To teacher Arnon Suwannathai 5 Score

2. ลำดับเลขคณิต
• บทนิยาม ลาดับเลขคณิต คือ ลาดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนาพจน์
ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า
ผลต่างร่วม
ถ้ำ a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว
จะได้ a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 – an เท่ำกับ ค่าคงที่
เรียกค่ำคงที่นี้ว่ำ “ ผลต่างร่วม ” (Common difference) เขียนแทน
ด้วย “ d ”
จำกบทนิยำม d = an+1 – an
หรือ an+1 = an + d

3. • สรุป พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลาดับเลขคณิต คือ
an = a1 + ( n – 1 )d

4. ตัวอย่ำงที่1
1.จงหำพจน์ที่ 40 ของลำดับเลขคณิต 1,5,9,13,...
วิธีทา หำ a40
จำก an=a1+(n−1)d
an=a1+(n−1)d
n=40 a1=1,d=5−1=4a1=1,d=5−1=4
แทนค่ำลงไปจะได้
a40=1+(40−1)4a40=1+(40−1)4
a40=1+39(4)a40=1+39(4)
a40=1+156a40=1+156
a40=157a40=157
นั่นคือ พจน์ที่ 40 คือ 157

5. ตัวอย่ำงที่2
2.จงหำพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,...
วิธีทา เนื่ องจำกมันลำดับเลขคณิต ดังนั้น จะมีพจน์ทั่วไปคือ
an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d
จำกโจทย์ a1=6,d=2−6=−4a1=6,d=2−6=−4
แทนค่ำจะได้
an=6+(n−1)(−4)an=6+(n−1)(−4)
an=6−4n+4an=6−4n+4
an=10−4n

6. ตัวอย่ำงที่3
จงหำพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิต 3,8,13,18,23,...
วิธีทา กำรทำข้อนี้ก็ไม่ยำกคับ สิ่งที่จำเป็นต้องรู้ก็อย่ำงที่ผมบอกไปแล้ว คือต้องรู้พจน์ทั่วไปของ
ลำดับเลขคณิตซึ่งก็คือ an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d
ข้อนี้เขำให้หำพจน์ที่ 15 คือให้หำ a15a15 นั่นเอง
เนื่ องจำก an=a1+(n−1)dan=a1+(n−1)d
ดังนั้น a15=a1+(15−1)da15=a1+(15−1)d
จำกลำดับเลขคณิต 3,8,13,18,23,...
จะเห็นว่ำ a1=3a1=3 และ d=8−3=5d=8−3=5
ดังนั้น
a15=3+(15−1)5
a15=3+14(5)a15=3+14(5)
a15=3+70a15=3+70
a15=73a15=73
ตอบ ด้งนั้น พจน์ที่ 15 คือ 73

7. ตัวอย่ำงที่4

8. ตัวอย่ำงที่5

9. ลำดับเรขำคณิต
บทนิยาม ลาดับเรขาคณิต คือ ลาดับที่มีอัตราส่วนของพจน์
ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็ นค่าคงที่
ทุกค่าของจานวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ”
ถ้ำ a1, a2, a3, …, an, an+1 เป็นลำดับเรขำคณิต แล้ว จะได้
เท่ำกับค่ำคงที่ เรียกค่ำคงที่นี้ว่ำ “ อัตราส่วนร่วม ” (Common
ratio) เขียนแทนด้วย r
สูตรของลำดับเรขำคณิต an = a1rn – 1

10. ตัวอย่ำงที่1
จงหำพจน์ที่ 6 ของลำดับเรขำคณิต 1 , 2 , 4 , 8 , …
วิธีทำ
จำกโจทย์ a1 = 1 , r = 2
เพรำะว่ำ an = a1rn – 1
a6 = (1)(2)6 – 1
a6 = 32

11. ตัวอย่ำง 2
จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต 2, 4, 8, …
วิธีทำ จำกโจทย์ a1 = 2 r = 2 และพจน์ทั่วไปของลำดับเรขำคณิต
คือ an = a1rn-1
แทนค่ำที่มี จะได้
an = 2(2)n-1
an = 2(2)n (2)-1
an = 2(2)n / 2
an = 2n
ฉะนั้น พจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต คือ an = 2n

12. ตัวอย่างที่3
จงหาพจน์สุดท้ายของลาดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก เท่ากับ 3 และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ
2/3 และจานวนพจน์เท่ากับ 8
วิธีทำ
จำกโจทย์ เรำจะได้ว่ำ an = a1rn-1
an = 3(2/3)8-1
an = 3(2/3)7
an = 27/36
an = 128 / 729
ดังนั้น พจน์สุดท้ายของลาดับเรขาคณิต คือ 128 / 729

13. ตัวอย่างที่4
จงหาอัตราส่วนร่วมของลาดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 9 เท่ากับ 1/1458 และ
พจน์ที่ 5 เท่ากับ 1/18
วิธีทำ
จำกโจทย์ เรำจะได้ว่ำ a9 / a5 = r(9-5)
(1/1458) / (1/18) = r4
1/81 = r4
r2 = ±1/9
r = ± 1/3
ดังนั้น อัตรส่วนร่วมของลาดับเรขาคณิต คือ ± 1/3

14. ตัวอย่ำงที่5
จงหาพจน์แรกของลาดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 4 เท่ากับ 9 และพจน์ที่ 9
เท่ากับ 2187
วิธีทำ
สมมติให้ลำดับเรขำคณิต คือ a1, a1r, a1r2, a1r3
ดังนั้น a4 = a1r3 = 9
a9 = a1r8 = 2187
และ a9 / a4 = a1r8 / a1r3 = 2187 / 9
ซึ่งจะได้ว่ำ r5 = 2187 / 9
r = 35
r = 3

15. แหล่งข้อมูล

16. อนุกรมเลขคณิต
บทนิยาม อนุกรมที่ได้จำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และผลต่ำงร่วมของ
ลำดับเลขคณิต เป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย
เมื่อ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็ นลาดับเลขคณิต
จะได้a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n-1)d)
เป็ นอนุกรมเลขคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิต

17. ตัวอย่ำง 1
จงหำค่ำของอนุกรมต่อไปนี้
1) 4+4+6+...+804+4+6+...+80
วิธีทา จำก Sn=n2(a1+an)
หำ n คือ an=a1+(n−1)d
แทน an ด้วย 80
80=2+2n−280=2+2n−2
n=802n=802
n=40n=40
ดังนั้นอนุกรมนี้มีทั้งหมด 40 พจน์
หำ S40
จำก Sn=n2(a1+an)
S40=402(2+80)S40=402(2+80)
S40=20(82)S40=20(82)
S40=1640

18. ตัวอย่ำงที่2
2) ผลบวก 12 พจน์แรกของ 3+5+7+...
วิธีทา ข้อนี้หำ S12S12 นั่นเอง ข้อนี้เรำไม่รู้พจน์สุดท้ำย ด้งนั้นใช้สูตร
สองได้ครับ ข้อนี้ n=12,d=2
Sn=n2[2a1+(n−1)d]Sn=n2[2a1+(n−1)d]
S12=122[2(3)+(12−1)2]S12=122[2(3)+(12−1)2
]
S12=6[6+22]S12=6[6+22]
S12=168S12=168

19. ตัวอย่ำงที่3
ลำดับชุดหนึ่งมี an=3n−1an=3n−1
จงหำค่ำของ a6+a7+a8+...+a20
วิธีทา S20 คือผลบวก 20 พจน์แรก ซึ่งก็คือ
S20=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7...+a20S20=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7...+a20
และ S5 คือผลบวก 5 พจน์แรก ซึ่งก็คือ
S5=a1+a2+a3+a4+a5
S20−S5=a6+a7+a8+...+a20
ดังนั้นข้อนี้ก็คือหำค่ำของ S20−S5
S20ก่อน ต้องหำ a20,a11
จำก an=3n−1
a20=3(20)−1
a20=59a20=59
a1=3(1)−1
a1=2a1=2
S20=202(2+59)
S20=10(61)
S20=610
ต่อไปหำ S5

20. จำก an=3n−1an=3n−1
a5=3(5)−1
a5=14
S5=52(2+14)
S5=52×16
S5=5×8
S5=40
หำได้ทั้งสองอันแล้วก็เอำมำลบกันก็จะได้
S20−S5=610−40=570

21. ตัวอย่ำงที่4
ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี a5=17 และ a9=33
จงหำค่ำของ S7
วิธีทา จำก
S7=72(a1+a7) ก่อนที่เรำจะหำ S7 ได้เรำต้องรู้ค่ำของ a1 กับ a5 ก่อนครับ วิธีกำรหำก็หำจำกสิ่ง
ที่โจทย์กำหนดมำให้ครับ
ลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิตจะมีพจน์ทั่วไปคือ
an=a1+(n−1)d
a5=a1+4d แทนค่ำ a5a5 ด้วย 17 ครับจะได้
17=a1+4d ให้เป็นสมกำรที่ 1
มำดูอีกอันครับ
a9=a1+8d
33=a1+8d ให้เป็นสมกำรที่ 2
นำสมกำรที่ 2 ลบออกด้วย สมกำรที่ 1 จะได้
33−17=(a1+8d)−(a1+4d)
16=4d
d=164
d=4

22. แทนค่ำ d ด้วย 4 ในสมกำรที่ 1 เพื่อหำค่ำ a1จะได้
17=a1+4(4)
17=a1+16
a1=1
ต่อไปก็หำค่ำ a7 ออกมำเพื่อนำไปใช้ในกำรหำค่ำ S7
a7=a1+6d
a7=1+(6)(4)
a7=25
จำก
S7=72(a1+a7)
S7=72(1+25)
S7=72×26
S7=7×13
S7=91

23. ตัวอย่ำงที่5
ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี a1=3 และ S10=210 จงหำค่ำของ a8
วิธีทา เนื่ องจำกลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้น an=a1+(n−1)d
ดังนั้น a8=a1+(n−1)d
a8=a1+(n−1)d
แสดงว่ำเรำต้องรู้ค่ำของ a1 และ d แต่ a1 เรำรู้แล้วดังนั้นเหลือแค่หำค่ำของ d
จำกสูตรที่เรำรู้คือ Sn=n2[2a1+(n−1)d]
จะได้
S10=102[2a1+(10−1)]d
แทนค่ำลงไปในสมกำรเ
210=5[2(3)+9d]
2105=(6+9d)
42=6+9d
42−6=9d
36=9d
d=369
d=4d

24. a8
จำก a8=a1+(8−1)d
a8=3+7(4)
a8=3+28
a8=31

25. อนุกรมเรขำคณิต
บทนิยาม อนุกรมที่ได้จำก ลาดับเรขาคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเรขาคณิต และ
อัตรำส่วนร่วมของลำดับเรขำคณิต จะเป็นอัตรำส่วนร่วมของ อนุกรมเรขำคณิตด้วย
กำหนด a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1 เป็ นลาดับเรขาคณิต
จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1 เป็ นอนุกรมเรขาคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตรำส่วนร่วมของอนุกรมเรขำคณิต

26. ตัวอย่ำง1
จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต 1+2+4+8+...
จำกโจทย์ จะได้ a1=1r=2
จำกสูตร Sn=a1(1−rn)/1−r แทนค่ำสิ่งที่โจทย์ให้มำลงในสูตรเลย
S8=1(2)8−1/2−1
S8=28−11
S8=255

27. ตัวอย่ำง2
จงหำผลบวก 9 พจน์แรกของลำดับเรขำคณิต 2+6+18+54+...
จำกโจทย์ a1=2และr=3
จำก Sn =a1(1−rn)/1−r
S9=2(1−38)/1−3
S9=2(1−6561)/−2
S9=−13120/−2
S9=6560

28. ตัวอย่ำงที่3
จงหำผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
1) 1+2+4+...+1281+2+4+...+128
วิธีทา จะเห็นว่ำอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมเรขำคณิตมีค่ำ r=4/2 =2
เนื่ องจำกเรำรู้พจน์สุดท้ำยดังนั้น เรำเลือกใช้สูตรนี้ในกำรหำ
คำตอบ Sn=(a1−an)r /1−r
Sn=1−128(2)/1−2
Sn=1−256/−1
Sn=255

29. ตัวอย่ำงที่5
3−6+12−24+...+1923−6+12−24+...+192
วิธีทา จะเห็นว่ำอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขำคณิตมีค่ำ
r=−6/3=−2
Sn=(a1−an)r/1−r
Sn=3−192(−2)/1−(−2)
Sn=3+384/3
Sn=387/3
Sn=129

30. แหล่งข้อมูล

31. THE END