The Matrix

1. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
เมตริกซ์
เมตริกซ์ คือการแสดงข้อมูลหรือตัวเลขชุดหนึ่งหรือกลุ่มหนึ่งด้วยการจัดลาดับของตัวเลขให้อยู่ใน
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ประกอบด้วยแถวนอนและแถวตั้ง
ความรู้เกี่ยวกับเมตริกซ์ จะเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการแก้ปัญหาระบบสมการเส้นตรงโดยในบทนี้จะ
เริ่มจากการอธิบายคาจากัดความของเมตริกซ์ ขนิดของเมตริกซ์ การดาเนินการบนเมตริกซ์ ทรานสโพส
ของเมตริกซ์ เมตริกนอนซิงกูลาร์และซิงกูลาร์ ดีเทอร์มินันต์ และการแก้ไขสมการโดยใช้เมตริกซ์และ
ดีเทอมินันต์
MATRIX

2. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824

3. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824

4. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
อธิบายเพิ่มเติม
ไมเนอร์ (Mij(A)) และ โคแฟกเตอร์(Cij(A))
ไมเนอร์ (Mij(A))
คือ ค่าของดีเทอร์มิเนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งได้จากการตัดแถวที่ i และ ตัดหลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก
เช่น ให้ A =
M23(A) = = = 8-14 = -6
โคแฟกเตอร์(Cij(A))
คือ Cij(A) = (-1)i+j
.Mij(A)
I+j เลขคู่แล้ว Cij = Mij
I+j เลขคี่แล้ว Cij = - Mij
เช่น จากตัวอย่างก่อนหน้า
C23(A) = (-1)2+3
.M23(A)
= (-1)5
.(-6)
= (-1).(-6) = 6
ดีเทอร์มิแนนต์ (det A , )
นิยาม
ดีเทอร์มิแนนต์ คือ ฟังก์ชันจากเซตของเมทริกซ์จัตุรัสทั้งหลายซึ่งมีขนาด n x n ไปยังเซตของจานวนจริง
สามารถเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ด้วย det(A) หรือ ก็ได้
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกซ์
1. เมตริกซ์ 1 x 1
ถ้า A = [a]
จะได้ว่า det(A) = a กล่าวง่ายๆ คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว จะมีค่าเท่ากับ
สมาชิกตัวนั้น

5. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
ad
-(bc)
(a31.a22.a13)+ (a32.a23.a11)+ (a33.a21.a12) = k2
2. เมตริกซ์ 2 x 2
ถ้า A =
det A = = ad – bc
จะได้ว่า det(A) = ad - bc
3. เมทริกซ์ 3 x 3
วิธีที่1 หลักต่อแถววิธีนี้ใช้คิดได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีมิติ3x3เท่านั้น
กาหนดให้ A =
โดยการนาแถวที่1และ2มาต่อท้าย แล้วคูณทแยงเหมือนกับ 2 X 2
A =
แล้วนา k1- k2 ก็จะได้ det A
***ข้อสังเกต
1.)ถ้าเมทริกซ์ มีสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่งเป็น 0 det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
2.)ถ้าเมทริกซ์ มีสมาชิก 2 แถวใดๆ เหมือนกันทุกตัวแล้ว det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
3.)ถ้าเมทริกซ์ มีสมาชิก 2 แถวใดๆ หรือ 2 หลักใดๆ เป็นสัดส่วนกันแล้ว det นั้น ตอบ 0
เช่น = 0
(a11.a22.a33)+ (a12.a23.a31)+ (a13.a21.a32) = k1

6. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
วิธีที่2 ใช้โคแฟกเตอร์  วิธีนี้สามารถใช้ได้กับเมทริกซ์จัตุรัสทุกขนาด
กาหนดให้ A =
ให้เลือกแถวใดแถวหนึ่ง หรือหลักใดหลักหนึ่งมาคิด
สมมติว่าเลือกแถวที่1 จะได้
det(A) = a11 .C11(A)+ a12 .C12(A)+ a13 .C13(A)
= a11 .(-1)1+1
.M11(A)+ a12 .(-1)1+2
.M12(A)+ a13 .(-1)1+3
.M13(A)
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
ให้ A = nxn โดยที่ n 2
1.) det A = 0 เป็นเมทริกซ์เอกฐาน เพราะหา A-1
ไม่ได้
det A 0 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน เพราะหา A-1
ได้
2.)ถ้าสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่ง ใน A เป็น 0ทุกตัว จะได้ det A = 0
เช่น A = หรือ A = จะได้ det A = 0
3.)ถ้า เมทริกซ์ B เกิดจากการสลับกันระหว่าง 2 แถว หรือ 2 หลัก ของเมทริกซ์ A จะได้ det B = -det A
เช่น A = และ B =
จะได้ det B = -det A
4.)ถ้า เมทริกซ์ A มีแถว 2 แถว เหมือนกัน หรือ มีหลัก 2 หลัก เหมือนกันทุกตัว จะได้ det A = 0
เช่น A = จะได้ det A = 0
5.) ถ้านาค่าคงตัวไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่ง แล้วนาไปบวกหรือลบกับอีกแถวหนึ่ง
จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ใหม่นั้นมีค่าเท่าเดิม (ระหว่างหลักกับหลักสมบัตินี้ก้สามารถใช้ได้)
เช่น =

7. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
6.) ถ้านาค่าคงตัว k ไปคูณกับแถวใดแถวหนึ่ง หรือ หลักใดหลักหนึ่งของเมทริกซ์ A
จะได้ว่า ค่าดีเทอร์มแนนต์ขงเทรกซ์ใหม่ เท่ากับ k det A
เช่น = k
7.) det(At
) = det(A)
8.) det(AB) = det A . det B
9.) det(Am
) = (det(A))m
โดย m เป็นจานวนเต็มบวกใดๆ
10.) det(kA) = kn
(det(A)) โดย A มีมิติ n x n
11.) det(A-1
) = โดย det(A) 0
12.) det(I)= 1 โดย I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์
อธิบายเพิ่มเติม
เมทริกซ์ผูกพัน ( adj(A))
เมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix) มิติ n x n ,n = 2,3…คือ ทรานสโพสของโคแฟคเตอร์ของเมทริกซ์นั้น
สมบัติ A(adjA) = (adjA)A = (det A )Inxn
ให้ A =
จะได้ adj(A) = t

8. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
อธิบายเพิ่มเติม
ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์ ( A-1
)
ให้ A มีมิติเป็น n x n และ A-1
จะมีมิติ n x n ด้วย
จะได้ A.A-1
= A-1
.A = In
การหา A-1
ของ เมทริกซ์ มิติ 2 x 2
A =
จะหา A-1
ได้ ก็ต่อเมื่อ ad – bc 0
และ A-1
=
–
หรือ A-1
= . adj(A)
เทียบกันแล้วจะได้ว่า
det(A) = ad – bc และ
adj(A) =

9. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
การหา A-1
ของ เมทริกซ์ มิติ 3 x 3
ให้ A มีมิติ n x n โดยที่ det(A) 0
A-1
= . adj(A)
สมบัติ
ถ้า A , B และ C เป้ นเมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณ
1.) AB = AC จะได้ A-1
AB = A-1
AC จะได้ IB = IC จะได้ B= C
2.) (A-1
)-1
= A
3.) (An
)-1
= (A-1
)n
= A-n
4.) (kA)-1
= k-1
. A-1
= . A-1
5.) (AB)-1
= B-1
. A-1
และ (ABC)-1
= C-1
. B-1
. A-1

10. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
14.Roll operation

11. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824

12. เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เมทริกซ์ จัดทาโดย นักเรียนห้อง 824
อธิบายเพิ่มเติม
การดาเนินการตามแถว
เช่น =
=
5R1 R12 R2 – 2R1
Note
ถ้า
จะได้ว่า
B = A-1

13. ตัวอย่างโจทย์ เรื่อง เมทริกซ์
1. กําหนด A = ค่าของ A + 2A
ก. A
t
ข. A
ค. –A
t
ง. 2A
t
2. ให้ A = , B = , C = และ 3A –B + 2C = แล้ว ค่าของ 2a-
b+c+d เท่ากับข้อใด
ก. 4
ข. 10
ค. 24
ง. 30
3. กําหนด A = , B = และ C = ค่า a ที่สอดคล้องกับสมการ
(At
)t
B + (Bt
A)t
= (4C)t
ก. 4
คือข้อใด
ข. 3
ค. 2
ง. 1
4. ให้ A , B และ C เป็นเมตริกซ์มิติ 3*3
ถ้า det(A) = -4 และ At
B – 2At
Ct
= -4A-1
แล้ว det(2C-Bt
ก. -2
) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ข. -4
ค. 2
ง. 4

14. 5. กําหนดให้ a, b, c เป็นจํานวนจริง และ A = ถ้า C12
ก. -4
(A) = 1 และ det(A) = -9 แล้วค่า
ของ a ตรงกับข้อใด
ข. -3
ค. 3
ง. 4
6. จากผลคูณเมทริกซ์ที่กําหนดให้
ส่งผลให้เกิด ค่า det(c) = = 6
จงหาค่า a เมื่อ a > 0
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
7. กําหนด A และ B เป็นเมทริกซ์ 4 × 4
โดยที่ A+B = AB det(A-I) = 97 จงหา 194det(B-I)
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4

15. 8. กําหนด เมื่อสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ є R
จะได้ f1(x) = (a31+a21)x2
f
; x≥ 0
2(x) = (a11-a33)x2
f
+8 ; x≥0
3(x) = ; y ≥0
ข้อใดถูกต้องในช่วง [5, )
1. f1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 2. f2 เป็นฟังก์ชันลด 3. f3 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
4. f1,f2,f3 เป็น f
ก. 1,2 ถูก
1-1
ข. 3,4 ถูก
ค. 1 เท่านั้น
ง. 2,4 ถูก
9. ให้ A = จงหาค่า det(adj(A+A2
+A3
+…+A10
ก. 1
))
ข. 25
ค. 55
ง. 100
10. ให้ g(x) = 3x+5
f( ) = (1+ )+1 ซึ่ง h(x)= k(x+2) โดยที่ k3
-7k2
จาก f ข้างต้นทําให้เกิด
+21k-294 =0
A =
จงหา
ก.
ข.
ค.
ง.

16. 11. กําหนดสมการวงกลม
X2
+y2
ก่อให้เกิด A =
-2x-6y-6 = 0
เมื่อ r คือ รัศมีของวงกลม
ซึ่งมี B =
จงหา det(2(adj(AB+A))det[5](A-1
)t
)t
ก.
ข. 1,000
ค. 2,500
ง.

17. 1. จงตรวจสอบประพจน์ต่อไปนี้
แถม
1.)
2.)
3.)
เมื่อ A,B เป็นเมทริกซ์ non-singular มิติ 2×2
ซึ่ง detA + detB = 3 ------------(1)
detA – detB = 1 ------------(2)
4.)
ข้อใดเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น
ก. 1.) และ 2.)
จริง
ข. 2.) และ 3.)
ค. 1.) และ 3.)
ง. 2.) และ 4.)
2. กําหนด
จงหา (- ] [y, เป็นสับเซตช่วงใด เมื่อ y อยู่ในช่วง (- ]
1)
2)
3) [-10,-3]
4) (- ]
ก. 1) และ 2)
ข. 1) และ 3)
ค. 2) และ 4)
ง. 3) และ 4)

18. เฉลยโจทย์เมตริกซ์
1. ตอบ ข.
วิธีทํา จากโจทย์จะเห็นได้ว่าเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ เสมือนสมมาตร ซึ่ง At
ดังนั้น A + 2A
จะมีค่าเท่ากับ –A
t
= A + (-2A)
= A + 2(-A)
= A – 2A
= -A = At
2. ตอบ ก.
วิธีทํา
3A =
หาค่าของ 3A
=
หาค่าของ 2C
2C = =
หาค่าของ 3A – B + 2C
- + = =
ดังนั้น a = 7 b = 10 c = -9 d = 9
หาค่าของ 2a-b+c+d = 2(7) – 10 + (-9) + 9 = 4
3. ตอบ ก.
วิธีทํา จัดรูปสมการจะได้ (A)B + (At
)B = 4(Ct
(A+A
)
t
)B = 4(Ct
)
ดังนั้น 4a-16 = 0 และ 6a-8 = 16
a = 4 a = 4
จะได้ว่า a = 4

19. 4. ตอบ ง.
วิธีทํา
det(A
จัดการใส่ det ทั้ง2 ข้าง
t
B – 2At
Ct
) = det(-4A-1
det(A
)
t
(B – 2Ct
)) = (-4)3
(det(A-1
(detA
))
t
)(det(B – 2Ct
)) = -64 ( )
-4 (det(B – 2Ct
det(-2C + B
) = 16
t
)t
det((-1)(2C – B
= -4
t
))t
(-1)
= -4
3
det(2C – Bt
det(2C – B
) = -4
t
) = 4
5. ตอบ ง.
วิธีทํา ดูที่ C12
C
(A) = 1 ก่อน
12(A) = (-1)1+2
(M12(A)) = 1 ดังนั้น M12
M
(A) = -1
12(A) = -1  
จะได้ว่า –b – c = -1 ------------
พิจารณา det(A) = -9
= - a – c + 0 – 0 – a – b = -9
-2a – b – c = -9
จาก จะได้
-2a -1 = -9
-2a = -8
ดังนั้น a = 4

20. จากการคูณเมทริกซ์ที่กําหนดให้จะได้ว่า
6. ตอบ ง.
สามารถสรุปเป็นสมการ การเท่ากันของตําแหน่งในเมตริกซ์
x+ y+ z = 6 -------- (1)
-2x+ 3y+ 19z = 61 -------- (2)
x+ 7y+ 8z = 39 -------- (3)
(1)×8 ; 8x+ 8y+ 8z = 48 -------- (4)
(4)-(3); 7x+y = 9 -------- (5)
(1)×19; 19x+ 19y+ 19z = 114 ------ (6)
(6)-(2); 21x+ 16y = 53 ------- (7)
(5) ×3 ; 21x+ 3y = 27 ------- (8)
(7)-(8); 13y = 26 y=2
x =1 , z = 3
det(C) = (y+a)(a-z)-0 = 6
(2+a)(a-3)= 6
a2
(a-4)(a+3)= 0
–a – 12 = 0
a = -3,4 จากโจทย์ a>0 จึงต้องตอบตัวเลือก ง. 4
A+B = AB
7. ตอบ ข.
แล้ว A = AB-B
A = (A-I) B
detA = det(A-I)detB
detA = 97detB ----------------(1) จาก det(A-I) = 97
B = AB-A
B = A(B-I)
detB = detAdet(B-I)-----------(2)
detB = 97detBdet(B-I) แทน(1) ใน(2)
det(B-I) = 194det(B-I) = 2 ในตัวเลือก ข.

21. กําหนด
8. ตอบ ง.
A A
จาก (A
-1
-1
)-1
จะได้ A =
=A
f1(x) = (a31+a21)x2
f
; x≥ 0
1(x) = (0+0)x2
f
; x≥ 0
1
คือ แกน +x ไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่มหรือลด เป็นฟังก์ชันคงตัว
(x) = 0
f2(x) = (a11-a33)x2
f
+8 ; x≥0
2(x) = (1-(-1))x2
= 2x
+8 ; x≥0
2
เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
+ 8
f3(x) = ; y ≥0
f3(x) = ; y ≥0
y2
เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
= 23x ; y ≥0
แสดงว่า 1. ผิด 2. ถูก 3. ผิด 4. ถูก ตอบ ง. 2, 4 ถูก
ให้ A =
9. ตอบ ง.
จงหาค่า det(adj(A+A2
+A3
+…+A10
A
))
2
= A2
=
A3
=
…
A10
=
ไม่มีผลต่อ det det(adj(A+A2
+A3
+ … + A10
)) = det 2-1
= 100

22. ให้ g(x) = 3x+5
10. ตอบ ข.
f( ) = (1+ )+1
ซึ่ง h(x) = k(x+2) โดยที่ k3
-7k2
สามารถใช้ทฤษฎีเศษ (k-3)(k
+21k-294 =0
2
k = 3
-4k+98) = 0
h(x)= 3x+6 f(x)=x+1
A =
= = ตัวเลือก ข.
กําหนดสมการวงกลม
11. ตอบ ข.
X2
+y2
(x-1)
-2x-6y-6 = 0
2
+(y-3)2
= 42
ก่อให้เกิด A =
r = 4
B =
det(2(adj(AB+A))det[5](A-1
)t
)
= 2
t
2
det(A)2-1
det(B+I)2-1
52
=4det(B+ I)25
=100(10)= 1,000 ตัวเลือก ข.

23. 1. ตอบ ค.
เฉลยแถม
จาก 1.)
ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริงอยู่แล้ว จากนิยาม det ของเมทริกซ์ 1×1
เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง ถ้าจริง แล้ว เท็จ ย่อมมีค่าความจริงเป็น
2.)
จริง
จริง แต่เมื่อ B ≠ A-1
ทําให้ AB ≠ I ประพจน์นี้ค่าความจริงเป็นเท็จ
เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง เท็จ ก็ต่อเมื่อ จริง ย่อมมีค่าความจริงเป็น เท็จ
3.)
เมื่อ A,B เป็นเมทริกซ์ non-singular มิติ 2×2
ซึ่ง detA + detB = 3 ------------(1)
detA – detB = 1 ------------(2)
เมื่อ A,B เป็นเมทริกซ์ non-singular มิติ 2×2
ซึ่ง detA + detB = 3 ------------(1)
detA – detB = 1 ------------(2)
จะได้ว่า detA = 2
detB = 1
ประพจน์แรกมีค่าความจริงเป็นจริง
จากสมบัติการสลับแถวและหลัก

24. ประพจน์ที่สองจึงมีค่าความจริงเป็นจริง จริงและจริง ได้
4.)
จริง
ประพจน์แรก ค่า det ≠ เมทริกซ์ อยู่แล้วจึงมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ประพจน์ที่สอง -2C1 =C3 ทําให้ det = 0 เป็นเมทริกซ์ singular จึงหา A-1
จึงมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ไม่ได้
เท็จหรือเท็จ ได้
จึงสามารถสรุปได้ว่า ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น
เท็จ
จริง
2. ตอบ ง.
คือ ข้อ 1. และ 3. ตัวเลือก ค.
จะได้ว่า xy = 30 ---------(1)
-1(2x+y) = 16 --------(2)
-2x – y = 16
y = -2x-16 ----(3) แทนใน(1)
(-2x-16)x = 30
(x+8)x = -15
x2
(x+3)(x+5) = 0
+8x +15 = 0
x = -3,-5 y = -10, -6
ต้องเลือกกรณี x =-3 y = -10 จากช่วง y = (- ]
(- ] [y, = (- ] [-10, =[-10,-3]
ซึ่ง 1) =
2) = [8,9]
3) [-10,-3]
4) (- ] พบว่า [-10,-3] เป็นสับเซตของ 3) และ 4) พอดี จึงตอบตัวเลือก ง.