Exponential and logarithm function

1
เลขยกกําลังสมบัติของเลขยกกําลังสมบัติของรากที่nฟงกชันเอกโปรเนนเชียล
•นิยาม
•กราฟของฟงกชัน
การแกสมการและ
อสมการของฟงกชัน
เอกโปรเนนเชียล
การหาคาของ√m+√n
ฟงกชันลอการิทึม
•นิยาม
•กราฟของฟงกชัน
ลอการิทึมสามัญและ
ลอการิทึมธรรมชาติ
แอนตีลอการิทึมการแกสมการและ
อสมการของฟงกชัน
ลอการิทึม
โจทยปญหา

2
ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
1.เลขยกกําลัง
ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก
...n
a a a a a= × × × ×
ตัวอยาง เชน
6
2 2 2 2 2 2 2 64= × × × × × =
4
3 3 3 3 3 81= × × × =
n ตัว
เลขยกกําลัง
n
a
เรียกวา เลขชี้กําลัง
เรียกวา เลขฐาน
6 ตัว
4 ตัว

3
2.สมบัติของเลขยกกําลัง
ถา ,a b R∈ และ 0, 0m n> >
1)
( )m n m n
a a a +
⋅ = เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน และ , 0a n ≠ พรอมกัน
2)
( )
( )m n mn
a a= เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน
3) ( )n n n
ab a b= เมื่อ , 0a n ≠ พรอมกัน และ , 0b n ≠ พรอมกัน
4) ( )
n
n
n
a a
b b
= เมื่อ , 0a n ≠ พรอมกัน และ 0b ≠
5)
0
1a = เมื่อ 0a ≠
6)
1n
n
a
a
−
= เมื่อ 0a ≠
7)
( )
m
m n
n
a
a
a
−
= เมื่อ 0a ≠
8) ( )
11
mm
mn nna a a
⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน
1. จงหาคาของ
( 2)
( 1)
5 3 9 3
3 3
n n
n n
−
−
⋅ − ⋅
−
วิธีทํา

4
( 2) 2 ( 2)
( 1)
5 3 9 3 5 3 3 3
33 3
3
3
n n n n
nn n
n
− −
−
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
=
−
−
[2 ( 2)]
5 3 3
1
3 [1 ]
3
5 3 3
2
3 [ ]
3
3 [5 1]
2
3 [ ]
3
4
2
3
6
n n
n
n n
n
n
n
+ −
⋅ −
=
−
⋅ −
=
−
=
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 1
( ) ( )
1 1
( ) ( )
m n
m n
x x
y y
y y
x x
+ −
+ −
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
m n m n
m n m n
xy xy
x x
y y y y
xy xy
y y
x x x x
+ −
+ −
=
+ −
+ −
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
m n
m n
m n
m n
xy xy
y y
xy xy
x x
+ −
=
+ −

5
( )
( )
( )
m n
m n
m n
m n
m n
x x
y y
x
y
x
y
+
+
+
=
=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3. ถา
( )
3 81x y+
= และ
( )
2
25 5
x
= จงหาคา y
3.รากที่ n
ให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 และ ,x a R∈
x จะเปนรากที่ n ของ a ก็ตอเมื่อ
n
x a=
ขอสังเกต
1) เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 และเปนจํานวนคู
รากที่ n ของ a
( )
( ) 4
3 81
3 3
4
1 4
3
x y
x y
x y
y
y
+
+
=
=
∴ + =
+ =
∴ =
( )
2
2 2
(2 )
2
25 5
(5 ) 5
5 5
5 5
1
x
x
x
x
x
⋅
=
=
=
=
∴ =
(+) เขียนแทนดวย
n
a
(-) เขียนแทนดวย
n
a−

6
2) เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1 และเปนจํานวนคี่
1. จงหารากที่ 2 ของ 9
∴ รากที่ 2 ของ 9 คือ 3 และ -3
2. จงหารากที่ 3 ของ 8
∴ รากที่ 3 ของ 8 คือ 2
รากที่ n ของ a มีจํานวนเดียว เขียนแทนดวย
n
a
รากที่ 2 ของ 9 จํานวนใดยกกําลัง 2 แลวเทากับ 9
2
9x =
2
3 9=
2
( 3) 9− =
รากที่ 3 ของ 8 จํานวนใดยกกําลัง 3 แลวเทากับ 8
3
8x =
3
2 8=

7
3. จงหารากที่ 3 ของ -8
∴ รากที่ 3 ของ -8 คือ -2
สมบัติของรากที่ n
กําหนดให a และ b มีรากที่ n และ ,a b R∈
1)
n n n
a b ab⋅ =
2)
n
n
n
a a
bb
= เมื่อ 0b ≠
3)
m
n mn
a a= เมื่อ , 0a m ≠ พรอมกัน
3
3
1
6 4
2
+
3
3 3
3 3 3
1 1 4
6 4 6 4
2 2 4
×
+ = +
×
3
3
3
4
6 4
2 4
= +
×
รากที่ 3 ของ -8 จํานวนใดยกกําลัง 3 แลวเทากับ -8
3
8x = −
3
( 2) 8− = −

8
3
3
3
3
3
3
3
4
6 4
8
4
6 4
2
1
4(6 )
2
13
4
2
= +
= +
= +
=
3
4
81
3
344
81 81=
4
4 4 4
81 81 81
81 81 81
3 3 3
27
= × ×
= × ×
= × ×
=
1 1 1
3 3 6
6(5) 4(40) 10(25)− +
1 1 1 1 1 1 2
3 3 6 3 3 3 6
6(5) 4(40) 10(25) 6(5) 4(8) (5) 10(5)− + = − +
1 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
1
3
6(5) 4(2)(5) 10(5)
6(5) 8(5) 10(5)
8(5)
= − +
= − +
=

9
4.การหาคา m n+
พิจารณา 2 2 2
( ) ( ) 2( )( ) ( )a b a a b b+ = + +
2
( ) 2
a ab b
a b ab
= + +
= + +
2
( ) 2 ( )a b ab a b a b∴ + + = + = +
ดังนั้นในการหาคา m n+
……………….พยายามจัดรูป m n+ ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ + ใหได
1. จงหาคา 5 24+
1) จัดรูป 5 24+ ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ +
5 24 5 2 6+ = +
(3 2) 2 (3)(2)= + +
2) 5 24 (3 2) 2 (3)(2)+ = + +
2
( 3 2)
3 2
= +
= +
2. จงหาคา 5 24−
1) จัดรูป 5 24− ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ −
5 24 5 2 6− = −
(3 2) 2 (3)(2)= + −
2) 5 24 (3 2) 2 (3)(2)− = + −
2
( 3 2)
3 2
= −
= −

10
3. ถา 1.36 1.64x< < แลว 2 1 2 1x x x x+ − + − − มีคาเทากับเทาใด
1) ตรวจสอบ ที่ 1.36 1.64x< < 2 1 0, 2 1 0x x x x+ − > − − >
2)
2 1 2 1 [1 ( 1)] 2 (1)( 1) [1 ( 1)] 2 (1)( 1)x x x x x x x x+ − + − − = + − + − + + − − −
2 2
( 1 1) ( 1 1)
1 1 1 1
2
x x
x x
= + − + − −
= + − + − −
=
4. คาของ 8 28+ และ 6 20− มีผลตางเทากับเทาใด
1) หาคา 8 28+
8 28 8 2 7+ = +
2
(7 1) 2 (1)(7)
( 7 1)
7 1
= + +
= +
= +
2) หาคา 6 20−
6 20 6 2 5− = −
2
(1 5) 2 (1)(5)
( 5 1)
5 1
= + −
= −
= −
3) 8 28 6 20 ( 7 1) ( 5 1)+ − − = + − −
7 5 2= − +

11
5.ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ถา f เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่
{( , ) | x
f x y R R y a= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠ เรียก f วา “ฟงกชันเอ็กซโปเนน
เชียล” และเรียก a วา ฐาน
กราฟของฟงกชันเอกโปเนนเชียล แบงเปน 2 กรณี คือ
1) กรณีที่ 0 1a< <
โดเมน(D) R=
เรนจ(R) { | 0}y R y= ∈ >
2) กรณีที่ 1a >
โดเมน(D) R=
เรนจ(R) { | 0}y R y= ∈ >
1. จงเขียนกราฟของ {( , ) | 2 4}x
f x y R R y= ∈ × = +
1) จากสมการ 2 4x
y = + จัดรูปใหม
•
(0,1),0 1x
y a x= < <
กราฟมีลักษณะเปนฟงกชันลด
•(0,1)
, 1x
y a x= >
กราฟมีลักษณะเปนฟงกชันเพิ่ม

12
2 4
( 4) 2
x
x
y
y
= +
∴ − =
จากกราฟ { | }fD x x R= ∈
{ | 4}fR y R y= ∈ >
2. จงเขียนกราฟของ
( 1)
{( , ) | 3 1}x
f x y R R y −
= ∈ × = −
1) จากสมการ
( 1)
3 1x
y −
= − จัดรูปใหม
( 1)
( 1)
3 1
( 1) 3
x
x
y
y
−
−
= −
∴ + =
พิจารณากราฟ 2x
y = และเลื่อนกราฟขึ้นบน 4 หนวย
4
•
(0,5)
พิจารณากราฟ 3x
y = และเลื่อนกราฟขึ้นลงลาง 1 หนวย
และเลื่อนกราฟมาทางขวา 1 หนวย
2 4x
y = +

13
จากกราฟ { | }fD x x R= ∈
{ | 1}fR y R y= ∈ > −
3. จงหาเซตคําตอบของอสมการ
1
( ) 9
3
x
<
1) วาดกราฟของ
1
( )
3
x
y =
2) พิจารณาที่…………
1
( ) 9
3
x
=
2
(3) 3
2
x
x
−
=
∴ = −
จากกราฟ ที่
1
2 ( ) 9
3
x
x > − ⇒ <
1−
1
(1,0)
•
( 1)
3 1x
y −
= −
•
(0,1)
2x = −
9 1
( )
3
x
y =

14
4. จงวาดกราฟของ {( , ) | 2 }
x
f x y R R y= ∈ × =
5. จงวาดกราฟของ {( , ) | 2 }x
f x y R R y= ∈ × =
2
x
y =
2 , 0x
y x= ≥
1
2 ( ) , 0
2
x x
y x−
= = <
2 , 0x
y x= ≥1
( ) , 0
2
x
y x= <
•
(0,1)
2 , 0x
y y= ≥
2x
y =
2
2 , 0
x
x
y
y y
− =
= − <
•
(0,1)
•
(0, 1)−
2 , 0x
y y= ≥
2 , 0x
y y= − <

15
6.การแกสมการและอสมการของฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ขออธิบายตามตัวอยางแลวแตกรณีดังนี้
1. จงหาเซตคําตอบของสมการ
(2 1)
3 28(3) 9 0x x+
− + =
(2 1)
2
2
3 28(3) 9 0
3 3 28(3) 9 0
3 (3 ) 28(3 ) 9 0
x x
x x
x x
+
− + =
⋅ − + =
⋅ − + =
ให 3x
A =
2
3 28 9 0
(3 1)( 9) 0
1
,9
3
A A
A A
A
− + =
− − =
=
∴เซตคําตอบคือ { 1,2}−
2. ถา
2
4(2 ) 3(2 ) 1 0x x
+ − = แลว 25x
มีคาเทาใด
2
4(2 ) 3(2 ) 1 0x x
+ − =
ให 2x
A =
2
4 3 1 0
(4 1)( 1) 0
1
, 1
4
A A
A A
A
+ − =
− + =
= −
1
1
3
3
3 3
1
x
x
x
−
=
=
∴ = −
2
3 9
3 3
2
x
x
x
=
=
∴ =

16
∴เซตคําตอบคือ { 2}−
ถา
2
2
1 1
2 25 25
25 625
x
x −
= − ⇒ = = =
3. จงหาคา x จากสมการ
3 2 1
25 9
3 25
x
x− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2 1
2
13 2 2 2
2
3 2 2(1 )
2
3 2 2(1 )
2
3 2 2
5 9
3 25
5 3
3 5
5 3
3 5
5 5
3 3
5 5
3 3
3 2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
− −
−−
− −
− − −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∴ − = −
3
2 0
0
x x
x
x
=
=
=
2
1
2
4
2 2
2
x
x
x
−
=
=
∴ = −
2 1x
= −
เนื่องจาก 2x
เปน (+) เสมอ
x∈∅

17
4. ถา
1 2 1
5 5 3775 5x x x+ + −
+ = − แลว x เทากับเทาใด
1 2 1
1 2 1
2
3
5 5 3775 5
5 5 5 3775
1
5 5 5 5 5 3775
5
1
5 [5 25 ] 3775
5
151
5 [ ] 3775
5
5
5 3775[ ]
151
5 125
5 5
3
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
x
x
+ + −
+ + −
+ = −
+ + =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
+ + =
=
=
=
=
∴ =
5. จงหาผลบวกของคําตอบของสมการ 12 2(3 ) 9(4 ) 18 0x x x
− − + =
12 2(3 ) 9(4 ) 18 0
(3 )(4 ) 2(3 ) 9(4 ) 18 0
x x x
x x x x
− − + =
− − + =
ให 3x
A = และ 4x
B =
2 9 18 0
( 2 ) (9 18) 0
( 2) 9( 2) 0
( 2)( 9) 0
9
AB A B
AB A B
A B B
B A
A
− − + =
− − − =
− − − =
− − =
∴ = หรือ 2B =
2
3 9
3 3
2
x
x
x
=
=
∴ =
2 1
4 2
2 2
2 1
1
2
x
x
x
x
=
=
=
∴ =

18
เซตคําตอบ คือ
1
{2, }
2
∴ผลบวกของคําตอบของสมการ คือ
1
2 2.5
2
+ =
2
2
( )
( 3) 3
2 8
x
x x
−
−
<
2
2
2
( )
( 3) 3
2
3( )
( 3) 3
2
3 2
3 2
2
2
2 8
2 2
2
( 3) 3( )
3
3 2 3
3 3 2 0
( 2)( 1) 0
1 3
( 2)[( ) ] 0
2 4
( 2) 0
2
x
x x
x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
−
−
−
−
<
<
− < −
− < −
− + − <
− − + <
− − + <
− <
∴ <
∴เซตคําตอบ คือ ( ,2)−∞
7.ฟงกชันลอการิทึม
ฟงกชันลอการิทึม เปนฟงกชันผกผันของฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
{( , ) | x
f x y R R y a= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠
ฟงกชันผกผันของเอกซโปเนนเชียล
1
{( , ) | y
f x y R R x a−
= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠
ฟงกชันลอการิทึม
{( , ) | logag x y R R y x= ∈ × = เมื่อ 0a > และ 1}a ≠

19
เรียกฟงกชัน g วา เปน ฟงกชันลอการิทึม และ เรียก a วาเปน “ฐานของลอการิทึม”
พิจารณากราฟของฟงกชันลอการิทึม แบงเปนกรณีดังนี้
1) กรณี 1a >
โดเมน(D) { | 0}x x= >
เรนจ(R) R= และกราฟเปนฟงกชันเพิ่ม
2) กรณี 0 1a< <
โดเมน(D) { | 0}x x= >
เรนจ(R) R= และกราฟเปนฟงกชันลด
•
(1,0)
log , 1ay x a= >
•
(1,0)
log ,0 1ay x a= < <

20
ตัวอยางการวาดกราฟฟงกชันลอการิทึมแบบอื่นๆ มีดังนี้
1. จงเขียนกราฟของ 21 log ( 1)y x− = +
2. จงเขียนกราฟของ 1
2
1 log ( 1)y x− = +
เขียนกราฟ 2logy x= ใหได
ทําการเลื่อนแกน x,แกน y ไปทาซาย 1 หนวยและขึ้นบน 1 หนวย
กราฟของ 21 log ( 1)y x− = + ใหได
•
(0,1)
21 log ( 1)y x− = +
1
1−

21
3. จงเขียนกราฟ 3logy x=
เขียนกราฟ 1
2
logy x= ใหได
ทําการเลื่อนแกน x,แกน y ไปทาซาย 1 หนวยและขึ้นบน 1 หนวย
กราฟของ 1
2
1 log ( 1)y x− = + ใหได
•
(0,1)
1
2
1 log ( 1)y x− = +
1
1−
3logy x=
3log , 0y x x= ≥
3log ( ), 0y x x= − <

22
กราฟสมมาตรตามแกน y
4. จงเขียนกราฟ 3logy x=
กราฟสมมาตรตามแกน x
•
(0,1)
•
(0, 1)−
3log , 0y x x= ≥
3log ( ), 0y x x= − <
3logy x=
3log , 0y x y= ≥
3log , 0y x y− = <
• (0,1)
3log , 0y x y= ≥
3log , 0y x y− = <

23
สมบัติที่สําคัญของลอการิทึม
กําหนดให 0, 0, 0, 0,x y a b n R> > > > ∈ และ 1, 1a b≠ ≠
1) log 1a a =
2) log 1 0a =
3) log ( ) log loga a axy x y= +
4) log ( ) log loga a a
x
x y
y
= −
5) log ( ) (log )n
a ax n x=
6)
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
7)
loga x
a x=
1. จงหาคาของ 3 3
log 10
3
3
33 3
log 10
log 10 log 3 3
3 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
3
3
2
3
3
log 10
log 3
log 10
3
2
3
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=

24
3
3
2
log 10
3
2
log 10 3
2
3
3
3
(3 )
10
100
=
=
=
=
2. กําหนดให log2 0.3010= คาของ 4
4 2log 0.25 log 2 log0.16+ − มีคา
ตรงกับขอใด
4
4 2
1
4
4 2
log 0.25 log 2 log0.16
1 16
log log 2 log
4 100
+ −
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) ( )1
4 2
4 2
4 2
1
log 4 log 2 log16 log100
4
1
( 1)(log 4) (log 2) log16 log100
4
1
( 1) ( ) log(2 ) log(10 )
4
1
( 1) ( ) 4log2 2
4
1
( 1) ( ) 2 4log2
4
5
4(0.3010)
4
1.25 1.204
0.046
−
= + − −
= − + − +
= − + − +
= − + − +
= − + + −
= −
= −
=

25
3
2
1
( log 121)
3
8
+
3
32
2
1 1
( log 121)
log 1213 3
8 8 8
+
= ⋅
3
2
1
3
2
2
2
log 12133
3(log 121 )
1
3( log 121)
3
(log 121)
8 (2 )
2 2
2 2
2 2
2 121
242
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
4. จงหาคาของ 2 4 2log (log (log 16))
วิธีทํา ทําจากขางในออกไปขางนอก ดังนี้
4
2 4 2 2 4 2log (log (log 16)) log (log (log 2 ))=
2 4 2
2 4
2
log (log (4log 2))
log (log 4)
log 1
0
=
=
=
=
5. จงหาคาของ 1 1 2 8
2 8
1 1
log 8 log 2 log ( ) log ( )
8 2
+ + +
วิธีทํา ทําใหเปน log ฐาน 2 ทั้งหมด ดังนี้
1 1 2 8
2 8
1 1
log 8 log 2 log ( ) log ( )
8 2
+ + +
2
2 2
2
2
2 2
1
log ( )
log 8 log 2 1 2log ( )
1 1 8 log 8log ( ) log ( )
2 8
3 1 ( 1)
( 3)
( 1) ( 3) 3
= + + +
−
= + + − +
− −

26
1 1
3 3
3 3
20
3
= − − − −
= −
8.ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเปน 10 เชน 10log x จะเขียนเปน log x
ลอการิทึมธรรมชาติ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเปน e (e เปนจํานวนอตรรกยะที่มีคาประมาณ
2.78182818) เชน loge x จะเขียนเปน ln x
1. จงหาคา log20
log20 log(2 10)= ×
log2 log10= +
(0.301) 1= +
1.301=
2. จงหาคา log0.02
วิธีทํา เขียน log0.02 ใหอยูในรูป log( 10 )n
a× เมื่อ 0 10a≤ ≤ และ n I∈ ดังนี้
2
log0.02 log(2 10 )−
= ×
เปดตารางlog a เมื่อ 0 10a≤ ≤
เราเรียกสวนนี้วา “คาแรกเตอริสติก”ของlog 20
เราเรียกสวนนี้วา “แมนทิสสา”ของlog 20

27
2
log2 log(10 )
log2 ( 2)
−
= +
= + −
(0.301) 2
1.699
= −
=
3. จงหาคา (2 )
ln e
e +
วิธีทํา ใชคุณสมบัติของ log ดังนี้
(2 )
ln (2 )(ln )e
e e e+
= +
(2 )(1)
2
e
e
= +
= +
9.แอนตี้ลอการิทึม
แอนตี้ลอการิทึมของ a เขียนแทนดวย loganti a มีความหมายคือ
log 10a
anti a =
1. จงหา log(log2)anti
log2
log(log2) 10anti =
2=
2. จงหา log[(log75 log5) log2]anti − +
75 2
log[(log75 log5) log2] log[log ]
5
anti anti
×
− + =
เราเรียกสวนนี้วา “คาแรกเตอริสติก”ของlog0.02
เราเรียกสวนนี้วา “แมนทิสสา”ของlog0.02

28
log30
log[log30]
10
30
anti=
=
=
10.การแกสมการและอสมการในรูปของลอการิทึม
มีรายละเอียดตามแตละตัวอยางตอไปนี้
1. จงหาเซตคําตอบของ
2 2 2
log(4 16) log( 4) logx x x− − − =
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
log(4 16) log( 4) log
4 16
log( ) log( )
4
4 16
4
4( 4)
4
4
4 0
( 2)( 2) 0
2, 2
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
− − − =
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
− =
− + =
= −
เมื่อตรวจสอบคําตอบแลวพบวาทั้ง x=2 และ x=-2 ทําใหเกิดคา log0 ซึ่งหาคาไมได
2x∴ = ± จึงไมใชคําตอบของสมการ ⇒เซตคําตอบ = ∅
2. จงหาเซตคําตอบของ
2 2
3 log (log )x x+ =
2 2
2
3 log (log )
3 2(log ) (log )
x x
x x
+ =
+ =
ให logA x=
นําคําตอบไปตรวจสอบคําตอบจากโจทย

29
2
2
3 2
2 3 0
( 3)( 1) 0
1,3
A A
A A
A A
A
+ =
− − =
− + =
= −
∴ เซตคําตอบ
1
{ ,1000}
10
=
3. จงหาเซตคําตอบของสมการ 2log 4log 2 5xx + =
วิธีทํา เปลี่ยน log 2x ใหเปน 2log x ดังนี้
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
log 4log 2 5
log 2
log 4 5
log
4
log 5
log
(log ) 4
5
log
(log ) 4 5(log )
xx
x
x
x
x
x
x
x x
+ =
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
=
+ =
ให 2logA x=
1
log 1
10
1
10
x
x
x
−
= −
=
∴ =
3
log 3
10
1000
x
x
x
=
=
∴ =
เมื่อตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ได

30
2
2
4 5
5 4 0
( 4)( 1) 0
4,1
A A
A A
A A
A
+ =
− + =
− − =
=
∴ เซตคําตอบ {16,2}=
4. จงหาเซตคําตอบจากสมการ log( 1) log( 1) log3x x− + + =
วิธีทํา ใชคุณสมบัติของ log ดังนี้ คือ
2
2
2
log( 1) log( 1) log3
log[( 1)( 1)] log3
log[ 1] log3
1 3
4 0
( 2)( 2) 0
2, 2
x x
x x
x
x
x
x x
x
− + + =
− + =
− =
− =
− =
− + =
∴ = −
∴ เซตคําตอบ {2}=
2
4
log 4
2
16
x
x
x
=
=
∴ =
2
1
log 1
2
2
x
x
x
=
=
∴ =
เมื่อตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ไมได

31
5. ถา 5log log 2x x= จงหาคา x
5
5
5 5
5
5
5 5
5 5
5
5 5
5
5
5 5
5
5 5
5
5
5 5
5
5
5
5 5
log log 2
log
log 2 log
log 10
log
log 2 log
[log 2 log 5]
log
log 2 log
log 2 1
log
log log 2
log 2 1
1
log [ 1] log 2
log 2 1
( log 2)
log [ ] log 2
log 2 1
( 1)
log [ ] 1
log 2 1
log (log 2 1)
l
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
= +
= +
+
= +
+
− =
+
− =
+
−
=
+
−
=
+
= − +
5 5
1
5 5
5 5
og log 10
log log (10 )
1
log log
10
1
10
x
x
x
x
−
= −
=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ =
∴
1
10
x =

32
6. ถา
2
log( 1) 2log 1x x+ − = แลวจงหาคา x
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
log( 1) log( ) 1
1
log[ ] 1
1
10
1 10
1 9
1
9
1 1
,
3 3
x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
+ − =
+
=
+
=
+ =
=
=
∴ = −
∴
1
3
x =
7. จงหาเซตคําตอบของอสมการ ( )2
(4 2) log(1 ) 0x
x− − >
1) กรณีที่ 1 (4 2) 0x
− > และ
2
log(1 ) 0x− >
∴ x∈∅
เมื่อตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ไมได
2 1
4 2 0
4 2
2 2
2 1
1
2
x
x
x
x
x
− >
>
>
>
>
2
2 0
2
2
log(1 ) 0
(1 ) 10
(1 ) 1
0
x
x
x
x
x
− >
− >
− >
<
∴ ∈∅

33
2) กรณีที่ 2 (4 2) 0x
− < และ
2
log(1 ) 0x− <
∴
1
( 1,0) (0, )
2
x∈ − ∪
2
40 log ( 5) 1x< − <
2
4
0 2 1
2
2
0 log ( 5) 1
4 5 4
1 5 4
6 9
( 6,3) ( 3, 6)
x
x
x
x
x
< − <
< − <
< − <
< <
∴ ∈ ∪ − −
2 2
log (2 1) log ( 1)x xx x x+ − < +
วิธีทํา แบงเปนกรณีดังนี้
1) กรณีที่ 1 0 1x< <
2 2
2 2
2
log (2 1) log ( 1)
(2 1) ( 1)
2 0
( 2)( 1) 0
( , 2) (1, )
x xx x x
x x x
x x
x x
x
+ − < +
+ − > +
+ − >
+ − >
∴ ∈ −∞ − ∪ ∞
x∈∅
2 1
4 2 0
4 2
2 2
2 1
1
2
x
x
x
x
x
− <
<
<
<
∴ <
2
2 0
2
2
log(1 ) 0
0 (1 ) 10
0 (1 ) 1
0 1
( 1,0) (0,1)
x
x
x
x
x
− <
< − <
< − <
< <
∴ ∈ − ∪

34
2) กรณีที่ 2 1x >
2 2
2 2
2
log (2 1) log ( 1)
(2 1) ( 1)
2 0
( 2)( 1) 0
( 2,1)
x xx x x
x x x
x x
x x
x
+ − < +
+ − < +
+ − <
+ − <
∴ ∈ −
x∈∅
จากทั้ง 2 กรณี เซตคําตอบคือ ∅
แบบฝกหัด
1. จงหาคาของเลขยกกําลังตอไปนี้
1.1)
2 3 4 5 2
( 3) 3 ( 3) 2 3 2 ( 3)− − − − − × + × −
1.2)
2 4
4 5 2 ( 3)× + × −

35
1.3)
5 2
4 2 4
( 4) ( 5)
2 3 5
− × −
× ×
1.4)
3 4 5 2 2 1 2 2
2 8 9 27n n
x x y x y y+ −
× × ×
1.5)
3 10 10 2 4
(6 49 4 )(4 7 6 )− −
× × × ×
1.6)
2 2
2 3 1 2
7 7 7n n n n n− + − −
× ×

36
1.7)
( 2)6 4 8 2 6 7
4 2 4 7 4 12
6 3
4 9
a b c a b c
a b c a b c
−−
−
⎛ ⎞
÷⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.8) 12 75
1.9) 33
54 4
1.10) 3 9 27

37
1.11)
2 2 23
53 3 54
(125) (81) 2( 216) 2(4)+ − +
1.12)
2 7 11 1
3 6 6 4 23 9 32 2
(3 )x y z y x y z
−
−
× ×
1.13)
1
3 2 23
2
3 2 2 3
( ) ( 2 )
( )
a b a ab b
a b a b
−
− × + +
− × +

38
1.14)
1 2 2 1
2 2 1
4 9 3 2
9 2 4 3
n n n n
n n n n
+ +
+ +
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
1.15)
1
2
729 81
27 243
n n n
n n
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
+⎝ ⎠

39
1.16) 12 2 35+
1.17) 7 48−
1.18) 6 35−

40
1.19)
1
1
10 2 5 2
6 2 3 2
n n
n n
−
+
⋅ − ⋅
⋅ + ⋅
1.20) 50 32 18+ −
1.21) 3 3 3
5 4 2 32 108+ −

41
2. จงหาวาจํานวนตอไปนี้จํานวนใดมีคานอยที่สุด
65 104 52
3 ,2 ,7
3. ถา , ,x y z เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 0 และ 2 2
3 4 6x y z−
= = แลว
1 1 1
x y z
+ +
มีคาเทากับเทาใด

42
4. ถาเขียน
3
6
3 2
12
ไดในรูป
1
( )n
a โดยที่ a และ n เปนจํานวนเต็มบวกแลว จงหาคาของ
a และ n
5. จงเขียน
1
2 2 3+
ใหตัวสวนอยูในรูปไมติดกรณฑ

43
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 2011 2012
+ + + +
+ + + +
7. ให
6 3
6 3
x
+
=
−
และ
6 3
6 3
y
−
=
+
จงหาคาของ 2 2
4x xy y− +

44
8. จงหารากที่สองของ 2
4 1 2 3 5 2x x x− + − −
9. จงพิจารณาขอความตอไปนี้เปนจริงหรือไม
9.1)
2 3
5 5<
9.2)
4 5
1 1
3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
<⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

45
9.3) ( ) ( )
7 5
sin1 sin1° < °
9.4) ( ) ( )
2 5
tan 46 tan 46° < °
9.5) ถา 48 36
2 , 3a b= = และ 24
5c = แลว
1 1 1
a b c
> >

46
10. จงพิจารณาวาฟงกชัน
2
2
( )
3
x
f x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลด
11. ขอใดเปนฟงกชันลด
ก)
1
2
x
y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ข) 1
2x
y −
= ค) 2 1
3 x
y +
= ง)
1
3
x
y
−
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠

47
12. จงแกสมการหรืออสมการตอไปนี้
12.1) 5 1 6 10x + + =
12.2) 7 5x x+ = −

48
12.3) 7 3 1x x+ = +
12.4)
1
3
27
x
=

49
12.5) 5 125x
≤
12.6)
2 81
3 16
x
⎛ ⎞
≥⎜ ⎟
⎝ ⎠

50
12.7)
2
5 3
1 1
3 27
x x+ +
⎛ ⎞
<⎜ ⎟
⎝ ⎠
12.8) 2 2
2 9(2 ) 2 0x x+
− + =

51
12.9)
23
(3 ) 2 0
4
x x
− =
12.10) 4 1 4 1 6 1
2 9 25 625x x x x− − −
⋅ ⋅ =

52
12.11) ( )
2
2 1
3 2 3 2
x x+ −
+ = −
12.12) 9(4 ) 12(6 ) 4(9 ) 0x x x
− + =

53
12.13) 1
6 3 3 2 9x x x+
+ − ⋅ =
12.14) 5 3
(0.25) (0.5)x x− +
>

54
12.15) 3 16 2 81 5 36x x x
⋅ + ⋅ ≤ ⋅
12.16)
2
2
( )
( 3) 3
2 8
x
x x
−
−
<

55
13. จงหาคาตอไปนี้
ก)
7log 3
7
ข)
3 3
log (10)
3
ค)
2
3
1
4
log 64
ง) 5log 25
5log 25

56
14. จงหาคาของ 36log 5 เมื่อให 6log 5 0.8982=
15. กําหนดให log 2 0.3010= และ log3 0.4771= จงหาคาตอไปนี้
15.1) log8
15.2) log9

57
15.3) log 6
15.4) log300
15.5) log0.02
15.6) log120

58
16. กําหนด log3.51 0.5453= จงหาคาของ
16.1) log3510
16.2) log0.351
17. จงหาคาของ 2 3 1
4
1
log 16 log log 64
9
+ −

59
18. จงหาคาของ 3 93
log 6 log 15 log 400+ −
19. จงหาคาของ 8log2
6log5 log 4 log10− +

60
20. จงหาคาของ 3 3 3 3 3log 120 log 80 log 27 log 24 log 16− + − +
21. จงหาคาของ 3 4 5 2011log 4 log 5 log 6 ... log 2012⋅ ⋅ ⋅ ⋅

61
ln10 ln5
e −
23. จงหาวา 15
875 มีกี่หลัก เมื่อกําหนดให log8.75 0.9420=

62
24. จงหาคาของ ln 2 ln10 ln 20+ −
25. ขอใดเปนฟงกชันลดบาง
ก) log(3 )x
y = ข) log3
2 x
y = ค)
log(2 )
1
2
x
y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ง) 1
2
log (2 )y x=

63
26. 200
2 เปนเลขจํานวนเต็มที่มีกี่หลัก โดยกําหนดให log 2 0.3010=
ก) ln e ข)
1
ln
e
ค) ln3 2ln5
e +

64
28. จงแกสมการหรืออสมการตอไปนี้
28.1) log[3 2log(1 )] 0x+ + =
28.2) 2 2log ( 1) log 3x x+ − =

65
28.3) 2
log( 1) 2log 1x x+ − =
28.4) 27 9
1
log ( 1) log ( 1)
6
x x− − − =

66
28.5) 2
8 3 2log log log ( 2 ) 0x x− =
28.6)
2
2 16
9log 3x x
x+ −
=

67
28.7) 0.5 0.5log ( 5) log (2 3)x x− > −
28.8) 3 3log ( 2) log (3 6)x x+ ≤ −

68
28.9) 3log 4log 3 3 0xx − + =
28.10)
2
7log ( 2 )
4 3 2log log log 7 0x x+
=

69
28.11)
1
2 log16
2
10x
+
=
28.12)
log log
4 3 25
3 4 12
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

70
28.13) 2
5
log log 2
2
xx + =
28.14) log 28 log 325 log 91 logx x x x+ − =

71
28.15)
2
1 1
2 2
log ( 2 ) log 3x x− >
28.16)
2
1 1
2 2
2log (3 4) log ( 8) 2x x x+ − + + ≥ −

72
28.17) 1
3
0 log 2 3x< <
28.18) 2
1log (5 ) 2x x x+ − ≥

73
28.19) 1 3
2
log [log ( 1)] 1x + > −
28.20) log(3 4) log( 1) 1x x+ > − +

74
28.21)
2
2 4
1 1
log (2 1) log ( )
2 2
x x− − + <
28.22) 2
(4 2)log(1 ) 0x
x− − >

Exponential and logarithm function

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Exponential and logarithm function

More from Thanuphong Ngoapm

Exponential and logarithm function