materi

1. FUNGSI LINEAR
Definisi
Suatu fungsi berbentuk berbentuk f (z) = az + b dimana a dan b adalah konstanta
kompleks, dinamakan fungsi linear.
Contoh dan Non-Contoh
Fungsi linear f (z) = 3z + 2
Fungsi Nonlinear f (z) = 2x2
- 8
Sifat-Sifat Fungsi Linear
 Turunannya f ‘ (z) = a, didenisikan pada setiap z, jadi f adalah
fungsimenyeluruh.
 Jika a = 0 , maka f berubah menjadi fungsi konstan: f(z) = b
 Jika a ≠ 0, maka f adalah fungsi satu-satu, Karena 𝑧1 ≠ 𝑧2ଶ berakibat 𝑎𝑧1 + 𝑏 ≠
𝑎𝑧2 + 𝑏 jadi 𝑓 (𝑧1) ≠ 𝑓(𝑧2)
 Untuk a ≠ 0 , hubungan inversi
𝑧 =
1
𝑎
𝑤 −
𝑏
𝑎
juga merupakan fungsi linier, yang dapat dipikirkan sebagai pemetaan dari bidang w
“kembali” kebidang z. Akhirnya jika a = 1 dan b = 0, maka fungsi linier
berubah menjadi fungsi identitas 𝑓(𝑧) = 𝑧
Fungsi linear 𝑤 = 𝑎𝑧 + 𝑏 dapat dituliskan sebagai komposisi 𝑓 ° 𝑔 (𝑧) dengan 𝑔(𝑧) = 𝑎𝑧 dan
𝑓 (𝑧) = 𝑧 + 𝑏, sehingga w dapat dinyatakan sebagai 𝑤 = 𝑎𝑧 + 𝑏 = 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑧)
Komposisi ini akan mempermudah kita dalam menentukan daerah hasil pemetaan
dan membuat sketsa grafik daerah hasil pemetaan di bidang w.
Fungsi Pangkat
Fungsi pangkat yang didefinisikan untuk setiap bilangan kompleks z adalah fungsi berbentuk
f (z) = zn
,
dengan n ∈ N.
untuk f ‘ (z) = nzn-1

2. Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen pada bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan sebagai
f (z) = ez
= ex+iy
= ex
eiy
= ex
(cos y +i sin y) .
Jika z adalah khayal x = 0 maka eiy
= (cos y + i sin y) .
Bentuk ini dapat di terapkan dalam bentuk kutup z =(r (cos t + i sin t) atau
z = reit
Fungsi eksponen pada bilangan kompleks ez
memiliki sifat-sifat berikut, yang serupa
dengan sifat fungsi eksponen pada bilangan real.
1. ez
= 0
2. e0
= 1
3. ez+w
= ez
ew
4. ez−w
=ez
5. ez
= ez
6. ez
= ez+2πi
7.|ez
| = ex
dan Arg(ez
) = y.
Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut.
Misalkan z = reit maka
log z = log reit sehingga di dapat log z = ln |z| + i arg(z).
Perlu diperhatikan bahwa fungsi log z hanya terdefinisi untuk z = 0.
Karena sifat periodik fungsi sinus dan cosinus maka arg(z) memiliki tak berhingga
banyaknya nilai, sehingga untuk suatu z diperoleh tak berhingga banyaknya nilai
log z = ln |z| + i(Arg(z) = 2kπ), k ∈ Z, dengan −π < Arg(z) ≤ π adalah argumen
utama. Oleh karena itu fungsi logaritma kompleks merupakan suatu fungsi
bernilai banyak atau multivalued function. Oleh karena itu perlu didefinisikan
fungsi logaritma yang bernilai tunggal, yaitu
Logz = ln |z| + iArg(z) = lnr + it,

3. dengan −π < t ≤ π. Dengan pendefinisian tersebut jelas bahwa
log z = Logz + 2kπi =, k ∈ Z.
Dengan memanfaatkan sifat fungsi logaritma natural pada bilangan real, da-
pat dibuktikan bahwa fungsi logaritma pada bilangan kompleks memenuhi sifat-
sifat berikut.
1. log(zw) = log z + log w
2. logz
w = log z − log w
3. log ez = z
4. elogz = z
5. log (zp) = p log z
Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik
Perhatikan bahwa berdasarkan rumus Euler eix = cos x + i sin x dan eix = cos x −
i sin x, diperoleh sin x = 1/2i (eix – e-ix) dan cos x = 1/2i (eix – e-ix)
Oleh karena itu, fungsi sinus dan cosinus pada bilangan kompleks didefinisikan
sebagai berikut.
sin z = 1/2i (eiz – e-iz) dan cos z = 1/2i (eiz – e-iz)
sedangkan fungsi trigonometri yang lain didefinisikan sebagai
tan z =
sin z
cos z
cos z 1 1
, cot z = , sec z = , csc z =
sin z cos z sin z
Sifat-sifat fungsi trigonometri:
1. sin z = 0 jika dan hanya jika z = kπ, k ∈ Z
2. cos z = 0 jika dan hanya jika z =π
2 +
kπ,k∈Z
3. sin(−z) = − sin z
4. cos(−z) = cos z

4. 5. sin2 z + cos2 z = 1
6. sin(z + w) = sin z cos w + sin w cos z
7. cos(z + w) = cos z cos w − sin w sin z
Fungsi sinus dan cosinus hiperbolik pada himpunan bilangan kompleks
didefinisikan sebagai berikut.
sin 𝑧 =
𝑒 𝑧
− 𝑒−𝑧
2
, 𝑑𝑎𝑛 cos 𝑧 =
𝑒 𝑧
− 𝑒−𝑧
2
∀z ∈ C
, ∀z ∈ C. 2
Fungsi trigonometri hiperbolik yang lain didefinisikan seperti fungsi trigonometri,
Yaitu
tan 𝑧 =
sin 𝑧
cos 𝑧
, cot 𝑧 =
cos 𝑧
sin 𝑧
, sec z =
1
cot 𝑧
, csc 𝑧 =
1
sin 𝑧