เฉลย 9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1 ปี 2559 สอบเมื่อ ธ.ค. 2558

1. 1
เฉลยละเอียด
กสพท. คณิตศาสตร 2559
วิธีทํา จากโจทย จะสามารถแบงได 2 กรณี คือ
กรณีที่ 1 3x ≥
จะไดวา 6( 3) 5x x− <
. 6 18 5x x− <
ดังนั้น 18x <
เพราะฉะนั้น เซตคําตอบของกรณีนี้ คือ [3,18)
กรณีที่ 2 3x <
จะไดวา 6( 3) 5x x− − <
. 6 18 5x x− + <
ดังนั้น 18
11
x >
เพราะฉะนั้น เซตคําตอบของกรณีนี้ คือ 18
,3
11
 
 
 
เพราะฉะนั้น เซตคําตอบของอสมการนี้ คือ 18 18
,3 [3,18) ,18
11 11
   
∪ =   
   
เนื่องจากสนใจคําตอบที่เป*นจํานวนเต็ม ดังนั้น { }2,3,4,...,17S =
เพราะฉะนั้น ( ) 16n S = ตอบ

2. 2
วิธีทํา จากโจทย x หาร ( )P x เหลือเศษ 6 จะไดวา (0) 6P =
เพราะฉะนั้น 6d =
ดังนั้น 5 3
( ) 6P x ax bx cx= + + +
จากโจทย 1x − หาร ( )P x เหลือเศษ 10 จะไดวา (1) 10P =
เพราะฉะนั้น 6 10a b c+ + + =
ดังนั้น 4a b c+ + =
จะหาเศษที่เกิดจาก 1x + หาร ( )P x ซึ่งก็คือ ( 1)P −
จะไดวา ( 1) 6P a b c− = − − − +
( ) 6 4 6a b c= − + + + = − +
ดังนั้น ( 1) 2P − =
เพราะฉะนั้น เศษที่เกิดจาก 1x + หาร ( )P x เทากับ 2 ตอบ

3. 3
วิธีทํา พิจารณาจากโจทย
2 2 2 2 2 22 2
cos sinu v u v u v u vθ θ⋅ + × = +
( )2 2 2 2
cos sinu v θ θ= +
2 2
5 3=
เพราะฉะนั้น 2 2
15u v u v⋅ + × = ตอบ

4. 4
วิธีทํา จากโจทย 2log 5a
b =
1
log 5
2
a b =
จะไดวา log 10a b =
โจทยตองการ 2
1 1
log log
2 2log
bb
a
a a
b
= =
เพราะฉะนั้น 2
1 1
log
2(10) 20b
a = = ตอบ

5. 5
วิธีทํา ตองการมีคําตอบเดียว
ดังนั้น
2 2
1 1 1 0
2 1 2
a −
− ≠
2 4 2 4 4 0a a− − + + − ≠
3 6 0a − ≠
จะไดวา 2a ≠
เพราะฉะนั้น ( ) ( ),2 2,S = −∞ ∪ ∞ ตอบ

6. 6
วิธีทํา จากสูตร ( )
tan tan
tan
1 tan tan
A B
A B
A B
−
− =
+
ดังนั้น 3 3
tan arcsin tan arcsin
4 5 4 5
π π    
+ − = −    
    
3
tan tan arcsin
4 5
3
1 tan tan arcsin
4 5
π
π
 
−  
 =
 
+  
 
จะหาคาของ 3
tan arcsin
5
 
 
 
ให 3
arcsin
5
θ = จะไดวา 3
sin
5
θ =
วาดสามเหลี่ยมมุมฉาก จะไดวา 3
tan
4
θ =
เพราะฉะนั้น 3 3
tan arcsin
5 4
 
= 
 
ดังนั้น
( )
3 1
1
3 4 4tan arcsin
734 5
1 1
44
π −
  
+ − = =  
    +  
 
เพราะฉะนั้น 3 1
tan arcsin
4 5 7
π  
+ − =  
  
ตอบ
5
4
3
θ

7. 7
วิธีทํา เราจะตองรูวา ความถี่สัมพัทธ=
ความถี่ในชั้นนั้น
จํานวนขอมูลทั้งหมด
if
N
=
คะแนนสอบ ความถี่สัมพัทธ ความถี่ ( )if จุดกึ่งกลาง
0 - 19 0.1 1f 9.5
20 - 39 0.1 2f 29.5
40 - 59 0.3 3f 49.5
60 – 79 0.3 4f 69.5
80 - 99 0.2 5f 89.5

8. 8
ข&อ 7 (ต(อ) :
จะไดวา คาเฉลี่ย 1 2 3 4 59.5 29.5 49.5 69.5 89.5f f f f f
N
+ + + +
=
. 9.5(0.1) 29.5(0.1) 49.5(0.3) 69.5(0.3) 89.5(0.2)= + + + +
เพราะฉะนั้น คาเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมนี้ เทากับ 57.5 ตอบ
วิธีทํา ลองแทน 2x = กอน พบวาเกิด ∞ − ∞ ซึ่งเป*นรูปแบบของ Indeterminate form
เพราะฉะนั้น เราจะตองจัดรูปฟNงกชันใหม
จะไดวา 22
2 1 8
lim
2 2 4x x x x→
 
+ − 
− + − 
( ) ( )
22
2 2 1 2 8
lim
4x
x x
x→
+ + − 
=  

−
−
22
2 4 2 8
lim
4x
x x
x→
+ + − − 
=  
− 
22
3 6
lim
4x
x
x→
−
=
−
( )
( )( )2
3 2
lim
2 2x
x
x x→
−
=
− +
2
3 3
lim
2 4x x→
= =
+
เพราะฉะนั้น 22
2 1 8 3
lim
2 2 4 4x x x x→
 
+ − = 
− + − 
ตอบ

9. 9
วิธีทํา จาก 1 96a = และ 4 12a =
ดังนั้น 3
4 1a a r=
3
12 96r=
3 1
8
r =
จะไดวา 1
2
r =
เพราะฉะนั้น 1
1
96
192
11 1
2
n
n
a
a
r
∞
=
= = =
− −
∑ ตอบ

10. 10
วิธีทํา เนื่องจาก
2
2
( 1) 5 1
( ) 5 1 1
( 1) 5 1
x x
f x x
x x
 + − < −

= − − ≤ ≤
 − − >
จะไดวา
2( 1) 1
( ) 0 1 1
2( 1) 1
x x
f x x
x x
+ < −

′ = − ≤ ≤
 − >
ดังนั้น ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2f f f f f′′ = × ′
( ) ( )4 2f f′= − × ′
( )( )6 2= −
เพราะฉะนั้น ( ) ( )
'
2 12f f = − ตอบ
เมื่อ
เมื่อ
เมื่อ
เมื่อ
เมื่อ

11. 11
วิธีทํา จากโจทย บอกวา 3 1z z=
แสดงวา เมื่อวาดลงบนระนาบพิกัดฉาก จะไดจุดสองจุดซึ่งสะทอนซึ่งกันและกันบนแกน X
โดยที่ 1z อยูในควอดรันตที่ 1 ดังภาพ
และเนื่องจาก 1 2,z z และ 3z เป*นรากที่ 3 ของจํานวนเชิงซอนจํานวนหนึ่ง
แสดงวา แตละจุดจะอยูหางกัน 120° บนวงกลมเดียวกัน (ที่จุดศูนยกลางอยูบนจุดกําเนิด)
ดังนั้น 3z ทํามุม 60− ° กับแกน x และ 2z เป*นจุดบนแกน x
เนื่องจาก 1 2 3z z z= = และ 1 2z =
จะไดวา 2 2z = −
และ ( ) ( )( )3 2 cos 60 sin 60 1 3z i i= − ° + − ° = −
เพราะฉะนั้น 2 3 1 3z z i+ = − − ตอบ
1z
3z
2z x
y

12. 12
วิธีทํา เนื่องจาก 109
11 หารดวย 10 จะเหลือเศษ 1 (เพราะมีหลักหนวยลงทายดวยเลข 1)
เพราะฉะนั้น 109
11 10 1p= + เมื่อ p เป*นจํานวนเต็มบวก
คูณ 2
11 ทั้งสองขางของสมการ
จะไดวา 111
11 1210 121p= +
เพราะฉะนั้น 111
11 หารดวย 1210 เหลือเศษ 121 ตอบ
วิธีโกง
พิจารณา 5
2
ซึ่ง 5
2
ไดผลลัพธคือ 2 เศษ 1
แตถาพิจารณา 10
4
ซึ่งถึงแมจะใหผลลัพธเทากัน คือ2.5
แตไดเศษไมเทากัน กลาวคือ 10
4
ไดผลลัพธคือ 2 เศษ 2
ซึ่ง 5
2
จริงๆแลว ก็คือ 10
4
เอามาตัวดวยแม 2
จึงสามารถสรางความสัมพันธไดวา
เศษจริง = เศษปลอม × แมที่ใชตัด
เนื่องจาก
111 109
11 11
1210 10
= ซึ่งไดเศษ 1 (แมที่ใชตัดคือ 121)
เพราะฉะนั้น เศษจริงของ
111
11
1210
จึงเทากับ 1 121 121× = ตอบ

13. 13
วิธีทํา จากอสมการ 2
0
( )
x a
x b
+
≥
+
เนื่องจาก 2
( )x b+ มีคาเป*นบวกเสมอ
จะไดวา 0x a+ ≥
. x a≥ −
จากโจทย บอกวา เซตคําตอบคือชวง (1, )∞
เพราะฉะนั้น 1a = −
พิจารณาชวงคําตอบของอสมการคือ (1, )∞
แตอสมการ 2
1
0
( )
x
x b
−
≥
+
มีคําตอบของอสมการ คือ [ )1,∞
แสดงวา ตองมีเงื่อนไขเพิ่มขึ้นอีกวา 1x ≠
ซึ่งเงื่อนไขนี้ สามารถสรางไดจาก ตัวสวน 0≠
. 0x b+ ≠
จะไดวา x b≠ −
เพราะฉะนั้น 1b = − เพราะฉะนั้น 2a b+ = − ตอบ

14. 14
วิธีทํา ลองวาดรูปดูกอน
ลากเสนจากจุด A ลงมาตั้งฉากกับ BC ที่จุด D จะไดวา 8BD =
และ ( )
tan 45 tan30
8tan15 8tan 45 30 8
1 tan 45 tan30
AD
°− °
= ° = °− ° =
+ ° °
1
1
3 1 4 2 338 8 8
1 23 11
3
 
−     − −
= = =        +     + 
 
เพราะฉะนั้น 16 8 3AD = −
จะไดวา พื้นที่สามเหลี่ยม ( )( ) ( )( )1 1
16 16 8 3
2 2
BC AD= = −
เพราะฉะนั้น พื้นที่สามเหลี่ยมจะเทากับ ( )64 2 3− ตารางหนวย ตอบ
A
C
16
D
B
150°

15. 15
วิธีทํา พิจารณาข&อ (ก)
เป*นสูตรของ Triple Scalar Product เลย ข&อ (ก) ถูก
พิจารณาข&อ (ข)
สมมติให ˆ ˆ2u v i j= = + และ ˆw k=
จะไดวา ( ) 0 0u v w w× × = × =
และ ( )
2 1 0
ˆ2 1 0 1
ˆˆ
2 0 5
0 0 0
ˆ
0 1 5
u v w
i j k
u k
     
     × × = × = × − = = −
     
     −     
พบวา ( ) ( )u v w u v w× × ≠ × × ข&อ (ข) ผิด

16. 16
ข&อ 15 (ต(อ) :
พิจารณาข&อ (ค)
จาก ( ) ( )u v u v u u u v v u v v− ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅
จะไดวา ( ) ( )
2 2
u v u v u v− ⋅ + = − ข&อ (ค) ถูก
พิจารณาข&อ (ง)
จาก ( ) ( )u v u v u u u v v u v v− × + = × + × − × − ×
. 0 0u v u v= + × + × +
จะไดวา ( ) ( ) ( )2u v u v u v− × + = × ข&อ (ง) ถูก

17. 17
วิธีทํา ลองวาดกราฟดูกอน
จะไดวา พิกัดของจุด C คือ ( , )r r
จะเห็นวา จุด ( , )C r r จะตองอยูหางจากเสนตรง :3 4 24 0l x y− + = เป*นระยะ r
จะไดวา 2 2
3 4 24
3 4
r r
r
− +
=
+
:3 4 24 0l x y− + =
P
y
x
Cr
r

18. 18
ข&อ 16 (ต(อ) :
จะไดสมการ 5 24r r= −
ดังนั้น 5 24r r= − หรือ 5 24r r= −
จะได 4r = หรือ 6r = −
แต r ตองเป*นบวก เพราะฉะนั้น 4r =
ดังนั้น พิกัดจุด C คือ (4,4)
เนื่องจากเสนตรง l มีความชันเป*น 3
4
และเนื่องจาก CP ตั้งฉากกับเสนตรง l --------> เสนตรง CP มีความชันเทากับ 4
3
−
ดังนั้น สมการเสนตรง CP คือ 4
4 ( 4)
3
y x− = − −
เพราะฉะนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด C และจุด P คือ 4 3 28 0x y+ − = ตอบ

19. 19
วิธีทํา จากหลักการ Row Operation [ ] [ ]: :A I I P∼
จะไดวา 1
P A−
=
จากโจทย
1
2
3
a
A b
c
   
   =   
      
คูณ 1
A−
ไปทางดานซายทั้งสองขางของสมการ
จะไดวา 1 1
1
2
3
a
A A A b
c
− −
   
   =   
      
1
2
3
a
I P b
c
   
   =   
      
1 1 2 0
2 0 1 2
3 1 0 1
a
b
c
     
     = −     
     −     

20. 20
ข&อ 17 (ต(อ) :
จากกฎของคราเมอร
จะไดวา
1 2 0
2 1 2
3 0 1 1 12 ( 4)
1 2 0 1 4
0 1 2
1 0 1
a
−
− + − −
= =
+
−
−
เพราะฉะนั้น 17
5
a = ตอบ
วิธีทํา จากสมการ ( )log log
9 10 3 9 0x x
− + =
จะไดวา ( ) ( )
2log log
3 10 3 9 0x x
− + =
แยกตัวประกอบ ( )( )log log
3 9 3 1 0x x
− − =
เพราะฉะนั้น log
3 9x
= หรือ log
3 1x
=
log 2x = หรือ log 0x =
100x = หรือ 1x =
ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ 100,1x =
เพราะฉะนั้น ผลรวมคําตอบของสมการ เทากับ 101 ตอบ

21. 21
19. กําหนดให ( ) ( ){ }2
4cos2 4cos
| 0 2 125 5 4 5 25x x
S x x π= < < = +
S เป*นสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้
1. 3 5 10 12 14
, , , , ,
8 8 8 8 8 8
π π π π π π 
 
 
2. 2 4 7 8 9
, , , , ,
6 6 6 6 6 6
π π π π π π 
 
 
3. 2 3 5 6 7
, , , , ,
4 4 4 4 4 4
π π π π π π 
 
 
4. 3 3 8 7
, , , , ,
6 4 6 4 6 4
π π π π π π 
 
 
5. 2 3 5 7
, , , , ,
3 4 3 4 3 4
π π π π π π 
 
 
วิธีทํา เนื่องจากเรารูจักสูตร 2
cos2 2cos 1x x= −
จากสมการ ( ) ( )2
4cos2 4cos
125 5 4 5 25x x
= +
จะไดวา ( ) ( )2 2
4(2cos 1) 4cos
125 5 4 5 25x x−
= +
( ) ( )2 22
4cos 4cos125
5 4 5 25
625
x x
= +
( ) ( )2 22
4cos 4cos
5 20 5 125x x
= +
จะไดสมการ ( ) ( )2 22
4cos 4cos
5 20 5 125 0x x
− − =
( )( )2 2
4cos 4cos
5 25 5 5 0x x
− + =
เป*นบวกเสมอ
ดังนั้น
2
4cos
5 25x
=
. 2
4cos 2x =
จะได 1 1
cos ,
2 2
x = −
เพราะฉะนั้น 3 5 7
, , ,
4 4 4 4
S
π π π π 
=  
 
ตอบ ซึ่งเป*นสับเซตของตัวเลือกที่ 3
และ

22. 22
วิธีทํา หาคาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของคนในหอง
จะไดวา คาเฉลี่ย เทากับ 160 เซนติเมตร
จากโจทย จะเห็นวา แซมเปbcลสเปซ S คือ การสุมเด็ก 9 คนในนี้มา 3 คน
เพราะฉะนั้น
9
( )
3
n S
 
=  
 
ให E แทนเหตุการณที่สุมเด็ก 3 คนมาแลวไดเด็กทุกคนเตี้ยกวาคาเฉลี่ย
จะเห็นวามีคนเตี้ยกวาคาเฉลี่ยอยู 5 คน
จะไดวา
5
( )
3
n E
 
=  
 
ดังนั้น
5
3( ) 5 4 3
( )
9( ) 9 8 7
3
n E
P E
n S
 
 
× × = = =
× × 
 
 
เพราะฉะนั้น ความนาจะเป*นที่เด็กทั้งสามคนเตี้ยกวาคาเฉลี่ย เทากับ 5
42
ตอบ

23. 23
วิธีทํา จากโจทย จะเห็นวา แซมเปbcลสเปซ S คือ การสุมเลขโดด 9 จํานวนในนี้มา 4 จํานวน
เพราะฉะนั้น
9 9 8 7 6
( ) 126
4 4 3 2
n S
  × × ×
= = = 
× × 
ให E แทนเหตุการณที่สุมเลขโดดมา 4 จํานวน แลวผลคูณของ 4 จํานวนนี้ไมเป*นจํานวนลบ
ก็จะแบงได 2 กรณี คือ
กรณีที่ 1 : ผลคูณเป3นจํานวนบวก
ก็จะสามารถแบงเป*นกรณียอยไดอีก คือ
2.1) เลือกจํานวนบวกมา 4 ตัว (ซึ่งมันก็มีแค 4 ตัว) ทําได 1 วิธี
2.2) เลือกจํานวนลบมา 4 ตัว (ซึ่งมันก็มีแค 4 ตัว) ทําได 1 วิธี
2.3) เลือกจํานวนบวกมา 2 ตัว และจํานวนลบ 2 ตัว
Step 1: เลือกจํานวนบวกมา 2 ตัว จาก 4 ตัว ทําได
4
6
2
 
= 
 
วิธี
Step 2: เลือกจํานวนลบมา 2 ตัว จาก 4 ตัว ทําได
4
6
2
 
= 
 
วิธี
เพราะฉะนั้น ในกรณียอยนี้จะทําได 6 6 36× = วิธี
จะไดวา ในกรณีนี้จะทําได 1 1 36 38+ + = วิธี

24. 24
ข&อ 21 (ต(อ) :
กรณีที่ 2 : ผลคูณเท(ากับ 0
Step 1: เลือกเลข 0 มา ทําได 1 วิธี
Step 2: เลือกจํานวนที่เหลือ 8 ตัว อะไรก็ไดมา 3 ตัว ทําได
8
56
3
 
= 
 
วิธี
จะไดวา ในกรณีนี้จะทําได 56 วิธี
เพราะฉะนั้น ( ) 38 56 94n E = + = วิธี
เพราะฉะนั้น 94 47
( )
126 63
P E = = ตอบ

25. 25
วิธีทํา
กําหนดให 1x และ 2x เป*นคะแนนเปอรเซนไทลที่ 33 และ 67 ตามลําดับ
เนื่องจากพื้นที่ใตเสนโคงปกติแสดงถึงสัดสวนของจํานวนขอมูล
จะไดวา พื้นที่จากตรงกลางมายัง 1x เทากับ 0.17
และ พื้นที่จากตรงกลางมายัง 2x เทากับ 0.17
เพราะฉะนั้น 1x จะมีคะแนนมาตรฐาน 1 0.44z = − และ 2x จะมีคะแนนมาตรฐาน 2 0.44z =
กําหนดใหขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ µ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ σ
จะไดวา 1
0.44
x µ
σ
−
− = และ 2
0.44
x µ
σ
−
=
นําสองสมการนี้มาลบกัน จะได 2 1
0.88
x x
σ
−
=
และจากโจทย บอกวา 2 1 11x x− =
เพราะฉะนั้น 11
12.5
0.88
σ = = คะแนน ตอบ
1x 2x
0.33
0.17
0.17

26. 26
วิธีทํา ให r เป*นอัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิตชุดนี้
จากขอมูล 1 2 3 11, , ,...,x x x x จะสามารถแปลงไดเป*น 4 56 6
6 6 65 4
, , ..., ,..., ,
x x
x x r x r
r r
แสดงวาผลคูณ 1 2 3 11...x x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ จะเทากับ 4 5 116 6
6 6 6 65 4
... ...
x x
x x r x r x
r r
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
เพราะฉะนั้น 11 33 22
6 2 3x = ⋅
( )
1111 3 2
6 2 3x = ⋅
จะไดวา 3 2
6 2 3 72x = ⋅ =
สําหรับในกรณีที่ 0r > จะไดวา ลําดับเรขาคณิตนี้จะเรียงจาก นอยไปมาก หรือ มากไปนอย อยูแลว
เพราะฉะนั้น มัธยฐาน คือ 6 72x = ตอบ
สังเกตวา เราไดทําการโมเมให 0r > เพื่อใหสามารถหาคําตอบในตัวเลือกได
ในกรณีที่ 0r < เชน 1r = −
เราจะไดขอมูล 11 จํานวน คือ 72,72, 72,72, 72,72, 72,72, 72,72, 72− − − − − −
ในการหามัธยฐาน เราจะตองเรียงขอมูลจากนอยไปมาก
เมื่อเราเรียงขอมูลแลว เราจะไดขอมูล คือ 72, 72, 72, 72, 72, 72,72,72,72,72,72− − − − − −
จะเห็นวา มัธยฐานของขอมูลชุดนี้ คือ 72−
หรือลองให 2r = − เราก็จะไดมัธยฐานเป*น 2.25−

27. 27
ข&อ 23 (ต(อ) :
เนื่องดวยเหตุผลของการกํากวมของโจทยนี้เอง ประกอบกับมีคนไปแยงขอนี้ดวย
จึงทําใหข&อนี้ได&คะแนนฟรีไปทั้งประเทศในตอนนั้น
สังเกตไดจาก ถายอนกลับไปดูสถิติคะแนนวิชานี้ จะพบวาขอสอบชุดนี้ ไดคะแนนต่ําสุดคือ 4
คะแนน ซึ่งโดยปกติ มันจะเป*น 0 คะแนน
ขอนี้จะไมมีปNญหาเลย ถากําหนดให อัตราส(วนร(วมเป3นบวก ลงไปในโจทยดวย

28. 28
วิธีทํา พิจารณาลําดับ
( 2)
2
2
1
n n
n
n
a dx
x
+
= ∫
จะไดวา
( 2)
21
n n
n
n
a
x
+
 
= −  
1 1
( 2)
2
n nn
= −
+ 
 
 
2 2
( 2) ( 2)
n
n n n n
+
= −
+ +
เพราะฉะนั้น 1
2
na
n
=
+

29. 29
ข&อ 24 (ต(อ) :
ดังนั้น
1 1
1
( 2)
n
n n
a
n n n
∞ ∞
= =
=
+
∑ ∑
1
1 2
2 ( 2)n n n
∞
=
=
+
∑
1
1 1 1
2 2n n n
∞
=
 
= − 
+ 
∑
1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
2 1 3 2 4 3 5 4 6
        
= − + − + − + − +        
        
1 1
1
2 2
 
= + 
 
เพราะฉะนั้น
1
3
4
n
n
a
n
∞
=
=∑ ตอบ

30. 30
วิธีทํา เนื่องจาก G ตอเนื่องที่ 1x = −
เพราะฉะนั้น 1
( 1) lim ( )
x
G G x−
→−
− =
( 1) 1 5f − = − +
จะไดวา ( 1) 4f − =
จากโจทย 2
( ) 3 6f x x x′ = −
จะไดวา ( )2
( ) 3 6f x x x dx= −∫
. 3 2
( ) 3f x x x C= − +
และเรารูเงื่อนไขขอบเขต คือ ( 1) 4f − =
( ) ( )
3 2
4 1 3 1 C= − − − +
จะได 8C =
เพราะฉะนั้น 3 2
( ) 3 8f x x x= − +
อยากหาคาต่ําสุดสัมพัทธของ f ให c เป*น คาวิกฤตของ f
จะไดวา ( ) 0f c′ =
. 2
3 6 0c c− =
ดังนั้น 0,2c =

31. 31
ข&อ 25 (ต(อ) :
วิเคราะหวาจุดไหนเป*นจุดสูงสุดต่ําสุดสัมพัทธ จะตองหา ( )f x′′
จากโจทย จะไดวา ( ) 6 6f x x′′ = −
ถา 0c = จะไดวา ( ) 6 0f c′′ = − < --------> เป*นจุดสูงสุดสัมพัทธ
ถา 2c = จะไดวา ( ) 6 0f c′′ = > --------> เป*นจุดต่ําสุดสัมพัทธ
เพราะฉะนั้น จุดที่ 2x = ในกราฟเป*นจุดต่ําสุดสัมพัทธ
เพราะฉะนั้น คาต่ําสุดสัมพัทธของ f จะเทากับ (2) 4f = ตอบ

32. 32
วิธีทํา จากโจทย คาเฉลี่ยของคะแนนเทากับ 12.7 คะแนน
จะไดวา 16 8 12 13 7
12.7
10
9 11 18x y+ + + + + + + + +
=
ดังนั้น 33x y+ =
ลองเรียงขอมูลจากนอยไปมากและแยก x กับ y เอาไว
จะไดขอมูลเป*น 7 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 16 , 18 , x , y
เนื่องจากคะแนนสอบเต็ม 20 คะแนน
ดังนั้น คูอันดับ ( , )x y ที่เป*นไปได ก็คือ (20,13),(19,14),(18,15),....,(13,20)
7 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 16 , 18
นั้นคือ ไมวา x กับ y จะเป*นอยางไร ตัวตรงกลางก็คือ 12 กับ 13 อยูดี
เพราะฉะนั้น มัธยฐานของขอมูลชุดนี้เทากับ 12.5 คะแนน ตอบ
,x y

33. 33
วิธีทํา กระจายซิกมาออกมา จะได 3 5 7 199
( ) 2 3 4 .... 100f x x x x x x= + + + + +
คูณ 2
x ไปทั้งสองขางของสมการ
จะได 2 3 5 7 199 201
( ) 2 3 .... 99 100x f x x x x x x= + + + + +
นําสองสมการมาลบกัน
จะไดวา ( )2 3 5 199 201
1 ( ) ... 100x f x x x x x x− = + + + + −
( )( )1002
201
2
1
100
1
x x
x
x
−
= −
−
เพราะฉะนั้น
( )( )1002
201
2 2
11
( ) 100
1 1
x x
f x x
x x
 −
 
= − − −
  
ดังนั้น ( )
( )
( )
100
2002 1 21
2 100 2 2
1 2 1 2
f
 −
 = −
− −  
( )100
100
2 1 21
2 100 2
1 1
 −
 = − ⋅ ⋅
− −  
( )100 100
2 1 2 2 100 2= − + ⋅ ⋅
( )100 100
2 1 2 100 2= − + ⋅
( ) ( )100
2 2 1 99 2f = + ⋅
เพราะฉะนั้น ( ) 1001
2 1 99 2
2
f = + ⋅ ตอบ

34. 34
วิธีทํา เนื่องจาก
2 2
2 2
1 (1 ) 1 2 2
1 (1 )(1 ) 1 2
i i i i i
i
i i i i
+ + + +
= = = =
− − + −
เพราะฉะนั้น 1
1
i
i
i
+
=
−
จากโจทย จะไดสมการ 2 5 2x x
i i− −
=
หรือสมการ 3
1x
i −
=
จากสมบัติของ n
i วาถา 1n
i = แลว n จะหารดวย 4 ลงตัว
เพราะฉะนั้น { }| 3 4B x A x= ∈ −
จะไดวา { }3,7,11,15,...,155B =
จะเห็นวาสมาชิกใน B เรียงเป*นลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเป*น 4 และมีพจนแรกเป*น 3
เพราะฉะนั้น สมาชิกใน B จะมีรูปทั่วไปเป*น 4 1na n= −
อยากรูวา 155 เป*นพจนที่เทาไร
ก็จะได 155 4 1n= −
แกสมการ จะได 39n =
เพราะฉะนั้น เซต B จะมีสมาชิกทั้งหมด 39 ตัว ตอบ
หารดวย ลงตัว

35. 35
วิธีทํา ลองหา 2
A ดูกอน
จะไดวา
2 2
2
2 2
cos sin cos sin cos sin 2sin cos
3 3 3 3 3 3 3 3
sin cos sin cos 2sin cos cos sin
3 3 3 3 3 3 3 3
A
π π π π π π π π
π π π π π π π π
     
− − − −     
= =     
     −
          
ดังนั้น 2
2 2
cos sin
3 3
2 2
sin cos
3 3
A
π π
π π
 
− 
=  
 
  

36. 36
ข&อ 29 (ต(อ) :
ลองหา 3
A ดูบาง
จะไดวา 3 2
2 2
cos sin cos sin
3 3 3 3
2 2
sin cos sin cos
3 3 3 3
A A A
π π π π
π π π π
   
− −   
= × =    
   
      
2 2 2 2
cos cos sin sin sin cos cos sin
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
sin cos cos sin cos cos sin sin
3 3 3 3 3 3 3 3
π π π π π π π π
π π π π π π π π
  
− − +  
  =
 
+ −  
ดังนั้น 3
3 3
cos sin
3 3
3 3
sin cos
3 3
A
π π
π π
 
− 
=  
 
  
ถาเราลองทําและสังเกตไปเรื่อยๆ
จะพบวา
cos sin
3 3
sin cos
3 3
n
n n
A
n n
π π
π π
 
− 
=  
 
  
จากโจทย ถา
1 0
0 1
k
A I
 
= =  
 
จะไดวา cos 1
3
kπ
= และ sin 0
3
kπ
=
ดังนั้น เราจะตองหา k ที่สอดคลองกับสองเงื่อนไขนี้พรอมกัน
เนื่องจากเรารูวา ถา cos 1θ = และ sinθ = 0 พรอมกัน แลว 2nθ π= เมื่อ n เป*นจํานวนเต็ม
เพราะฉะนั้น 2
3
k
n
π
π=
หรือจะได 6k n=
ดังนั้น k จะตองหารดวย 6 ลงตัว
เพราะฉะนั้น 6,12,18,24,...,96k = ซึ่งมีอยู 16 ตัว
แสดงวา ความนาจะเป*นที่สุมตัวเลขมาหนึ่งตัวจากเซต S แลวได k จะเทากับ 16
100
ตอบ

37. 37
วิธีทํา แนวคิดที่ 1
ลองสมมติให ( )P x เป*นพหุนามดีกรีหนึ่ง
จะได ( )P x ax b= + โดย ,a b เป*นจํานวนเต็มบวก
แทนคา (1)P จะได 10a b+ =
แทนคา (10)P จะได 10 2116a b+ =
แกสมการออกมา จะได 234a = และ 224b = −
ซึ่งจะขัดแยงกับโจทยที่บอกวา ( )P x มีสัมประสิทธิ์เป*นจํานวนเต็มบวก
ลองสมมติให ( )P x เป*นพหุนามดีกรีสอง
จะได 2
( )P x ax bx c= + + โดย , ,a b c เป*นจํานวนเต็มบวก
แทนคา (1)P จะได 10a b c+ + =
แทนคา (10)P จะได 100 10 2116a b c+ + =
แกสมการออกมาโดยติดในรูปของ c จะได 112
5 10
c
a = + และ 62 11
5 10
c
b = − −
ถา c เป*นจํานวนเต็มบวก จะเห็นวา b ตองเป*นจํานวนลบ
ซึ่งจะขัดแยงกับโจทยที่บอกวา ( )P x มีสัมประสิทธิ์เป*นจํานวนเต็มบวก

38. 38
ข&อ 30 (ต(อ) :
ลองสมมติให ( )P x เป*นพหุนามดีกรีสี่
จะได 4 3 2
( )P x ax bx cx dx e= + + + + โดย , , , ,a b c d e เป*นจํานวนเต็มบวก
เมื่อพิจารณา (10)P จะได (10) 10000 1000 100 10P a b c d e= + + + +
ในกรณีที่ , , , ,a b c d e นอยที่สุด คือ 1a b c d e= = = = =
จะได (10) 11111P = ซึ่งมากกวา 2116 ไปแลว
ยิ่งถา ( )P x มีดีกรีมากขึ้น ก็จะทําให (10)P มากขึ้นไปอีก
เพราะฉะนั้น ( )P x เป*นพหุนามดีกรีสาม เทานั้น
ให ( )P x เป*นพหุนามดีกรีสาม
จะได 3 2
( )P x ax bx cx d= + + + โดย , , ,a b c d เป*นจํานวนเต็มบวก
จากโจทย (1) 10P = จะได 10a b c d+ + + =
เนื่องจาก , , ,a b c d เป*นจํานวนเต็มบวก แสดงวา 1 , , , 7a b c d≤ ≤
ถา 3a = จะไดวา ( )(10) 3 1000 100 10 3000 2116P b c d= + + + > >
ยิ่งถา a มากขึ้น ก็จะทําให (10)P มากขึ้นไปอีก ดังนั้น a ตองนอยกวา 3
ถา 1a = จะไดวา (10) 1000 100 10P b c d= + + +
ในกรณีที่มากที่สุด คือ 7b c d= = = จะได (10) 1777 2116P = <
ดังนั้น a ตองไมเทากับ 1
เพราะฉะนั้น 2a = เทานั้น
จะไดพหุนาม 3 2
( ) 2P x x bx cx d= + + +
ถา 2b = จะไดวา (10) 2(1000) 2(100) 10 2200 10 2116P c d c d= + + + = + + >
ยิ่งถา b มากขึ้น ก็จะทําให (10)P มากขึ้นไปอีก ดังนั้น b ตองนอยกวา 2
เพราะฉะนั้น 1b = เทานั้น
จะไดพหุนาม 3 2
( ) 2P x x x cx d= + + +
ถา 2c = จะไดวา (10) 2(1000) 100 2(10) 2220 2116P d d= + + + = + >
ยิ่งถา c มากขึ้น ก็จะทําให (10)P มากขึ้นไปอีก ดังนั้น c ตองนอยกวา 2
เพราะฉะนั้น 1c = เทานั้น

39. 39
ข&อ 30 (ต(ออีก) :
เพราะฉะนั้น จะไดพหุนาม 3 2
( ) 2P x x x x d= + + +
ใชเงื่อนไข (1) 10P = หรือ (10) 2,116P = ก็ได
แทนคา x ลงไป สุดทายจะได 6d =
เพราะฉะนั้น 3 2
( ) 2 6P x x x x= + + + จะได ( 1) 4P − = ตอบ
แนวคิดที่ 2
ฝDน พิจารณา 3 2
(10) 2116 2(10) 1(10) 1(10) 6P = = + + +
ลองให 3 2
( ) 2 6P x x x x= + + +
พบวา มีสัมประสิทธิ์เป*นจํานวนเต็มบวก ตามที่โจทยบอกพอดี
ลองเช็ค (1)P พบวา (1) 10P = ตรงตามที่โจทยบอกพอดี
เพราะฉะนั้น 3 2
( ) 2 6P x x x x= + + + จะได ( 1) 4P − = ตอบ
******************************************************