1. 28
อนุกรมเลขคณิต
วัตถุประสงค
1. นักเรียนสามารถสังเกต วิเคราะห เชื่อมโยงความสัมพันธของตัวเลข
2. นักเรียนสามารถจัดลําดับและหาอนุกรมของจํานวนได
3. นักเรียนสามารถนําอนุกรมเลขคณิตไปประยุกตใชในชีวตจริงได
ิ
ความพรอม
1. ระบบจํานวน
2. เลขยกกําลัง
3. สมการ
4. ตัวแปร
สาระสําคัญ
ลําดับ (Sequences) หมายถึง จํานวนหรือพจนที่เขียนเรียงกันภายใตกฎเกณฑอยางใดอยางหนึ่ง
ลําดับทั่วๆ ไปแบงเปน 2 ชนิดคือ
1. ลําดับจํากัด คือลําดับซึ่งมีจํานวนพจนจํากัด เชน
1, 3, 5, 7, . . ., 19
2. ลําดับอนันต คือ ลําดับซึ่งมีจํานวนพจนไมจํากัด เชน
1, 3, 5, 7, . . .
ชนิดของลําดับ
1. ลําดับเลขคณิต หมายถึง ลําดับซึ่งมีผลตางระหวางพจนที่ n + 1 กับ มีคาคงตัว คาคงตัวนี้
เรียกวา “ผลตางรวม” เขียนแทนดวย d
ให a1 , a2, a3 , . . . เปนลําดับเลขคณิต ผลตางระหวางพจนที่ n+1 กับพจนที่ n คา d
d = a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4
ดังนั้น a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , a1 + 4d , ....
เปนพจนที่ 1 2 3 4 5
ถา an เปนพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต
an = a1 + (n −1)d
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

2. 29
วิธีการนําเสนอ
ตัวอยาง จงหาพจนที่ 15 ของลําดับ -5 , -1, 3, 7, 11,…
วิธีทํา a n = a1 + (n −1)d
จากโจทย a1 = −5 , n = 15 , d = −1− (−5)
= −1+ 5
= 4
ดังนั้น a 15 = −5 + (15 − 1)4
= −5 + (14 × 4)
= −5+ 56
พจนที่ 15 ของลําดับ = 51
ตัวอยาง กําหนดลําดับเลขคณิตหนึ่ง มีพจนที่ 5 เปน 29 และ พจนที่ 51 เปน 397 จงหาพจนที่ 1
ถึง พจนที่ 4
วิธีทํา
(พจนที่ 5 หรือ a 5 ) a1 + 4d = 29
(พจนท่ี 51 หรือ a 51 ) a1 + 50d = 397
-
(a1 + 50d )− (a1 + 4d ) = 397 - 29
a1 + 50d − a1 − 4d = 368
46d = 368
d = 368
46
d = 8
แทนคา d ดวย 8 ใน
a1 + 4d = 29
a1 + (4× 8) = 29
a1 = 29 - 32
= -3
ดังนั้นพจนที่ 1 คือ a 1 = -3
ดังนั้นพจนที่ 2 คือ a 1 + d = −3 + 8 = 5
ดังนั้นพจนที่ 3 คือ a1 + 2d = −3 + (2×8) = 13
ดังนั้นพจนที่ 4 คือ a1 + 3d = −3 + (3×8) = 21
พจนที่ 1 ถึงพจนที่ 4 คือ -3, 5, 13, 21
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

3. 30
แบบฝกทักษะ
1. จงหาพจนที่ 20 ของลําดับ -13, -9, -5, -1, 3, …
2. ลําดับเลขคณิตลําดับหนึ่ง มีพจนที่ 10 เปน -28 และพจนที่ 12 เปน -50
จงหาผลบวกของพจนที่ 5 กับพจนที่ 6
เฉลยแบบฝกทักษะ
1. จงหาพจนที่ 20 ของลําดับ -13, -9, -5, -1, 3, …
แนวคิด
a n = a1 + (n −1)d
จากโจทย a 1 = -13, n = 20, d = -9- (-13)
= -9 +13
= 4
ดังนั้น a 20 = -13 + (20-1) 4
= -13 + (19 x 4)
= -13 + 76
พจนที่ 20 ของลําดับ = 63
ตอบ 63
2. ลําดับเลขคณิตลําดับหนึ่ง มีพจนที่ 10 เปน -28 และพจนที่ 12 เปน -50
จงหาผลบวกของพจนที่ 5 กับพจนที่ 6
แนวคิด
(พจนที่ 10 หรือ a 10 ) a1 + 9d = -28
(พจนท่ี 12 หรือ a 12 ) a1 +11d = -50
-
(a1 +11d )− (a1 + 9d ) = - 50 - (-28)
a1 +11d − a1 − 9d = - 50 + 28
2d = - 22
d = −2 22
= - 11
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

4. 31
แทนคา d ดวย -11 ใน
a1 + 9d = - 28
a1 + [9 × (−11)] = - 28
a1 − 99 = - 28
a1 = - 28 + 99 = 71
ดังนั้น a5 = a1 + 4d
= 71 + [4 × (− 11)]
= 71 – 44 = 27
a6 = a1 + 5d
= 71+ [5× (−11)]
= 71 – 55 = 16
a5 + a6 = 27 + 16 = 43
ตอบ 43
2. ลําดับอื่น ๆ
2.1 ลําดับหลายชั้น เปนเลขอนุกรม มีคาความแตกตางระหวางตัวเลขมีลักษณะเปนเลขอนุกรมดวย เชน
256 233 208 181 152 121
-23 -25 -27 -29 -31
-2 -2 -2 -2
5 10 30 120 600 3600
x2 x3 x4 x5 x6
+1 +1 +1 +1
17 20 28 45 75 122
+3 +8 +17 +30 +47
+5 +9 +13 +17
+4 +4 +4
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

5. 32
2.2 ลําดับเวนระยะ คือ เลขอนุกรม ซึ่งประกอบดวยอนุกรมมากกวา 1 ซอนกันอยูภายใน

โจทยเดียวกัน เชน
-3 -3
7 11 11 8 15 5 19
+4 +4 +4
2.3 ลําดับแบบมีคาแตกตางเปนชุด อนุกรมแบบนี้ เกิดจากคาความแตกตางที่เปนชุด คือหลายตัว
ประกอบขึ้นมาและใชคาแตกตางที่เปนชุดดังกลาวในการพิจารณาเลขอนุกรมลําดับถัดไป เชน
5 20 30 120 130 520 530
×4 +10 ×4 +10 ×4 +10
2.4 ลําดับยกกําลัง เปนเลขอนุกรม ซึ่งเกิดจากการยกกําลังของตัวเลขตาง ๆ หรืออาจเกิดจาก
คาความแตกตางที่อาจเปนเลขยกกําลัง เชน
100 512 1,296 1,024 64
10 2 83 64 45 26
10 91 42 67 58 59
+81 -49 +25 -9 +1
92 72 52 32 12
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

6. 33
แบบฝกทักษะ
1. จงหาลําดับของจํานวนถัดไป
5 -10 20 -40
2. จงหาลําดับของจํานวนถัดไป
108 43 100 39 92
3. จงหาลําดับของจํานวนถัดไป
25 29 13 49
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

7. 34
เฉลยแบบฝกทักษะ
1. จงหาลําดับของจํานวนถัดไป
5 -10 20 -40 ________ _________
แนวคิด ×4 ×4
5 -10 20 -40 80 -160
×4 ×4
ตอบ ลําดับของจํานวนถัดไปคือ 80 และ -160
2. จงหาลําดับของจํานวนถัดไป
108 43 100 39 92 _______ _________
แนวคิด
-4 -4
100 43 100 39 92 35 84
-8 -8 -8
ตอบ ลําดับของจํานวนถัดไปคือ 35 และ 84
3. จงหาลําดับของจํานวนถัดไป
25 29 13 49
แนวคิด
25 29 13 49 -15 85
+4 -16 +36 -64 +100
22 42 62 82 10 2
ตอบ ลําดับของจํานวนถัดไปคือ -15 และ 84
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

8. 35
อนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวก ของลําดับเลขคณิต เชน
a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an + ...
ให เปนผลบวก s n เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิต
s n = a1 + a2 + a3 + ... + an
สูตรผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิต
sn = n [2a1 + (n −1)d ]
2
หรือ sn = n (a1 + an )
2
ตัวอยาง จงหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 + … 200
แนวคิด จากโจทย a1 = 1 , an = 200 , n = 200
sn = n
(a + an )
2 1
sn = 200
2
(1+ 200)
= 100 + 201
= 20,100
ตัวอยาง จงหาผลบวกของเลขคี่ตั้งแต 1 ถึง 200
แนวคิด จากโจทย 1 + 3 + 5 + 7 +…+199
a1 = 1 , a n = 199 , n = 100
sn = n (a1 + an )
2
s100 = 100
2
(1+199)
= 50 × 200
= 10,000
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

9. 36
แบบฝกทักษะ
1. จงหาผลบวกของเลขคูต้งแต 1 ถึง 200
ั
2. จงหาผลบวก 50 พจนแรกของลําดับ 12, 7, 2, …
เฉลยแบบฝกทักษะ
1. จงหาผลบวกของเลขคูต้งแต 1 ถึง 200
ั
แนวคิด
จากโจทย 2 + 4 + 6 +8 + … + 200
a1 = 2 , a n = 200 , n = 100
sn = n (a1 + an )
2
s100 = 100
2
(2 + 200)
= 50× 202
= 10,100
ตอบ ผลบวกของเลขคูต้งแต 1 ถึง 200 คือ 10,100
ั
2. จงหาผลบวก 50 พจนแรกของลําดับ 12, 7, 2, …
แนวคิด
sn
n
[2a + (n −1)d ]
2 1
a1 = 12 , n = 50 , d = 7−2
= −5
s50 = 50
2
[(2 ×12) + (50 −1)(− 5)]
= 25[24 + (49 × (− 5))]
= 25(24 − 245)
= 25× (−221)
= −5,525
ตอบ ผลบวก 50 พจนแรกของลําดับ 12, 7, 2,... คือ −5,525
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

10. 37
แบบฝกทักษะ
1. ดวงแกวทํางานบริษัทแหงหนึ่งไดเงินเดือน เดือนแรก 5,000 บาท ไดเงินเดือนขึ้นเดือนละ 150 บาท
จงหาวาเดือนสุดทายของปที่หาเขาจะไดรับเงินเดือนเทาไร และในหาปเขาจะไดเงินเดือนทั้งหมดเทาไร
2. ถา A เปนจํานวนเต็มที่มีคามากกวา 192 และนอยกวา 222 ซึ่ง 11 หารลงตัว และผลคูณของเลขโดด

ของ A มีคานอยที่สุดแลว A มีคาเทาใด
3. จงหาผลบวกพจนที่ 51 คาพจนที่ 60 ของลําดับ 12, 7, 2...
4. นําเลขโดด 1, 2, 3,..., 9 มาจัดวางลงในวงกลมที่กําหนดให โดยไมมการใชตัวเลขโดดซ้ํากัน โดยกําหนด
ี
ใหผลบวกของเลขโดดสี่จํานวนที่อยูดานเดียวกันมีคาเทากัน จงหาวาจํานวนใดมีผลคูณมากที่สุด
5. จํานวนนับที่มคาตั้งแต 1 ถึง 100 มีผลบวกของจํานวนคี่นอยกวาผลบวกของจํานวนคูเทาใด
ี
6. แดงและดําอยูหางกัน 255 กิโลเมตร และตั้งใจจะเดินทางมาพบกันโดยตั้งตนเดินทางพรอม ๆ กัน

แดงเดินทางวันแรก 1 กิโลเมตร วันที่สอง 3 กิโลเมตร วันที่สาม 5 กิโลเมตร เชนนี้ไปเรื่อย ๆ
สวนดําเดินทางวันแรก 20 กิโลเมตร วันที่สอง 19 กิโลเมตร วันที่สาม 18 กิโลเมตร เชนนี้ไปเรื่อย ๆ
จงหาวาในเวลากี่วนเขาทั้งสองจึงจะพบกัน
ั
7. จงหาพจน 4 พจน ของลําดับเลขคณิตที่อยูระหวาง 9 และ 34
8. การแขงขันกีฬาเก็บของ โดยเก็บกอนหิน 10 กอน ซึ่งวางหางกันกอนละ 1 เมตร โดยวางกอนที่ 1
หางจากจุดเริ่มตน 2 เมตร กอนที่ 10 หางจากเสนชัย 3 เมตร ซึ่งกติกาการแขงขันคือผูเขาแขงขัน
ตองเก็บกอนทีหนึ่งมาวางไวที่เสนเริ่มตน แลวเก็บกนทีสองมาวางไวที่เสนเริ่มตน ดังนี้เรื่อย ๆ ไป
่ ่
จนครบ 10 กอน แลวจึงนํากอนหินทั้งหมดไปวางไวที่เสนชัย ดังนันถาวิ่งตามกติกาผูแขงขันแตละคน
้
จะตองวิ่งเปนระยะทางเทาไร
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

11. 38
9. กําหนดตัวเลข 10 ถึง 1000 จํานวนที่หารดวย 7 ลงตัวมีกี่จํานวน
10. เด็กคนหนึ่งเรียงลูกหินเปนแถว ๆ เพื่อประกอบรูปสามเหลี่ยม โดยจัดลูกหินแถวบนใหนอยกวาลูกหิน

ในแถวลาง ๆ ที่อยูติดกันหนึงลูกเสมอ ถาแถวบนสุดมีลกหินเพียงลูกเดียว ซึ่งอยูในตําแหนงของจุดยอด
่ ู
ของสามเหลี่ยมดวย และเขามีลูกหินอยูทั้งหมด 190 ลูก จงหาวามีลกหินในแถวลางสุดของรูปสามเหลี่ยมกี่ลูก
ู
11. ถา a, x, y, b เรียงกันเปนลําดับเลขคณิต จงหา x และ y
12. จากอนุกรม 100 + 99 + 98 + 97 + ... ตองการบวก 30 พจน ติดตอกันในอนุกรมนี้ เพื่อใหไดผลบวก
เทากัน 1, 155 อยากทราบวาจะเริ่มบวกจากพจนทเี่ ทาใด
13. ถา a1, a2, a3, … เปนลําดับเลขคณิตที่มี a3 − a5 + a7 = 8 จงหาผลบวกของ a1 + a2 + … + a9
14. กําหนดให a1, a2, a3, …, a13 เปนลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเปน −14 และ a7 = 183
จงหา a1 + a2 + a3 + …+ a13 มีคาเทาไร
15. กําหนดตัวเลข 200 ถึง 1,000
1) มีกี่พจนทหารดวย 3 ลงตัว
ี่
2) มีกี่พจนทหารดวย 7 ลงตัว
ี่
3) มีกี่พจนทหารดวย 3 และ 7 ลงตัว
ี่
16. ให 5, x, 20, … เปนลําดับเลขคณิตที่ผลบวกของ 12 พจนแรกเปน a และ 5, y, 20, … เปนลําดับ
เรขาคณิตที่มพจนที่ 6 เปน b โดย y < 0 จงหา a + b
ี
17. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวกที่ทําใหผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต
2 n + 2 n +1... + 2 2 n
7 + 15 + 23 ... เทากับ 217 จงหา
28
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

12. 39
18. กําหนดให a, b, c เปน 3 พจน เรียงติดกันในลําดับเลขคณิต และมีผลคูณเปน 27 ถา
a, b + 3, c + 2 เปน 3 พจน เรียงติดกันในลําดับเลขคณิตแลว a + b + c มีคาเทาไร

19. หนังสือเลมหนึ่งมีจํานวนหนาไมเกิน 500 หนา ถูกฉีกออกไป 1 แผน ผลบวกของหนาทั้งหมดที่เหลืออยู
มีคาเทากับ 19,905 จงหาวาผลบวกของเลขหนาทั้งสองของแผนที่ถูกฉีกออกไปเปนเทาไร
20. หนังสือคณิตศาสตรเลมหนึ่งมีจํานวนหนาไมเกิน 300 หนา ถูกฉีกหนากลางออกไป 1 คู ทําใหผลบวก
ของหนาที่เหลือมีคาเทากับ 26,103 จงหาวาหนาหนังสือที่ถูกฉีกออกไปเปนหนาอะไรบาง
21. จํานวนลําดับที่ 1,988 ของลําดับตอไปนี้ คือ จํานวนใด
1, −2, 2, −3, 3, −3, 4, −4, 4, −4, 5, −5, 5, −5, 5, −6, 6, −6, 6, −6, 6,...
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

13. 40
แนวคิดแบบฝกทักษะอนุกรมเลขคณิต
1. ดวงแกวทํางานบริษัทแหงหนึ่งไดเงินเดือน เดือนแรก 5,000 บาท ไดเงินเดือนขึ้นเดือนละ 150 บาท
จงหาวาเดือนสุดทายของปที่หาเขาจะไดรับเงินเดือนเทาไร และในหาปเขาจะไดเงินเดือนทั้งหมดเทาไร
แนวคิด
ลําดับเงินเดือน 5,000, 5,150, 5,300,…
จากโจทย a1 = 5,000 , d = 150, n = 60 (5 ป)
an = a1 + (n −1)d
a 60 = 5,000 + (60 −1)(150)
= 5,000 + (59×150)
= 5,000 + 8,850
เดือนสุดทายของปที่หาไดรบเงินเดือน 13,850 บาท
ั
หาปเขาจะไดรับเงินเดือนทังหมด s60 = 60 (5,000 + 13,850)
้ 2
= 30 × 18,850
= 565,500 บาท
ตอบ 565,500 บาท
2. ถา A เปนจํานวนเต็มที่มีคามากกวา 19 2 และนอยกวา 22 2 ซึ่ง 11 หารลงตัวและผลคูณของเลขโดด
ของ A มีคานอยที่สุด แลว A มีคาเทาใด
แนวคิด
19 2 < A < 22 2
คา A ที่เปนไปไดทั้งหมด ไดแก
19 × 20, 19 × 21, 19 × 22, 20 × 20, 20 × 21, 20 × 22, 21 × 22
จํานวนที่ 11 หารไดลงตัว ไดแก
19 × 22 = 418 ผลคูณของเลขโดด 4 × 1 × 8 = 32
20 × 22 = 440 ผลคูณของเลขโดด 4 × 4 × 0 = 0
21 × 22 = 412 ผลคูณของเลขโดด 4 × 1 × 2 = 8
∴ 440 เปนจํานวนที่มีผลคูณของเลขโดดที่มีคานอยที่สุด ดังนั้น A มีคา 440
ตอบ 440 เปนจํานวนที่มผลคูณของเลขโดดที่มีคานอยที่สุด ดังนั้น A มีคา 440
ี
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

14. 41
3. จงหาผลบวกพจนที่ 51 ถึงพจนที่ 60 ของลําดับ 12, 7, 2,...
แนวคิด
หาผลบวกของพจนที่ 1 ถึงพจนที่ 60
sn = n
[2a + (n −1)d ]
2 1
s 60 = 60
2
[(2 ×12) + (60 −1)(− 5)]
= 30[24 + (59 )(− 5)]
= 30(24 − 295)
= 30 × (−271)
= - 8,130
หาผลบวกของพจนที่ 1 ถึงพจนที่ 50
s 50 = 50
2
[(2 ×12) + (50 −1)(− 5)]
= 25[24 + (49 )(− 5)]
= 25(24 − 245)
= 25× (−221)
= - 5,525
ผลบวก พจนที่ 51 ถึงพจนที่ 60 = -8,130 – (-5,525) = -2,605
ตอบ -2,605
4. นําเลขโดด 1, 2, 3,…,9 มาจัดลงในตารางที่กําหนดให โดยไมมการใชตัวเลขโดดซ้ํากัน โดยกําหนดให
ี
ผลบวกของเลขโดดสี่จํานวนที่อยูบนดานเดียวกันมีคาเทากัน จงหาวาจํานวนใดมีผลคูณมากที่สุด
แนวคิด
ผลบวกที่มคานอยที่สุดที่เปนไปไดคือ
ี
(45 + 6) ÷ 3 = 17 ผลบวกทั้งหมดเปน 1 + 2 + ...+ 9 = 45
ผลบวกที่มีคานอยที่สุดของตัวเลขที่ใชซํากัน
้
1+2+3 =6
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

15. 42
ผลบวกที่มีคามากที่สุดที่เปนไปได คือ
(45 + 24) ÷ 3 = 23 ผลบวกที่มคามากที่สุดของตัวเลขที่ใชซ้ํากัน
ี
9 + 8+ 7 = 24
ดังนั้น ผลบวกของแตละดานของรูปสามเหลี่ยมทีอาจเปนคําตอบจะอยูในชวง 17, 23
่ 
1 2
5 7 9 4
9 6 5 6
2 8 4 3 3 1 8 7
ผลบวกเปน 17 ผลบวกเปน 19
5 9
9 8 2 1
2 1 4 8
4 3 7 6 6 5 7 3
ผลบวกเปน 20 ผลบวกเปน 21
9
3 5
4 1
7 6 2 8
ผลบวกเปน 23 ดังนั้น 9 × 3 × 4 × 7 = 756
ตอบ 756
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

16. 43
5. จํานวนนับที่มคาตั้งแต 1 ถึง 100 มีผลบวกของจํานวนคีนอยกวาผลบวกของจํานวนคูเ ทาใด
ี ่ 
แนวคิด
1 + 3 + 5 + ... + 99 มีคา 50 จํานวน
s 50 = 50
2
(1− 99)
= 25 × 100
= 2,500
2 + 4 + 6 + … + 100 มีคา 50 จํานวน
s 50 = 50
2
(1−100)
= 25 × 102
= 2,550
ผลบวกจํานวนคี่นอยกวาผลบวกจํานวนคู = 2,500 – 2,500
= 50
หรือ ให A แทนผลบวกของจํานวนคู ตั้งแต 1 ถึง 100
A = 2 + 4 + 6 + …+100
ให B แทนผลบวกของจํานวนคี่ ตั้งแต 1 ถึง 100
B = 1 + 3 + 5 + …+99
A–B = (2 – 1) + (4 – 3) + (6 – 5) + ...+(100 + 99)
= 50
ตอบ 50
6. แดงและดําอยูหางกัน 255 กิโลเมตร และตั้งใจจะเดินทางมาพบกัน โดยตั้งตนเดินทางพรอม ๆ กัน

แดงเดินทางวันแรก 1 กิโลเมตร วันที่สอง 3 กิโลเมตร วันที่สาม 5 กิโลเมตร เชนนี้ไปเรื่อย ๆ
สวนดําเดินทางวันแรก 20 กิโลเมตร วันที่สอง 19 กิโลเมตร วันที่สาม 18 กิโลเมตร เชนนี้ไปเรื่อย ๆ
จงหาวาในเวลากี่วันเขาทั้งสองจึงจะพบกัน
แนวคิด
ใหแดงและดํา เดินทางมาพบกันเปนเวลา n วัน
การเดินทางของแดง คือ 1 + 3 + 5 + ... (อนุกรมเลขคณิต)
Sn = n [2a1 + (n – 1) d]
2
= n
2
[(2 ×1) + (n – 1)(2)]
= n
2
(2n)
= n2
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

17. 44
การเดินทางของดํา คือ 20 + 19 + 18 + ... (อนุกรมเลขคณิต)
Sn = n [2a1 + (n – 1) d]
2
= n
2
[(2 ×20) + (n – 1)(-1)]
= n
2
(41 - n)
จากโจทยแดงและดําอยูหางกัน 255 กิโลเมตร
จะได + = 255 กิโลเมตร
n2 + n (41 - n)
2
= 255 กิโลเมตร
2 n2 + 41 n - n2 = 510 กิโลเมตร
(n – 10) (n + 51) = 0
จะได n = 10 , -51
แดงและดําจะพบกันใน 10 วัน
ตอบ 10 วัน
7. จงหาพจน 4 พจน ของลําดับเลขคณิตที่อยูระหวาง 9 และ 34
แนวคิด
ถา x , 1 , 2 , 3 , …, k , y
d = y −1k+
x
จากโจทย x = 9 , y = 34 , k = 4
−
d = 34+ 19
4
= 25
5
ผลตางรวม = 5
ลําดับเลขคณิต คือ 9 , 14 , 19 , 24 , 29
ตอบ 9 , 14 , 19 , 24 , 29
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

18. 45
8. การแขงขันกีฬาเก็บของ โดยเก็บกอนหิน 10 กอน ซึ่งวางหางกันกอนละ 1 เมตร โดยวางกอนที่ 1
หางจากจุดเริ่มตน 2 เมตร กอนที่ 10 หางจากเสนชัย 3 เมตร ซึ่งกติกาการแขงขันคือ ผูแขงขันตองเก็บ
กอนที่หนึ่งมาวางไวท่เี สนเริมตน แลวเก็บกอนที่สองมาไวที่เสนเริ่มตนดังนี้เรื่อยๆ ไป จนครบ 10 กอน
่
แลวจึงนํากอนหินทั้งหมดไปวางไวท่เี สนชัย ดังนันถาวิ่งตามกติกาผูแขงขันแตละคนจะตองวิ่งเปน
้
ระยะทางเทาไร
แนวคิด
จุดเริ่มตน 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 เสนชัย
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ให S แทนระยะทางที่วิ่งไดทั้งหมด
จะได S = [2(2) + 2(3) + 2(4) + … + 2(11)] + 14
= [2(2 + 3 + 4 + … + 11)] + 14
= 2 [ n (a1 + a10 )] + 14
2
= 2 [ 10 (2 + 11)] + 14
2
= 2 (65) + 14
= 144
∴ ผูแขงขันแตละคนจะตองวิ่งเปนระยะทาง 144 เมตร
ตอบ 144 เมตร
9. กําหนดตัวเลข 10 ถึง 1,000 จํานวนที่หารดวย 7 ลงตัวมีกี่จํานวน
แนวคิด
14 , 21 , 28 , ... , 994
a1 = 14 , an = 994 , d = 7
an = a1 + ( n - 1 ) d
994 = 14 + ( n – 1 ) ( 7 )
994 = 7n + 7
7n = 987
n = 987
7
= 141 ตัว
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

19. 46
หรือ
a n − a1
n = d
+1
994 −14
= 7
+1
= 980
7
+1
= 140 + 1
= 141 ตัว
ตอบ 141 ตัว
10. เด็กคนหนึ่งเรียงลูกหินเปนแถว ๆ เพื่อประกอบรูปสามเหลี่ยม โดยจัดลูกหินในแถวบนใหนอยกวา
ลูกหินในแถวลางที่อยูตดกันหนึ่งลูกเสมอ ถาแถวบนสุดมีลูกหินเพียงลูกเดียว ซึ่งอยูในตําแหนงของ
ิ
จุดยอดของสามเหลี่ยมดวย และเขามีลูกหินอยูทั้งหมด 190 ลูก จงหาวามีลูกหินในแถวลางสุดของ
รูปสามเหลี่ยมกี่ลูก
แนวคิด
O O
O O
O O
O O O
ให sn แทนจํานวนลูกหินทังหมด และ n แทนจํานวนแถว
้
จากโจทย sn = 190 ลูก
= 1+2+ 3+...+n
sn = n
[ 2a + ( n −1) d ]
2 1
190 = n
2
[( 2×1) + ( n −1)(1)]
190 = n
2
( n +1)
n2 + n – 360 = 0
( n – 19 ) ( n + 20 ) = 0
n = 19 , -20
จะไดวาเรียงลูกหินไดทั้งหมด 19 ชั้น
ตอบ แถวลางสุดของรูปสามเหลี่ยมมีลูกหิน 19 ลูก
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

20. 47
11. ถา a , x , y , b เรียงกันเปนลําดับเลขคณิต จงหา x และ y
แนวคิด
a , x , y,b เปนลําดับเลขคณิต
จะได a4 = a1 + 3d (พจนที่ 4)
b = a + 3d
b−a
d = 3
จะได x = a1 + d (พจนที่ 2)
= a + b−a3
3a + b − a
= 3
2a + b
= 3
y = a1 + 2d (พจนที่ 3)
= a + 2( b − a )
3
2b − 2a
= a+ 3
3a + 2b − 2a
= 3
a + 2b
= 3
a + 2b
ตอบ 3
12. จากอนุกรม 100 + 99 + 98 + 97 + . . . ตองการบวก 30 พจน ติดตอกันในอนุกรมนี้ เพื่อใหได
ผลบวกเทากับ 1,155 อยากทราบวา จะเริ่มบวกจากพจนที่เทาใด
แนวคิด
sn = n
[ 2a + ( n −1) d ]
2 1
1,155 = 30
2
[ 2a1 + (30 −1)( −1)]
1,155 = 15( 2a1 - 29 )
1,155 = 30a1 – 435
a1 = 53
ให an = 53
an = a1 + ( n – 1 ) d
53 = 100 + ( n – 1 ) ( -1 )
53 = 101 - n
N = 48
ตอบ เริ่มบวกจากพจนที่ 48
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

21. 48
13. ถา a1 , a2 , a3 , . . . เปนลําดับเลขคณิต ที่มี a3 – a5 + a7 = 8 จงหาผลบวกของ a1 + a2 + . . . + a9
แนวคิด
จากโจทย a3 – a5 + a7 = 8
จะได ( a1 + 2d ) – ( a1 + 4d ) + ( a1 + 6d ) = 8
a1 + 2d – a1 – 4d + a1 + 6d = 8
a1 + 4d = 8
a1 + a2 + . . . + a9 = n
[ 2a + ( n −1) d ]
2 1
= 9
2
[( 2a1 ) + (9 −1)d ]
= 9
( 2 a + 8d )
2 1
= 9 ( a1 + 4d )
= 9×8
= 72
ตอบ 72
14. กําหนดให a1 , a2 , a3 , . . . , a13 เปนลําดับเลขคณิตที่มีผลตางรวมเปน -14 และ a7 = 183
จงหา a1 + a2 + a3 + . . . + a13 มีคาเทาไร
แนวคิด
an = a1 + ( n – 1 ) d
a7 = a1 + ( 7 – 1 ) d
183 = a1 + 6 ( -14 )
183 = a1 – 84
a1 = 267
Sn = n
[ 2a + ( n −1) d ]
2 1
S13 = 13
2
[( 2 × 267) + (13 −1)( −14)]
= 13
2
(534 −168)
= 13
2
× 366
= 2379
ตอบ 2,379
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

22. 49
15. กําหนดตัวเลข 200 ถึง 1,000
1) มีกี่พจนทหารดวย 3 ลงตัว
ี่
2) มีกี่พจนทหารดวย 7 ลงตัว
่ี
3) มีกี่พจนทหารดวย 3 และ 7 ลงตัว
ี่
แนวคิด
แนวคิด 1)
มีกี่พจนทหารดวย 3 ลงตัว
ี่
1000
3
= 333.3ํ 333
- n = 333 – 66 = 267
200
3
= 66.6ํ 66
ดังนั้น มี 267 พจนที่หารดวย 3 ลงตัว
แนวคิด 2)
มีกี่พจนทหารดวย 7 ลงตัว
ี่
1000
7
= 142.9 142
- n = 142 - 28 = 114
200
7
= 28.6 28
ดังนั้น มี 114 พจนที่หารดวย 7 ลงตัว
แนวคิด 3)
มีกี่พจนทหารดวย 3 และ 7 ลงตัว
ี่
ค.ร.น. ของ 3 และ 7 คือ 21
1000
21
= 47.6 47
- n = 47 – 9 = 38
200
21
= 9.5 9
ดังนั้น มี 38 พจน ที่หารดวย 3 และ 7 ลงตัว
ตอบ 267 พจนที่หารดวย 3 ลงตัว
114 พจนที่หารดวย 7 ลงตัว
38 พจน ทีหารดวย 3 และ 7 ลงตัว
่
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

23. 50
16. ให 5 , x , 20 , . . . เปนลําดับเลขคณิต มีผลบวกของ 12 พจนแรก เปน a และ 5 , y , 20 , . . .
เปนลําดับเรขาคณิต ที่มพจนที่ 6 เปน b โดย y < 0 จงหา a + b
ี
แนวคิด
ให 5 , x , 20 , . . . มีผลบวกของ 12 พจนแรก เปน a
d = x-5 = 20 - x
2x = 25
x = 12.5
แสดงวา d = 12.5 – 5 = 7.5
จากสูตร Sn = n
[ 2a + ( n −1) d ]
2 1
S12 = 12
2
[ 2(5) + 11( 7.5)]
a = 6 ( 10 + 82.5 )
จะได a = 555
จากโจทย 5 , y , 20 , . . . เปนลําดับเรขาคณิต ที่มีพจนที่ 6 เปน b โดย y < 0
จะได r = 5 = y 20
y
y2 = 100
y = - 10 เนื่องจาก y < 0
แสดงวา r = −10
5
= -2
จากสูตร an = a1r n −1
a6 = 5 ( -2 )6-1
b = 5 ( -2 )5
b = -160
ดังนั้น a + b เทากับ 555 – 160 = 395
ตอบ 395
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

24. 51
17. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวก ที่ทําใหผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต
2 n + 2 n+1 + ... + 2 2 n
7 + 15 + 23 + . . . เทากับ 217 จงหา
28
แนวคิด
Sn = n
[2a + ( n − 1)d ]
2 1
217 = n
2
[( 2 + 7 ) + ( n −1)(8)]
4n2 + 3n – 217 = 0
( 4n + 31 )( n – 7 ) = 0
n = 7
2 n + 2 n+1 + ... + 2 2 n
= 27 + 28 + . . . + 214
28
= 2-1 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26
เปนอนุกรมเรขาคณิต
-1
a1 = 2 , r = 2
a1 (1 − r 4)
Sn = 1− r
2 −1 (1 − 2 8 )
= 1− 2
= 127.5
ตอบ 127.5
18. กําหนดให a , b , c เปน 3 พจน เรียงติดกันในลําดับเลขคณิต และมีผลคูณเปน 27
ถา a , b + 3 , c + 2 เปน 3 พจน เรียงติดกันในลําดับเลขคณิตแลว a + b + c มีคาเทาไร
แนวคิด
a , b , c เปนลําดับเลขคณิต
b
a
= c
b
b2 = ac
นํา b คูณทั้ง 2 ขาง b3 = abc
b3 = 27 (b=3)
a , b + 3 , c + 2 เปนลําดับเลขคณิต
(b + 3) – a = (c+2)–(b+3)
a – 2b + c = 4
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

25. 52
แทนคา b a–6+c = 4
a+c = 10
a+b+c = 10 + 3
= 13
ตอบ 13
19. หนังสือเลมหนึ่งมีจํานวนหนาไมเกิน 500 หนา ถูกฉีกออกไป 1 แผน ผลบวกของหนาทั้งหมด
ที่เหลืออยูมีคาเทากับ 19,905 จงหาวา ผลบวกของเลขหนาทั้งสองของแผนที่ถูกฉีกออกไปเปนเทาไร
แนวคิด
สมมุติหนังสือ มี n หนา
∴ ผลบวกของหนาทั้งหมด = 1+2+3+...+ n
= n(n2+1)
n < 500
เนื่องจากถูกฉีกออกไป 1 แผน
n(n + 1)
ดังนั้น จะหาคา n ที่นอยทีสุดที่จะทําให
่ 2
มากกวา 19905
พบวา ถา n = 300
n(n + 1)
2
= 300(300 + 1)
2
= 45,150 มากไป
ดังนั้น ถา n = 200
n(n + 1)
2
= 200(200 + 1)
2
= 20,100
∴ ผลบวกของเลขหนาของสองหนาที่ถูกฉีกไป คือ 20,100 − 19,905 = 195
ตอบ 195
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547

26. 53
20. หนังสือคณิตศาสตรเลมหนึ่งมีจํานวนหนาไมเกิน 300 หนา ถูกฉีกหนากลางออกไป 1 คู ทําใหผลบวก
ของหนาที่เหลือมีคาเทากับ 26,103 จงหาวาหนาหนังสือที่ถูกฉีกออกไปเปนหนาอะไรบาง
แนวคิด
สมมุติหนังสือมี n หนา
∴ ผลบวกของหนังสือหนาทั้งหมด = 1 + 2 + 3 + . . . + n
= n(n2+ 1)
n < 300
เนื่องจากหนังสือถูกฉีกไป 1 คู
n(n + 1)
ดังนั้น จะหาคา n ที่มีคานอยที่สุดที่ทาให
ํ 2
มากกวา 26,103
n(n + 1) 230(230 + 1)
จากการสุม พบวา เมื่อ n = 230 จะได 2
= 2
ดังนั้น เลขหนาคูกลางมีผลรวมเปน 26,565 - 26,103 = 462
แสดงวา หนากลางมีผลรวม = 231
แตหนาคูกลางมีผลรวมตางกันอยู 1 จะได A + ( A + 1 ) = 231

∴ A = 115 ดังนั้นเลขหนาคูกลาง คือ 114 , 115 , 116 และ 117

ตอบ หนาหนังสือที่ถกฉีกออกคือ 114 , 115 , 116 และ 117
ู
21. จํานวนลําดับที่ 1,988 ของลําดับตอไปนี้ คือ จํานวนใด
1 , -2 , 2 , -3 , 3 , -3 , 4 , -4 , 4 , -4 , 5 , -5 , 5 , -5 , 5 , -6 , 6 , -6 , 6 , -6 , 6 , . . .
แนวคิด
สังเกตวา พจนคจะเปนลบเสมอ
ู
ตองหาจํานวนที่อยูระหวาง 1,988 จากสมการ n(n2+ 1)
62(62 + 1)
สุมจํานวน ถา n = 62 จะได = 2
= 1,953 ( ไมถึง )
63(63 + 1)
ถา n = 63 จะได = 2
= 2,016
จากการสุม n = 62 หมายความวา 62 จํานวนสุดทายสิ้นสุดที่ลําดับที่ 1,953
และคาดวา 63 จํานวนแรกเริ่มตนที่ ลําดับที่ 1,954 และไปสิ้นสุดทีลําดับที่ 2,016
่
เพราะฉะนั้น ลําดับที่ 1,988 คือจํานวน 63
ตอบ 63
กลุม 5 อนุกรมเลขคณิต แกไขวันที่ 20 กันยายน 2547