Deret Fourier merupakan metode untuk mewakili fungsi periodik menggunakan kombinasi fungsi sinus dan kosinus. Dokumen ini menjelaskan konsep dasar deret Fourier, rumus koefisien deret Fourier, sifat keortogonalan fungsi trigonometri, dan contoh penerapan deret Fourier untuk berbagai fungsi periodik.
1. Dokumen tersebut membahas tentang dasar-dasar sistem kontrol, meliputi konsep sistem terkendali, masalah kontrol, transformasi Laplace, model sistem dalam bentuk persamaan diferensial dan fungsi transfer, serta tanggapan sistem terhadap berbagai masukan seperti impulse dan step.
Transformasi Laplace merupakan transformasi integral yang digunakan untuk merubah persoalan diferensial berkala menjadi persoalan aljabar. Transformasi Laplace memiliki sifat linearitas dan keberadaannya tergantung pada kontinuitas dan keterbatasan eksponensial fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang Pengolahan Sinyal Digital (PSD) yang merupakan bidang ilmu komputer yang memanipulasi sinyal sebagai sumber data menjadi bentuk digital. PSD digunakan untuk mengekstrak informasi dari sinyal seperti meningkatkan kualitas gambar dan mengenali suara. Sinyal dapat berupa analog maupun digital, kontinu maupun diskrit, dan dapat berupa fungsi matematis yang mewakili gelombang atau getaran fisik.
1. Model matematis sistem mewakili hubungan input dan output sistem melalui persamaan matematis. 2. Transfer function menjelaskan hubungan antara transformasi Laplace dari input dan output sistem. 3. Blok diagram dan signal flow graph digunakan untuk merepresentasikan model matematis sistem secara visual.
Deret Fourier merupakan metode untuk mewakili fungsi periodik menggunakan kombinasi fungsi sinus dan kosinus. Dokumen ini menjelaskan konsep dasar deret Fourier, rumus koefisien deret Fourier, sifat keortogonalan fungsi trigonometri, dan contoh penerapan deret Fourier untuk berbagai fungsi periodik.
1. Dokumen tersebut membahas tentang dasar-dasar sistem kontrol, meliputi konsep sistem terkendali, masalah kontrol, transformasi Laplace, model sistem dalam bentuk persamaan diferensial dan fungsi transfer, serta tanggapan sistem terhadap berbagai masukan seperti impulse dan step.
Transformasi Laplace merupakan transformasi integral yang digunakan untuk merubah persoalan diferensial berkala menjadi persoalan aljabar. Transformasi Laplace memiliki sifat linearitas dan keberadaannya tergantung pada kontinuitas dan keterbatasan eksponensial fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang Pengolahan Sinyal Digital (PSD) yang merupakan bidang ilmu komputer yang memanipulasi sinyal sebagai sumber data menjadi bentuk digital. PSD digunakan untuk mengekstrak informasi dari sinyal seperti meningkatkan kualitas gambar dan mengenali suara. Sinyal dapat berupa analog maupun digital, kontinu maupun diskrit, dan dapat berupa fungsi matematis yang mewakili gelombang atau getaran fisik.
1. Model matematis sistem mewakili hubungan input dan output sistem melalui persamaan matematis. 2. Transfer function menjelaskan hubungan antara transformasi Laplace dari input dan output sistem. 3. Blok diagram dan signal flow graph digunakan untuk merepresentasikan model matematis sistem secara visual.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem koordinat kartesian, silinder dan bola beserta konsep-konsep dasar seperti vektor satuan, volume diferensial, elemen-elemen permukaan dan garis. Juga dibahas mengenai turunan berarah (gradien), divergensi, curl, hukum Coulomb, medan listrik, fluks listrik, hukum Gauss, energi dan potensial medan listrik serta medan magnet.
Sistem dapat dibedakan menjadi sistem linier dan non linier. Sistem linier memenuhi hukum superposisi sehingga hubungan masukan dan keluarnya bersifat linier dan ditunjukkan oleh grafik garis lurus. Sementara itu, sistem non linier tidak memenuhi hukum superposisi sehingga hubungan masukan dan keluarnya tidak tetap dan ditunjukkan oleh grafik berbentuk kurva.
Pengolahan Sinyal Digital - Slide week 2 - sistem & sinyal waktu diskritBeny Nugraha
Modul ini membahas tentang sistem dan sinyal waktu diskrit. Terdapat definisi sistem waktu diskrit sebagai divais atau algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu diskrit dengan masukan dan keluaran berupa sinyal waktu diskrit. Modul ini juga menjelaskan sifat-sifat sistem waktu diskrit seperti kausalitas, linearitas, dan time invariant serta contoh penerapannya. Terakhir membahas mengenai konvolusi sebagai hubungan antara mas
Langkah-langkah dalam analisis dan desain sistem kendali meliputi penurunan model matematis sistem, perolehan model linear komponen, transformasi Laplace, diagram alir sinyal, dan metode analisis untuk mendapatkan rancangan yang diinginkan. Pendekatan umum meliputi transformasi Laplace, fungsi transfer, diagram blok, dan diagram alir sinyal.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi periodik dan deret Fourier. Fungsi dikatakan periodik jika nilainya berulang setiap periode tertentu. Deret Fourier digunakan untuk mengekspresikan fungsi berperiode menjadi jumlahan fungsi trigonometri. Deret Fourier akan konvergen jika fungsi dan turunannya kontinu pada interval yang ditentukan.
Pengolahan SInyal Digital - Slide week 5 - transformasi fourier sinyal waktu...Beny Nugraha
Dokumen ini membahas sifat-sifat transformasi Fourier sinyal waktu diskrit, termasuk linearitas, pergeseran waktu dan frekuensi, perubahan skala, pembalikan waktu, dan konvolusi periodik. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk mengilustrasikan penerapan sifat-sifat tersebut.
Dokumen ini membahas tentang deret Fourier kompleks dan fungsi genap ganjil. Deret Fourier kompleks dapat ditulis menggunakan persamaan eksponensial kompleks dan konstanta c0 dan cn ditentukan dengan menghitung rata-rata. Fungsi genap memiliki simetri f(-x)=f(x) sedangkan fungsi ganjil memiliki simetri f(-x)=-f(x). Integral fungsi genap dan ganjil dapat disederhanakan tergantung pada intervalnya
Transformasi Fourier didefinisikan melalui dua persamaan integral yang mengubah sinyal dalam domain waktu menjadi spektrum frekuensinya. Transformasi Fourier memiliki beberapa sifat penting seperti linieritas, simetri, pergeseran waktu, dan konvolusi. Transformasi Fourier digunakan untuk menganalisis sifat-sifat sinyal seperti energi dan daya.
Makalah ini membahas tentang metode transformasi Fourier, termasuk penjelasan tentang bilangan kompleks, definisi transformasi Fourier, transformasi Fourier satu dimensi baik yang kontinu maupun diskrit, analisis Fourier, dan sifat-sifat transformasi Fourier.
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi Fourier, termasuk definisi, jenis (kontinu dan diskrit), sifat-sifat, dan kegunaannya untuk menganalisis sinyal dengan memindahkannya ke domain frekuensi. Transformasi Fourier merupakan alat yang berguna untuk memproses sinyal digital.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem koordinat kartesian, silinder dan bola beserta konsep-konsep dasar seperti vektor satuan, volume diferensial, elemen-elemen permukaan dan garis. Juga dibahas mengenai turunan berarah (gradien), divergensi, curl, hukum Coulomb, medan listrik, fluks listrik, hukum Gauss, energi dan potensial medan listrik serta medan magnet.
Sistem dapat dibedakan menjadi sistem linier dan non linier. Sistem linier memenuhi hukum superposisi sehingga hubungan masukan dan keluarnya bersifat linier dan ditunjukkan oleh grafik garis lurus. Sementara itu, sistem non linier tidak memenuhi hukum superposisi sehingga hubungan masukan dan keluarnya tidak tetap dan ditunjukkan oleh grafik berbentuk kurva.
Pengolahan Sinyal Digital - Slide week 2 - sistem & sinyal waktu diskritBeny Nugraha
Modul ini membahas tentang sistem dan sinyal waktu diskrit. Terdapat definisi sistem waktu diskrit sebagai divais atau algoritma yang beroperasi pada sinyal waktu diskrit dengan masukan dan keluaran berupa sinyal waktu diskrit. Modul ini juga menjelaskan sifat-sifat sistem waktu diskrit seperti kausalitas, linearitas, dan time invariant serta contoh penerapannya. Terakhir membahas mengenai konvolusi sebagai hubungan antara mas
Langkah-langkah dalam analisis dan desain sistem kendali meliputi penurunan model matematis sistem, perolehan model linear komponen, transformasi Laplace, diagram alir sinyal, dan metode analisis untuk mendapatkan rancangan yang diinginkan. Pendekatan umum meliputi transformasi Laplace, fungsi transfer, diagram blok, dan diagram alir sinyal.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi periodik dan deret Fourier. Fungsi dikatakan periodik jika nilainya berulang setiap periode tertentu. Deret Fourier digunakan untuk mengekspresikan fungsi berperiode menjadi jumlahan fungsi trigonometri. Deret Fourier akan konvergen jika fungsi dan turunannya kontinu pada interval yang ditentukan.
Pengolahan SInyal Digital - Slide week 5 - transformasi fourier sinyal waktu...Beny Nugraha
Dokumen ini membahas sifat-sifat transformasi Fourier sinyal waktu diskrit, termasuk linearitas, pergeseran waktu dan frekuensi, perubahan skala, pembalikan waktu, dan konvolusi periodik. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk mengilustrasikan penerapan sifat-sifat tersebut.
Dokumen ini membahas tentang deret Fourier kompleks dan fungsi genap ganjil. Deret Fourier kompleks dapat ditulis menggunakan persamaan eksponensial kompleks dan konstanta c0 dan cn ditentukan dengan menghitung rata-rata. Fungsi genap memiliki simetri f(-x)=f(x) sedangkan fungsi ganjil memiliki simetri f(-x)=-f(x). Integral fungsi genap dan ganjil dapat disederhanakan tergantung pada intervalnya
Transformasi Fourier didefinisikan melalui dua persamaan integral yang mengubah sinyal dalam domain waktu menjadi spektrum frekuensinya. Transformasi Fourier memiliki beberapa sifat penting seperti linieritas, simetri, pergeseran waktu, dan konvolusi. Transformasi Fourier digunakan untuk menganalisis sifat-sifat sinyal seperti energi dan daya.
Makalah ini membahas tentang metode transformasi Fourier, termasuk penjelasan tentang bilangan kompleks, definisi transformasi Fourier, transformasi Fourier satu dimensi baik yang kontinu maupun diskrit, analisis Fourier, dan sifat-sifat transformasi Fourier.
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi Fourier, termasuk definisi, jenis (kontinu dan diskrit), sifat-sifat, dan kegunaannya untuk menganalisis sinyal dengan memindahkannya ke domain frekuensi. Transformasi Fourier merupakan alat yang berguna untuk memproses sinyal digital.
Pengolahan Sinyal Digital - Slide week 6 - transformasi fourier sinyal waktu ...Beny Nugraha
Dokumen ini membahas transformasi Fourier untuk beberapa fungsi dasar seperti fungsi impuls, cosinus, dan eksponensial. Fungsi impuls akan menghasilkan transformasi Fourier berupa fungsi impuls juga. Transformasi Fourier dari cosinus dapat dicari menggunakan rumus Euler. Transformasi Fourier fungsi eksponensial akan menghasilkan fungsi Dirac delta. Dokumen ini juga merangkum transformasi Fourier beberapa fungsi dasar dalam sebuah tabel.
1. Deret Fourier merupakan penguraian fungsi berisolasi seperti fungsi sinus dan kosinus maupun fungsi eksponensial kompleks.
2. Deret Fourier digunakan sebagai pengubah bentuk osilasi periodik dan membantu penyelesaian masalah fisika seperti pengukuran temperatur.
3. Sub bab yang dibahas dalam deret Fourier meliputi syarat ortogonalitas, syarat Dirchlet, serta fungsi positif dan negatif.
Transformasi Fourier dan Aplikasinya.pdfAdam Superman
1. Modul ini membahas transformasi Fourier dan aplikasinya dalam menganalisis sinyal. Termasuk konsep domain frekuensi dan bagaimana sinyal aperiodik dapat diwakili oleh sinyal periodik.
2. Transformasi Fourier digunakan untuk mengubah representasi sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi, dan sebaliknya. Transformasi Fourier diskrit digunakan untuk perhitungan komputer menggunakan MATLAB atau SCILAB.
3. Beberapa eksper
Telekounikasi Analog & Digital - Slide week 2 - lanjutan sinyal & spektrumBeny Nugraha
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi Fourier dan sifat-sifatnya. Transformasi Fourier digunakan untuk mengubah fungsi waktu ke fungsi frekuensi dan sebaliknya. Sifat-sifat transformasi Fourier mencakup linearitas, pergeseran waktu dan frekuensi, perubahan skala, pembalikan waktu, diferensiasi, integrasi, konvolusi, dan perkalian. Transformasi Fourier impuls satuan juga dijelaskan, di mana impuls satuan memiliki spektr
Pengolahan Sinyal Digital - Slide week 7 - DFT urutan waktu diskritBeny Nugraha
Dokumen ini membahas tentang Discrete Fourier Transform (DFT) dan penggunaannya untuk analisis frekuensi sinyal waktu diskrit, filter digital, dan contoh soal aplikasi DFT untuk menghitung sinyal keluaran dari jaringan linier berdasarkan sinyal masukan dan respons impuls sistem.
Makalah ini membahas metode transformasi integral Fourier untuk merepresentasikan fungsi melalui integral trigonometri. Teorema integral Fourier menyatakan bahwa fungsi yang kontinu sepotong-sepotong dapat direpresentasikan oleh integral Fourier. Integral Fourier dapat digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial dan mengintegralkan fungsi. Representasi integral Fourier lebih sederhana untuk fungsi genap atau ganjil melalui integral kosinus dan sinus Fourier. Metode ini diilustrasikan dengan contoh
Bab tujuh membahas Transformasi Fourier Diskrit (DFT) yang memungkinkan analisis sifat-sifat sistem linier dengan merepresentasikan deret dengan durasi terbatas menjadi representasi Fourier. DFT didefinisikan untuk deret x(n) dengan 0 < n < N-1 dan memiliki properti seperti linieritas, pergeseran sirkular, duality, dan konvolusi sirkular.
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi Fourier untuk sinyal periodik dan aperiodik. Sinyal periodik direpresentasikan dalam bentuk deret Fourier diskrit sedangkan sinyal aperiodik direpresentasikan dalam bentuk integral Fourier kontinu. Transformasi Fourier digunakan untuk mengubah representasi sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi dan sebaliknya. Beberapa contoh soal penerapan transformasi Fourier untuk persamaan diferensial dan sistem linier time-invariant (LTI) disajikan beserta pen
Makalah ini membahas transformasi Fourier multi-dimensi dan aplikasinya dalam komputerisasi tomografi aksial. Transformasi Fourier dua dimensi dari dinding Dirac dan fungsi lainnya dijelaskan secara matematis. Kemudian transformasi Fourier digunakan untuk mengubah proyeksi sinar X menjadi citra dua dimensi dalam tomografi komputer.
Transformasi fourier Trigonometri dan fungsi genap ganjilarsi cahn
Dokumen ini membahas tentang Transformasi Fourier dan Deret Fourier. Deret Fourier ditemukan oleh Joseph Fourier dan awalnya digunakan untuk mengukur transfer panas. Kemudian, Deret Fourier diterapkan untuk memodelkan gelombang dan getaran dalam berbagai sistem fisika seperti arus bolak-balik, getaran mekanik, dan gelombang elektromagnetik. Dokumen ini juga menjelaskan rumus-rumus dasar Deret Fourier trigonometri untuk fungsi periodik dan contoh pener
Similar to Kelompok 2 kls d. transformasi fourir diskrit (20)
ANALISIS PENGARUH INDUSTRI BATU BARA TERHADAP PENCEMARAN UDARA.pdfnarayafiryal8
Industri batu bara telah menjadi salah satu penyumbang utama pencemaran udara global. Proses ekstraksi batu bara, baik melalui penambangan terbuka maupun penambangan bawah tanah, menghasilkan debu dan gas beracun yang dilepaskan ke atmosfer. Gas-gas tersebut termasuk sulfur dioksida (SO2), nitrogen oksida (NOx), dan partikel-partikel halus (PM2.5) yang berbahaya bagi kesehatan manusia dan lingkungan. Selain itu, pembakaran batu bara di pembangkit listrik dan industri menyebabkan emisi karbon dioksida (CO2), yang merupakan penyebab utama perubahan iklim global dan pemanasan global.
Pencemaran udara yang disebabkan oleh industri batu bara juga memiliki dampak lokal yang signifikan. Di sekitar area penambangan, debu batu bara yang dihasilkan dapat mengganggu kesehatan masyarakat dan ekosistem lokal. Paparan terus-menerus terhadap debu batu bara dapat menyebabkan masalah pernapasan seperti asma dan bronkitis, serta berkontribusi pada penyakit paru-paru yang lebih serius. Selain itu, hujan asam yang disebabkan oleh emisi sulfur dioksida dapat merusak tanaman, air tanah, dan ekosistem sungai, mengancam keberlanjutan lingkungan di sekitar lokasi industri batu bara.
ANALISIS PENGARUH INDUSTRI BATU BARA TERHADAP PENCEMARAN UDARA.pdf
Kelompok 2 kls d. transformasi fourir diskrit
1. MAKALAH
MATA KULIAH METODE TRASFORMASI
TRANFORMASI FOURIR
DISKRIT
Kelompok :
NAMA NIM
Eno Yulian 5150711166
Harbinarka 5150711156
Tri Purnomo 5150711173
Panji Trisna 5150711159
Ibnu fauzi 5150711177
Zefanya G. 5150711164
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA
2016
2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, karena berkat rahmat dan karunianya kami
dapat menyelesaikan makalah “Trasformasi Fourir” ini guna memenuhi salah satu tugas
kelompok.
Tak lupa saya ucapkan terima kasih kepada rekan-rekan yang telah memberi dukungan
untuk penyusunan makalah ini.
Besar harapan saya mudah-mudahan makalah ini dapat bermanfaat bagi rekan-rekan,
khususnya bagi penulis. Apabila dalam penyusunan makalah ini terdapat kalimat atau bahasa yang
kurang berkenan saya mohon maaf yang sebesar-besarnya. Untuk itu kami mengharapkan ritik dan
saran yang membangun dari guna mencapai penyempuraan laporan penyusun kedepan.
Penyusun
3. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR................................................................................ i
DAFTAR ISI.............................................................................................. ii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah................................................................ 1
B. Tujuan Penulisan........................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN
A. Transformasi Fourier....................................................................... 4
B. Transformasi Fourier Diskrit........................................................... 8
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan..................................................................................... 11
B. Saran............................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA
4. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Transformasi Fourier Diskrit merupakan bagian dari Transformasi Fourier yang
digunakan dalam analisis Fourier. Dalam analisis Fourier dipelajari bagaimana cara
merepresentasikan sevuah fungsi dengan penjumlahan beberapa fungsi trionometri yang lebih
sederhana. Analisis Fourier dinamakan sesuai dengan penemunya yaitu Joseph Fourier (1768-
1830), seorang matematikawan dan fisikawan berkebangsaan Prancis. Beliau menunjukkan
bahwa dengan mengubah sebuah fungsi menjadi deret trigonometri akan mempermudah
pembelajaran tentang propagasi panas.
Dalam bidang matematika, Transformasi Fourier digunakan untuk menguraikan sebuah sinyal
menjadi frekuensinya. Dengan kata lain, Transformasi Fourier mengubah suatu fungsi ke daam
bentuk lain. Pada Transformasi Fourier Diskrit, masukan fungsi harus dalam bentuk diskrit.
Masukan Transformasi Fourier Diskrit adalah urutan terbatas bilangan riil ataupun bilangan
kompleks. Hal ini menyebabkan Transformasi Fourier Diskrit ideal untuk memproses informasi
di dalam komputer.
Dalam perkembangannya, para peneliti terus berupaya mengembangkan suatu algoritma yang
lebih cepat dan mangkus. Pada tahun 1965, J. W. Cooley dan John Tukey mengenalkan sebuah
metode baru yang lebih cepat dan mangkus dalam memproses Transformasi Fourier Diskrit.
Algoritma yang diberi nama algoritma Cooley-Tukey ini sebenarnya telah ditemukan oleh Carl
Friedrich Gauss pada sekitar tahun 1805. Karena lebih cepat dalam proses perhitungan, metode
ini disebut dengan nama
Transformasi Fourier Cepat.
B. Tujuan Penulisan
1. Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar transformasi Fourier Waktu Diskrit
2. Siswa mampu membawa persoalan dari konsep sinyal waktu kontinyu menjadi
sinyal waktu diskrit.
5. BAB II
PEMBAHASAN
A. TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
Transformasi Fourier, dikemukakan oleh Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi
integral yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu
sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien
("amplitudo").
Menurut Buku “Understanding Digital Signal Processing, Second Edition” karangan
Richard G. Lyons. Transformasi Fourier Diskrit adalah prosedur yang kuat yang digunakan
dalam pemrosesan sinyal digital dan filterisasi digital. Transformasi Fourier Diskrit
menungkinkan seseorang untuk menganalisa, memanipulasi dan mensintesis sinyal yang
tidak mungkin dapat dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog. Sedangkan menurut buku
“Handbook of Digital Signal Processing Engineering Applications”, Transformasi Fourier
Diskrit merupakan gambaran karakteristik spektrum periodik dari suatu sampel data.
Transformasi Fourier Diskrit memiliki spectrum garis yang mewakili periode sekuensial N.
Adanya istilah “discrete fourier transform” karena Transformasi Fourier Diskrit
memberikan gambaran deret fourier untuk sekuens terbatas.
Gambar 4.1. Transformasi Fourier
Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk
memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam
pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial
pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak
digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat
dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.
1. Transformasi Fourier 1D
F(t) F(
)
Transformasi
Fourier
6. Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t) didefinisikan dengan:
dtetfF tj
).()(
dimana F() adalah fungsi dalam domain frekwensi
adalah frekwensi radial 0 – 2f,
atau dapat dituliskan bahwa
= 2f
Contoh 1
Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut:
Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah:
1
1
1
1
3)3()( dtedteF tjtj
)sin(63
3
1
1
jj
tj
ee
j
e
j
:
Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier
2. Transformasi Fourier 2D
Transformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial f(x,y) didefinisikan dengan:
dxdyeyxfF yxj 21
).,(),( 21
t0 1-1
3
f(t)
7. dimana F(1,2) adalah fungsi dalam domain frekwensi
f(x,y) adalah fungsi spasial atau citra
dan 2 adalah frekwensi radial 0 – 2.
Transformasi fourier yang digunakan dalam pengolahan citra digital adalah transformasi fourier
2D.
Contoh 2.
Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:
Transformasi fourier dari f(x,y) di atas adalah:
12
12
1
1
2
2
1
112
2
1
1 2
2
1
1
1
12
1
1
1
1
21
)sin()sin(
)sin(
.
)sin()sin(
)sin(
).1(,
1
12
1
21
j
e
dxedxe
j
e
dydxeF
xj
xjyj
xj
yxj
1 2 :
Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D
xy
f(x,y)
1
1 1
8. Gambar 4.4. Hasil transformasi fourier dalam surface
Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit
dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit
dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
B. Transformasi Fourier Diskrit
Transformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah
model transformasi fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT
didefinisikan dengan :
N
n
NknTj
enfkF
1
/2
).()(
1. DFT 1D
DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak
digunakan dalam pengolahan sinyal digital.
Contoh 4.3 :
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
k=0
41111
)().()0(
3
0
3
0
0
nn
jn
nfenfF
0 1 2 3
t
f(t)
9. k=1
0).(
).()1(
3
0
5.0
3
0
4/2
n
jn
n
nj
enf
enfF
k=2 0).().()2(
3
0
3
0
4/4
n
jn
n
nj
enfenfF
k=3 0).().()3(
3
0
5.1
3
0
4/6
n
nj
n
nnj
enfenfF
Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam
proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan
dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi
informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimalsetengah kali periode dari nilai
fungsinya.
Contoh 3
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
7
0
8/
7
0
8/2
).().()(
n
nkj
n
nkj
enfenfkF
Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah :
k F(k)
0 12
1 0
2 -2 – 2j
3 0
4 0
5 0
6 -2 + 2j
7 0
Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur realdan imaginer.
Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur realdan imaginer sebagai berikut :
k Real{F(k)} Im{F(k)}
0 12 0
1 0 0
2 -2 -2
3 0 0
4 0 0
5 0 0
0 1 2 3
t
f(t)
2
1
0 1 2 3
10. 6 -2 2
7 0 0
Dan dapat digambarkan sebagai berikut :
Bagian Real Bagian Imaginer
Gambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer
Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :
Magnitude : 22
)(Im)(Re)( kfkfkF
Phase :
)(Re
)(Im
)(
kF
kF
kFArg
Magnitude Phase
Gambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer
Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah:
k F(k) K F(k)
0 12 8 12
1 0 9 0
2 -2 – 2j 10 -2 – 2j
3 0 11 0
4 0 12 0
5 0 13 0
6 -2 + 2j 14 -2 + 2j
7 0 15 0
Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang mengakibatkan
fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2
periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform).
2. Transformasi Fourier Diskrit 2D
11. Transformasi Fourier Diskrit (DFT) 2 Dimensi adalah tranformasi fourier diskrit yang
dikenakan pada fungsi 2D (fungsi dengan dua variabel bebas), yang didefinisikan sebagai
berikut :
1
1
2
2
222111
0 0
)//(2
2121 ).,(),(
N
n
N
n
NnkNnkTj
ennfkkF
DFT 2D ini banyak digunakan dalam pengolahan citra digital, karena data citra dinyatakan
sebagai fungsi 2D.
Contoh 4 :
Diketahui f(x,y) adalah sebagai berikut :
0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0
Bila digambarkan hasilnya adalah sebagai berikut :
Gambar 4.7. Contoh citra dalam f(x,y)
DFT dari fungsi f(x,y) di atas adalah :
4
0
6
0
)6/4/(2
2121
1 2
2211
).,(),(
n n
nknkTj
ennfkkF
Hasil dari DFT adalah sebagai berikut :
16 0 -2 - 3.46i 0 -2 +
3.46i
0
0 -1.27 -
4.73i
0 0 0 4.73 -
1.27i
0 0 0 0 0 0
0 -4.73+
1.27i
0 0 0 1.27 +
4.73i
Secara Grafis dapat ditunjukkan bahwa :
12. Bagian Real Bagian Imaginer
Gambar 4.8. Contoh hasil DFT 2D
Hasil DFT dalam bentuk magnitude dan phase adalah sebagai berikut :
Magnitude =
16.0000 0 4.0000 0 4.0000 0
0 4.8990 0 0 0 4.8990
0 0 0 0 0 0
0 4.8990 0 0 0 4.8990
Phase =
0 0 -2.0944 0 2.0944 0
0 -1.8326 0 0 0 -2.8798
0 0 0 0 0 0
0 2.8798 0 0 0 1.8326
Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :
Magnitude Phase
Gambar 4.9. Contoh hasil DFT 2D dalam magnitude dan phase
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk
memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam
pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial
pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak
digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat
dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.
B. Saran
Saran yang dapat penulis sampaikan pelajarilah lebih dalam tentang Transformasi fourir
karena dengan mempelajari lebih dalam lagi maka kita akan mudah memahami tentang
Transformasi fourir
13. DAFTAR PUSTAKA
Douglas F. Elliott, 1987, “Handbook of Digital Signal Processing, Engineering
Applications“, Academic Press Inc.
Munir, Rinaldi. Diktat Kuliah IF2091 Struktur Diskrit. Edisi keempat. Program Studi
Teknik Informatika, Institut Teknologi
Bandung
Richards G. Lyons, 2004, “Understanding Digital Signal Processing“, Prentice-Hall.
http://www.cambridge.org/resources/0521854555/4421_Chapter%
2012%20-%20Discrete%20Fourier%20transform.pdf Waktu akses : 15 Desember
2010 pukul 10.00 WIB