Dokumen tersebut membahas tentang interpolasi linear dan kuadratik dalam metode numerik. Secara garis besar dibahas tentang definisi dan cara menyelesaikan masalah interpolasi dengan menggunakan perhitungan manual maupun bahasa pemrograman. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya.

1. INTERPOLASI LINEAR DAN KUADRATIK
Disusun guna memenuhi tugas kelompok mata kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Dr. Rochmad, M. Si
Disusun oleh:
1. Nur Fitri Amalia (4101410016)
2. Arin Ayundhita (4101410042)
3. Desfi meliasari (4101410044)
4. Latifah Darojat (4101410052)
5. Laurensia Dhika M (4101410063)
6. Cintya Hesriana P (4101410066)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2012

2. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Di dalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai
tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih
luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitikyang
tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan
analitiknya. Masalah umum interpolasi adalah menjabarkan data untuk fungsi
dekatan, dan salah satu metode penyelesaiannya dinamakan Metoda prinsip
Substitusi.Dalam mata kuliah metode numerik ada materi Interpolasi linear dan kuadratik.
Materi ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.
Apabila adalah suatu fungsi dengan nilai-nilai :
0 1 2 3 4 n
0 1 2 3 4 n
Dan jika adalah fungsi sederhana sembarang sedemikian rupa sehingga
untuk variable memberikan nilai yang hampir sama dengan ,

3. maka bila digantikan oleh pada interval yang diketahui, hal ini disebut
proses interpolasi dan fungsi adalah rumus interpolasiuntuk fungsi.
Fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan. Apabila
dinyatakan sebagai fungsi polinomial , proses disebut interpolasi polinomial atau
parabolik, sedangkan bila dinyatakan dalam persamaan fungsi trigonometri,
proses disebut interpolasi trigonometri. Bila dinyatakan dalam fungsi
eksponensial, polynomial Legendre atau fungsi Bessel atau bentuk fungsi spesifik
lainnya, maka pemilihan bentuk fungsi tersebut didasarkan pada anggapan atau
perilaku data yang dianggap cenderung mempunyai pola fungsi-fungsi tersebut.
B. Permasalahan
Berdasarkan latar belakang tersebut, kami menyelesaikan masalah
interpolasilinear dan kuadratik pada metode numerik dengan menggunakan
perhitungan manual dan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic.
1. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasilinear dan kuadratik pada metode
numerik dengan menggunakan perhitungan manual?
2. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode
numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic?
C. Tujuan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Pemahaman penerapan metode numerik dalam cara kerja matematika untuk
menyelesaikan permasalahan matematis atau perhitungan.
2. Menyelesaiakan masalah interpolasi linear dan kuadratik dengan menggunakan
bahasa pemrograman pascal.

4. BAB II
PEMBAHASAN
A. Persoalan Interpolasi Polinom
Mempelajari berbagai metode interpolasi yang ada untuk menentukan titik-titik
antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu.Diberikan
n + 1 buah titik berbeda, (x0,y0), (x1,y1), . . . , (xn,yn). Tentukan Polinom pn(x) yang
menginterpolasi (melewati) semua titik-tik tersebut sedemikian rupa sehinggayi= pn(x)
untuk i – 0, 1, 2, . . . ,n.
Nilai yi dapat berasal dari fungsi matematika f(x) (seperti ln x, sin x, fungsi Bessel
dan sebagainya) sedemikian sehingga yi = f(x). Atau yi berasal dari nilai empiris yang
diperoleh melalui percobaan atau pengamatan.
Y
(xn-1,yn-1)
(a,pn(a))
(x2,y2)
(xn,yn)
(x1,y1)
(a,pn(a))
(x3,y3)
(x0,y0)
X
x=a x=a
Gambar 2.1 Interpolasi dan Ekstrapolasi
Setelah polinom interpolasi pn(x) ditemukan, pn(x) dapat digunakan untuk
menghitung perkiraan nilai y di x = a, yaitu y = pn(a). Bergantung pada letaknya, nilai
mungkin terletak dalam rentang titik-titik data (x0< a < xn) atau di luar rentang
titik-titik data (a < x0 atau a>xn):
(i) Jika (x0< a < xn) maka yk = p disebut nilai interpolasi (interpoluted value)
(ii) Jika data (a < x0 atau a>xn) maka yk = p(xk) disebut nilai ekstrapolasi
(extrapolated value)

5. B. Interpolasi Linear
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah
garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang
menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:
P1(x) = a0 + a1x
Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik
(x0,y0) dan (x1,y1).
Y
(x1,y1)
(x0,y0)
X
Gambar 2.2 Interpolasi Linear
Y
(x0,y0)
(x1,y1)
X
Gambar 2.3 Interpolasi Linear
Koefisien dan dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan
mensubstitusikan dan ke dalam persamaan
diperoleh dua persamaan linear:

6. . . . . . (1)
. . . . . (2)
Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh:
Substitusikan nilai ke dalam persamaan (1), diperoleh:
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai dapat dilakukan
sebagai berikut:

7. Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara
berikut:
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.
Y
P2 (x1,y1)
(x,y)
P1(x0,y0)
X
Gambar 2.4 Interpolasi Linear
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2 (x1,y1) dapat dituliskan
dengan:

8. Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut:
C. Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Linear
a. Algoritma Interpolasi Linear
1. Tentukan nilai
2. Periksa apakah . Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.
3. Masukkan nilai .
4. Periksa apakah . Jika tidak, maka masukkan nilai
yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
5. Hitung .
6. Periksa apakah . Karena jika sama, maka akan diperoleh .
7. Tulis hasil .

9. b. Diagram alir interpolasi linear
MULAI
Input
Ya
Tidak
Input
Tidak
Ya
Ya Tidak
Tulis hasil Tulis hasil
SELESAI

10. D. Contoh Soal
1. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut:
Tahun 2000 2010
Jumlah Penduduk 179.300 203.200
Penyelesaian:
Dipunyai: x0 = 2000, x1 = 2010, y0 = 179.300, y1 = 203.200.
Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005.
Ingat :
Misalkan
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 adalah 191.250
orang.
2. Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2) dengan interpolasi lanjar
sampai 5 angka bena. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati
ln(9.2)=2.2192.
Penyelesaian:
Dipunyai:
.
Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.
Ingat:

11. Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .
E. Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data, . Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:
Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam
Gambar 2.4 dan Gambar 2.5
Y
x1,y1
y1
y2 x2,y2
y0
x0,y0
x0 x1 X
x2
Gambar 2.5 Interpolasi kuadratik.
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain, selain yang ditunjukkan pada
Gambar 2.5, namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai akan diperoleh

12. hanya sebuah nilai . Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 2.6
di bawah ini atau semacamnya.
Y
x1,y1
y1
y2 x2,y2
y0
x0,y0
x0 x1 x2 X
Gambar 2.6Bukan Interpolasi Kuadratik.
Menyelesaikan Polinom ditentukan dengan cara berikut:
1. Substitusikan ke dalam persamaan dengan i
= 0, 1, 2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak
diketahui yaitu: dan
2. Hitung dan dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss.
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan dan dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut:
a) Hitung dan
b) Hitung

13. F. Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Kuadratik
a. Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut :
1. Tentukan nilai
2. Periksa apakah . Jika tidak, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai
fungsinya tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke
langkah 3.
3. Masukkan nilai .
4. Periksa apakah . Jika tidak, maka
masukkan nilai yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
5. Hitung
6. Hitung
7. Periksa apakah Jika ya, maka persamaan yang dihasilkan linear. Jika
tidak maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat.
8. Tulis hasil .

14. b. Diagram Alir Interpolasi Kuadratik
MULAI
Input
Tidak
Ya
Input
Tidak
Ya
Ya Tidak
Tulis hasil Tulis hasil
Ket: Fungsi linear
SELESAI

15. G. Contoh Soal
1. Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan
nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik.
Penyelesaian:
Dipunyai:
Ditanya : Tentukan nilai ln (9.2).
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut:
Matriks yang terbentuk dari persamaan
adalah:

16. Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
.
Polinom kuadratnya adalah:
Untuk perhitungan dengan program, diperoleh hasil sebagai berikut.

17. 2. Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk
parabola. Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 2,01
6,5 2,443
8 2,897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola
pada saat t = 7 detik.
Penyelesaian:

18. Dipunyai data pergerakan suatu benda padat:
t (detik) Y (m)
5 2,01
6,5 2,443
8 2,897
Dengan menggunakan interpolasi kuasratik akan diprediksi ketinggian bola saat t =
7 detik.
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah:
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
Diperoleh :
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah:
Sehingga = 2,588
Jadi,diprediksi, pada t = 7 detik tinggi bola 2,588 m.