Makalah ini membahas tentang transformasi Fourier dan transformasi Fourier diskrit, yang penting dalam analisis sinyal. Penulis menguraikan konsep dasar, aplikasi dalam pengolahan citra digital, dan algoritma terkait seperti Fast Fourier Transform (FFT). Diharapkan makalah ini bermanfaat bagi pembaca dan mendorong pemahaman lebih dalam tentang transformasi ini.

1. MAKALAH
MATA KULIAH METODE TRASFORMASI
TRANFORMASI FOURIR
DISKRIT
Kelompok :
NAMA NIM
Eno Yulian 5150711166
Harbinarka 5150711156
Tri Purnomo 5150711173
Panji Trisna 5150711159
Ibnu fauzi 5150711177
Zefanya G. 5150711164
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA
2016

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, karena berkat rahmat dan karunianya kami
dapat menyelesaikan makalah “Trasformasi Fourir” ini guna memenuhi salah satu tugas
kelompok.
Tak lupa saya ucapkan terima kasih kepada rekan-rekan yang telah memberi dukungan
untuk penyusunan makalah ini.
Besar harapan saya mudah-mudahan makalah ini dapat bermanfaat bagi rekan-rekan,
khususnya bagi penulis. Apabila dalam penyusunan makalah ini terdapat kalimat atau bahasa yang
kurang berkenan saya mohon maaf yang sebesar-besarnya. Untuk itu kami mengharapkan ritik dan
saran yang membangun dari guna mencapai penyempuraan laporan penyusun kedepan.
Penyusun

3. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR................................................................................ i
DAFTAR ISI.............................................................................................. ii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah................................................................ 1
B. Tujuan Penulisan........................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN
A. Transformasi Fourier....................................................................... 4
B. Transformasi Fourier Diskrit........................................................... 8
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan..................................................................................... 11
B. Saran............................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA

4. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Transformasi Fourier Diskrit merupakan bagian dari Transformasi Fourier yang
digunakan dalam analisis Fourier. Dalam analisis Fourier dipelajari bagaimana cara
merepresentasikan sevuah fungsi dengan penjumlahan beberapa fungsi trionometri yang lebih
sederhana. Analisis Fourier dinamakan sesuai dengan penemunya yaitu Joseph Fourier (1768-
1830), seorang matematikawan dan fisikawan berkebangsaan Prancis. Beliau menunjukkan
bahwa dengan mengubah sebuah fungsi menjadi deret trigonometri akan mempermudah
pembelajaran tentang propagasi panas.
Dalam bidang matematika, Transformasi Fourier digunakan untuk menguraikan sebuah sinyal
menjadi frekuensinya. Dengan kata lain, Transformasi Fourier mengubah suatu fungsi ke daam
bentuk lain. Pada Transformasi Fourier Diskrit, masukan fungsi harus dalam bentuk diskrit.
Masukan Transformasi Fourier Diskrit adalah urutan terbatas bilangan riil ataupun bilangan
kompleks. Hal ini menyebabkan Transformasi Fourier Diskrit ideal untuk memproses informasi
di dalam komputer.
Dalam perkembangannya, para peneliti terus berupaya mengembangkan suatu algoritma yang
lebih cepat dan mangkus. Pada tahun 1965, J. W. Cooley dan John Tukey mengenalkan sebuah
metode baru yang lebih cepat dan mangkus dalam memproses Transformasi Fourier Diskrit.
Algoritma yang diberi nama algoritma Cooley-Tukey ini sebenarnya telah ditemukan oleh Carl
Friedrich Gauss pada sekitar tahun 1805. Karena lebih cepat dalam proses perhitungan, metode
ini disebut dengan nama
Transformasi Fourier Cepat.
B. Tujuan Penulisan
1. Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar transformasi Fourier Waktu Diskrit
2. Siswa mampu membawa persoalan dari konsep sinyal waktu kontinyu menjadi
sinyal waktu diskrit.

5. BAB II
PEMBAHASAN
A. TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
Transformasi Fourier, dikemukakan oleh Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi
integral yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu
sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien
("amplitudo").
Menurut Buku “Understanding Digital Signal Processing, Second Edition” karangan
Richard G. Lyons. Transformasi Fourier Diskrit adalah prosedur yang kuat yang digunakan
dalam pemrosesan sinyal digital dan filterisasi digital. Transformasi Fourier Diskrit
menungkinkan seseorang untuk menganalisa, memanipulasi dan mensintesis sinyal yang
tidak mungkin dapat dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog. Sedangkan menurut buku
“Handbook of Digital Signal Processing Engineering Applications”, Transformasi Fourier
Diskrit merupakan gambaran karakteristik spektrum periodik dari suatu sampel data.
Transformasi Fourier Diskrit memiliki spectrum garis yang mewakili periode sekuensial N.
Adanya istilah “discrete fourier transform” karena Transformasi Fourier Diskrit
memberikan gambaran deret fourier untuk sekuens terbatas.
Gambar 4.1. Transformasi Fourier
Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk
memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam
pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial
pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak
digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat
dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.
1. Transformasi Fourier 1D
F(t) F(
)
Transformasi
Fourier

6. Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t) didefinisikan dengan:




 dtetfF tj
 ).()(
dimana F() adalah fungsi dalam domain frekwensi
 adalah frekwensi radial 0 – 2f,
atau dapat dituliskan bahwa
 = 2f
Contoh 1
Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut:
Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah:
 




1
1
1
1
3)3()( dtedteF tjtj 

  





)sin(63
3
1
1





jj
tj
ee
j
e
j
:
Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier
2. Transformasi Fourier 2D
Transformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial f(x,y) didefinisikan dengan:
 
 





 dxdyeyxfF yxj 21
).,(),( 21


t0 1-1
3
f(t)

7. dimana F(1,2) adalah fungsi dalam domain frekwensi
f(x,y) adalah fungsi spasial atau citra
 dan 2 adalah frekwensi radial 0 – 2.
Transformasi fourier yang digunakan dalam pengolahan citra digital adalah transformasi fourier
2D.
Contoh 2.
Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:
Transformasi fourier dari f(x,y) di atas adalah:
   
12
12
1
1
2
2
1
112
2
1
1 2
2
1
1
1
12
1
1
1
1
21
)sin()sin(
)sin(
.
)sin()sin(
)sin(
).1(,
1
12
1
21




































 


 


 
j
e
dxedxe
j
e
dydxeF
xj
xjyj
xj
yxj
1 2 :
Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D
xy
f(x,y)
1
1 1

8. Gambar 4.4. Hasil transformasi fourier dalam surface
Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit
dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit
dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
B. Transformasi Fourier Diskrit
Transformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah
model transformasi fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT
didefinisikan dengan :



N
n
NknTj
enfkF
1
/2
).()( 
1. DFT 1D
DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak
digunakan dalam pengolahan sinyal digital.
Contoh 4.3 :
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
k=0 
41111
)().()0(
3
0
3
0
0

  

nn
jn
nfenfF
0 1 2 3
t
f(t)

9. k=1 
0).(
).()1(
3
0
5.0
3
0
4/2








n
jn
n
nj
enf
enfF


k=2  0).().()2(
3
0
3
0
4/4
  



n
jn
n
nj
enfenfF 
k=3  0).().()3(
3
0
5.1
3
0
4/6
  



n
nj
n
nnj
enfenfF 
Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam
proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan
dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi
informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimalsetengah kali periode dari nilai
fungsinya.
Contoh 3
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
 




7
0
8/
7
0
8/2
).().()(
n
nkj
n
nkj
enfenfkF 
Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah :
k F(k)
0 12
1 0
2 -2 – 2j
3 0
4 0
5 0
6 -2 + 2j
7 0
Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur realdan imaginer.
Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur realdan imaginer sebagai berikut :
k Real{F(k)} Im{F(k)}
0 12 0
1 0 0
2 -2 -2
3 0 0
4 0 0
5 0 0
0 1 2 3
t
f(t)
2
1
0 1 2 3

10. 6 -2 2
7 0 0
Dan dapat digambarkan sebagai berikut :
Bagian Real Bagian Imaginer
Gambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer
Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :
Magnitude :      22
)(Im)(Re)( kfkfkF 
Phase :    
 )(Re
)(Im
)(
kF
kF
kFArg 
Magnitude Phase
Gambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer
Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah:
k F(k) K F(k)
0 12 8 12
1 0 9 0
2 -2 – 2j 10 -2 – 2j
3 0 11 0
4 0 12 0
5 0 13 0
6 -2 + 2j 14 -2 + 2j
7 0 15 0
Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang mengakibatkan
fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2
periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform).
2. Transformasi Fourier Diskrit 2D

11. Transformasi Fourier Diskrit (DFT) 2 Dimensi adalah tranformasi fourier diskrit yang
dikenakan pada fungsi 2D (fungsi dengan dua variabel bebas), yang didefinisikan sebagai
berikut :
 


1
1
2
2
222111
0 0
)//(2
2121 ).,(),(
N
n
N
n
NnkNnkTj
ennfkkF 
DFT 2D ini banyak digunakan dalam pengolahan citra digital, karena data citra dinyatakan
sebagai fungsi 2D.
Contoh 4 :
Diketahui f(x,y) adalah sebagai berikut :
0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0
Bila digambarkan hasilnya adalah sebagai berikut :
Gambar 4.7. Contoh citra dalam f(x,y)
DFT dari fungsi f(x,y) di atas adalah :
 


4
0
6
0
)6/4/(2
2121
1 2
2211
).,(),(
n n
nknkTj
ennfkkF 
Hasil dari DFT adalah sebagai berikut :
16 0 -2 - 3.46i 0 -2 +
3.46i
0
0 -1.27 -
4.73i
0 0 0 4.73 -
1.27i
0 0 0 0 0 0
0 -4.73+
1.27i
0 0 0 1.27 +
4.73i
Secara Grafis dapat ditunjukkan bahwa :

12. Bagian Real Bagian Imaginer
Gambar 4.8. Contoh hasil DFT 2D
Hasil DFT dalam bentuk magnitude dan phase adalah sebagai berikut :
Magnitude =
16.0000 0 4.0000 0 4.0000 0
0 4.8990 0 0 0 4.8990
0 0 0 0 0 0
0 4.8990 0 0 0 4.8990
Phase =
0 0 -2.0944 0 2.0944 0
0 -1.8326 0 0 0 -2.8798
0 0 0 0 0 0
0 2.8798 0 0 0 1.8326
Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :
Magnitude Phase
Gambar 4.9. Contoh hasil DFT 2D dalam magnitude dan phase
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk
memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam
pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial
pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak
digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat
dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.
B. Saran
Saran yang dapat penulis sampaikan pelajarilah lebih dalam tentang Transformasi fourir
karena dengan mempelajari lebih dalam lagi maka kita akan mudah memahami tentang
Transformasi fourir

13. DAFTAR PUSTAKA
 Douglas F. Elliott, 1987, “Handbook of Digital Signal Processing, Engineering
Applications“, Academic Press Inc.
 Munir, Rinaldi. Diktat Kuliah IF2091 Struktur Diskrit. Edisi keempat. Program Studi
Teknik Informatika, Institut Teknologi
 Bandung
 Richards G. Lyons, 2004, “Understanding Digital Signal Processing“, Prentice-Hall.
 http://www.cambridge.org/resources/0521854555/4421_Chapter%
 2012%20-%20Discrete%20Fourier%20transform.pdf Waktu akses : 15 Desember
2010 pukul 10.00 WIB