Dokumen tersebut membahas tentang transformasi Fourier dan sifat-sifatnya. Transformasi Fourier digunakan untuk mengubah fungsi waktu ke fungsi frekuensi dan sebaliknya. Sifat-sifat transformasi Fourier mencakup linearitas, pergeseran waktu dan frekuensi, perubahan skala, pembalikan waktu, diferensiasi, integrasi, konvolusi, dan perkalian. Transformasi Fourier impuls satuan juga dijelaskan, di mana impuls satuan memiliki spektr

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Telekomunikasi Analog &
Digital
Lanjutan Sinyal & Spektrum
Beny Nugraha, MT, M.Sc
02FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Review Transformasi Fourier
• Misalkan f(x) fungsi yang kontinyu di ,
didefinisikan transformasi Fourier, TF f(x)
adalah
• Dan inversi-nya adalah

3. Review Transformasi Fourier
• Tabel Transformasi Fourier:

4. Review Transformasi Fourier
• Tabel Transformasi Fourier:

5. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
1. Linearitas
Sifat linearitas berarti jika x(t) = X(ω), maka:
Sifat linearitas yang lain adalah:
Di mana a dan b adalah konstanta sedangkan
f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinyu.

6. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
1. Linearitas
Bukti:

7. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
2. Pergeseran Waktu
Efek pergeseran di domain waktu hanyalah
menambahkan suku bilangan linier -ω t0 pada
spektrum fasa aslinya, θ(ω) sehingga dapat
dituliskan dalam persamaan berikut:

8. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
3. Pergeseran Frekuensi
Apabila frekuensinya bergeser sebanyak ω0 ke
kanan, maka dapat dituliskan dalam
persamaan berikut:

9. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
4. Perubahan Skala
Persamaan ini menggambarkan:
• Jika a > 1 akan mengakibatkan ekspansi
spektrumnya
• Jika a < 1 akan mengakibatkan kompresi
spektrumnya

10. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
5. Pembalikan Waktu
Sifat pembalikan waktu pada transformasi Fourier
dapat digambarkan dengan persamaan berikut:
Contoh:
Jika TF dari x(-t) adalah
Maka TF dari x(t) adalah

11. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
6. Diferensiasi
• Diferensiasi waktu. Efek diferensiasi di
domain waktu dapat dijabarkan sebagai
perkalian X(ω) dan jω dalam domain
frekuensi.
• Diferensiasi frekuensi.

12. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
7. Integrasi
Dari persamaan di atas diperlihatkan bahwa efek
integrasi di domain waktu dapat dijabarkan secara
matematis sebagai pembagian X(ω) oleh jω di
domain frekuensi, dengan mengasumsikan X(0) = 0.
Nilai X(0) dapat dituliskan dalam persamaan berikut:

13. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Konvolusi dua buah sinyal x1(t) dan x2(t), yang
dilambangkan sebagai x1(t) * x2(t), akan
menghasilkan sebuah sinyal baru x(t) dan
didefinisikan dengan persamaan berikut:

14. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Konvolusi berfungsi untuk menyatakan hubungan
antara masukan dan keluaran pada sistem
Di mana x(t) adalah output dari sistem, x1(t) adalah
input berupa sinyal diskrit & x2(t) adalah respons
impuls dari sistem.

15. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Contoh:
Terdapat sinyal x1(t) dan x2(t) sebagai berikut:
Tentukan x1(t) * x2(t)!

16. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Jawab:
Langkah 1. Ubah x1(t) dan x2(t) ke bentuk x1(τ) dan x2(τ),
kemudian reverse sinyal x2(τ) menjadi x2(- τ), kemudian
geser ke kiri sejauh t (t < T) menjadi x2(-τ+t).

17. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Jawab:
Langkah 2. Perhitungan dibagi menjadi 3 bagian:
1. -∞ < t ≤ 0
Tidak ada bagian yang tumpang tindih antara
x1(t) dan x2(-τ+t), sehingga bagian ini adalah 0.

18. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Jawab:
2. 0 ≤ t ≤ T
Bidang yang tumpang tindih:

19. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Jawab:
3. T ≤ t
Bidang yang tumpang tindih:

20. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
8. Konvolusi
Jawab:
Maka hasil konvolusinya:
Untuk -∞ < t ≤ 0 = 0
Untuk 0 ≤ t ≤ T = At
Untuk T ≤ t = AT

21. Sifat-Sifat Transformasi Fourier
9. Perkalian
Persamaan di atas dirujuk sebagai teorema
konvolusi frekuensi. Sehingga, perkalian pada
domain waktu dapat dijabarkan secara matematis
sebagai konvolusi pada domain frekuensi.

22. Transformasi Fourier Impuls Satuan
• Fungsi impuls satuan didefinisikan sebagai
berikut:

23. Transformasi Fourier Impuls Satuan
• Transformasi Fourier dari δ(t) diberikan oleh
persamaan berikut:
• Pasangan transformasi Fourier dari δ(t) adalah:

24. PR!!!!
Terdapat dua sinyal berikut:
Tentukan x1(t) * x2(t)!

25. Terima Kasih
Beny Nugraha