สื่อเพื่อการศึกษาจำนวนเชิงซ้อน

1. จัดทำโดย
นายวรุตม์ อินทร์แก้ว ชั้น5/9 เลขที่16
เสนอ
อ. นิคม ทิศแก้ว
โรงเรียนสุราษฎร์ธานี

2. จำนวนจินตภำพ
กำรหำค่ำ in
จำนวนเชิงซ้อน
กำรเท่ำกันของจำนวนเชิงซ้อน
กำรบวกจำนวนเชิงซ้อน
กำรลบจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
กำรคูณกันของจำนวนเชิงซ้อน
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
กำรหำรกันของจำนวนเชิงซ้อน
กรำฟและค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
สมกำรพหุนำม

3. จำนวนจินตภำพ
F M B N
0
2
1x  พิจารณา
1
2
x 
จะพบว่า ไม่มีจานวนจริงใดเลยที่ยกกาลังสองแล้วมีค่าเท่ากับ -1
1
2
x 
1 x 
ถ้าให้ เป็นจานวนจริงบวกa
จะเรียก ว่า จำนวนจินตภำพแท้a
และ a  a 1 

4. จำนวนจินตภำพ
F M B N
3  3 1 
5  5 1 
7  7 1 
1  i
3  3 1 
5  5 1 
7  7 1 
 3i
 5i
 7i

5. จำนวนจินตภำพ
F M B N
a b    ( )( )a b 
จงหาค่าของ 3 5  
3 5    3i 5i
 2
3 5i
 3 5( 1) 
 15

6. กำรหำค่ำ in
F M B N
1
i  i
2
i  1
3
i  2
i i  ( 1) i   i
4
i  2 2
i i  ( 1)( 1)   1
5
i  4
i i  1 i  i
6
i  4 2
i i  (1)( 1)  1
7
i  4 3
i i  (1)( )i  i
8
i  4 4
i i  (1)(1)  1

7. กำรหำค่ำ in
F M B N
1
5
9
13
i i
i i
i i
i i




2
6
10
14
1
1
1
1
i
i
i
i
 
 
 
 
3
7
11
15
i i
i i
i i
i i
 
 
 
 
4
8
12
16
1
1
1
1
i
i
i
i




กลุ่มที่หารด้วย
4 แล้วเศษ 1
กลุ่มที่หารด้วย
4 แล้วเศษ 2
กลุ่มที่หารด้วย
4 แล้วเศษ 3
กลุ่มที่หารด้วย
4 ลงตัว
n
i  i เมื่อ เหลือเศษ 1
4
n
n
i  1 เมื่อ เหลือเศษ 2
4
n
n
i  i เมื่อ เหลือเศษ 3
4
n
n
i  1 เมื่อ ลงตัว
4
n

8. กำรหำค่ำ in
F M B N
จงหาค่าของ 12 27 30 42 99 100
, , , , ,i i i i i i
12
i  1 เนื่องจาก 12 หารด้วย 4 ลงตัว
27
i  i เนื่องจาก 27 หารด้วย 4 เหลือเศษ 3
30
i  1 เนื่องจาก 30 หารด้วย 4 เหลือเศษ 2
42
i  1 เนื่องจาก 42 หารด้วย 4 เหลือเศษ 2
99
i  i เนื่องจาก 99 หารด้วย 4 เหลือเศษ 3
100
i  1 เนื่องจาก 100 หารด้วย 4 ลงตัว

9. กำรหำค่ำ in
F M B N
n
i
ถ้า เป็นจานวนคู่ จะเป็นไปได้ 2 ค่าคือ -1 หรือ 1n n
i
4
n ลงตัวไม่ลงตัว
ถ้า เป็นจานวนคี่ จะเป็นไปได้ 2 ค่าคือ -i หรือ I
โดยให้จัด ใหม่เป็น
n n
i
n
i 1n n
i i i
 

10. กำรหำค่ำ in
F M B N
จงหาค่าของ 26 54 68 84
, , ,i i i i
26
i  1
หา 26
i เนื่องจาก 26 เป็นเลขคู่ และหารด้วย 4 ไม่ลงตัว
ดังนั้น
54
i  1
หา 54
i เนื่องจาก 54 เป็นเลขคู่ และหารด้วย 4 ไม่ลงตัว
ดังนั้น
68
i  1
หา 68
i เนื่องจาก 68 เป็นเลขคู่ และหารด้วย 4 ลงตัว
ดังนั้น
84
i  1
หา 84
i เนื่องจาก 84 เป็นเลขคู่ และหารด้วย 4 ลงตัว
ดังนั้น

11. กำรหำค่ำ in
F M B N
จงหาค่าของ 21 43 71
, ,i i i
21
i 
หา 21
i เนื่องจาก 21 เป็นเลขคี่
20
i i
 1 i  i
43
i 
หา 43
i เนื่องจาก 43 เป็นเลขคี่
42
i i
 ( 1) i   i
71
i 
หา 71
i เนื่องจาก 71 เป็นเลขคี่
70
i i
 ( 1) i   i

12. จำนวนเชิงซ้อน
F M B N
z  a bi
กาหนดให้ เป็นจานวนเชิงซ้อน จะได้รูปทั่วไปของ คือz z
เรียก ว่า ส่วนจริงa
ว่า ส่วนจินตภำพb
เขียนแทนด้วย Re( )z
เขียนแทนด้วย Im( )z
จานวนเชิงซ้อน a bi เมื่อ 0b  เรียกว่า จำนวนจินตภำพ
จานวนเชิงซ้อน bi เมื่อ 0b  เรียกว่า จำนวนจินตภำพแท้

13. กำรเท่ำกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
1z  a biกาหนดให้
2z  c di
จากที่กาหนดให้จะได้ว่า a  c1z  2z ก็ต่อเมื่อ และ b  d
นั่นคือ จานวนเชิงซ้อน 2 จานวนจะเท่ากันได้ ต้องผ่านเงื่อนไข 2 ข้อ
มีส่วนจริงเท่ากัน
มีส่วนจินตภาพเท่ากัน

14. กำรเท่ำกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จาก 7 3i3x i 
ดังนั้น 7x 
จาก 5 yi5 9i 
ดังนั้น 9y 
ถ้า แล้ว มีค่าเท่าไร3 7 3x i i   x
ถ้า แล้ว มีค่าเท่าไร5 9 5i yi   y

15. กำรเท่ำกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จาก 5 ( )x y i ( ) 2x y i  
5x y 
ถ้า แล้ว มีค่าเท่าไร( ) 1 5 ( )x y i x y i     xy
จะได้
1x y และ
แก้ระบบสมการ
1
2
1 2
62x 
3x 
แทน ใน3x  1
53 y 
2y 
ดังนั้น 6xy 

16. กำรบวกจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
1z  a biกาหนดให้
2z  c di
จะได้ 1 2z z  ( )c di( )a bi 
 c dia bi 
 bi dia c 
 ( )bi di( )a c 
 ( )b d i( )a c 1 2z z
ถ้า และ จะได้ว่า1z a bi  2z c di  1 2 ( ) ( )z z a c b d i    

17. กำรบวกจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ (2 3 ) (6 2 )i i  
[2 6](2 3 ) (6 2 )i i   [3 ( 2)]i 
8 i
จงหาค่าของ (3 2 ) (1 3 )i i  
[3 1] [2 ( 3)]i 
4 i
(3 2 ) (1 3 )i i  

18. กำรบวกจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ (2 4 ) (3 )i i  
(2 3)(2 4 ) (3 )i i   (4 1)i
5 5i
จงหาค่าของ (1 ) (2 ) (3 8 )i i i   


(1 ) (2 ) (3 8 )i i i   
(1 0 3) 

(1 2 8)i 
4 11i
(1 ) (0 2 ) (3 8 )i i i    

19. กำรบวกจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
กาหนดให้ และ เป็นจานวนเชิงซ้อน1 2, ,z z z 3z
1 2z z เป็นจานวนเชิงซ้อน
1 2 2 1z z z z  
1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z    
0 0 0z z   
( ) 0z z   ; z a bi z a bi      

20. กำรลบจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
1 2 1 2( )z z z z   
กาหนดให้ 1z  a bi
2z  c di
จะได้ 1 2z z  ( )c di( )a bi 
 [ ( )]c di [ ]a bi 
 ( )c di ( )a bi 
 ( )bi di( )a c 
 ( )b d i( )a c 1 2z z

21. กำรลบจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ (2 ) (4 2 )i i  
[2 4](2 ) (4 2 )i i   [1 ( 2)]i 
2 3i
จงหาค่าของ (4 ) (6 2 )i i  
[4 6](4 ) (6 2 )i i   [ 1 ( 2)]i  
2 i

22. กำรลบจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ ( 2 ) ( 1 2 )i i    
[ 2 ( 1)]  ( 2 ) ( 1 2 )i i     [1 2]i
1 i
จงหาค่าของ (5 ) (2 ) (6 3 )i i i    
[5 2 6] (5 ) (2 ) (6 3 )i i i     [1 ( 1) ( 3)]i   
1 3i

23. กำรคูณกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
1z  a biกาหนดให้
2z  c di
จะได้ 1 2z z  ( )c di( )a bi
 ac  adi bci  2
bdi
 ac  adi bci  ( 1)bd 
 ac  adi bci  bd
 ac  adi bci bd 
 ( )ac bd  ( )ad bc i1 2z z
ถ้า และ จะได้ว่า1z a bi  2z c di  1 2 ( ) ( )z z ac bd ad bc i   

24. กำรคูณกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ (4 3 )(5 6 )i i 
(4 3 )(5 6 )i i 

20  24i 15i  2
18i
20  39i  18( 1)
 2  39i
ใช้สูตร
(4 3 )(5 6 )i i  [(4)(5) (3)(6)]  [(4)(6) (3)(5)]i
 2  39i
 (20 18)  (24 15)i

25. กำรคูณกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ (3 2 )(3 2 )i i 
(3 2 )(3 2 )i i 

9  6i 6i  2
4i
9  4( 1)
 13
ใช้สูตร
(3 2 )(3 2 )i i  [(3)(3) (2)( 2)]   [(3)( 2) (2)(3)]i 
 13
 [9 ( 4)]   [ 6 6]i 

26. สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
กาหนดให้ z a bi 
สังยุค (Conjugate) ของ เขียนแทนด้วย โดยที่z z z a bi 
สังยุคของ 2 3z i  คือ 2 3z i 
สังยุคของ 5 4z i  คือ 5 4z i 
สังยุคของ 2z i คือ 2z i 
สังยุคของ 9z  คือ 9z 

27. สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
กาหนดให้ และ เป็นจานวนเชิงซ้อน1,z z 2z
1
Re( ) ( )
2
z z z  และ
z z
0z 
1 2 1 2z z z z  
1
Im( ) ( )
2
z z z
i
 
ถ้า แล้ว
1 1
zz
 
  
 
1 2 1 2z z z z  
1 2 1 2z z z z
1 1
2 2
z z
z z
 
 
 
เมื่อ 2 0z 

28. กำรหำรกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
1
2
z
z

a bi
c di


กาหนดให้ 1z  a bi
2z  c di
จะได้ 
a bi
c di


c di
c di



 2 2
( )( )a bi c di
c d
 

ถ้า และ จะได้ว่า1z a bi  2z c di  1
2 2
2
( )( )z a bi c di
z c d
 



29. กำรหำรกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ 3 5
2 3
i
i



3 5
2 3
i
i


3 5
2 3
i
i


2 3
2 3
i
i



 2 2
(3 5 )(2 3 )
2 3
i i 

6  9i 10i  2
15i
4 9
6  19i  15

13
9 19
13
i 

ดังนั้น 
3 5
2 3
i
i


9 19
13 13
i



30. กำรหำรกันของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าของ 2 3
3 4
i
i



2 3
3 4
i
i


2 3
3 4
i
i


3 4
3 4
i
i



 2 2
(2 3 )(3 4 )
3 4
i i 

6  8i 9i  2
12i

9 16
6  i  12
25
18
25
i

ดังนั้น 
2 3
3 4
i
i


18 1
25 25
i

31. กรำฟของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
กาหนดจานวนเชิงซ้อน z a bi 
จะได้กราฟของ บนระนาบเชิงซ้อนดังนี้z
( , )z a bi a b  
a
b
( , )a b
(แกนจินตภาพ)
(แกนจริง)

32. กรำฟของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงเขียนกราฟของจานวนเชิงซ้อนที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1 2 4z i  2 3 2z i  3 3z i  4 4 5z i  
(แกนจินตภาพ)
(แกนจริง)
1(2, 4)z
2 (3, 2)z
3 (0, 3)z 
4 ( 4, 5)z  

33. ค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
กาหนดจานวนเชิงซ้อน z a bi 
( , )z a bi a b  
a
b
( , )a b
(แกนจินตภาพ)
(แกนจริง)
ค่าสัมบูรณ์ของ คือ ระยะทางจากจุด ไปยังจุดz (0, 0) ( , )a b
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ หรือ| |z | |a bi | ( , ) |a b
| |z

2
| |z 2 2
a b
| |z 2 2
a b
จาก
จะได้

34. ค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อนที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1 2 4z i  2 3 4z i   3 4z i  4 6 8z i  
1z  2 4i  (2, 4)
1| |z  2 2
2 4  4 16
 20  2 5
2z  3 4i   ( 3, 4)
2| |z 
2 2
( 3) 4   9 16
 25  5

35. ค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จงหาค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อนที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1 2 4z i  2 3 4z i   3 4z i  4 6 8z i  
3z  4i  (0, 4)
3| |z 
2 2
0 ( 4)   0 16
 16  4
4z  6 8i   ( 6, 8) 
4| |z 
2 2
( 6) ( 8)    36 64
 100  10

36. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
กาหนดจานวนเชิงซ้อน z a bi 

จะได้กราฟของ บนระนาบเชิงซ้อนดังนี้z
( , )z a bi a b  
a
b
z
จำกรูป จะได้
sin 
b
z
b  sinz 
cos 
a
z
a  cosz 
z  a bi
 cosz   sinz  i
 z  cos sini z
( , )a b

37. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จงเขียนจานวนเชิงซ้อน ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว2 2z i 
จาก 2 2iz  (2, 2)
2 2
2 2z  4 4 8 2 2จะได้
(2, 2)
 2 2 cos sini z 
หาค่า 
2
2
tan  1
4


2 2 cos sin
4 4
i
  
 
 
z 


38. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จงเขียนจานวนเชิงซ้อน ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว3z i 
จาก 3 iz  ( 3, 1)
2 2
( 3) ( 1) z  3 1 4จะได้
 2 cos sini z 
หาค่า 
1
3

tan 
11
6


11 11
2 cos sin
6 6
i
  
 
 
z 
2
จะได้
6
5
6

7
6
 11
6


39. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จงเขียนจานวนเชิงซ้อน ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว1 3z i  
จาก 1 3i z  ( 1, 3)
2 2
( 1) ( 3) z  1 3 4จะได้
 2 cos sini z 
หาค่า  3
1
tan 
2
3


2 2
2 cos sin
3 3
i
  
 
 
z 
2
จะได้
3 3
2
3

4
3
 5
3


40. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จงเขียนจานวนเชิงซ้อน ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว4 4 3z i  
จาก 4 4 3i z  ( 4, 4 3) 
2 2
( 4) ( 4 3)  z  16 48 จะได้
 8 cos sini z 
หาค่า  4 3
4


tan 
4
3


4 4
8 cos sin
3 3
i
  
 
 
z 
8
จะได้
3 3
2
3

4
3
 5
3


41. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จาก 2(cos sin )
6 6
i
 
z 
จงเขียน ให้อยู่ในรูป2(cos sin )
6 6
z i
 
  a bi
จะได้
z 
2( )
3 i
3
2
1
2
i
ดังนั้น

42. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จาก
4 4
6(cos sin )
3 3
i
 
z 
จงเขียน ให้อยู่ในรูป
4 4
6(cos sin )
3 3
z i
 
  a bi
จะได้
z 
6[ ]
3 3 3i 
1
2

3
( )
2
i
3
ดังนั้น 2
3

3
3

4
3

1
cos
3 2


3
sin
3 2



43. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
1 2z z 
ให้ และ 1 1 1 1cos sinz z i    2 2 2 2cos sinz z i  
 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z i     
1
2
z
z
  1
1 2 1 2
2
cos( ) sin( )
z
i
z
     
1
1
z
  1 1
1
1
cos sini
z
 
1z   1 1 1cos( ) sin( )z i   

44. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จาก 

จะได้
z  12iดังนั้น
ให้ และ1 3(cos sin )
3 3
z i
 
 
a bi
2 4(cos sin )
6 6
z i
 
 
จงหา ในรูป1 2z z
1 2z z  1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z i     
 3(4)[cos( ) sin( )]
3 6 3 6
i
   
  
3 3
12(cos sin )
6 6
i
 


 12 0 (1)i
12(cos sin )
2 2
i
 


1 2z z

45. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จาก 

จะได้
ดังนั้น
ให้ และ1 8(cos sin )
2 2
z i
 
 
a bi
2 2(cos sin )
6 6
z i
 
 
จงหา ในรูป1
2
z
z
 1
1 2 1 2
2
cos( ) sin( )
z
i
z
     

8
[cos( ) sin( )]
2 2 6 2 6
i
   
  
2 2
4(cos sin )
6 6
i
 

 1 3
4 ( )
2 2
i
 
 
 
4(cos sin )
3 3
i
 
 
1
2
z
z
1
2
z
z
z  2 2 3i

46. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
ให้ 
จงเขียน ให้อยู่ในรูป a bi
3
1 3i


3
3(cos sin )i 
1z  3 0i 
 1 3i2z
1z
2z 2(cos sin )
3 3
i
 

จะได้
3
1 3i


 1
2
z
z
เขียน และ ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วจะได้1z 2z

47. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จงเขียน ให้อยู่ในรูป a bi
3
1 3i


3
1 3i


 1
2
z
z

3
[cos( ) sin( )]
2 3 3
i
 
   

3 2 2
[cos sin ]
2 3 3
i
 

 3 1 3
[ ( )]
2 2 2
i 

3 3 3
4 4
i 

48. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
ให้ 
จงเขียน ให้อยู่ในรูป a bi( 2 2 3 )(3 3 3 )i i  
2 2
4(cos sin )
3 3
i
 

1z
2z
1z
2z
5 5
6(cos sin )
3 3
i
 

จะได้
 1 2z z
เขียน และ ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วจะได้1z 2z
2 2 3i 
3 3 3i
( 2 2 3 )(3 3 3 )i i  

49. จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
F M B N
จงเขียน ให้อยู่ในรูป a bi( 2 2 3 )(3 3 3 )i i  
2 5 2 5
(4)(6)[cos( ) sin( )]
3 3 3 3
i
   
  

7 7
24(cos sin )
3 3
i
 

 1 2z z( 2 2 3 )(3 3 3 )i i  
 24(cos sin )
3 3
i
 
  1 3
24( )
2 2
i
 12 12 3i

50. เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
F M B N
จะได้
(cos sin )z i z
zz
2
z
[cos( ) sin( )]z z i     
2
[cos(2 ) sin(2 )]z i 
2
z z
3
z
2
[cos(2 ) sin(2 )]z z i     
3
[cos(3 ) sin(3 )]z i 
ให้
และ
เมื่อ เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ จะได้ว่าn
n
z [cos( ) sin( )]
n
z n i n 

51. F M B N
ถ้า เป็นจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว(cos sin )z z i  
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
และ เป็นจานวนเต็มบวกn
จะได้ว่า n
z [cos( ) sin( )]
n
z n i n 
ถ้า 2(cos sin )
6 6
i
 
z
จะได้ 3 3 3
2 (cos sin )
6 6
i
 
3
z
จะได้ 4 4 4
2 (cos sin )
6 6
i
 
4
z

52. F M B N
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
จาก
 7 7 7
2 (cos sin )
3 3
i
 
7
z
ถ้า จงหา ในรูปเชิงขั้ว2(cos sin )
3 3
z i
 
  7
z
n
z [cos( ) sin( )]
n
z n i n 
จะได้

7 7
128(cos sin )
3 3
i
 

 128(cos sin )
3 3
i
 

7
zดังนั้น

53. F M B N
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
จาก
 10 10 10
2 (cos sin )
5 5
i
 
10
z
n
z [cos( ) sin( )]
n
z n i n 
จะได้
 1024(cos2 sin2 )i 
 1024
10
zดังนั้น
ถ้ำ จงหำ ในรูป2(cos sin )
5 5
z i
 
  10
z a bi
 1024[1 (0)]i

54. F M B N
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
จาก
 12 12 12
3 (cos sin )
4 4
i
 
12
z
n
z [cos( ) sin( )]
n
z n i n 
จะได้
 531441(cos3 sin3 )i 
 531441
12
zดังนั้น
ถ้า จงหา ในรูป
3 3
2 2
z i  12
z a bi
 531441[ 1 (0)]i 
z 
3 3
2 2
i  3(cos sin )
4 4
i
 


55. F M B N
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
ให้

จงหาค่าของ
6
4
(1 )
( 1 )
i
i

 
1z 1 i
จะได้
 6 7 7
( 2) [cos(6 ) sin(6 )]
4 4
i
 
  


2z 1 i 

7 7
2(cos sin )
4 4
i
 


5 5
2(cos sin )
4 4
i
 

6
(1 )i 6
1z
21 21
8(cos sin )
2 2
i
 

8(cos sin )
2 2
i
 


56. F M B N
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
จงหาค่าของ

6
4
(1 )
( 1 )
i
i

 



6
(1 )i
8[0 (1)]i
8(cos sin )
2 2
i
 

8i
6
1z

 4 5 5
( 2) [cos(4 ) sin(4 )]
4 4
i
 
  

4
( 1 )i  4
2z
4(cos5 sin5 )i 

57. F M B N
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
จงหาค่าของ
6
4
(1 )
( 1 )
i
i

 



4
( 1 )i  4
2z
4(cos5 sin5 )i 
4(cos sin )i 
 4[ 1 (0)]i 
 4
6
4
(1 )
( 1 )
i
i

 

6
1
4
2
z
z

8
4
i

 2i

58. F M B N
เลขยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
ให้

จงหาค่าของ 7
( 3 )i
z 3 i

7 10 10
2 [cos(7 ) sin(7 )]
6 6
i
 
  



10 10
2(cos sin )
6 6
i
 

5 5
128(cos sin )
3 3
i
 

1 3
128[ ( )]
2 2
i 
7
( 3 )i  7
z
35 35
128[cos sin ]
3 3
i
 

 64 64 3i

59. 3
(cos3 sin3 )r i 
F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 1
ให้ z 1 1 0i
1(cos0 sin0)i
เขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วจะได้
z 
1[cos(0 2 ) sin(0 2 )]k i k   
สมมติให้ (cos sin )r i kz  เป็นรากที่ 3 ของ z
จะได้ z
3
kz 
จากทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้ว่า
 1[cos(0 2 ) sin(0 2 )]k i k   

60. 3
(cos3 sin3 )r i 
F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 1
 1[cos(0 2 ) sin(0 2 )]k i k   
3
r  1
r  1
3  0 2k
 2k

2
3
k

สมมติให้ (cos sin )r i kz 
2 2
1(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
นั่นคือ
และ

61. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 1
2 2
1(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
เนื่องจาก เป็นรากที่ 3 ของ จะได้ว่า มี 3 ค่าkz z kz
2(0) 2(0)
1(cos sin )
3 3
i
 
0z 
1(cos0 sin0)i
1[1 (0)]i
10z
0k ถ้า จะได้
โดยแทนค่า 0,1, 2k  ; ( 0,1, 2,..., 1)k n 

62. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 1
2 2
1(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
เนื่องจาก เป็นรากที่ 3 ของ จะได้ว่า มี 3 ค่าkz z kz
1k ถ้า จะได้ 2(1) 2(1)
1(cos sin )
3 3
i
 
1z 
2 2
1(cos sin )
3 3
i
 

1 3
1[ ( )]
2 2
i 
1z
1 3
2 2
i 

63. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 1
2 2
1(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
เนื่องจาก เป็นรากที่ 3 ของ จะได้ว่า มี 3 ค่าkz z kz
2k ถ้า จะได้ 2(2) 2(2)
1(cos sin )
3 3
i
 
2z 
4 4
1(cos sin )
3 3
i
 

1 3
1[ ( )]
2 2
i  
2z
1 3
2 2
i 

64. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 1
1 3
2 2
i ดังนั้น รากที่ 3 ของ 1 คือ , ,1
1 3
2 2
i 
1z
1 3
2 2
i 
10z
2z
1 3
2 2
i 
0k ถ้า จะได้
1k ถ้า จะได้
2k ถ้า จะได้

65. 3
(cos3 sin3 )r i 
F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8
ให้ z 8 8 0i
8(cos0 sin0)i
เขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วจะได้
z 
8[cos(0 2 ) sin(0 2 )]k i k   
สมมติให้ (cos sin )r i kz  เป็นรากที่ 3 ของ z
จะได้ z
3
kz 
จากทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้ว่า
 8[cos(0 2 ) sin(0 2 )]k i k   

66. 3
(cos3 sin3 )r i 
F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8
 8[cos(0 2 ) sin(0 2 )]k i k   
3
r  8
r  2
3  0 2k
 2k

2
3
k

สมมติให้ (cos sin )r i kz 
2 2
8(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
นั่นคือ
และ

67. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8
2 2
2(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
เนื่องจาก เป็นรากที่ 3 ของ จะได้ว่า มี 3 ค่าkz z kz
2( ) 2( )
2(cos sin )
3
0
3
0
i
 
0z 
2(cos0 sin0)i
2[1 (0)]i
20z
0k ถ้า จะได้
โดยแทนค่า 0,1, 2k  ; ( 0,1, 2,..., 1)k n 

68. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8
2 2
2(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
เนื่องจาก เป็นรากที่ 3 ของ จะได้ว่า มี 3 ค่าkz z kz
1k ถ้า จะได้ 2( ) 2( )
2(cos sin )
3
1
3
1
i
 
1z 
2 2
2(cos sin )
3 3
i
 

1 3
2[ ( )]
2 2
i 
1z 1 3i 

69. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8
2 2
2(cos sin )
3 3
k k
i
 
kz 
เนื่องจาก เป็นรากที่ 3 ของ จะได้ว่า มี 3 ค่าkz z kz
2k ถ้า จะได้ 2( ) 2( )
2(cos sin )
3
2
3
2
i
 
2z 
4 4
2(cos sin )
3 3
i
 

1 3
2[ ( )]
2 2
i  
2z 1 3i 

70. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8
1 3i ดังนั้น รากที่ 3 ของ 8 คือ , ,2 1 3i 
1z 1 3i 
20z
2z 1 3i 
0k ถ้า จะได้
1k ถ้า จะได้
2k ถ้า จะได้

71. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ -8i
ให้ z 8i 0 8i
3 3
8(cos sin )
2 2
i
 

เขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วจะได้
z 
3 3
8[cos( 2 ) sin( 2 )]
2 2
k i k
 
   
สมมติให้ (cos sin )r i kz  เป็นรากที่ 3 ของ z
จะได้ z
3
kz 
3 4 3 4
8[cos( ) sin( )]
2 2
k k
i
    


72. 3 4 3 4
8[cos( ) sin( )]
2 2
k k
i
    

F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ -8i
3
(cos3 sin3 )r i  
จากทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้ว่า
3
r  8
r  2
3 
3 4
2
k 

3 4
6
k 

นั่นคือ
และ
z
3
kz 

73. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ -8i
r  2

3 4
6
k 

สมมติให้ (cos sin )r i kz 
3 4 3 4
2[cos( ) sin( )]
6 6
k k
i
    
kz 
เนื่องจาก เป็นรากที่ 3 ของ จะได้ว่า มี 3 ค่าkz z kz
โดยแทนค่า 0,1, 2k  ; ( 0,1, 2,..., 1)k n 
จะได้

74. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ -8i
3 4 3 4
2[cos( ) sin( )]
6 6
k k
i
    
kz จาก
3 4( ) 3 4( )
2[cos( ) sin( )]
6
0
6
0
i
    
0z 
 2[0 (1)]i
0z
0k ถ้า จะได้
3 3
2(cos sin )
6 6
i
 

2i
2(cos sin )
2 2
i
 


75. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ -8i
3 4 3 4
2[cos( ) sin( )]
6 6
k k
i
    
kz จาก
3 4( ) 3 4( )
2[cos( ) sin( )]
6
1
6
1
i
    
1z 

3 1
2[ ( )]
2 2
i  
1z
1k ถ้า จะได้
7 7
2(cos sin )
6 6
i
 

3 i 

76. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ -8i
3 4 3 4
2[cos( ) sin( )]
6 6
k k
i
    
kz จาก
3 4( ) 3 4( )
2[cos( ) sin( )]
6
2
6
2
i
    
2z 

3 1
2[ ( )]
2 2
i 
2z
2k ถ้า จะได้
11 11
2(cos sin )
6 6
i
 

3 i

77. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 3 ของ 8
ดังนั้น รากที่ 3 ของ -8i คือ 2 , 3 , 3i i i  
1z 3 i 
2i0z
2z 3 i
0k ถ้า จะได้
1k ถ้า จะได้
2k ถ้า จะได้

78. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
ให้ z 
2(cos sin )
3 3
i
 

เขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วจะได้
z 
2[cos( 2 ) sin( 2 )]
3 3
k i k
 
   
สมมติให้ (cos sin )r i kz  เป็นรากที่ 4 ของ z
จะได้ z
4
kz 
6 6
2[cos( ) sin( )]
3 3
k k
i
    

จงหารากที่ 4 ของ 1 3i
1 3i

79. 6 6
2[cos( ) sin( )]
3 3
k k
i
    

F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
4
(cos4 sin 4 )r i  
จากทฤษฎีบทของเดอมัวร์ จะได้ว่า
4
r  2
r  4
2
4 
6
3
k 

6
12
k 

นั่นคือ
และ
จงหารากที่ 4 ของ 1 3i
z
4
kz 

80. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
r  4
2

6
12
k 

จงหารากที่ 4 ของ 1 3i
สมมติให้ (cos sin )r i kz 
จะได้ kz  4 6 6
2[cos( ) sin( )]
12 12
k k
i
    

เนื่องจาก เป็นรากที่ 4 ของ จะได้ว่า มี 4 ค่าkz z kz
โดยแทนค่า 0,1, 2, 3k  ; ( 0,1, 2,..., 1)k n 

81. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 4 ของ 1 3i
จาก kz  4 6 6
2[cos( ) sin( )]
12 12
k k
i
    

0z 0k ถ้า จะได้

4 6( ) 6( )
2[cos( ) sin( )]
12 1
0
2
0
i
    

4
2(cos sin )
12 12
i
 

1z 1k ถ้า จะได้

4 6( ) 6( )
2[cos( ) sin( )]
12 1
1
2
1
i
    

4 7 7
2(cos sin )
12 12
i
 


82. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 4 ของ 1 3i
จาก kz  4 6 6
2[cos( ) sin( )]
12 12
k k
i
    

2z 2k ถ้า จะได้

4 6( ) 6( )
2[cos( ) sin( )]
12 1
2
2
2
i
    

4 13 13
2(cos sin )
12 12
i
 

3z 3k ถ้า จะได้

4 6( ) 6( )
2[cos( ) sin( )]
12 1
3
2
3
i
    

4 19 19
2(cos sin )
12 12
i
 


83. F M B N
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
จงหารากที่ 4 ของ 1 3i
ดังนั้น รากที่ 4 ของ คือ1 3i
4
2(cos sin )
12 12
i
 

4 7 7
2(cos sin )
12 12
i
 

4 13 13
2(cos sin )
12 12
i
 

4 19 19
2(cos sin )
12 12
i
 


84. F M B N
สมกำรพหุนำม
ถ้า 1 2
1 2 1 0( ) ...n n n
n n nP x a x a x a x a x a 
      
โดยที่
จะเรียก ( )P x
1 2 1 0, , , ..., ,n n na a a a a 
เป็นจานวนเต็มบวกn
และ เป็นจานวนเชิงซ้อนที่ 0na 
ว่า พหุนำมกำลัง n
จะเรียก ( ) 0P x  ว่า สมกำรพหุนำมกำลัง n

85. F M B N
สมกำรพหุนำม
3 2
5 3 1x x ( )P x 
4 2
3 5 7 12x x x  ( )P x 
5 3 2
7 2 5 3x x x
  ( )P x 
7 5 3
3 2 51ix x ix  ( )P x 
เป็นพหุนามกาลัง 3 เพราะเลขชี้กาลังสูงสุดคือ 3
เป็นพหุนามกาลัง 4 เพราะเลขชี้กาลังสูงสุดคือ 4
ไม่เป็นพหุนาม เพราะมีเลขชี้กาลังเป็นลบ
เป็นพหุนามกาลัง 7 เพราะเลขชี้กาลังสูงสุดคือ 7

86. F M B N
สมกำรพหุนำม
ถ้า 1 2
1 2 1 0( ) ...n n n
n n nP x a x a x a x a x a 
      
โดยที่
1 2 1 0, , , ..., ,n n na a a a a 
เป็นจานวนเต็มบวกn
และ เป็นจานวนเชิงซ้อนที่ 0na 
ถ้าหาร ด้วย( )P x x c เมื่อ เป็นจานวนเชิงซ้อนใด ๆc
แล้วจะเหลือเศษจากการหาร เท่ากับ ( )P c

87. F M B N
สมกำรพหุนำม
จาก
จงหาเศษจากการหาร ด้วย2
( ) 3 3 2P x x x   2x
( )P x  2
3 3 2x x 
เศษจากการหาร ด้วย( )P x 2x เท่ากับ ( )2P
จะได้ ( )2P  2
3( ) 3 22 (2) 
 12 6 2 
 8
ดังนั้น เศษจากการหาร ด้วย เท่ากับ 8( )P x 2x

88. F M B N
สมกำรพหุนำม
จาก
จงหาเศษจากการหาร ด้วย4 2
( ) 2 3 1P x x x x    2x
( )P x  4 2
2 3 1x x x  
เศษจากการหาร ด้วย( )P x 2x เท่ากับ 2( )P 
จะได้ 2( )P   4 2
( ) 2( ) 3(2 2 2) 1    
 16 8 6 1  
 31
ดังนั้น เศษจากการหาร ด้วย เท่ากับ 31( )P x 2x
2x  )2(x  

89. F M B N
สมกำรพหุนำม
จาก
จงหาว่า เป็นตัวประกอบของ
หรือไม่5 4 3 2
( ) 3 2 2 3 1P x x x x x x     
1x 
( )P x 
จะได้
1( )P  
 1 3 2 2 3 1     
 0
ดังนั้น เป็นตัวประกอบของ ( )P x1x 
1x   )1(x  
5 4 3 2
3 2 2 3 1x x x x x    
5 4 3 2
( ) 3( ) 2( )1 1 1 1) ) 112( 3(        

90. F M B N
สมกำรพหุนำม
จาก
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 2 5 6P x x x x   
( )P x 
จะได้ na  1
3 2
2 5 6x x x  
0a  6
จานวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่k , 3, 61, 2   
จานวนเต็มที่หาร 1 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่m 1
จานวนตรรกยะ ที่ทาให้ ต้องอยู่ในกลุ่มk
m
0
k
P
m
 
 
 
, 3, 61, 2   

91. F M B N
สมกำรพหุนำม
ลองหา
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 2 5 6P x x x x   
( )1P จะได้ 3 2
1 2( ) 5( ) 61 1  
( )1P
 1 2 5 6    0
นั่นคือ 1x  เป็นตัวประกอบหนึ่งของ ( )P x
นา 1x  ไปหาร ( )P x จะได้ผลหารคือ 2
6x x 
ดังนั้น 3 2
2 5 6x x x    ( 1)x 
2
( 6)x x 
แยกตัวประกอบของ 2
6x x  ได้เป็น ( 3)x  ( 2)x 
ดังนั้น 3 2
2 5 6x x x    ( 1)x  ( 3)x  ( 2)x 

92. F M B N
สมกำรพหุนำม
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 2 5 6P x x x x   
หาร 3 2
( ) 2 5 6P x x x x    ด้วย 1x 
1 2 5 61
1
1
1
1
6
6
0
2
x x 6
2
6x x นั่นคือ 3 2
2 5 6x x x   หารด้วย 1x  ได้

93. F M B N
สมกำรพหุนำม
จาก
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 4 7 10P x x x x   
( )P x 
จะได้ na  1
3 2
4 7 10x x x  
0a  10
จานวนเต็มที่หาร -10 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่k , 5, 101, 2   
จานวนเต็มที่หาร 1 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่m 1
จานวนตรรกยะ ที่ทาให้ ต้องอยู่ในกลุ่มk
m
0
k
P
m
 
 
 
, 5, 101, 2   

94. F M B N
สมกำรพหุนำม
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 4 7 10P x x x x   
ลองหา
( )1P จะได้ 3 2
1 4( ) 7( ) 101 1  
( )1P
 1 4 7 10    13
นั่นคือ 1x  ไม่ใช่ตัวประกอบของ ( )P x
ลองหา
1( )P  จะได้ 3 2
( ) 4( ) 7( )1 1 01 1    
1( )P 
 1 4 7 10     0
นั่นคือ )1(x   เป็นตัวประกอบของ ( )P xหรือ 1x 

95. F M B N
สมกำรพหุนำม
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 4 7 10P x x x x   
นา 1x  ไปหาร ( )P x จะได้ผลหารคือ 2
3 10x x 
ดังนั้น 3 2
4 7 10x x x    ( 1)x 
2
( 3 10)x x 
แยกตัวประกอบของ 2
3 10x x  ได้เป็น ( 5)x  ( 2)x 
ดังนั้น  ( 1)x  ( 5)x  ( 2)x 3 2
4 7 10x x x  

96. , ,, 4, 5, 10, 20
1 5
1, 2
2 2
     
F M B N
สมกำรพหุนำม
จาก
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 2 3 12 20P x x x x   
( )P x 
จะได้ na  2
3 2
2 3 12 20x x x  
0a  20
จานวนเต็มที่หาร 20 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่k , 4, 5, 10,
20
1, 2   

 
จานวนเต็มที่หาร 2 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่m 1, 2 
จานวนตรรกยะ ที่ทาให้ ต้องอยู่ในกลุ่มk
m
0
k
P
m
 
 
 
และ

97. F M B N
สมกำรพหุนำม
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 2 3 12 20P x x x x   
ลองหา
( )1P จะได้ 3 2
2( ) 3( ) 12( ) 21 1 1 0  
( )1P
 2 3 12 20    7
นั่นคือ 1x  ไม่ใช่ตัวประกอบของ ( )P x
ลองหา
1( )P  จะได้
1( )P 

นั่นคือ ( 1)x   ไม่ใช่ตัวประกอบของ ( )P xหรือ 1x 
3 2
2( ) 3( ) 12( )1 01 21    
2 3 12 20     27

98. F M B N
สมกำรพหุนำม
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 2 3 12 20P x x x x   
ลองหา
( )2P จะได้ 3 2
2( ) 3( ) 12( ) 22 2 2 0  
( )2P
 16 12 24 20    0
นั่นคือ 2x เป็นตัวประกอบของ ( )P x
นา 2x ไปหาร ( )P x จะได้ผลหารคือ 2
2 10x x 
ดังนั้น 3 2
2 3 12 20x x x    ( 2)x 
2
(2 10)x x 

99. F M B N
สมกำรพหุนำม
จงแยกตัวประกอบของ 3 2
( ) 2 3 12 20P x x x x   
ดังนั้น
3 2
2 3 12 20x x x    ( 2)x 
2
(2 10)x x 
แยกตัวประกอบของ 2
2 10x x  ได้เป็น (2 5)x  ( 2)x 
3 2
2 3 12 20x x x    ( 2)x  (2 5)x  ( 2)x 
 ( 2)x  (2 5)x ( 2)x 
 2
( 2)x  (2 5)x 

100. ,
1
1
2

F M B N
สมกำรพหุนำม
ให้
จงหาคาตอบทั้งหมดของ 4 3
2 2 1 0x x x   
( )P x 
จะได้ na  2
4 3
2 2 1x x x  
0a  1
จานวนเต็มที่หาร -1 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่k 1
จานวนเต็มที่หาร 2 ได้ลงตัว ( ) ได้แก่m 1, 2 
จานวนตรรกยะ ที่ทาให้ ต้องอยู่ในกลุ่มk
m
0
k
P
m
 
 
 

101. F M B N
สมกำรพหุนำม
สมการพหุนามดีกรี 4 จะมีคาตอบทั้งหมด 4 จานวน
จงหาสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็มซึ่งมี
และ เป็นคาตอบ2 2 3i 4i
จากที่โจทย์กาหนดให้มี 2 จานวน ต้องหาเพิ่มอีก 2 จานวน
เนื่องจาก 2 2 3i และ 4i เป็นคาตอบของสมการ
จะได้ว่า 2 2 3i และ 4i เป็นคาตอบของสมการด้วย
ให้ ( )P x เป็นพหุนามดีกรี 4
จะได้ (2 2 3 ), (2 2 3 ), 4 , 4x i x i x i x i     
( )P xเป็นตัวประกอบของ