1. บทที่ 2
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (the derivative of function )
ประโยชน์ของอนุพันธ์
1. การเจริญเติบโตของร่างกายในแต่ละวัน
2. การเพิ่มของประชากรแต่ละประเทศ
3. การเกิดและการตายของพืชและสัตว์
4. การละลายของสารเคมี
5. การเคลื่อนที่ของวัตถุ
2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง
ถ้า y = f (x) เป็นฟังก์ชันใดๆ เมื่อค่าของ x เปลี่ยนเป็น x + h โดยที่ h  0
ค่าของ y เปลี่ยนจาก f (x) เป็น f (x + h )แล้ว
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ
h
xfhxf )()( 
2. อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ (อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง)
คือ 0
lim
h h
xfhxf )()( 
ตัวอย่างที่ 1 ให้ y = 3x2
– 2 x จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 2
วิธีทา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4
จาก y = 3x2
– 2 x
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ y เทียบกับ x ในช่วง x ถึง x + h คือ
จาก
h
xfhxf )()( 
=
24
)2()4(

 ff
f (4 ) = 3 ( 4 )2
– 2 ( 4 ) = 48 – 8 = 40
f (2 ) = 3 ( 2 )2
– 2 ( 2 ) = 12 – 4 = 8
แทนค่า
24
)2()4(

 ff
=
2
840 
=
2
32
= 16
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4 เท่ากับ 16 @
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ ขณะ x = 5

2. 2
อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ คือ 0
lim
h h
xfhxf )()( 
ถ้า f(0) =
0
0
= หาค่าไม่ได้
จาก ( x + h )2
= x2
+ 2xh + h2
จะได้ 3 ( x + h )2
= 3 ( x2
+ 2xh + h2
) = = 3x2
+ 6xh + 3h2
จัดรูป ดึงตัวร่วม f (x) = 3x2
– 2 x
f ( x + h ) = 3 ( x + h )2
- 2 ( x + h ) = 3x2
+ 6xh + 3h2
– 2x - 2h
อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ คือ 0
lim
h h
xfhxf )()( 
0
lim
h h
xfhxf )()( 
= 0
lim
h h
xxhxhxhx )23(22363 222

;
= 0
lim
h h
xxhxhxhx 2322363 222

= 0
lim
h h
hhxh 236 2

= 0
lim
h h
hxh )236( 
; h  0
= 0
lim
h
6x + 3h – 2 = 6x – 2
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x = 2 คือ 6 (2) – 2 = 10
โจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลง
1. โจทย์เกี่ยวกับพื้นที่และปริมาตร
สูตรของพื้นที่
1. พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = (ด้าน)2
2. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว
3. พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า =
4
3
= (ด้าน)2
4. พื้นที่วงกลม = r2
สูตรของปริมาตร
1. ปริมาตรของทรงกระบอก = r2
h
2. ปริมาตรของกรวย =
3
1
r2
h
3. ปริมาตรของทรงกลม =
3
4
r3

3. 3
ตัวอย่างที่ 1 วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี
เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 15 เซนติเมตร
วิธีทา 1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
ให้ f (r) แทนพื้นที่วงกลม มีรัศมียาว r เซนติเมตร
f (r) = r2
จาก
h
rfhrf )()( 
=
812
)8()12(

 ff
f (12) = (12)2
= 144 
f (8) = (8)2
= 64 
แทนค่า
812
)8()12(

 ff
=
4
64144  
= 
4
80
= 20 
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมี
เปลี่ยน จาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร เท่ากับ 20  ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 15 เซนติเมตร
0
lim
h h
xfhxf )()( 
f (r) = r2
f (r + h) = ( r + h)2
= ( r 2
+ 2r h + h2
)
= r 2
+ 2r h + h2
แทนค่า = 0
lim
h h
rhrhr 222
2(  
= 0
lim
h h
hrh 2
2  
= 0
lim
h h
hrh )2(  
; h  0
= 0
lim
h
2 r + h
= 2 r + (0) = 2 r
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 15 เซนติเมตร
เท่ากับ 2  ( 15) = 30  ตารางเซนติเมตร/เซนติเมตร

4. 4
2.2 ความหมายของอนุพันธ์
ถ้าให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชัน และให้ f /
เป็นฟังก์ชันใหม่ โดยที่ 0
lim
h h
xfhxf )()( 
เรียก f /
(x) ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ( อ่านว่า เอฟไพร์มของเอกซ์ ) และเรียก f /
ว่าการหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชัน f
บทนิยาม ให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นเซตของจานวนจริง และ
0
lim
h h
xfhxf )()( 
หาค่าได้ เรียกค่า ลิมิตที่ได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ f /
(x)
สัญลักษณ์ของอนุพันธ์ เช่น อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ
(อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง) คือ 0
lim
h h
xfhxf )()( 
f /
(x)
dx
dy
y/
หมายเหตุ
1.
dx
dy

x
y
เพราะ
dx
dy
คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ไม่ได้หมายถึง d คูณ x หารด้วย d คูณ y
2. หนังสือบางเล่มใช้สัญลักษณ์ x อ่านว่าเดลต้าเอกซ์
3.
dx
dy
มีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มีค่าใดๆ
4. เมื่อ t แทนเวลา S แทนระยะทาง ที่บอกตาแหน่งวัตถุนิยมใช้ t แทน x และ S แทน y
ดังนั้น y = f (x) จึงเป็น S = f (t) และ
dx
dy
เป็น
dt
ds
การหาอนุพันธ์มี 2 วิธี
วิธีที่ 1 ใช้ลิมิต
วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์
สูตรอนุพันธ์
สูตรที่ 1 ถ้า y = c แล้ว
dx
dy
= 0 ; c เป็นค่าคงตัว (constant)
เช่น ถ้า y = 3 แล้ว
dx
d )3(
= 0
สูตรที่ 2 ถ้า y = x แล้ว
dx
dy
= 1
เช่น ถ้า y = x แล้ว
dx
dx
= 1
สูตรที่ 3 ถ้า y = c f(x) แล้ว
dx
dy
=
dx
xdf
c
)(
เช่น ถ้า y = 5x แล้ว 5
dx
xd )(
= 5

5. 5
สูตรที่ 4 ***
ถ้า y = xn
แล้ว
dx
dy
= n xn – 1
4.1 ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก
เช่น
dx
)x(d 2
= 2x2 - 1
= 2x
dx
xd )( 3
= 3x3 - 1
= 3x2
dx
xd )( 4
= 4x4 - 1
= 4x3
___
dx
xd n
)(
= nxn - 1
4.2 ถ้า n เป็นจานวนเต็มลบ (จากนิยาม n
x
1
= x- n
)
เช่น
dx
xd )( 1
= -1 x- 1 - 1
= - x- 2
= 2
1
x

dx
xd )( 2
= - 2x- 2 - 1
= - 2x- 3
= 3
2
x

dx
xd )( 3
= - 3x- 3 - 1
= - 3x- 4
= = 4
3
x

___
dx
)x(d n
= - nx- n -1
= 1
 n
x
n
4.3 ถ้า n เป็นเศษส่วนบวก
จานวนที่ติดค่ารากที่ n
นิยาม 1. รากที่สอง x = 2
1
x
2. รากที่สาม 3
x = 3
1
x
3. รากที่ n n m
x = n
m
x
ตัวอย่างที่ 4.3 ถ้า y = x จงหา
dx
dy
วิธีทา จาก y = x = 2
1
x
dx
dy
= 2
1
x
dx
d
=
1
2
1
2
1 
x = 2
1
2
1 
x
=
x2
1
4.4 ถ้า n เป็นเศษส่วนลบ
ตัวอย่างที่ 4.4 ถ้า y = 3
1
x
จงหา
dx
dy
วิธีทา จาก y = 3
1
x
= 3
1

x
dx
dy
= 3
1

x
dx
d
= -
1
3
1
3
1 
x
= - 3
4
3
1 
x
= -
3
4
3
1
x
= 3
3
1
xx

6. 6
สูตรที่ 5 อนุพันธ์ผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน
ถ้า y = f(x)  g(x) แล้ว
dx
dy
= )(xf
dx
d
)(xg
dx
d
ตัวอย่างที่ 5.1 กาหนดให้ y = x5
– x4
+ 2x3
จงหา
dx
dy
วิธีทา y = x5
– x4
+ 2x3
dx
dy
= )2( 345
xxx
dx
d

= )( 5
x
dx
d
- )( 4
x
dx
d
+ )2( 3
x
dx
d
= )( 5
x
dx
d
- )( 4
x
dx
d
+ )(2 3
x
dx
d
= 5x4
- 4x3
+ 2 (3x2
)
= 5x4
- 4x3
+ 6x2
ตัวอย่างที่ 5.2 กาหนดให้ y = 5x3
– 3x2
- 4x – 7
จงหา f /
(- 1)
วิธีทา y = 5x3
– 3x2
- 4x – 7
dx
dy
=
dx
d
( 5x3
– 3x2
4-x – 7)
=
dx
d
( 5x3
) -
dx
d
( 3x2
)-
dx
d
(4x) -
dx
d
(7)
= 5
dx
d
( x3
) - 3
dx
d
( x2
)- 4
dx
d
(x) -
dx
d
(7)
= 5(3x2
) - 3(2x) - 4
= 15x2
– 6x - 4
f /
(- 1) = 15 (- 1)2
– 6( - 1 ) - 4
= 15 + 6 - 4
= 17
สูตรที่ 6 อนุพันธ์การคูณของฟังก์ชัน ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x
และ y = f(x) g(x) แล้ว
dx
dy
= g(x) )(xf
dx
d
+ f(x) )(xg
dx
d
= g(x) )(/
xf + f(x) )(/
xg
สมบัติของการคูณเลขยกกาลัง
1. xm
 xn
= xm + n
จงหาค่าต่อไปนี้
1.1 23
x 22
= ………………..1.2 x3
 x =……………
1.3 23
x 2 =………………. 1.4 x  x2
= …………..
ตัวอย่างที่ 6.1 กาหนดให้ y = x3
( 2x – 1 ) จงหา
dx
dy
วิธีที่ 1 หาผลคูณ
y = x3
( 2x – 1 )
= 2x4
- x3
dx
dy
= )2( 34
xx
dx
d

= 2( 4x3
) - 3x2
= 8x3
- 3x2
วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลคูณ
y = )()( xgxf  = x3
( 2x – 1 )
dx
dy
= )()()()( xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg 
= )12()12( 3
3
 x
dx
d
x
dx
dx
x
= (2x – 1 ) 3x2
+ x3
( 2 )
= 6x3
– 3x2
+ 2x3
= 8x3
- 3x2

7. 7
ตัวอย่างที่ 6.2 กาหนดให้ y = x ( x2
– 2 ) จงหา
dx
dy
วิธีที่ 1 หาผลคูณ
y = x ( x2
– 2 )
y = 2
1
x ( x2
– 2 )
= 2
5
x - 2 2
1
x
=
dx
d
( 2
5
x - 2 2
1
x )
= 2
3
2
5
x - 2 2
1
)
2
1
(

x
= xx
2
5
-
x
1
วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลคูณ
y = )()( xgxf 
y = x ( x2
– 2 )
y = 2
1
x ( x2
– 2 )
y = )()( xgxf 
dx
dy
= )()()()( xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg 
= )2()2( 22
12
1
2
 x
dx
d
x
dx
dx
x
= ( x2
– 2 ) ( 2
1
2
1 
x ) + )2(2
1
xx
= 2
1
2
3
2
1 
 xx + 2 2
3
x
= xx
2
5
-
x
1
ตัวอย่างที่ 6.3 กาหนดให้ y = ( 2x – 3 )( 3x + 5)
จงหา
dx
dy
วิธีทา y = ( 2x – 3 )( 3x + 5) = 6x2
+ x - 15
dx
dy
=
dx
d
(6x2
+ x - 15)
= 12x + 1
สูตรที่ 7 อนุพันธ์การหารของฟังก์ชัน ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x
และ y =
)(
)(
xg
xf
แล้ว
dx
dy
= 2
)]([
)()()()(
xg
xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg 
เมื่อ 0)( xg
= 2
//
)]([
)()()()(
xg
xgxfxfxg 
เมื่อ 0)( xg
สมบัติของการหารเลขยกกาลัง
1. n
m
x
x
= xm - n
จงหาค่าต่อไปนี้
1.1 2
5
2
2
= ………………..1.2 4
6
x
x
=……………

8. 8
1.3
2
23
=………………. 1.4 2
x
x
= …………..
ตัวอย่างที่ 7.1 กาหนดให้ y = 3
6
3
x
x 
จงหา
dx
dy
วิธีที่ 1 หาผลหาร
y = 3
6
3
x
x 
= x3
– 3x- 3
dx
dy
= )3( 33 
 xx
dx
d
= 3x2
– 3( - 3 ) x- 4
= 3x2
+ 4
9
x
วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลหาร
สูตรที่ 7 ถ้า y =
)(
)(
xg
xf
= 3
6
3
x
x 
แล้ว
dx
dy
= 2
//
)]([
)()()()(
xg
xgxfxfxg 
dx
dy
=
 23
3
663
)(
)3()3(
x
dx
dx
xx
dx
d
x 
= 6
2653
)3)(3()6(
x
xxxx 
= 6
288
936
x
xxx 
= 6
28
93
x
xx 
= 3x2
+ 4
9
x
ตัวอย่างที่ 7.2 กาหนดให้ y =
x
x 23

จงหา
dx
dy
วิธีที่ 1 หาผลหาร
y =
x
x 23

=
2
1
3
2
x
x 
y = 2
5
x - 2
1
2

x
dx
dy
= 2
3
2
5
x - 2
3
)
2
1
(2

 x
= xx
2
5
+
xx
1
วิธีที่ 2 ใช้สูตรอนุพันธ์ผลหาร
สูตรที่ 7 ถ้า y =
x
x 23

=
)(
)(
xg
xf
dx
dy
= 2
//
)]([
)()()()(
xg
xgxfxfxg 
dx
dy
=
 2
2
1
33
)(
)2()2(
x
dx
dx
xx
dx
d
x 
=
x
xxxx 2
1
322
1
2
1
)2()3(


=
x
xxx 2
1
2
5
2
5
2
1
3


=
x
xx 2
1
2
5
2
5 

=
1
2
5
2
5 
x -
1
2
1

x
= 2
3
2
5
x - 2
3

x

9. 9
= xx
2
5
+
xx
1
ตัวอย่างที่ 7.3 ให้ y =
13
2
x
x
จงหา
dx
dy
ตัวอย่างที่ 7.4 ให้ y =
42
42


x
x
จงหา
dx
dy
วิธีทา ใช้สูตรที่ 7 อนุพันธ์การหาร
y =
13
2
x
x
=
)(
)(
xg
xf
dx
dy
= 2
//
)]([
)()()()(
xg
xgxfxfxg 
=
 
2
)13(
13)2()2()13(


x
x
dx
d
xx
dx
d
x
=  
2
)13(
3)2()2)(13(


x
xx
= 2
)13(
626


x
xx
= 2
)13(
2
x
วิธีทา จัดรูปโดยใช้การแยกตัวประกอบ
y =
42
42


x
x
=
)2(2
)2)(2(


x
xx
; x  2
y = )2(
2
1
x
dx
dy
= )2(
2
1
x
dx
d
=
2
1
)2( x
dx
d
=
2
1
( 1 + 0 )
=
2
1
สูตรที่ 8 กฎลูกโซ่ ( chain rule )
ถ้า y = [ f (x) ]n
แล้ว
dx
dy
= n [ f (x) ]n – 1
)(xf
dx
d
= n [ f (x) ]n – 1
)(/
xf
ตัวอย่างที่ 8.1 กาหนดให้ y = ( 3x – 1 )2
จงหา
dx
dy
วิธีที่ 1 หาผลคูณ
y = ( 3x – 1 )2
= 9x2
– 6x + 1
dx
dy
=
dx
d
(9x2
– 6x + 1 )
= 18x - 6
วิธีที่ 2 ใช้กฎลูกโซ่
y = ( 3x – 1 )2
dx
dy
=
dx
d
( 3x – 1 )2
dx
d
( 3x – 1 )
= 2 ( 3x – 1 )(3)
= 6 ( 3x – 1 )
= 18x – 6
ตัวอย่างที่ 8.2 กาหนดให้ y = ( 2x – 1 )5
จงหา
dx
dy
วิธีที่ 2 ใช้กฎลูกโซ่
y = ( 2x – 1 )5
dx
dy
=
dx
d
( 2x – 1 )5
dx
d
( 2x – 1 )
= 5 ( 2x – 1 )4
(2)
= 10 ( 2x – 1 )4

10. 10
ตัวอย่างที่ 8.3 กาหนดให้ y = xx 43 2
 จงหา
dx
dy
วิธีทา ใช้กฎลูกโซ่
y = xx 43 2
 = 2
1
2
)43( xx 
dx
dy
=
dx
d 2
1
2
)43( xx 
dx
d
( 3x2
– 4x )
=
2
1 2
1
2
)43(

 xx ( 6x - 4)
=
2
1
2
)43(2
)23(2
xx
x


=
xx
x
43
23
2


ตัวอย่างที่ 8.4 กาหนดให้ y = 3 2
31
1
x
จงหา
dx
dy
วิธีทา การแทนค่าในรูปของ u
ให้ u = 1 - 3x2
y = 3 2
31
1
x
= 3
1
u
= 3
1

u
dx
dy
=
dx
du
du
dy

=
dx
d
( 3
1

u ) )31( 2
x
dx
d

= ( 3
4
3
1 
 u ) ( - 6x)
=
3
4
2
u
x
= 3
2
uu
x
= 3 22
31)31(
2
xx
x


11. 11
2.3 ความชันของเส้นโค้ง
ในหัวข้อ ได้กล่าวถึงฟังก์ชัน f และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x คือ f /
(x) ซึ่งมีค่าเท่ากับ
0
lim
h h
xfhxf )()( 
กราฟของฟังก์ชัน f เป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึง
และอัตราส่วนของ 0
lim
h h
xfhxf )()( 
ว่ามีความหมายทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับกราฟของ
ฟังก์ชันอย่างไร
กาหนดฟังก์ชัน f (x) = mx + c
จะได้ f /
(x) = m
ในกรณีนี้ กราฟของฟังก์ชัน f (x) = mx + c เป็นเส้นตรงมีความชัน ผ่านจุด (x1 , y1)
อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าคงตัวและเท่ากับความชันของเส้นตรงเส้นนั้น
ความหมายของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
ถ้ามีวงกลมวงหนึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C และ P เป็นจุดๆหนึ่งบนวงกลม เส้นสัมผัสวงกลมที่จุด P คือ
เส้นตรงที่ผ่านจุดP และตั้งฉากกับรัศมี CP แต่ถ้า P เป็นจุดบนเส้นโค้งอื่นๆ เส้นสัมผัส จะเส้นโค้งที่จุด P
จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P และอยู่ในตาแหน่งใกล้เคียงกับเส้นตรง ที่ลากผ่านจุด P และจุดอีกจุดหนึ่งบนเส้น
โค้งเกือบทับจุด P
ดังนั้น ความชันความชันของเส้นโค้งที่จุด P จะมีค่าเท่ากับ 0
lim
h h
xfhxf )()( 
ซึ่งก็คือ f /
(x) นั่นเอง
บทนิยาม ถ้า y = f (x) เป็นสมการเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P (x , y) ใดๆจะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ
มีความชันเท่ากับ f /
(x)
บทนิยาม ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P (x , y) ใดๆ บนเส้นโค้งหมายถึงความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P

12. 12
ใบความรู้ 1.1
การหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
จุดประสงค์ หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ได้
ขั้นตอนการคานวณ
1. หาความชัน
1.1 หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f /
(x) หรือ
dx
dy
1.2 แทนค่า x ในอนุพันธ์ข้อ 1.1
2. สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง (เส้นตรง)
y – y1 = m ( x – x1 )
ตัวอย่างที่ 1 ให้ y = x2
– 4x เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา
1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 )
2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 )
3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 )
วิธีทา y = x2
– 4x เป็นสมการเส้นโค้ง
1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 )
f /
(x) = 2x – 4
f /
(1) = 2(1) – 4 = - 2
ความชัน (m) = - 2
2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 )
y – y1 = m ( x – x1 )
y - (-3) = - 2 ( x – 1 )
y + 3 = - 2x + 2
y = - 2x + 2 -3
y = - 2x - 1
ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) คือ y = - 2x – 1
ใบความรู้ 1.2
การหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

13. 13
จุดประสงค์ หาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ได้
สมบัติของความชัน
1. ความชัน (m) > 0 ถ้าเส้นตรง L ทามุมแหลมกับแกน X
2. ความชัน (m) < 0 ถ้าเส้นตรง L ทามุมป้ านกับแกน X
3. ความชัน (m) = 0 ถ้าเส้นตรง L ขนานกับแกน X
4. ความชัน (m) = หาค่าไม่ได้ ถ้าเส้นตรง L ตั้งฉากกับแกน X
5. เส้นตรงสองเส้นขนานกันความชันเท่ากัน
6. เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกันผลคูณของความชันเท่ากับ – 1 ( m1 x m2 = - 1)
ตัวอย่างที่ 1(ต่อ) ให้ y = x2
– 4x เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา
3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 )
วิธีทา y = x2
– 4x เป็นสมการเส้นโค้ง
จากสมบัติของความชันข้อ 6. เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกัน
ผลคูณของความชันเท่ากับ – 1 ( m1 x m2 = - 1)
ดังนั้น m1 = - 2 m2 =
2
1
y – y1 = m ( x – x1 )
y - ( - 3) =
2
1
( x – 1 )
2 (y + 3) = x - 1
2y + 6 = x – 1
0 = x – 1 – 2y - 6
0 = x – 2y - 7
x – 2y - 7 = 0
ดังนั้น สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , - 3 ) คือ x – 2y - 7 = 0
แบบฝึกทักษะ
ให้ y = .....................................เป็นสมการเส้นโค้ง ที่ผ่านจุด ( 2 , - 1 ) จงหา
1) ความชันของเส้นโค้ง
2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
ใบความรู้ 1.3
การหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

14. 14
ตัวอย่างที่ 2 ให้ y = (1 - 3x)2
เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา
1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 )
2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 )
3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4)
วิธีทา y = (1 - 3x)2
เป็นสมการเส้นโค้ง
1) ความชันของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 )
f /
(x) = 2(1-3x) (-3) = - 6 + 18x
f /
(2) = - 6 + 18(1)
ความชัน (m) = 12
2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 )
y – y1 = m ( x – x1 )
y - 4 = 12 ( x – 1 )
y - 4 = 12x - 12
y = 12x – 12 + 4
y = 12x - 8
ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) คือ y = 12x - 8
3) สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4)
จากสมบัติของความชันข้อ 6. เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากซึ่งกันและกัน
ผลคูณของความชันเท่ากับ – 1 ( m1 x m2 = - 1)
ดังนั้น m1 = 12 m2 =
12
1

y – y1 = m ( x – x1 )
y - 4 =
12
1
 ( x – 1 )
12(y – 4) = - (x - 1)
12y - 48 = - x + 1
x + 2y - 48 - 1 = 0
x + 2y - 49 = 0
ดังนั้น สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ผ่านจุด ( 1 , 4 ) คือ x + 2y - 49 = 0
ใบความรู้ที่ 1.4

15. 15
จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง
ตัวอย่างที่ 1 ให้ y = x2
– x + 3 เป็นสมการของเส้นโค้ง ความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 3
จงหา จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง
วิธีทา จากโจทย์ ความชัน (m) =
dx
dy
= f /
(x) = 3 ……………………..
y = x2
– x + 3 เป็นสมการเส้นโค้ง ……………….
dx
dy
= f /
(x) = 2x – 1
จะได้ว่า 2x – 1 = 3
x = 2
แทนค่า x = 2 ในสมการเส้นโค้ง
y = 22
– 2 + 3 = 5
ดังนั้น จุดที่สัมผัสเส้นโค้ง คือ (2 , 5)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3
– 3x เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านี้ขนานกับแกน X
วิธีทา จากโจทย์ y = x3
– 3x เป็นสมการเส้นโค้ง ……………..(1)
ความชัน ( m) หรือ f/
(x) = 3x2
- 3
เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านี้ขนานกับแกน X
จากสมบัติของความชัน ข้อ 3 ถ้า ความชัน ( m = 0 ) แสดงว่า เส้นตรง L ขนานกับ x
จะได้ว่า f/
(x) = 3x2
- 3 = 0
3x2
= 3
x2
= 1
x =  1 แทนค่าในสมการเส้นโค้ง ……….(1)
ถ้า x = 1 จะได้ y = - 2
ถ้า x = - 1 จะได้ y = 2
ดังนั้น จุดบนเส้นโค้งคือ ( 1 , - 2 ) และ ( - 1 , 2 )
2.4 การประยุกต์ของอนุพันธ์
2.4.1 ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
สมการกาลังสอง y = ax2
+ bx + c ; a  0 มีลักษณะเป็นกราฟพาราโบลา การหาจุดต่าสุด
หรือจุดสูงสุดของกราฟสามารถหาได้โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง หรือวิธีอื่นๆ

16. 16
การหาค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุดของกราฟพาราโบลามีหลายวิธี เช่น
วิธีที่ 1 เขียนกราฟ วิธีที่ 2 ทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์
วิธีที่ 3 ใช้สูตร วิธีที่ 4 ใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง
ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันดีกรีสาม
ขั้นตอนการคานวณหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์
1. หาค่าวิกฤติ ( ค่า c )
1.1 หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f /
(x)
1.2 หาค่า x ( ค่า c ) โดยให้ f /
(x) = 0 แก้สมการหาค่า x
1.3 ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด แทนค่า x ในสมการ y = f (x) หาค่า y
2. ตรวจสอบค่าวิกฤติ ***
2.1 หาอนุพันธ์อันดับที่สอง f / /
(x)
2.2 หาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์
กรณีที่ 1 ถ้า f //
( c ) > 0 แล้ว f (c) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์
กรณีที่ 2 ถ้า f //
( c ) < 0 แล้ว f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
กรณีที่ 3 ถ้า f //
( c ) = 0 ไม่สามารถสรุปได้
ค่า x ที่มีโอกาสจะทาให้ เป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดได้ จึงต้องเป็นค่า x ที่ทาให้
dx
dy
= 0
ดังนั้น ค่าของ x ที่จะให้ y มีค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด จึงเป็นค่า x ที่ได้จากการแก้สมการ
dx
dy
= 0
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-15 -10 -5 5 10 15
f x  = x3-6x2 +8x
เมื่อสังเกตจากกราฟจะเห็นว่า ถ้าลากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดซึ่งให้ ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด เส้นสัมผัส
นั้นจะขนานกับแกน X ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดสูงสุดหรือจุดต่าสุด นี้จึงเป็นศูนย์แต่ความชันของเส้นโค้ง
ณ จุดใดก็ตาม ก็คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น ดังนั้น ค่าของอนุพันธ์ที่จุดสูงสุดหรือต่าสุด
จึงต้องเป็นศูนย์
ใบความรู้ที่ 1
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีเขียนกราฟ
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด สมการ y = x2
- 4x - 1
โดยวิธีเขียนกราฟ

17. 17
การเขียนกราฟมีขั้นตอนดังนี้
1. สร้างตารางคู่อันดับ
1.1 กาหนดค่า x
1.2 แทนค่า x ในสมการ หาค่า y
X - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
y 11 4 - 1 - 4 - 5 - 4 - 1 4 11
2. เขียนกราฟ
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
A:(2.01,-5.00)
f x  = x2-4x-1
A
ลักษณะกราฟ
1. เป็นกราฟ พาราโบลาหงาย เพราะ ค่า a = 1 ( เป็นบวก )
2. จุดต่าสุด คือ ( 2 , - 5 ) ค่าต่าสุด คือ - 5
ใบความรู้ที่ 2
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์
วิธีทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ ของสมการในรูป y = ax2
+ bx + c มีขั้นตอนดังนี้
1. ดึงตัวร่วม a (ถ้ามี)

18. 18
2. กาลังสองสมบูรณ์
2.1 นา 2 หารสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีตัวแปรกาลังหนึ่ง(พจน์กลาง) ได้ค่าหนึ่งแล้วนาไปยกกาลังสอง
บวกเข้าและลบออกอย่างละ 1 ตัว
2.2 จัดรูป y = x2
 bx +
2
2





 b
= น2
 2นxล + ล2
2.3 แยกตัวประกอบ x2
 bx +
2
2





 b
= ( x 
2
b
)2
เช่น x2
- 6x + 9 = ( x - 3)( x - 3) = ( x - 3)2
3. จัดสมการในรูป y = a(x - h)2
+ k
3.1 จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ ( h , k )
3.2 พาราโบลาคว่าหรือหงายพิจารณาดังนี้
ก. ถ้า a > 0 (เป็นบวก) พาราโบลาหงาย ได้จุดต่าสุด
ข. ถ้า a < 0 (เป็นลบ) พาราโบลาคว่า ได้จุดสูงสุด
ตัวอย่างที่ 2 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ y = x2
- 4x - 1
วิธีทา y = x2
- 4x -1 + 22
- 22
= ( x2
- 4x + 22
) -1 - 22
= ( x - 2)( x - 2) -1 - 4
= ( x - 2 )2
- 5 y = a(x - h)2
+ k
ลักษณะกราฟ
a = 1 (เป็นบวก) พาราโบลาหงาย ได้จุดต่าสุดคือ ( 2 , - 5)
โจทย์ปัญหา จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = x2
- 6x + 4 (นักเรียนลองฝึกทาดูซิคะ)
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……… …………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
ใบความรู้ที่ 3
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีใช้สูตร
วิธีใช้สูตร มีขั้นตอนดังนี้

19. 19
เนื่องจากการแสดงการหาค่า x และ y ค่อนข้างยุ่งยากจึงสรุปได้ดังนี้
1. จาสูตรได้ ค่า x =
a
b
2

และ ค่า y =
a
bac
4
4 2

2. ใช้สูตรเป็น เช่น y = 2x2
- 3x + 4 จะได้ a = 2 b = - 3 c = 4
3. เห็นคาตอบ จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด คือ ( x , y )
ตัวอย่าง 3 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ y = - 3x2
- 12x - 5
วิธีทา y = - 3x2
- 12x - 5
จะได้ a = - 3 b = - 12 c = - 5
จากสูตร x =
a
b
2

y =
a
bac
4
4 2

=
)3(2
)12(


= - 2 =
)3(4
)12()5)(3(4 2


=
12
14460


= 7
a = - 3 (เป็นลบ) พาราโบลาคว่า ได้จุดสูงสุดคือ ( - 2 , 7 ) #
โจทย์ปัญหา จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = - 2x2
+ 8x - 13 (นักเรียนลองฝึกทาดูซิคะ)
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
ใบความรู้ที่ 4
จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดโดยวิธีใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง
วิธีใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง มีวิธีการดังนี้

20. 20
1. หาอนุพันธ์
dx
dy
หรือ f /
(x)
2. หาค่า x , y
2.1 หาค่า x แทนค่า
dx
dy
= 0 แก้สมการหาค่า x
2.2 หาค่า y แทนค่า x ในสมการ y = f(x)
3. จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดคือ ( x , y )
ตัวอย่าง 4 จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ y = - 3x2
- 12x - 5
วิธีทา 1. หาอนุพันธ์
dx
dy
หรือ f /
(x)
y = - 3x2
- 12x - 5
dx
dy
= - 6x - 12
2. หาค่า x , y
2.1 หาค่า x แทนค่า
dx
dy
= 0 แก้สมการหาค่า x
0 = - 6x - 12
x = - 2
2.2 หาค่า y แทนค่า x ในสมการ y = f(x)
y = - 3 (-2)2
- 12 (-2) - 5 = - 12 + 24 - 5 = 7
3. จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดคือ ( x , y ) #
a = - 3 (เป็นลบ) พาราโบลาคว่า ได้จุดสูงสุดคือ ( - 2 , 7 ) #
โจทย์ปัญหา จงหาจุดต่าสุดหรือจุดสูงสุดของ สมการ y = - 2x2
+ 8x - 13 (นักเรียนลองฝึกทาดูซิคะ)
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
2.5 อนุพันธ์อันดับสูง
กาหนด f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้
และ f /
(x) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ซึ่ง
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุด
สัมพัทธ์ ของ f (x) = x3
+ 3x2
– 24x – 20

21. 21
สามารถหาอนุพันธ์ได้แล้ว จะเรียกอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชัน f ที่ x หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน f /
ที่ x ว่า
อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ ฟังก์ชัน f ที่ x และเขียนแทน
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f /
ที่ x ด้วย f //
(x)
สัญลักษณ์แทนอนุพันธ์
f /
(x) หรือ
dx
dy
แทนอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ f (x)
f //
(x) หรือ 2
2
dx
yd
แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ f (x)
f ///
(x) หรือ 3
3
dx
yd
แทนอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ f (x)
f4
(x) หรือ 4
4
dx
yd
แทนอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของf (x)
---
fn
(x) หรือ n
n
dx
yd
แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของf (x)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของฟังก์ชัน
f (x) = 2x5
+ 3x4
– 2x3
+ 5x2
วิธีทา f (x) = 2x5
+ 3x4
– 2x3
+ 5x2
f /
(x) = 10x4
+ 12x3
– 6x2
+ 10x
f //
(x) = 40x3
+ 36x2
– 12x + 10
f ///
(x) = 120x2
+ 72x– 12
f 4
(x) = 240x + 72
วิธีทา จาก f (x) = x3
+ 3x2
– 24x – 20
จะได้ f /
(x) = 3x2
+ 6x – 24
ถ้า f /
(x) = 0
3x2
+ 6x – 24 = 0
นา 3 หาร ; 3x2
+ 6x – 24 = 0
x2
+ 2x – 8 = 0
( x+ 4 ) ( x – 2 ) = 0
เพราะฉะนั้น x = - 4 หรือ x = 2
ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชันคือ - 4 และ 2
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2
f //
(x) = 6x + 6
f //
(- 4 ) = 6 ( - 4 ) + 6 = - 18 < 0 ( กรณีที่ 2)
f //
(2 ) = 6 ( 2 ) + 6 = 18 > 0 ( กรณีที่ 1)
f (-4) = (-4)3
+ 3(-4)2
– 24(-4) – 20
= - 64 + 48 + 96 - 20 = 144 – 84 = 60
ดังนั้น มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = - 4 และ
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f(-4 ) = 60
f (2) = (2)3
+ 3(2)2
– 24(2) – 20
= 8 + 12 – 48 – 20 = - 48
มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และ
ค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ f(2 ) = - 48
โจทย์ของค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
ขั้นตอนการคานวณโจทย์การหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์
1. เปลี่ยนประโยคภาษาเป็นประโยคสัญลักษณ์
1.1 กาหนดตัวแปร x แทนสิ่งที่โจทย์ต้องการหา
1.2 สร้างความสัมพันธ์ ในรูป y = f(x)
2. หาค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
2.1 หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f /
(x)
2.2 หาค่า x โดยให้ f /
(x) = 0
3. ตรวจสอบค่าวิกฤติ
3.1 หาอนุพันธ์อันดับที่สอง f / /
(x)
3.2 หาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์

22. 22
กรณีที่ 1 ถ้า f //
( c ) > 0 แล้ว f ( c ) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์
กรณีที่ 2 ถ้า f //
( c ) < 0 แล้ว f ( c ) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
กรณีที่ 3 ถ้า f /
( c ) = 0 ไม่สามารถสรุปได้
1. โจทย์เกี่ยวกับจานวน
ตัวอย่างที่ 1 จานวนบวกสองจานวนซึ่งรวมกันได้ 12
โดยที่ผลคูณของจานวนทั้งสองมีค่ามากที่สุด
วิธีทา ให้ x แทนจานวนๆหนึ่ง
อีกจานวน 12 – x
ให้ y เป็นผลคูณของจานวนทั้งสอง
y = x ( 12 – x ) = 12x – x2
หาอนุพันธ์
dx
dy
= 12 – 2x
0 = 12 – 2x
2x = 12
x = 6
อีกจานวน 12 – 6 = 6
ดังนั้นจานวนทั้งสอง คือ 6 กับ 6
ตัวอย่างที่ 2 จานวนบวกสองจานวนซึ่งรวมกันได้ 12
โดยที่ผลคูณของจานวนแรกกับจานวนที่สอง
ยกกาลังสองมีค่ามากที่สุด
วิธีทา ให้ x แทนจานวนๆหนึ่ง
อีกจานวน 12 – x
ให้ y เป็น ผลคูณของจานวนแรกกับจานวน
ที่สองยกกาลังสอง
y = x ( 12 – x )2
= x ( 144 – 24x + x2
)
= 144x – 24x2
+ x3
หาอนุพันธ์
dx
dy
= 144 – 48x + 3x2
3x2
– 48x + 144 = 0
x2
- 12x + 48 = 0
( x – 4 ) ( x - 12 ) = 0
x = 4 , 12
ดังนั้นค่าวิกฤตคือ 4 , 12
ตรวจสอบค่าวิกฤต
หาอนุพันธ์อันดับที่สอง
จาก f (x) = 144x – 24x2
+ x3
f //
(x) = 6x – 48
และ f //
(4) = 6(4) – 48 = - 24
f //
(12) = 6(12) – 48 = 24
นั่นคือ f //
(4) < 0
แสดงว่า ที่ x = 4 ทาให้ f (x) มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์
ดังนั้นจานวนบวกจานวนแรกคือ 4 และ
อีกจานวนคือ 8
2. โจทย์เกี่ยวกับพื้นที่และปริมาตร
ตัวอย่างที่ 2.1 มีลวดหนามทารั้วยาว 400 เมตร จะกั้นรั้วรอบที่ดินเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง
และ ความยาวเท่าใด จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด

23. 23
วิธีทา ให้ x เป็นความยาว ( เมตร) A(x) เป็น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า
เส้นรอบรูป = 400
2( ก + ย ) = 400
ก = 200 - ย = 200 – x
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = ก x ย
A(x) = ( 200 – x ) x = 200x – x2
อนุพันธ์ A/
(x) = 200 – 2x
จะได้ 200 – 2x = 0
x = 100
กว้าง = 200 – 100 = 100
ดังนั้นต้องกั้นที่ดินกว้าง 100 เมตร ยาว 100 เมตร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด
ตัวอย่างที่ 2.2 กระดาษแข็งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละ 12 เซนติเมตร ถ้าตัดมุมทั้งสี่
ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ x เซนติเมตร แล้วพับตามรอยเส้นประเพื่อเชื่อมกล่องฝาเปิด
x ควรจะมีค่าเท่าใดจึงจะทาให้กล่องมีปริมาตรมากที่สุดและกล่องมีปริมาตรมากที่สุดเป็นเท่าไร
วิธีทา ให้ v ( x ) เป็นปริมาตรของกล่อง
( ลูกบาศก์เซนติเมตร)
x เป็นความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ที่ถูกตัดออก(สูง)
กว้าง 12 – 2x
ยาว 12 – 2x
ปริมาตร = พื้นที่ฐาน สูง
v ( x ) = (12 – 2x) (12 – 2x) x = ( 12 – 2x)2
x
= (144 – 48x + 4x2
) x
= 144x – 48x2
+ 4x3
= 4x3
– 48x2
+ 144x
อนุพันธ์ v /
( x ) = 12x2
– 96x + 144
12x2
– 96x + 144 = 0
x2
– 8x + 12 = 0
( x – 2 ) ( x – 6 ) = 0
ดังนั้น ค่าวิกฤตของฟังก์ชัน v ( x ) คือ 2 , 6
ตรวจสอบค่าวิกฤต
หาอนุพันธ์อันดับที่สอง
จาก v ( x ) = 4x3
– 48x2
+ 144x
v //
(x) = 24x – 96
และ v //
(2) = 24(2) – 96 = - 48
v //
(6) = 24(6) – 96 = 48
นั่นคือ v //
(2) < 0
แสดงว่า v (x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x = 2
v ( x ) = ( 12 – 2x)2
x
v ( 2) = [ 12 – 2(2)]2
2
= 128
แสดงว่า v (x) มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ ที่ x = 6
v ( 6) = 0
นั่นคือ x = 2 ( กล่องสูง 2 ซม. )
กล่องจึงจะมีปริมาตรมากที่สุด
3. สมการของการเคลื่อนที่ ( ความเร็วและความเร่ง )

24. 24
ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง ( S ) กับเวลา ( t ) อยู่ในรูปฟังก์ชัน คือ
S = f (t) เรียกว่า สมการของการเคลื่อนที่
การหาความเร็วและความเร่ง
1. ความเร็ว ( Veocity )
1.1 ความเร็วเฉลี่ย ( Average Veocity ) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลา
Vavg =
t
s


=
h
tfhtf )()( 
1.2 ความเร็วขณะเวลา t ใดๆ หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง ( Instantaneous Veocity )
คือ อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง
ความเร็ว (v ) = 0
lim
x h
tfhtf )()( 
ความเร็ว (v ) =
dt
ds
= f /
(t)
2. ความเร่ง ( Accerlition )คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเทียบกับเวลา
2.1 ความเร่งเฉลี่ย (Average accerlition )
aavg =
t
v


2.2 ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง ( Instantaneous accerlition ) คือ อนุพันธ์อันดับที่สอง
ความเร่ง ( a ) = 2
2
dt
sd
=
dt
dv
= f //
(t)
การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งข้อสังเกตในการคานวณ 1
1. เครื่องหมาย V , S ถ้ามีทิศทางตามความเร็วต้น + และสวนทางกับความเร็วต้นเป็น -
2. เมื่อโยนวัตถุขึ้นไปในแนวดิ่ง ณ จุดใดๆ ความเร็วขาขึ้นย่อมเท่ากับความเร็วขาลง
3. ช่วงเวลาขาขึ้นเท่ากับช่วงเวลาขาลง
4. ที่จุดสูงสุดความเร็วเท่ากับ 0
1
อารมณ์ ปุณโณทก , ( 2525 ). ว 021 ฟิสิกส์ ม. 4 . พิมพ์ครั้งที่ 1 กรุงเทพมหานคร : สานักพิมพ์กราฟิคอาร์ต.
3. โจทย์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่
ตัวอย่างที่ 3 ก้อนหินถูกโยนขึ้นไปในอากาศตามแนวดิ่ง โดยมีความเร็วต้นเท่ากับ 112 ฟุต/วินาที และ
สมการของการเคลื่อนที่ของก้อนหินคือ S = 112 t – 16 t2
จงหา

25. 25
1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4
2) ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที
3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด
4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 96 ฟุต
วิธีทา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4
Vavg =
h
tfhtf )()( 
f (4) = 112 (4) – 16 (4)2
= 192
f (2) = 112 (2) – 16 (2)2
= 160
แทนค่า Vavg =
2
160192 
=
2
32
= 16
ดังนั้นความเร็วเฉลี่ย เท่ากับ 16 ฟุต /วินาที
2) ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที
จาก S = 112 t – 16 t2
ความเร็ว (v) = f /
(t) = 112 – 32 t
ถ้า t = 3 จะได้
f /
(3) = 112 – 32 (3) = 112 – 96 = 16
ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที
เท่ากับ 16 ฟุต/วินาที
3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด
จาก S = 112 t – 16 t2
ความเร็ว (v) = f /
(t) = 112 – 32 t
ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นได้สูงสุด v = 0
จะได้ว่า 112 – 32 t = 0
t = 3.5
แทนค่า t = 3.5 ในสมการการเคลื่อนที่
S = 112 (3.5) – 16 (3.5)2
= 392 – 196 = 196
ดังนั้น ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด 196 ฟุต
4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 96 ฟุต( S = 96)
จาก S = 112 t – 16 t2
96 = 112 t – 16 t2
16 t2
- 112 t + 96 = 0
t2
- 7 t + 6 = 0
( t – 6 ) ( t – 1 ) = 0
t = 6 ,1
ดังนั้น ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 96
ในวินาทีที่ 1 หรือวินาทีที่ 6
4. โจทย์อื่นๆ
ตัวอย่างที่ 4 .1 ในการเกิดปฏิกิริยาเคมีครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิได้จากสมการ  = 4 t - 0.1t2
เมื่อ  เป็นอุณหภูมิซึ่งมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวินาที

26. 26
เมื่อใดที่อุณหภูมิจะขึ้นสูงสุดและอุณหภูมิสูงสุดเป็นเท่าใด
วิธีทา จาก  = 4 t - 0.1t2
dt
d
= 4 - 0.2 t
4 - 0.2 t = 0
t =
2.0
4
= 20
แทนค่า t = 20
 = 4 (20) - 0.1 (20)2
= 80 - 40 = 40
ดังนั้น เมื่อเวลา 20 วินาที อุณหภูมิสูงสุดเท่ากับ 40 องศาเซลเซียส
ตัวอย่างที่ 4 .2 โรงงานแห่งหนึ่ง สามารถขายสินค้าที่ผลิตได้ชนิดหนึ่ง จานวน x ชิ้นต่อ 1 สัปดาห์
ขายไปชิ้นละ 400 – 0.02x บาท และต้องเสียค่าทุนในการผลิตสินค้า x ชิ้น เป็นเงิน 80x + 3000 บาท
จงหาว่าโรงงานแห่งนี้จะต้องผลิตสินค้าสัปดาห์ละกี่ชิ้น จึงจะได้กาไรมากที่สุด
วิธีทา ให้โรงงานผลิตสินค้า จานวน x ชิ้นต่อ 1 สัปดาห์
ค่าลงทุน 80x + 3000 บาท
ขายสินค้า ชิ้นละ 400 – 0.02x จานวน x ชิ้น เป็นเงิน 400x – 0.02x2
ให้ f(x) แทนกาไรของการขายสินค้า x ชิ้น
กาไร = ราคาขาย – ราคาทุน
f(x) = (400x – 0.02x2
) – ( 80x + 3000 )
= 400x – 0.02x2
– 80x - 3000
= 320x – 0.02x2
- 3000
f /
(x) = 320 – 0.04x
0 = 320 – 0.04x
04.0
320
= x
x = 8000 ชิ้น
ดังนั้น ต้องผลิตสินค้า สัปดาห์ละ 8000 ชิ้น จึงจะได้กาไรมากที่สุด
แบบฝึกหัดที่ 2.1
อัตราการเปลี่ยนแปลง
1. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x
1. y = 3x2
- 1 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 5

27. 27
2. y = x2
- 2x = 5 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 1 เป็น 3
3. y = 2x2
+ 3x - 4 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 5
4. y = 3x2
- 2x + 1 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4
5. y = 2x2
- 3x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 5
2. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x ใดๆ
1. y = 3x2
– 5 ขณะ x = 2
2. y = 2x2
+ 3x ขณะ x = 3
3. y = x2
– 4x + 1 ขณะ x = 5
4. y = 3x2
– 2x + 1 ขณะ x = 4
5. y = 2x2
– 3x + 7 ขณะ x = 5
3. วงกลมวงหนึ่ง มีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี
เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 10 เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของด้าน ขณะรัศมียาว 8 เซนติเมตร
4. สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง มีด้านยาว x หน่วย จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน
เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 8 เป็น 12 เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้าน ขณะด้านยาว 12 เซนติเมตร
5. ปริมาตรของทรงกลมมีรัศมียาว r เซนติเมตร จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี
เมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร
2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรทรงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี ขณะรัศมียาว 5 เซนติเมตร
แบบฝึกหัดที่ 2.2
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
ชุดที่ 1 สูตรที่ 1 - สูตรที่ 4
1. ถ้า y = 2x จงหา
dx
dy
16. ถ้า y = 2
4
3
x
x 
จงหา
dx
dy

28. 28
2. ถ้า y = x5
จงหา
dx
dy
3. ถ้า y = 2x3
จงหา
dx
dy
4. ถ้า y = 4x2
+ 5x จงหา
dx
dy
5. ถ้า y = 3x3
– 2x2
+ x จงหา
dx
dy
ชุดที่ 2 n
x
dx
d
= nxn - 1
6. ถ้า y = x- 4
จงหา
dx
dy
7. ถ้า y = 2
3
x
จงหา
dx
dy
8. ถ้า y = 3
2
x จงหา
dx
dy
9. ถ้า y = 3
x จงหา
dx
dy
10. ถ้า y =
x
2
จงหา
dx
dy
ชุดที่ 3 การคูณ
dx
dy
= g(x) )(/
xf + f(x) )(/
xg
11. ถ้า y = x2
( 2x2
– 3x + 1 ) จงหา
dx
dy
12. ถ้า y = ( x + 3 )2
จงหา
dx
dy
13. ถ้า y = ( 3x - 2 )2
จงหา
dx
dy
14. ถ้า y = ( 2x + 5)(3 x - 2 ) จงหา
dx
dy
15. ถ้า y = x ( 3x2
– 4x ) จงหา
dx
dy
ชุดที่ 4 การหาร
dx
dy
= 2
//
)]([
)()()()(
xg
xgxfxfxg 
17. ถ้า y =
2
3
x
x
จงหา
dx
dy
18. ถ้า y =
62
92


x
x
จงหา
dx
dy
19. ถ้า y =
12
12


x
x
จงหา
dx
dy
20. ถ้า y =
x
xx 532 24

จงหา
dx
dy
ชุดที่ 5 กฎลูกโซ่
dx
dy
= n [ f (x) ]n – 1
)(/
xf
21. ถ้า y = ( x - 2 )6
จงหา
dx
dy
22. ถ้า y = ( 2x - 1 )4
จงหา
dx
dy
23. ถ้า y = 5
)23(
1
x
จงหา
dx
dy
24. ถ้า y = 2
21 x จงหา
dx
dy
25. ถ้า y = 2
21
1
x
จงหา
dx
dy
ชุดที่ 6 ระคน
26. ถ้า y = ( 4x - 1 )6
จงหา
dx
dy
27. ถ้า y = xx 23 2
 จงหา
dx
dy
28. ถ้า y =
xx 23
1
2

จงหา
dx
dy
29. ถ้า y =
4
13
13








x
x
จงหา
dx
dy
30. ถ้า y =
5
12
12








x
x
จงหา
dx
dy
แบบฝึกหัดที่ 2.3 ความชันและสมการเส้นโค้ง
1. จงหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ และสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น
1. y = x2
– 3x ที่จุด ( 2 , -2 )
2. y = x - 2x2
ที่จุด ( 2 , - 6 )

29. 29
3. y = x2
+ 4x - 2 ที่จุด ( - 3 , - 5 )
4. y = (2x- 1 )2
ที่จุด ( 2 , 9 )
5. y =
x
x 22

ที่จุดซึ่ง x = 1
2. จงหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ ความชันของเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัส และ
สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น
1. y = x2
– 3x ที่จุด ( 2 , -2 )
2. y = x - 2x2
ที่จุด ( 2 , - 6 )
3. y = x2
– 4x + 2 ที่จุด ( - 3 , 3 )
4. y = (2x- 1 )2
ที่จุด ( 2 , 9 )
5. y =
x
x 22

ที่จุดซึ่ง x = 1
3. จงหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดที่กาหนดให้ สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้นและสมการของเส้น
ที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
1. y = x2
– 4x + 2 ที่จุด ( - 3 , 3 )
2. y = (1 - 2x)2
ที่จุด ( 2 , 9 )
3. y =
x
x 22

ที่จุดซึ่ง x = 1
ชุดที่ 2
1. ให้ y = x2
– 3x – 4 เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 3
จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง
2. ให้ y = 2x2
+ 5x – 13 เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ - 3
จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง
3. ให้ y = 8x - x2
เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 2
จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง
4. ให้ y = - x2
+ 6x – 3 เป็นสมการเส้นโค้ง มีความชันของเส้นโค้งเท่ากับ 4
จงหาจุดที่สัมผัสเส้นโค้ง
5. ถ้าเส้นตรง y = 2ax ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 2x3
+ 5 ที่จุด ( 1 , 7 ) จงหาค่าของ a
6. จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = x3
– 2x2
+ 5x ที่จุด ( 1 , 4 )
7. จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3
– 3x เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านั้นขนานกับแกน X
8. จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3
– 27x เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านั้นขนานกับแกน X
แบบฝึกหัดที่ 2.4
โจทย์ของการเคลื่อนที่
1. กาหนดให้ S แทนระยะทาง (เมตร) t แทนเวลา ( วินาที) v แทนความเร็ว ( เมตร/วินาที )

30. 30
วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t2
- 2t + 3 จงหา
1) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลา ตั้งแต่ t = 2 ถึง t = 5 วินาที
2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางเทียบกับเวลาขณะเวลา t = 3 วินาที ( ความเร็ว)
2. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = 96 t – 8 t2
จงหา
1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4
2) ความเร็วขณะเวลา t = 5 วินาที
3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด
4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 256 ฟุต
5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที
3. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = 72 t – 4 t2
จงหา
1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 3 ถึง t = 5
2) ความเร็วขณะเวลา t = 4 วินาที
3) ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุด
4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 288 ฟุต
5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 4 วินาที
4. วัตถุชิ้นหนึ่ง มีสมการของการเคลื่อนที่เป็น S = t3
– 6t2
+ 9t + 4 จงหา
1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 2 ถึง t = 4
2) ความเร็วขณะเวลา t = 6 วินาที
3) ระยะทางเมื่อความเร็วของวัตถุเท่ากับ 0
4) เมื่อใดที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูง 128 ฟุต
5) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา t = 3 วินาที

31. 31
แบบฝึกหัด 2.5
ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
1. จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1) y = x2
– 4x – 2
2) y = 2x2
– 8x + 3
3) y = 4x – x2
4) y = - 3x2
– 18x – 20
5) y = x2
– 6x + 5
6) y = 6 – 2x – x2
7) y = x3
– 27x
8) y = 12x – x3
9) y = x3
– 3x2
– 9x + 1
10) y = 2x3
– 9x2
+ 12 x – 3
11) y = ( x- 2 )3
12) y = x ( 12 – 2x )2
13) y = x3
– 3x
14) y = 2x3
+ 3x2
– 12x – 7
15) y = x3
+ x2
– 8x - 1
2. มีรั้วยาว 200 เมตร ล้อมที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 3 แปลง เท่าๆกัน ดังรูป
จะล้อมได้พื้นที่มากที่สุดเท่าใด
x x x
y y y
x x x
3. จานวนสองจานวนบวกกันได้16 ถ้าผลคูณของสองจานวนมีค่ามากที่สุด
4. กระดาษแข็งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละ 10 เซนติเมตร ถ้าตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ยาวด้านละ x เซนติเมตร แล้วพับตามรอยเส้นประเพื่อเชื่อมกล่องฝาเปิด x ควรจะมีค่าเท่าใดจึงจะทาให้กล่องมี
ปริมาตรมากที่สุดและกล่องมีปริมาตรมากที่สุดเป็นเท่าไร
5. แผ่นโลหะรูปสี่เลี่ยมผืนผ้ากว้าง 10 เซนติเมตร และยาว 16 เซนติเมตร ตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มุมทั้งสี่
สมมติว่าด้านของรูปจัตุรัสยาว x เซนติเมตร แล้วพับตามรอยเส้นประ เพื่อเชื่อมทากล่องเปิดฝา
x จะมีค่าเท่าไร กล่องจึงจะมีปริมาตรมากที่สุด

32. 32
6. ในการเกิดปฏิกิริยาเคมีครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิได้จากสมการ  = 10 + 4 t - 0.2t2
เมื่อ  เป็นอุณหภูมิซึ่งมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส และ t เป็นเวลามีหน่วยเป็นวินาที
เมื่อใดที่อุณหภูมิจะขึ้นสูงสุดและอุณหภูมิสูงสุดเป็นเท่าใด
7. ในการทดลองทางกสิกรรมครั้งหนึ่งเป็นที่ยอมรับกันว่าจะได้ผลผลิตมากขึ้น ถ้าใส่ปุ๋ ยมากขึ้น
( ถ้าไม่ใส่ปุ๋ ยมากจนเกินไป) ให้ f เป็นจานวนปุ๋ ยที่ใช้มีหน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่ c เป็นปริมาณของผลผลิตที่
ได้หน่วยเป็นถังต่อไร่ ถ้า c = 20 + 24f – f2
จะต้องใช้ปุ๋ ยมากน้อยเพียงใดจึงจะได้ผลผลิตมากที่สุด
8. พ่อค้าคนหนึ่งผลิตสินค้าขายได้ชิ้นใน 1 สัปดาห์ ขายไปชิ้นละ p บาท ราคาและจานวนสินค้าที่ขายได้มี
ความสัมพันธ์เขียนในรูปสมการ p = 100 – 0.04x และต้องลงทุน 600 + 22x บาท เขาจะต้องผลิตสินค้าออกขาย
สัปดาห์ละกี่ชิ้นจึงจะมีกาไรมากที่สุด
9. กสิกรผู้หนึ่งอยากรู้ว่าสมควรจะใช้ปุ๋ ยมากน้อยเพียงใด เพื่อให้ได้ที่ดินทาประโยชน์แก่เขามากที่สุด
ถ้าให้ p เป็นกาไรสุทธิ (มีหน่วยเป็นบาท) ซึ่งเขาจะได้จากการทาไร่หลังจากหักค่าใช้จ่ายทั้งหมดแล้ว
F เป็นปริมาณปุ๋ ย ( หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่ ) ความสัมพันธ์ระหว่าง p กับ f เป็นดังนี้ p = 400 + 20f –f2
จงหาว่าจะใช้ปุ๋ ยกี่กิโลกรัมต่อที่ดิน 1 ไร่ จึงจะได้กาไรสุทธิสูงสุดและกาไรสูงสุดจากผลผลิตต่อไร่เป็นเท่าไร
10. สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีความยาวของด้านทั้งสามเป็น 90 , 120 , 150 หน่วย จงหาความกว้างและความ
ยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่มากที่สุดที่บรรจุอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้
11. บริษัทรับส่งสินค้าสั่งให้รถบรรทุกของบริษัทวิ่งระยะทาง 500 กิโลเมตร ด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย กิโลเมตรต่อ
ชั่วโมงโดยวิ่งด้วยอัตราเร็วระหว่าง 25 – 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เสียค่าน้ามันลิตรละ 20 บาท และจะใช้น้ามัน
ในอัตรา 8 +
150
2
x
กิโลเมตรต่อชั่วโมง บริษัทต้องเสียค่าเบี้ยเลี้ยงคนขับ ชั่วโมงละ 44 บาท ควรสั่งให้คนขับรถ
ขับด้วยอัตราเร็วเฉลี่ยเท่าใดจึงจะประหยัดที่สุด
12. ท่อนไม้พื้นที่หน้าตัดเป็นวงกลม เส้นผ่าศูนย์กลาง a เซนติเมตรต้องการเลื่อยออกเป็นคานหน้าตัดเป็นรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง w หนา d ให้ s เป็นน้าหนักสูงสุดที่คานรับน้าหนักได้และ s = kwd2
เมื่อ k เป็นค่าคงตัว
จะต้องเลื่อยให้คานมีความกว้างและความหนาเท่าใด s จึงจะมีค่ามากที่สุด

33. 33
ใบความรู้ที่ 1
ค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าต่าสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์
f (x) = x3
+ 3x2
- 24x - 20
วิธีทา จาก f (x) = x3
+ 3x2
- 24x - 20
หาอนุพันธ์อันดับที่ 1 หาค่าวิกฤติ
จะได้ f /
(x) = 3x2
+ 6x – 24
0 = 3 ( x2
+ 2x - 8 ) ถ้า f /
( x ) = 0
จะได้ว่า 0 = ( x2
+ 2x - 8 )
0 = ( x + 4 ) ( x – 2)
0 = ( x + 4 ) ( x – 2)
ดังนั้น x = - 4 หรือ x = 2
ดังนั้นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน คือ - 4 หรือ 2
หาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ตรวจสอบค่าวิกฤติ
f /
(x) = 3x2
+ 6x – 24
f //
( x ) = 6x + 6 = 6 ( x + 1 )
f //
( - 4 ) = 6(-4)+ 6 = - 24 + 6 = - 18 < 0 (สูง)
f //
( 2 ) = 6(2)+ 6 = 12 + 6 = 18 > 0 (ต่า)
ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = - 4 และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ คือ
f ( - 4 ) = ( - 4 )3
+ 3(- 4)2
– 24(- 4) - 20
= - 64 + 48 + 96 – 20
= - 84 + 144 = 60
f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และค่าต่าสุดสัมพัทธ์คือ
f (2) = ( 2 )3
+ 3(2)2
– 24(2) - 20
= 8 + 12 – 48 – 20
= 20 – 68 = - 48
กรณีที่ 1 ถ้า f //
( c ) > 0 แล้ว f (c) เป็นค่าต่าสุดสัมพัทธ์
กรณีที่ 2 ถ้า f //
( c ) < 0 แล้ว f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
กรณีที่ 3 ถ้า f //
( c ) = 0 ไม่สามารถสรุปได้

34. 34
ใบความรู้ที่ 2
ตัวอย่างที่ 2 บริษัทแห่งหนึ่ง ใช้ต้นทุนในการผลิตวิทยุ x เครื่อง เท่ากับ 1000 + 400x
บริษัทขายวิทยุ x เครื่อง ต่อสัปดาห์ โดยขายเครื่องละ 800 - 2
3
1
x บาท จงหากาไรสูงสุดที่บริษัทได้รับจากการ
ขายวิทยุ x เครื่องต่อสัปดาห์
วิธีทา ให้ x เป็นจานวนวิทยุที่ขายได้ต่อสัปดาห์
y = f(x) เป็นกาไรที่บริษัทได้รับ
เนื่องจาก บริษัทขายวิทยุ x เครื่อง ต่อสัปดาห์ โดยขายเครื่องละ 800 - 2
3
1
x บาท
ขายวิทยุ x เครื่อง เป็นเงิน = x( 800 - 2
3
1
x ) = 800x - 3
3
1
x บาท
ต้นทุนในการผลิตวิทยุ x เครื่อง เท่ากับ 1000 + 400x บาท
จาก กาไร = ราคาขาย - ราคาทุน
f(x) = 800x - 3
3
1
x - ( 1000 + 400x )
f(x) = 800x - 3
3
1
x - 1000 - 400x
f(x) = - 3
3
1
x + 400x – 1000 เมื่อ 0  x  48
อนุพันธ์ f /
(x) = - x2
+ 400
- x2
+ 400 = 0
x =  20
จะได้x = 20,-20 เป็นค่าวิกฤติ
ดังนั้น จะได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่าสุดสัมพัทธ์
f(x) = -2x
f(20) = -40 นั่นคือ f(20) < 0
แสดงว่าที่ x = 20 ทาให้ f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ แทนค่า x = 20 ใน f(x)
f (20) =
3
1
(20)3
+ 400 (20)-1000
=
3
13000
= 4333
3
1
ดังนั้นกาไรสูงสุดที่บริษัทได้รับเท่ากับ 4333
3
1
บาท

35. 35
ใบความรู้ที่ 3
ตัวอย่างที่ 3 (แนวข้อสอบ เข้ามหาวิทยาลัย ปี 33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น
ได้กาไร 7200 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้คือ
80 – 0.08x ถ้า x เป็นจานวนสินค้า(ชิ้น) ที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้
บริษัทจะมีโอกาสทากาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร
วิธีทา ให้ x แทนจานวนสินค้าและ
Y(x) แทนกาไรที่ได้จากการขายสินค้า x ชิ้น
จากโจทย์ f/
(x) =
dx
dy
= 80 – 0.08x และ y(100) = 7200
Y =   dx)x08.080(
ดังนั้น Y = 80x – 0.04 x2
+ c เมื่อ c เป็นค่าคงที่
Y = 80x – 0.04x2
+ c
จาก 7200 = 80(100) – 0.4(100)2
+ c
7200 = 8000 – 400 + c
7200 = c + 7600
- 400 = c
ดังนั้น Y = 80x – 0.04x2
– 400
การหากาไรมากที่สุดหาได้จากค่า x ที่ทาให้
dx
dy
80 – 0.08x = 0
X = 1000
ดังนั้น Y(1000) = 80(1000) – 0.04(1000)2
– 400
= 80000 – 40000 – 400
= 39600
ดังนั้น บริษัทจะมีโอกาสทากาไรมากที่สุดเท่ากับ 39600 บาท

36. 36
ใบความรู้ที่ 4
ตัวอย่างที่ 4 ( Ent,
37 )
กาหนดให้รถขนสินค้าชนิดหนึ่งมีการเผาไม้ของน้ามันเป็น )
1600
(
400
1
x
x
 ลิตร / กิโลเมตร
ถ้าต้องการขับรถเป็นระยะทาง 600 กิโลเมตร โดยจ่ายค่าน้ามันน้อยที่สุด ขณะที่น้ามันราคาลิตรละ 20 บาท
จะต้องจ่ายค่าน้ามันเท่าไร
วิธีทา ให้ขับรถด้วยอัตราเร็ว x กิโลเมตร / ชั่วโมง
ให้น้ามันที่ใช้เป็น P(x) = )
1600
(
400
1
x
x
 ลิตร / กิโลเมตร
ระยะทาง 600 กิโลเมตร จะได้ P(x) = )
1600
(
400
600
x
x
 ลิตร / กิโลเมตร
= )
1600
(
2
3
x
x

=
x
2400
+ x
2
3
…………………(1)
= 2400 x- 1
+ x
2
3
P/
(x) = - 2400 x- 2
+
2
3
2
2400
x
=
2
3
2400 x
3
2
= x2
1600 = x2
40 = x
ขับรถด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตร / ชั่วโมง ( แทนค่า x = 40 )ในสมการที่(1)
P(x) =
40
2400
+ 40
2
3
x
= 60 + 60
= 120
ถ้าน้ามันราคาลิตรละ 20 บาท
จะต้องจ่ายค่าน้ามัน = 120 x 20 = 2400 บาท