3 + 2 +
1
3
2
3.....
3
4








n
=
3
2
1
3
2
13
















n
= 9 














n
3
2
1 = 9-9
n






3
2
 ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ 3, 5, ,...
3
2
9-9,....,
3
19
n







37
 อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขำคณิต ซึ่ง a1 = 3 , r =
3
2
 ผลบวกของอนุกรมนี้ nS
n 
lim
-
3
2
-1
3
-
1
1
r
a

= 9
3) ...)5(
2
1
...
2
25
2
5
2
1 1
 n
S1 =
2
1
, S2 - 3
2
5
2
1
 , S3 =
2
31
2
25
2
5
2
1

Sn = 1
)5(
2
1
...
2
25
2
5
2
1 
 n
= )
15
15
(
2
1

n
= )15(
8
1
n
ลำดับผลบวกของอนุกรมนี้คือ
)15(
8
1
,...,
2
31
3,,
2
1
n
 อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขำคณิต ซึ่ง r = 5
อนุกรมนี้เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ 1r
ดังนั้นอนุกรมนี้หำผลบวกไม่ได้
4) 5 + 5 + 5 + 5 + .... + 5n + …..
S1 = 5, S2 = 5 +5 = 10, S3 = 5 + 5 + 5 = 15
…..
Sn = 5n
ลาดับผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คือ
5, 10, 15, …., 5n, ……
อนุกรมนี้มี Sn = 5n ดังนั้นลาดับนี้ไม่มีลิมิต เป็ น
อนุกรมไดเวอร์เจนต์
ดังนั้นอนุกรมนี้ไม่สามารถหาผลบวกได้
ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาผลบวกอนันต์ของอนุกรม
......
8
1
4
1
2
1
1 
วิธีทำ อนุกรมเรขำคณิต
2
1
r,1a1 
 S =
r
a
1
1
 S =
2
1
1
1

= 2
ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาผลบวกของอนุกรม
.....
4
3
......
64
27
16
9
4
3







n
วิธีทำ อนุกรมเรขำคณิต a1 =
4
3
,
4
3
r 
 S =
r
a
1
1
 S =
4
3
1
4
3

= 34
4
3

ตัวอย่ำง 5 ลูกบอลยางลูกหนึ่ง ถูกปล่อยลงมาจากที่สูง 90 เซนติเมตร ลูกบอลเมื่อกระทบ พื้นจะกระดอน

38
ขั้นสูง
3
2
ของความสูงที่ตกลงมาทุกครั้ง จงหาระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่จนกว่ามันจะหยุดนิ่ง
วิธีทำ ให้ S เป็นระยะทางที่ลูกบอลตกลงมา และกระดอนขึ้นไปจนกว่าจะหยุด
S = 90 +
.....)90)(
3
2
)(
3
2
(
3
2
)90)(
3
2
)(
3
2
(
3
2
)90)(
3
2
(
3
2
)90(
3
2
)90(
3
2

















= 90 + 2(
3
2
)(90) + 2(
3
2
)2
(90) + ....)90()
3
2
(2 2

= 90 + 180( )
3
2
+ 180( )
3
2 2
+ 180( )
3
2 3
……
= 90 + 180( )
3
2




 .....)
3
2
(
3
2
1 2
= 90 + 180( )
3
2
(
3
2
1
1

) = 90 + 180( )
3
2
(3)
= 90 + 360 = 450
 ลูกบอลเคลื่อนที่ได้ระยะทางทั้งสิ้น 450 เซนติเมตร
ตัวอย่ำงที่ 6 เหมืองแร่ทองคาแห่งหนึ่ง ขุดทองคาได้น้อยลงร้อยละ 13 ของปีก่อน ๆ ถ้าในปี
แรกขุดทองได้เป็นมูลค่า 26 ล้านบาท จงหามูลค่าทองคาที่ขุดได้ตลอดกาล
วิธีทำ  ปีแรกขุดทองกาไรเป็นมูลค่า 26 ล้านบาท
 ปีที่สอง ขุดทองคาได้เป็นมูลค่า 26
100
87
 บาท
และ ปีที่สามขุดทองคาได้เป็นมูลค่า 26
2
100
87






 บาท
มูลค่าทองคาที่ขุดได้ตลอดกาลคือ 26 + 26 ....
100
87
26
100
87
2












=







100
87
1
26
=
100
13
26
= 200 ล้านบาท
ประโยชน์ของผลบวกอนุกรมอนันต์ ( กำรเขียนทศนิยมซ้ำในรูปเศษส่วน)
ประโยชน์ของอนุกรมอนันต์
การเขียนทศนิยมในรูปเศษส่วน
ทศนิยมมี 2 ชนิด

39
1. ทศนิยมรู้จบ เช่น 0.2 , 1.36 , 7.58
2. ทศนิยมไม่รู้จบ (repeating decimal)
2.1 ทศนิยมแบบไม่รู้จบแบบซ้ำ เขียนในรูปเศษส่วนได้ (จานวนตรรกยะ)
2.2 ทศนิยมแบบไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เขียนในรูปเศษส่วนไม่ได้(จานวนอตรรกยะ)
- จานวนที่ติดค่ารากที่สอง เช่น
...4142.12  ...7320.13 
- ค่าตงที่ต่าง ๆ เช่น
...1428.3
7
22
 ...718.2
กำรเขียนทศนิยมซ้ำในรูปเศษส่วนโดยใช้ผลบวกของอนุกรมอนันต์
ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียน 0.6๐
ในรูปเศษส่วน
วิธีทำ ...6666.06.0 
...006.006.06.0 
...
10
6
10
6
10
6
32

10
1
,
10
6
1  ra
r
a
s


1
1
10
9
10
6
10
1
1
10
6



3
2
9
10
10
6

3
2
6.0 
Ans
ตัวอย่ำงที่ 2 จงเขียน

54.2 ในรูปเศษส่วน
วิธีทำ ...4545.254.2 

...0045.00045.045.02 
...
10
45
10
45
10
45
2 642

จากอนุกรมเรขาคณิต 221
10
1
,
10
45
 ra
r
a
s


1
1
99
10
10
45
10
1
1
10
45 2
2
2
2



11
5

11
27
11
5
2
11
5
245.2 

Ans

721.0 ในรูปเศษส่วน ตัวอย่ำงที่ 4 จงเขียน


40
วิธีทำ ...12727.0721.0 

...00027.00027.01.0 
...
10
27
10
27
10
27
1.0 753

231
10
1
,
10
27
 ra
r
a
s


1
99
10
10
27
10
1
1
10
27 2
3
2
3



110
3

จะได้ว่า
110
3
1.0721.0 

110
311
110
3
10
1 

55
7
110
14

55
7
721.0 

Ans
วิธีทำ

712.0 = 0.12777…
= 0.12 + 0.007 + 0.00007
...
10
7
10
7
10
7
12.0 543

10
1
,
10
7
31  ra
r
a
s


1
99
10
10
7
10
1
1
10
7
33



900
7

จะได้ว่า
900
7
12.0712.0 

900
7108
900
7
100
12 

180
23
900
115

180
23
712.0 

Ans
กำรเขียนทศนิยมในรูปเศษส่วนวิธีลัด
แบบที่ 1 ซ้าทุกตัว
เศษ : ตัวเลขหลังจุดทศนิยม
ส่วน : ตัวซ้ำ แทนด้วย 9

วิธีทำ

54.0 =
99
45
=
11
5


วิธีทำ

27.3 = 3
99
72
= 3
11
8
แบบที่ 2 ซ้าบางตัว
เศษ : ตัวเลขหลังจุดทศนิยม – ตัวรู้จบ
ส่วน : ตัวซ้ำ แทนด้วย 9
ตัวรู้จบ แทนด้วย 0

วิธีทำ

721.0 =
990
1127 
=
990
126
=
55
7


วิธีทำ

712.0 =
990
12127 
=
900
115
=
180
23

แบบฝึกหัด 1.3 ก เรื่อง อนุกรมอนันต์

41
1. จงหาลาดับผลบวกย่อยของแต่ละอนุกรมต่อไปนี้
1. .....)
3
1
(
2
1
...
13
1
6
1
2
1 1
 n
2. ...)
3
2
(3...
3
4
23 1
 n
3. .....)5(
2
1
.....
2
25
2
5
2
1 1
 n
4. ....
)1(
......
8
1
)
4
1
(
2
1
2
1






n
n
5. ...5555 
6. ...)35(...)4()1(2  n
7. ....)
4
3
(....
64
27
16
9
4
3
 n
8. ....)1(...830 2
 n
9. .....)2(...901 23
 nn
10. ....)
10
1
(...
1000
1
100
1
10
1



 n
11. ...1.0110100 
อนุกรมในข้อ 1 อนุกรมข้อใดบ้างที่เป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเป็นเท่าไร
2. จงเขียนจานวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป เศษส่วน
1.
..
12.0 4.
..
783.4
2.
..
4016.0 5.
..
370.0
3.
..
652.7 6.
.
9.2
3. อนุกรม 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … เป็นอนุกรมลู่ออกหรือลู่เข้า
4. จงหาค่าของ x ถ้า
3
2
....1 32
 xxx
5. จงหาค่าของ 1a และ r ถ้า
3
2
....3
1
2
1
2
11  rarqraa และ
3
2
....3
1
2
111  rararaa
7. ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยมจััตุรัส จะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหม่
1) ถ้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปแรกมีเส้นรอบรูปยาว 20 หน่วย รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปสอง
มีเส้นรอบรูปยาว เท่าใด
2) ถ้ากระบวนการเกิดรูปใหม่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุด
ผลบวกของความยาวของเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดเป็นเท่าใด

42
8. สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ 10 นิ้ว สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ สองเกิดจากการต่อจุด
กึ่งกลางด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปและสามเหลี่ยมที่เกิดจากการต่อจุดกึ่งกลาง ด้านทั้งสามของ
สามเหลี่ยมทั้งหมด ถ้ากระบวนการนี้เกิดต่อเนื่องไปไม่ที่สิ้นสุด
9. เรือไวกิ้งเป็นเครื่องเล่นชนิดหนึ่งในสวนสนุก จากจุดซ้ายสุดถึงจุดขวาสุดตามส่วนโค้งขณะแกว่งยาว
75 เมตร ถ้าแกว่งครั้งใหม่จะสั้นลง โดยมีระยะเป็น
4
3
ของระยะเดิม อยากทราบว่าหากไม่มีการหยุดกะทันหัน
เรือไวกิ้งจะแกว่งไปมาตั้งแต่เริ่มจากจุดสูงสุดเป็นระยะทางเท่าใด
10. ถังบรรจุแก๊สพิษเก็บไว้ใต้ดินเพื่อให้ช่วยย่อยสลายตัวเองเกิดรอยร้าว จึงทาให้สารพิษแพร่กระจายซึมผ่าน
เนื้อดินออกไปในเวลาหนึ่งปี สารพิษดังกล่าวแพร่กระจายไปได้เป็นระยะทาง 1500 เมตร เมื่อสินปีที่สอง
สารพิษแพร่ต่อไปได้อีก 900 เมตร และเมื่อสินปีที่สาม สารพิษแพร่ต่อไปได้อีก 540 เมตร’d]jk;
1) ถ้าอัตราการแพร่กระจายของสารพิษดังกล่าวเป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ อยากทราบว่า เมื่อสิ้นปีที่สอบ
สารพิษดังกล่าวจะแพร่ไปได้ไกลเท่าใด
2) สารพิษดังกล่าวแพร่กระจายไปไกลถึงโรงเรียนซึ่งตั้งอยู่ห่างจากจุดฝังถังบรรจุสารพิษออกไป
4 กิโลเมตรหรือไม่ จงอธิบาย
แบบฝึกทักษะชุดที่ 1.6
จงเปลี่ยนทศนิยมต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วนโดยใช้ผลบวกอนุกรมอนันต์
( ทำเรียงตำมเลขที่ )
1.

614.0
2.

618.0
3.

321.0
4.

622.0
5.

325.0
21.

540.0
22.

631.0
23.

722.0
24.

813.0
25.

904.0

43
6.

329.0
7.

634.0
8.

337.0
9.

341.0
10.

654.0
11.

217.0
12.

520.0
13.

722.0
14.

823.0
15.

126.0
16.

227.0
17.

833.0 =
18.

237.0 =
19.

439.0 =
20.

742.0 =
26.

095.0
27.

186.0
28.

277.0
29.

368.0
30.

459.0
31.

150.0
32.

212.0
33.

303.0
34.

393.0
35.

484.0
36.

545.0
37.

696.0
38.

757.0
39.

787.0
40.

878.0
แบบฝึกทักษะ ( ต่อ )
จงเปลี่ยนทศนิยมต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเศษส่วนโดยใช้ผลบวกอนุกรมอนันต์
41.

611.0
42.

318.0
43.

621.0
44.

328.0
51.

348.0
52.

651.0
53.

661.0
54.

378.0

44
45.

338.0
46.

541.0
47.

361.0
48.

812.0
49.

632.0
50.

452.0
55.

723.0
56.

543.0
57.

183.0
58.

365.0
59.

456.0
60.

547.0
บทที่ 2
กำหนดกำรเชิงเส้น (linear programming)
กาหนดการเชิงเส้น(linear programming) เป็นวิธีการหนึ่งทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ซึ่งได้
พัฒนาขึ้นตั้งแต่ก่อน ค.ศ. 1940 เพื่อช่วยแก้ปัญหาและตัดสินใจเกี่ยวกับการใช้ทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจากัดให้เกิด
ประโยชน์สูงสุด คาว่าการบริหารทรัพยากร (4M)ในที่นี้หมายถึง เครื่องจักร กาลังคน วัตถุดิบ เวลา หรือเงิน
ลงทุนก็ได้ วิธีของกาหนดการเชิงเส้นทาให้ทราบว่าควรตัดสินในเกี่ยวกับการลงทุนอย่างไรจึงจะได้ผลกาไร
สูงสุดภายใต้เงื่อนไขต่างๆที่มีอยู่ เช่น ผู้จัดการโรงงานอาจต้องการหาทางที่จะประหยัดที่สุดเมื่อขนส่งสินค้าจาก
โรงงาน ไปสู่ตลาด หรือโรงเรียนอาจต้องออกแบบโภชนาการเพื่อให้คุณค่าทางอาหารสูงที่สุดในราคาต่าสุด
กาหนดการเชิงเส้นในระดับนี้ สามารถใช้วิธีการเรขาคณิตวิเคราะห์ได้โดยจะกล่าวถึงระบบอสมการ
เชิงเส้นก่อนดังนี้
3.1 กรำฟของอสมกำรเชิงเส้นตัวแปรเดียว

45
ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนกราฟของ 42  yx
จัดรูปสมการ y < 4 - 2x
จุดตัดแกน X (แทน y = 0)
2x +y = 4
2(0) + y = 4
y = 4
จุดตัดแกน X คือ (4 , 0)
จุดตัดแกน Y (แทน x = 0)
2x +y = 4
2x + 0 = 4
y = 2
จุดตัดแกน Y คือ (0 , 2)
รูป 3.1 A ส่วนที่แรเงาคือ 42  yx
ตัวอย่ำงที่ 2 จงเขียนกราฟของ 42 yx
จัดรูปสมการ y > 4 - 2x
รูป 3.1 B ส่วนที่แรเงาคือ 42 yx

46
3.2 กำรแก้ปัญหำกำหนดกำรเชิงเส้นโดยวิธีใช้กรำฟ
ในการแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้นนั้นจะต้องเริ่มต้นด้วยการสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
ซึ่งเป็นการแปลงสถานการณ์ปัญหาให้เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์จากนั้นจึงหาคาตอบของปัญหาด้วยวิธีการต่างๆ
ซึ่งใ นที่นี้จะใช้กราฟช่วยในการหาคาตอบประกอบด้วย
- ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)
- อสมการข้อจากัด (constraint inequalities)
- คาตอบที่ต้องการจะอยู่ที่จุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมของอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้
3.2.1 อสมกำรข้อจำกัด 2 สมกำร
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจากัด
P = 5x + 3y
x + y  6
2x + y  8
x  0 y  0
อสมกำร จัดรูป y = f(x) จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y
x + y  6 y  6 - x (6 , 0) (0, 6)
2x + y  8 y  8 - 2x (4 , 0) (0, 8)
จุดตัดกันของกราฟคือ .......(2 , 4)........

47
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
x
g x  = 8-2x
f x  = 6-x
d = 1.00
c = 1.00
b = 1.00
a = 1.00
O A
B
C
รูปหลายเหลี่ยม OABC อาณาบริเวณที่แรเงา ที่หาคาตอบได้ ดังตาราง
จุดมุม (x , y) P = 5x + 3y
O(0 , 0) 0
A(4 , 0) 20
B(2 , 4) 22
C(0 , 6) 18
จากตารางการเปรียบเทียบค่า P พบว่ำ จุดมุม B(2 , 4) ให้ค่ำ P สูงที่สุดมีค่ำเท่ำกับ 22
เมื่อ x = 2 , y = 4
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาค่ำต่ำสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจากัด

48
C = 3x + 2y
x + y  8
2x + y  10
x  0 y  0
x + y  8 y  8 - x (8 , 0) (0, 8)
2x + y  10 y  10 - 2x (5 , 0) (0, 10)
10
8
6
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
g x  = 10-2x
f x  =8-x
B
A
A(8 , 0) 24
B(2 , 6) 18
C(0 , 10) 20
จากตารางการเปรียบเทียบค่า C พบว่ำ จุดมุม B(2 , 6) ให้ค่ำ C น้อยที่สุดมีค่ำเท่ำกับ 18
เมื่อ x = 2 , y = 6
ตัวอย่ำงที่ 3 โรงงานเฟอร์นิเจอร์แห่งหนึ่ง ผลิตเก้าอี้สองชนิด ชนิดขาตรงและชนิดขาสิงห์

49
โดยที่เก้าอี้ชนิดขาตรงแต่ละตัวต้องใช้เวลาในการผลิตขั้นต้น 1 ชั่วโมง ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมง และขายได้กาไรตัวละ
30 บาท ส่วนเก้าอี้ชนิดขาสิงห์ แต่ละตัวต้องใช้เวลาในการผลิตขั้นต้น 2 ชั่วโมง
ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมง และขายได้กาไรตัวละ 50 บาท เวลาสาหรับการผลิตขั้นต้นและขั้นที่สองทางาน
วันละ ไม่เกิน 8 และ 10 ชั่วโมง ตามลาดับ จงหาว่าโรงงานควรผลิตเก้าอี้แต่ละชนิดเท่าใดในแต่ละวัน
จึงจะได้กำไรสูงที่สุด และกาไรเป็นเท่าใด
เก้าอี้ขาตรง เก้าอี้ขาสิงห์ เวลาสาหรับการผลิต
ขั้นต้น 1 ชั่วโมง 2 ชั่วโมง 8 ชั่วโมง
ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมง 2 ชั่วโมง 10 ชั่วโมง
กาไรต่อชิ้น 30 บาท 50 บาท
ให้ P คือ กาไรทั้งหมดที่โรงงานได้รับต่อวัน
x เป็น จานวนเก้าอี้ขาตรงที่ผลิตได้ใน 1 วัน
y เป็น จานวนเก้าอี้ขาสิงห์ที่ผลิตได้ใน 1 วัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์ คือ P = 30x + 50y
เวลาที่ใช้ผลิตเก้าอี้ในขั้นตั้น x + 2y ชั่วโมง
เวลาที่ใช้ผลิตเก้าอี้ในขั้นที่สอง 2x + 2y ชั่วโมง
เวลาสาหรับการผลิตขั้นต้นวันละ ไม่เกิน 8 ชั่วโมง
เวลาสาหรับการผลิตขั้นที่สอง วันละไม่เกิน 10 ชั่วโมง
อสมการข้อจากัดคือ
x + 2y  8
2x + 2y  10 และ x  0 , y  0
x + 2y  8 y 
2
8 x (8 , 0) (0, 4)
2x + 2y  10 y  5 - x (5 , 0) (0, 5)

50
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
g x  = 5-x
f x  =
8-x
2
O A
B
C
จุดมุม (x , y) P = 30x + 50y
O(0 , 0) 0
A(5 , 0) 150
B(2 , 3) 210
C(0 , 4) 200
จากตารางการเปรียบเทียบค่า P พบว่ำ จุดมุม B(2 , 3) ให้ค่ำกำไร สูงที่สุดมีค่ำ เท่ำกับ 210
จะได้ว่าในแต่ละวันโรงงานควรผลิตเก้าอี้ขาตรงจานวน 2 ตัว และเก้าอี้ขาสิงห์ 3 ตัว
ตัวอย่ำงที่ 4 โรงงานผลิตตุ๊กตาแห่งหนึ่ง ต้องการผลิตตุ๊กตาและรถเด็กเล่น โดยตุ๊กตาขายได้กาไรชิ้นละ 10 บาท
รถเด็กเล่นขายได้กาไรชิ้นละ 12 บาท ในการผลิตของเด็กเล่นทั้งสองต้องผ่านเครื่องอัดแบบและเครื่องพ่นสี
โดยตุ๊กตาใช้เวลาอัดแบบ 2 นาทีต่อชิ้น รถเด็กเล่นใช้เวลาอัดแบบ 3 นาทีต่อชิ้น สาหรับการพ่นสี ตุ๊กตาใช้
เวลา 1 นาทีต่อชิ้น รถเด็กเล่นใช้เวลา 3 นาทีต่อชิ้น ในแต่ละวัน เครื่องอัดแบบมีเวลาว่างสาหรับผลิตของเล่น
ทั้งสองชนิดนี้ 3 ชั่วโมง ในแต่ละวันเครื่องพ่นสีมีเวลาว่างสาหรับพ่นสีของเล่นทั้งสองชนิดนี้ 5 ชั่วโมง จงหา
หารผลิตของเล่นที่ทาให้ได้กาไรสูงสุดในแต่ละวัน
วิธีทำ เขียนตารางแสดงข้อมูลต่างๆ ดังนี้
ตุ๊กตา รถเด็กเล่น เวลาว่างของเครื่องจักร
เครื่องอัดแบบ 2 นาที 1 นาที 180 นาที
เครื่องพ่นสี 1 นาที 3 นาที 300 นาที
กาไรต่อชิ้น 10 บาท 12 บาท

51
ให้ P คือกาไรทั้งหมดที่โรงงานได้รับต่อวัน
ฟังก์ชันจุดประสงค์คือ P = 10x + 12y
x เป็นจานวนตุ๊กตาที่ผลิตได้ใน 1 วัน
y เป็นจานวนรถเด็กเล่นที่ผลิตได้ใน 1 วัน
อสมการข้อจากัดคือ
2x + y  180
x + 3y  300
x  0 y  0
2x + y  180 y  180 - 2x (90 , 0) (0,180)
x + 3y  300 y 
3
300 x (300 , 0) (0, 100)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-250 -200 -150 -100 -50 50 100 150 200 250
g x  =
300-x
3
f x  = 180-2x
จุดมุม (x , y) P = 10x + 12y
O(0 , 0) 0
A(90 , 0) 1200
B(48 ,843) 1488
C(0 , 100) 900
จากตารางการเปรียบเทียบค่า P พบว่ำ จุดมุม B(48 , 84) ให้ค่ำ กำไร P สูงที่สุดมีค่ำ เท่ำกับ 1488
ดังนั้นโรงงานจะต้องผลิตตุ๊กตาวันละ 48 ชิ้น ผลิตของเด็กเล่นวันละ 84 ชิ้น

52
อสมกำรข้อจำกัด 3 สมกำร
ตัวอย่ำงที่ 5 จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจากัด
P = 3x + 5y
x + 2y  8
3x + 2y  12
5x + 2y  20
x  0 y  0
x + 2y  8 y 
2
8 x (8 , 0) (0, 4)
3x + 2y  12 y 
2
312 x (4 , 0) (0, 6)
5x + 2y  20 y 
2
520 x (4 , 0) (0, 10)
จุดตัดกันของกราฟคือ ...(2 , 3) , ( 4 , 0) และ (3 , 2.5)
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
h x  =
20-5x
2
g x  =
12-3x
2
f x  =
8-x
2

53
O(0 , 0) 0
A(4 , 0) 12
B(2 , 3) 21
C(0 , 4) 20
จากตารางการเปรียบเทียบค่า P พบว่ำ จุดมุม B(2 , 3) ให้ค่ำ P สูงที่สุดมีค่ำ เท่ำกับ 21
เมื่อ x = 2 , y = 3
ตัวอย่ำงที่ 6 บริษัทแห่งหนึ่งมีเหมืองอยู่ 2 แห่ง ในแต่ละวันเหมืองที่หนึ่งผลิตแร่เกรด A ได้1 ตัน เกรด B ได้ 3
ตันและเกรด C ได้5 ตัน สาหรับเหมืองที่สองผลิตได้ทั้ง 3 เกรดได้เกรดละ 2 ตัน บริษัทต้องการผลิตแร่ส่งลูกค้า
โดยเป็นแร่เกรด A 80 ตัน เกรด B 150 ตัน และเกรด C 200 ตัน อยากทราบว่าบริษัทควรจะเปิดเหมืองเพื่อขุดแร่
แห่งละกี่วัน บริษัทจึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุดถ้าค่าใช่จ่ายในการขุดแร่แต่ละเหมืองในแต่ละวันเท่ากับ 6000 บาท
วิธีทำ เขียนตารางแสดงข้อมูลต่างๆ ดังนี้
แร่เกรด A แร่เกรด B แร่เกรด C ค่าใช้จ่าย
เหมืองที่หนึ่ง 1 ตัน 3 ตัน 5 ตัน 6000
เหมืองที่สอง 2 ตัน 2 ตัน 2 ตัน 6000
ผลิตส่งลูกค้า 80 ตัน 150 ตัน 200 ตัน
ให้ P เป็นค่าใช้จ่ายทั้งหมด
x และ y เป็นจานวนวันที่เปิดเหมืองที่หนึ่งและเหมืองที่สองตามลาดับ
จะได้ฟังก์ชันจุดประสงค์เป็น P = 6000x + 6000y
อสมการข้อจากัดคือ x + 2y  80
3x + 2y  150
5x + 2y  200
x  0 , y  0

54
x + 2y  80 y 
2
80 x (80 , 0) (0, 40)
3x + 2y  150 y 
2
3150 x (50 , 0) (0, 75)
5x + 2y  200 y 
2
5200 x (40 , 0) (0, 100)
จุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจากัดคือ A(80 , 0) , B(25 , 37.5), C(35 , 22.5) , D(0 , 100)
ถ้าพิจารณาจากจุดทั้งสี่นี้จุดที่ทาให้ค่า P = 6000x + 6000y ต่าสุดคือจุด C(35 , 22.5)
แต่จุดดังกล่าวไม่ใช่คู่อันดับของจานวนเต็ม ลองพิจารณาจุดที่มีพิกัดเป็นจานวนเต็มบน BC , AB จะได้
ผลดังนี้ อาณาบริเวณที่แรเงา ที่หาคาตอบได้ ดังตาราง
จุดมุม (x , y) P = 6000x + 6000y
(36 , 22) 348,000
(26, 36) 372,000
(34, 24) 348,000
(32, 27) 354,000
(30, 30) 360,000
(28, 33) 366,000
ดังนั้น บริษัทควรเปิดเหมืองที่หนึ่ง 36 วัน และเหมืองที่สอง 22 วัน หรือ
เปิดเหมืองที่หนึ่ง 34 วัน และเหมืองที่สอง 24 วัน จึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด
ข้อสังเกต
จากตัวอย่างที่ 6 นี้ x และ y เป็นจานวนเต็มที่ไม่น้อยกว่าศูนย์การเขียนกราฟในกรณีที่ x และ y
เป็นจานวนเต็ม จะได้กราฟเป็นจุดเรียงกันเป็นแนวเส้นตรง การเขียนกราฟย่อมทาได้ไม่สะดวก จึงเขียน
กราฟโดยใช้ x และ y เป็นจานวนจริงและถ้าพิกัดของจุด B ไม่ใช่จานวนเต็ม การหาคาตอบจะต้อง
พิจารณาจุดอื่นที่พิกัดเป็นจานวนเต็มและอยู่ในอาณาบริวณสี่เหลี่ยม OABC การพิจารณาในกรณีนี้ไม่
ต้องพิจารณาจุดทั้งหมดเพราะ จุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวนอนเดียวกัน (ค่า y เท่ากัน) จุดทางขวา (ค่า x
มากกว่า) จะให้ค่า 10x + 12y มากกว่าจุดทางซ้าย ในทานองเดียวกันจุดสองจุดใดๆ ซึ่งอยู่ในแนวตั้ง
เดียวกัน (ค่า y มากกว่า) จะทาให้ค่า 10x + 12y มากๆ ควรเป็นจุดที่อยู่บนขอบ AB BCหรือจุดที่อยู่ใกล้ๆ
ขอบทั้งสองเท่านั้น

55
1. จงหาค่าสูงสุดของ P ตามอสมการข้อจากัด
ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. P = 5x + 3y
2x + y  8
2x + 3y  12
x ≥ 0
y ≥ 0
2. P = 9x + 15y
3x + 4y  18
x + 2y  8
x ≥ 0
y ≥ 0
3. P = 7x + 3y
3x + y  6
x + y  4
x + 3y  6
x ≥ 0
y ≥ 0
2. จงหาค่าต่าสุดของ C ตามอสมการข้อจากัด
ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. C = 3x + 2y
x + y ≥ 6
2x + y ≥ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
2. C = 9x + 15y
3x + 4y≥ 25
x + 3y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
C = 5x + 7y
3x + y ≥ 6
x + y ≥ 4
x + 3y ≥ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
3. วันหนึ่งบริษัทรับจ้างขนของต้องส่งผลิตภัณฑ์ซึ่งบรรจุอยู่ในกล่องมาตรฐานเท่ากันไปให้ลูกค้า บริษัทมี
รถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญ่อยู่จานวนหนึ่ง มีพนักงานขับรถอยู่จานวน 10 คน การจัดกล่องขึ้นรถทาได้ที
ละคันและใช้เวลาไม่เท่ากันรถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญ่ การจัดกล่องขึ้นรถบรรทุกขนาดเล็ก ใช้เวลา 10
นาทีต่อคัน รถบรรทุกขนาดใหญ่ ใช้เวลา 30 นาทีต่อคัน เพื่อไม่ให้เสียเวลามากเกินไป บริษัทประเมินว่าเวลารวม
ในการจัดกล่องขึ้นรถไม่ควรเกิน 3 ชั่วโมง

56
1) ถ้าให้ x แทนจานวนรถบรรทุกขนาดเล็ก ให้ y แทนจานวนรถบรรทุกขนาดใหญ่
จงเขียนอสมการข้อจากัดในเทอมของ x และ y พร้อมทั้งเขียนกราฟ
2) ถ้า รถบรรทุกขนาดเล็กแต่ละคันบรรทุกกล่องได้ 30 กล่อง รถบรรทุกขนาดเล็กแต่ละคันบรรทุกกล่อง
ได้70 กล่อง อยากทราบว่าควรใช้รถบรรทุกขนาดเล็และขนาดใหญ่อย่างละกี่คัน เพื่อที่จะขนผลิตภัณฑ์ให้ได้
จานวนกล่องมากที่สุดในวันนั้น
4. ช่างตัดเสื้อมีผ้าสีพื้น 16 เมตร ผ้าลายดอก 15 เมตรและผ้าลูกไม้11 เมตร ถ้าช่างต้องการนาผ้าที่อยู่ดังกล่าวมา
ตัดเป็นชุดกลางวันและชุดราตรี โดยที่ชุดที่ตัดกลางวันแต่ละชุดใช้ผ้าสีพื้น 2 เมตร ผ้าลายดอก 1 เมตรและ
ผ้าลูกไม้1 เมตรและขายได้กาไรตัวละ 300 บาท ส่วนชุดราตรีแต่ละชุดต้องใช้ผ้าสีพื้น 1 เมตร ผ้าลายดอก 3
เมตรและผ้าลูกไม้2 เมตรขายได้กาไรตัวละ 500 บาทจงหาว่าช่างตัดเสื้อควรจะตัดชุดกลางวันและชุดราตรีอย่าง
ละกี่ชุดจึงจได้กไรมากที่สุดและเป็นเงินเท่าไร
5. นักธุรกิจผู้หนึ่งต้องการทาความสะอาดตู้5 ตู้โต๊ะ 12 ตัว และชั้นวางหนังสือ 18 ชั้น เขามีคนงานที่ทางานนี้
อยู่สองคน คนแรกสามารถทาความสะอาดตู้ 1 ตู้โต๊ะ 3 ตัว และชั้นวางหนังสือ 3 ชั้น ในเวลา 1 ชั่วโมง ส่วน
คนที่สอง สามารถทาความสะอาดตู้ตู้ 1 โต๊ะ 2 ตัว และชั้นวางหนังสือ 6 ชั้น ในเวลา 1 ชั่วโมง คนงานคนแรก
ได้รับค่าแรง 25 บาทต่อชั่วโมงและคนที่สองได้รับค่าแรง 22 บาทต่อชั่วโมง เพื่อที่จะเสียค่าแรงน้อยที่สุด
เขาควรจ้างคนงานทั้งสองคนให้ทางานคนละกี่ชั่วโมง
6. บริษัทผลิตจอคอมพิวเตอร์แห่งหนึ่งผลิตจอภาพสองชนิด คือ จอภาพธรรมดาและจอภาพแบน กาลังการผลิต
จอภาพทั้งสองของบริษัทนี้ทาได้300 ชิ้นต่อสัปดาห์ โดยต้นทุนในการผลิตจอภาพธรรมดาอยู่ที่ 3,600 บาทต่อ
ชิ้น และจอภาพแบนอยู่ที่ 5,400 บาท ต่อชิ้น ทางบริษัทได้กาหนดจานวนเงินลงทุนสาหรับการผลิตจอภาพทั้งสอง
ไว้ไม่เกิน 1,296,000 บาท ถ้าจอภาพธรรมดาได้กาไรชิ้นละ 1,800 บาท และจอภาพแบนได้กาไรชิ้นละ
22,00 บาท อยากทราบว่าบริษัทนี้ควรผลิตจอภาพทั้งสองชนิดอย่างน้อยสัปดาห์ละกี่ชิ้นต่อสัปดาห์จึงจะได้
กาไรมากที่สุดและได้กาไรเท่าไร

57
บรรณำนุกรม
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2548). คู่มือกำรจัดกำรเรียนรู้ กลุ่มสำระ
กำรเรียนรู้ คณิตศำสตร์. กรุงเทพมหานคร: คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2552). หนังสือเรียนสำระกำรเรียนรู้ เพิ่มเติม คณิตศำสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสำระกำรเรียนรู้
คณิตศำสตร์ ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 6 ตำมหลักสูตรกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช
2544. กรุงเทพมหานคร : คุรุสภา ลาดพร้าว.
. (2552). หนังสือเรียนรำยวิชำพื้นฐำน คณิตศำสตร์ เล่ม 3 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 4 - 6 ตำมหลักสูตร
แกนกลำงกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551. กรุงเทพมหานคร : คุรุสภา ลาดพร้าว.
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน. (2554). คู่มืออบรมครูวิทยำศำสตร์ คณิตศำสตร์ คอมพิวเตอร์
โลก ดำรำศำสตร์ ระดับมัธยมศึกษำตอนปลำยคณิตศำสตร์ โครงกำรพัฒนำครูวิทยำศำสตร์
คณิตศำสตร์ คอมพิวเตอร์ ระดับมัธยมศึกษำตอนปลำย. กรุงเทพมหานคร : คุรุสภา ลาดพร้าว.

เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57

More Related Content

What's hot

Similar to เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57

More from krurutsamee

เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57