1. ลำดับและอนุกรม คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม . 5 โดยครูสุภาวดี แรกตั้ง

2. ลำดับเลขคณิต

3. บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่ผลต่างร่วมซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference) ใช้ d แทนผลต่างร่วม จะได้พจน์ที่ n ของลำดับ เลขคณิต คือ a n = a 1 + (n – 1)d

4. จงเขียน 4 พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต 1 , 5 , 9 , 13 , ….. วิธีทำ จาก 1 , 5 , 9 , 13 , ….. จะได้ d = 5 – 1 = 4 และ a 4 = 13 a 5 = a 4 + 4 = 13 + 4 = 17 a 6 = a 5 + 4 = 17 + 4 = 21 a 7 = a 6 + 4 = 21 + 4 = 25 a 8 = a 7 + 4 = 25 + 4 = 29 ดังนั้น สี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้คือ 17 , 21 , 25 , 29 ตัวอย่างที่ 1

5. ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 5 , 2 , -1, -4 , … วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต 5 , 2 , -1, -4 , … จะได้ d = 2 – 5 = -3 และ a 1 = 5 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ a n = 5 + (n – 1)(-3) = 5 – 3n + 3 = 8 – 3n ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 8 – 3n

6. ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิต -1 , 6 , 13 , 20 , ….. วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต -1 , 6 , 13 , 20 , ….. จะได้ d = 6 – (-1) = 7 , a 1 = -1 และ n = 15 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ a 15 = -1 + (15 – 1)(7) = -1 + (14)(7) = 97 ดังนั้น พจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิตนี้ คือ 97

7. ตัวอย่างที่ 4 จงหาจำนวนพจน์ทั้งหมดของลำดับเลขคณิต 4 , 6 , 8 , … , 68 วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต 4 , 6 , 8 , … , 68 จะได้ d = 6 – 4 = 2 และ a 1 = 4 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 68 = 4 + (n – 1)(2) 68 – 4 = (n – 1)(2) 64 = (n – 1)(2) 32 + 1 = n 33 = n ดังนั้น ลำดับเลขคณิต 4 , 6 , 8 , … , 68 มีทั้งหมด 33 พจน์

8. ตัวอย่างที่ 5 จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี a 6 = 26 และ a 11 = 61 วิธีทำ จาก a n = a 1 + (n – 1)d และ a 6 = 26 และ a 11 = 61 จะได้ 26 = a 1 + (6 – 1)d = a 1 + 5d …………………..(1) 61 = a 1 + (11 – 1)d = a 1 + 10d …………………..(2) (2) – (1) 35 = 5d 7 = d แทน d = 7 ใน (1) จะได้ 26 = a 1 + (5)(7) 26 = a 1 + 35 a 1 = -9

9. ตัวอย่างที่ 6 จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง 7 และ 25 ที่ทำให้จำนวนทั้งสามนั้นเป็นพจน์ สามพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต วิธีทำ กำหนดให้จำนวนที่อยู่ระหว่าง 7 และ 25 คือ k จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิตคือ 7 , k , 25 ซึ่งมี k – 7 = 25 – k 2k = 32 k = 16 ดังนั้นจำนวนที่ต้องการ คือ 16

10. ตัวอย่างที่ 7 ถ้า -3 , a , b , c , 17 เป็นพจน์ห้าพจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหา a , b , c วิธีทำ จาก a n = a 1 + (n – 1)d a = -3 + d b = a + d = (-3 + d) + d = -3 + 2d c = b + d = (-3 + 2d) + d = -3 + 3d และ 17 = c + d = (-3 + 3d) + d = -3 + 4d จะได้ 17 = -3 + 4d 17 + 3 = 4d 20 = 4d 5 = d

11. ตัวอย่างที่ 7 ( ต่อ ) ดังนั้น a = -3 + 5 = 2 b = 2 + 5 = 7 c = 7 + 5 = 12

12. ตัวอย่างที่ 8 จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 16 ถึง 99 ที่หารด้วย 5 ลงตัวมีกี่จำนวน วิธีทำ จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 20 , 25 , 30 , 35 , ...., 95 จะได้ d = 25 – 20 = 5 และ a 1 = 20 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 95 = 20 + (n – 1)(5) 95 – 20 = (n – 1)(5) 75 = (n – 1)(5) 15 + 1 = n 16 = n ดังนั้น จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 16 ถึง 99 ที่หารด้วย 5 ลงตัว มี 16 จำนวน

13. ตัวอย่างที่ 9 นาเดียไปสมัครเป็นพนักงานร้านอาหาร โดยตกลงกับผู้จ้างดังนี้ วันแรกจะต้อง ได้รับเงินค่าจ้าง 30 บาท วันที่สองต้องได้รับเงินค่าจ้าง 40 บาท วันที่สาม ต้องได้รับเงินค่าจ้าง 50 บาท และจะได้รับเงินค่าจ้างเพิ่มขึ้น ในทำนองเดียวกัน จนถึงวันสุดท้าย ถ้านาเดียทำงานเป็นเวลา 1 ปี (365 วัน ) นาเดียจะได้รับเงิน ค่าจ้างในวันสุดท้ายเป็นเงินกี่บาท วิธีทำ จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 30 , 40 , 50 , .... จะได้ d = 40 – 30 = 10 , a 1 = 30 และ n = 365

14. ตัวอย่างที่ 9 ( ต่อ ) จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ a n = 30 + (365 – 1)(10) = 30 + (364)(10) = 30 + 3 , 640 = 3 , 670 ดังนั้น นาเดียจะได้รับเงินค่าจ้างในวันสุดท้ายเป็นเงิน 3,670 บาท

15. แบบฝึกหัด

16. 1. จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่กำหนดค่าต่าง ๆ ให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1.1 a 1 = 3 , d = 5 1.6 a 10 = 6 , d = 3 1.2 a 1 = -2 , d = 3 1.7 a 1 = 14 , a 8 = 7 1.3 a 1 = 8 , a 2 = 10 1.8 a 1 = 8 , a 9 = -24 1.4 a 1 = 3 , a 8 - a 7 = 5 1.9 a 1 = 7 , a n = 3 + a n-1 1.5 a 5 = 12 , d = -2 1.10 a 1 = 5 , a n+1 - a n = 2

17. 2. จงหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ 2.1 4 , 9 , 14 , ... 2.2 -5 , 1 , 7 , ... 2.3 3 , 0 , -3 , ... 3. จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิต 2 , 9 , 16 , ... 4. จงหาพจน์ที่ 21 ของลำดับเลขคณิต 2.5 , 2 , 1.5 , …

18. 5. จงหาว่าลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้มีทั้งหมดกี่พจน์ 5.1) 2 , 5 , 8 ,... และ a n = 131 5.2) 19 , 14 , 9 , ... และ a n = -251 5.3) -21 , -10 , 1 ,...และ a n = 2,179 5.4 ) 4 , 11 , 18 , 25 , … , 613 6. – 176 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับเลขคณิต -1 , -6 , -11 , ... 7. จงหา a n และ d ของลำดับเลขคณิตที่มี a 2 = 16 และ a 12 = 116

19. 8. จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 20 กับ 100 ที่ 3 หารลงตัว มีกี่จำนวน 9. จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 32 กับ 400 ที่หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 4 มีกี่จำนวน 10. ไม้กองหนึ่งวางซ้อนกันในแนวระดับเป็นชั้น ๆ แต่ละชั้นมีจำนวนไม้มากกว่าชั้นถัดขึ้นไปอยู่ 5 ท่อน ถ้ามีจำนวนไม้ชั้นบนสุดมี 57 ท่อน และชั้นติดพื้นดินมี 182 ท่อน จงหาว่าไม้กองนี้ มีกี่ชั้น 11. ชายผู้หนึ่งจ่ายเงินค่างวดซื้อรถยนต์เป็นเวลา 5 ปี โดยที่แต่ละเดือนจะต้องจ่าย 1 งวด ถ้างวดแรกจ่าย 12,000 บาท และเดือนถัดไปเงินค่างวดจะลดลงจากงวดที่แล้ว 100 บาท จงหาว่างวดสุดท้ายเขาต้องจ่ายเงินกี่บาท

20. 1.1 ตอบ 3 , 8 , 13 , 18 , 23

21. 1.2 ตอบ -2 , 1 , 4 , 7 , 10

22. 1.3 ตอบ 8, 10 , 12 , 14 , 16

23. 1.4 ตอบ 3 , 8 , 13 , 18 , 23

24. 1.5 ตอบ 20 , 18 , 16 , 14 , 12

25. 1.6 ตอบ - 21 , -18 , -15 , -12 , -9

26. 1.7 ตอบ 14 , 13 , 12 , 11 , 10

27. 1.8 ตอบ 8 , 4 , 0 , -4 , -8

28. 1.9 ตอบ 7 , 10 , 13 , 16 , 19

29. 1.10 ตอบ 5 , 7 , 9 , 11 , 13

30. 2.1 ตอบ a n = 4 + (n – 1)(5) = 4 + 5n – 5 = 5n – 1 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 5n – 1

31. 2.2 ตอบ a n = -5 + (n – 1)(6) = -5 + 6n – 6 = 6n – 11 ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 6n – 11

32. 2.3 ตอบ a n = 3 + (n – 1)(-3) = 3 – 3n + 3 = 6 – 3n ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนี้ คือ a n = 6 – 3n

33. 3. ตอบ a 7 = 2 + (7 – 1)(7) = 44 ดังนั้น พจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิตนี้ คือ 44

34. 4. ตอบ a 21 = 2.5 + (21 – 1)(-0.5) = -7.5 ดังนั้น พจน์ที่ 21 ของลำดับเลขคณิตนี้ คือ -7.5

35. 5.1 131 = 2 + (n – 1)(3) 131 – 2 = (n – 1)(3) 129 = (n – 1)(3) 43 = n – 1 44 = n ตอบ 44 พจน์

36. 5.2 -251 = 19 + (n – 1)(-5) -251 – 19 = (n – 1)(-5) -270 = (n – 1)(-5) 54 = n – 1 55 = n ตอบ 55 พจน์

37. 5.3 2,179 = -21 + (n – 1)(11) 2,179 + 21 = (n – 1)(11) 2,200 = (n – 1)(11) 200 = n – 1 201 = n ตอบ 201 พจน์

38. 5.4 613 = 4 + (n – 1)(7) 613 – 4 = (n – 1)(7) 609 = (n – 1)(7) 87 = n – 1 88 = n ตอบ 88 พจน์

39. 6. -176 = -1 + (n – 1)(-5) -176 + 1 = (n – 1)(-5) -175 = (n – 1)(-5) 35 = n – 1 36 = n ตอบ 36 พจน์

40. 7. a 12 = a 2 + 10d 116 = 16 + 10d 10 = d , a 1 = 6 a n = 6 + (n – 1)(10) = 6 + 10n – 10 = 10n – 4 ตอบ a n = 10n – 4 และ d = 10

41. 8. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 21 , 24 , 27 , ...., 99 จะได้ d = 3 และ a 1 = 21 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 99 = 21 + (n – 1)(3) 99 – 21 = (n – 1)(3) 78 = (n – 1)(3) 26 = n – 1 27 = n ตอบ จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 20 กับ 99 ที่หารด้วย 3 ลงตัว มี 27 จำนวน

42. 9. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 40 , 49 , 58 , ...., 391 จะได้ d = 9 และ a 1 = 40 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 391 = 40 + (n – 1)(9) 391 – 40 = (n – 1)(9) 351 = (n – 1)(9) 39 = n – 1 40 = n ตอบ จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 32 กับ 400 ที่หารด้วย 9 แล้วเหลือ เศษ 4 มี 40 จำนวน

43. 10. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 182 , 177 , 172 , ...., 57 จะได้ d = -5 และ a 1 = 182 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ 57 = 182 + (n – 1)(-5) 57 – 182 = (n – 1)(-5) -125 = (n – 1)(-5) 25 = n – 1 26 = n ตอบ มี 26 ชั้น

44. 11. จากโจทย์จะได้ลำดับเลขคณิต คือ 12,000 , 11,900 , 11,800 ,.... จะได้ d = -100 และ a 1 = 12,000 จาก a n = a 1 + (n – 1)d จะได้ a 60 = 12,000 + (60 – 1)(-100) = 12,000 + (-5,900) = 6,100 ตอบ งวดสุดท้ายเขาต้องจ่ายเงิน 6,100 บาท