Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
2. PENGERTIAN INTEGRAL TAK WAJAR
Andaikan fungsi f terdefinisikan untuk t ≥ 0. Integral tak wajar yang
didefinisikan oleh,
dikatakan konvergen, bila limit pada ruas kanan ada. Jika limitnya tidak ada
nilainya, maka integral tak wajar dikatakan divergen.
dttfdttf
b
b
)(lim)(
00
2
1
2
1
2
lim
2
lim
lim
2
0
2
0
2
0
2
b
b
bt
b
b t
b
t
e
e
dtedte
Contoh Contoh :
Fungsi Gamma yang dinyatakan
dengan Γ(n) didefinisikan oleh,
!)1()2(
)()1()1(
)(
0
1
nn
nnn
dtetn tn
3. PENGERTIAN TRANSFORMASI LAPLACE
dtetftfLsF st
0
)()]([)(
Andaikan fungsi f terdefinisikan
untuk untuk t ≥ 0. Transformasi
Laplace dari dinyatakan dengan
F(s) = L{f} didefinisikan oleh
jika limitnya ada
22
0
)(
0
10
10
22
0
)(
cos
cos]cos[
)1(
][
!
][
cos][cos
:Contoh
bas
as
dtbte
dtebtebteL
s
r
dtettL
s
n
dtettL
bs
s
dtbtebtL
tas
statat
r
strr
n
stnn
st
as
eL
dte
dteeeL
at
tas
statat
1
][
][
:Contoh
0
)(
0
5. Pergeseran Pada Sumbu s
Andaikan F(s) adalah transformasi
Laplace dari fungsi f(t). Menurut
definisi transformasi Laplace dari
eatf(t) didefinisikan oleh,
)(
)(
)()]([
0
)(
0
asF
dtetf
dtetfetfeL
tas
statat
Jadi, jika diberikan bahwa
L{f(t)} = F(s),
maka
L{eatf(t)} = F(s - a). 22
22
1
1
22
22
)(
)(]sin[
)(][sin
)(
!
)(][
)(
!
][
)(
)(]cos[
)(][cos
:Contoh
bas
b
asFbteL
sF
bs
b
btL
as
n
asFteL
sF
s
n
tL
bas
as
asFbteL
sF
bs
s
btL
at
n
nat
n
n
at
11. KASUS 1 : Faktor Q(s) Linier Tidak Berulang
Misalkan,
)(
)(
)(dan,
)(
)(
)( 1
sQ
sP
Ltf
sQ
sP
sF
Bilamana,
Q(s)=(s –a1)(s – a2) … (s – an)
Tulislah F(s) menjadi ta
n
tata
n
n
as
i
as
i
n
n
n
ii
eAeAeA
as
LA
as
LAtf
sQ
sPas
sQ
sP
A
as
A
as
A
as
A
sQ
sP
...
1
...
1
)(
)(
)()(
)('
)(
...
)(
)(
21
21
1
1
1
1
2
2
1
1
Contoh
)4)(3(
)3()4(
43
)4)(3(
34
127
34
)(
2
ss
sBsA
s
B
s
A
ss
s
ss
s
sF
tt ee
s
L
s
L
ss
s
Ltf
34
11
2
1
1519
3
1
15
4
1
19
127
34
)(
12. Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
P(s) = s2 – 4s + 13
Q(s) = s3 – 2s2 – s +2
=(s + 1)(s – 1)(s – 2)
Tulis F(s) menjadi :
22
134
)(
23
2
sss
ss
sF
211
)2)(1)(1(
134
22
134
)(
321
2
23
2
s
A
s
A
s
A
sss
ss
sss
ss
sF
ttt
s
s
s
eee
s
L
s
L
s
Ltf
sss
sF
sss
sss
A
sss
sss
A
sss
sss
A
2
111
2
2
3
1
2
2
1
2
1
353
2
3
1
5
1
3
)(
dan,
2
3
1
5
1
3
)(
maka
3
)2)(1)(1(
)134)(2(
5
)2)(1)(1(
)134)(1(
3
)2)(1)(1(
)134)(1(
Mengingat,
13. KASUS 2 : Faktor Q(s) Linier Berulang
Misalkan,
)(
)(
)(
dan,
)(
)(
)(
1
sQ
sP
Ltf
sQ
sP
sF
Bilamana,
Q(s)=(s –a)m, m < n
Tulislah F(s) menjadi as
m
km
km
k
as
m
m
m
m
m
m
m
sQ
sPas
ds
d
km
A
sQ
sPas
A
as
A
as
A
as
A
as
sP
sQ
sP
)(
)()(
)!(
1
)(
)()(
...
)()(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
12
2
1
1
1
11
1
1
1
...
)!2()!1(
1
...
)(
1
)(
1
)(
AtA
m
t
A
m
t
Ae
as
LA
as
LA
as
LAtf
m
m
m
m
at
mmmm
14. Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
P(s) = 4s + 3
Q(s) = (s – 1)(s – 2)2
Tulis F(s) menjadi :
2)2)(1(
34
)(
ss
s
sF
7
)2)(1(
)34)(1(
Karena,
2)2(1
)2)(1(
34
)(
1
2
1
2
2
2
sss
ss
A
s
B
s
B
s
A
ss
s
sF
ttt
s
s
ss
etee
s
L
s
L
s
Ltf
sss
sF
s
ss
ss
ds
d
B
s
s
ss
ss
B
22
1
2
11
2
2
2
2
2
2
1
22
2
2
2
7117
2
7
)2(
11
1
7
)(
Jadi,
2
7
)2(
11
1
7
)(
sehingga,
7
)1(
7
)2)(1(
)34()2(
)!12(
1
11
1
34
)2)(1(
)34()2(
15. Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
Tulis F(s) menjadi :
32 )2()3(
64
)(
ss
s
sF
14
)2(
)64(
6
)2()3(
)64()3(
Karena,
2)2()2(
3)3(
)(
3
31
3
32
2
2
1
2
2
3
3
1
2
2
s
s
s
s
ds
d
A
ss
ss
A
s
B
s
B
s
B
s
A
s
A
sF
ttttt
ss
ss
ss
eteetete
s
L
s
L
s
L
s
L
s
Ltf
sssss
sF
s
s
s
s
ds
d
B
s
s
s
s
ds
d
B
s
s
ss
ss
B
222233
1
2
1
3
1
1
2
1
232
2
4
2
31
2
3
2
22
2
2
2
32
3
3
148146
2
14
)2(
8
)2(
2
3
14
)3(
6
)(
Jadi,
2
14
)2(
8
)2(
2
3
14
)3(
6
)(
sehingga,
14
)3(2
128
)3(
4
)!13(
1
8
)3(
4
)3(
64
)!23(
1
2
)3(
64
)2()3(
)64()2(
16. KASUS 3 : Faktor Q(s) Kompleks Konjugate
Misalkan,
)(
)(
)(
dan,
)(
)(
)(
1
sQ
sP
Ltf
sQ
sP
sF
Bilamana Q(s) memuat akar
kompleks konjugate tidak
berulang,
Q(s)=(s – a)2 + b2
Tulislah F(s) menjadi
2222
2222
)()(
)(
)(
)(
)(
bas
BaA
bas
asA
bas
BaAasA
bas
BAs
bias
a
aa
a
atat
sQ
sPbas
b
Q
QbBaAQ
b
BaA
QA
bte
b
BaA
btAe
bas
BaA
L
bas
asA
L
bas
BAs
Ltf
)(
)(])[(1
)Re(),Re(
dan),Im(
dimana,
sincos
)()(
)(
)(
)(
22
22
1
22
1
22
1
17. Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
Tulis F(s) menjadi :
)84)(3(
155
)(
2
sss
s
sF
6
)84)(3(
)155)(3(
Karena,
4)2(
2)2(
3
4)2(3
)(
3
2
2
2
ssss
ss
A
s
CBsB
s
A
s
CBs
s
A
sF
tetee
s
L
s
s
L
s
Ltf
ss
s
s
sF
iCB
iA
i
i
i
sss
sss
Q
ttt
is
a
2sin
2
1
2cos66
4)2(
1
4)2(
)2(6
3
6
)(
4)2(
1
4)2(
)2(6
3
6
)(
16
2
1
Re22
,66
2
1
Im
sehingga,
6
2
1
)21(2
1025
)84)(3(
)155)(84(
2
1
223
2
1
2
11
22
22
2
2
18. Contoh
Hitung, f(t) dari :
Jawab :
Tulis F(s) menjadi :
)136()2(
305
)(
22
2
sss
s
sF
8
)136(
)1807030
136
305
10
)136()2(
)305()2(
Karena,
4)3(2)2(
)(
2
22
2
2
2
2
1
2
22
22
2
2
1
2
2
s
s
s
ss
ss
ss
s
ds
d
A
sss
ss
A
s
CBs
s
A
s
A
sF
4)3(
3
4)3(
)3(8
2
8
)2(
10
)(
4)3(
3
4)3(
)2(8
2
8
)2(
10
)(
38
2
3
Re23
88
2
3
Im
8
2
3
)43(2
6055
)136()2(
)305)(136(
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
22
23
22
22
s
L
s
s
L
s
L
s
Ltf
s
s
s
ss
sF
iCB
iA
i
i
i
sss
sss
Q
is
a
19. Soal-soal Latihan,Tentukanlah invers Laplace, f(t), jika :
3
4
23
23
23
2
23
2
23
2
2
)3)(1(
124
)(.7
)3(
124
)(.6
15239
124
)(.5
12158
62
)(.4
8147
82
)(.3
1644
62
)(.2
86
32
)(.1
ss
s
sF
s
ss
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
sss
ss
sF
ss
s
sF
)52()2(
1210
)(.13
)106()2(
128
)(.12
)84)(3(
2010
)(.11
)136)(2(
128
)(.10
)4()2(
128
)(.9
)4)(2(
128
)(.8
23
2
22
2
2
2
42
2
4
2
sss
s
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
sss
s
sF
ss
s
sF
ss
s
sF
20. LAPLACE TURUNAN FUNGSI
Andaikan fungsi f(t) kontinu untuk semua t ≥ 0, dan mempunyai turunan-
turunan f′(t), f′′(t), f′′′ (t), …, fn–1(t) yang kontinu untuk semua t ≥ 0, dan jika
f(n)(t) kontinu sepotong-sepotong untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace dari
turunan fungsi fn(t) diberikan oleh :
)0()0()0()()0()0()0(][)]([(3)
)0()0()()0()0(][)]([(2)
)0()()0(][)]([(1)
:khususKasus
)0()0(...)0()0()(
)0()0(...)0()0(][)]([
2323
22
)1()2(2)1(
)1()2(2)1()(
ffsfssFsffsfsfLstfL
fsfsFsfsffLstfL
fssFffsLtfL
fsffsfssFs
fsffsfsfLstfL
nnnnn
nnnnnn
21. Contoh
Hitung, F(s) dari :
f(t) = cos2bt
Jawab :
Mengingat,
f(t) = –2 cosbt sinbt
= – sin2bt
f(0) = cos 0 = 1
Maka.
)4(
42
][cos
4
2
1)(
4
2
)0()(
]2sin[)]([
22
22
2
22
22
bss
bbs
btL
bs
b
ssF
bs
b
fssF
btLtfL
Contoh
Hitung, F(s) dari :
f(t) = t cos bt. f(0) = 0
Jawab :
Mengingat,
f(t) = cos bt – b t sinbt, dan f(0) = 1
f(t) = –2b sin bt – b2t cos bt
Maka.
222
22
22
2
22
2
22
2
2
2
)(
]cos[
2
1)()(
)(
2
)0()0()(
]cos[][sin2)]([
bs
bs
bttL
bs
b
sFbs
sFb
bs
b
fsfsFs
bttLbbtbLtfL
41. Contoh, Kasus 1
Tentukanlah solusi PD
Jawab :
5)0(,2)0(
465
yy
eyyy t
)3)(2)(1(
972
)65)(1(
)1)(52(4
65
52
)651)(s-(s
4
Y(s)
Jadi,
525)5(2
)0()0()5()(
)3)(2(65)(
1
4
]4[)(
Y(s)pembantuPersamaan
2
2
22
2
sss
ss
sss
ss
ss
s
s
ss
yyssG
sssssQ
s
eLsR t
ttt
s
eee
sss
sss
32
1-1-1-
32
1
2
1
321
332
3-s
3
L
2-s
3
L-
1-s
2
Ly(t)
PDSolusi
3-s
2
2-s
3
1-s
2
Y(s)
.3Adan,3A
2
)3)(2)(1(
)972)(1(
A
dengan,
3-s
A
2-s
A
1-s
A
Y(s)
parsialpecahanJumlahan
42. Contoh, Kasus 1
Tentukanlah solusi PD
Jawab :
6)0(,12)0(,6)0(
0652
yyy
yyyy
)3)(1)(2(
12-24s-6s
Y(s)
Jadi,
12-24s-s6
6)2(12-5)2(s6G(s)
3))(s1(s)2(
65s-2s-s)(
0]0[)(
Y(s)pembantuPersamaan
2
2
2
23
sss
ss
s
sQ
LsR
ttt
s
s
s
eee
sss
ss
sss
ss
sss
ss
32
1-1-1-
3
2
3
1
2
2
2
2
1
321
354
3-s
3
L
1-s
5
L
2s
4
Ly(t)
PDSolusi
3-s
3
1-s
5
2s
4
Y(s)
3
)3)(1)(2(
)12-24s-6)(3(
A
5
)3)(1)(2(
)12-24s-6)(1(
A
4
)3)(1)(2(
)12-24s-6)(2(
A
dengan,
3-s
A
1-s
A
2s
A
Y(s)
parsialpecahanJumlahan
43. Contoh, Kasus 2
Tentukanlah solusi PD
Jawab :
8)0(,2)0(
4644 23
yy
eeyyy tt
)3()2(
14102
)2(
2
2)-(s
1
)3)(2(
2
Y(s)
28)4(2)(
)2(44)(
)3)(2(
2
2
4
3
6
]46[)(
Y(s)pembantuPersamaan
3
23
22
22
23
ss
sss
s
s
ss
s
sssG
ssssQ
ss
s
ss
eeLsR tt
tt
s
s
s
s
ette
s
sss
ds
d
s
sss
ds
d
ss
ssss
ss
ssss
s
A
2231-
2
1-
3
1-1-
2
23
2
2
1
2
23
2
2
3
233
3
3
3
23
1
2
2
3
3
)422(6
2-s
4
L
2)-(s
2
L-
2)-(s
4
L-
3-s
6
Ly(t)
PDSolusi
4
3
14102
2
1
B
2
3
14102
B
4
)3()2(
)14102()2(
B
6
)3()2(
)14102)(3(
A
2-s
B
2)-(s
B
2)-(s
B
3
Y(s)
44. Contoh, Kasus 3
Tentukanlah solusi PD
Jawab :
5)0(,5)0(
1084 3
yy
eyyy t
)3](4)2[(
10)3(5
4)2(
155
]42)-[(s
1
)3(
10
Y(s)
1555)4(5)(
4)2(84)(
3
10
]10[)(
Y(s)pembantuPersamaan
2
2
2
2
22
3
ss
s
s
s
s
sssG
ssssQ
s
eLsR t
ttee
e
ss
ss
Q
ss
ss
tt
is
a
s
2sin
2
7
2cos22
42)-(s
7
L
42)-(s
3
L
3-s
2
Ly(t)
7-3i
2
7-
2RB2C
,33i
2
7-
ImA.3i
2
7
-
]4)2)[(3(
)116s-(5]4)2[(
2
1
2
]4)2)[(3(
)116s-(5)3(
A
42)-(s
C2B
42)-(s
2)-B(s
3-s
A
Y(s)
23
2
1-
2
1-1-
22
2
22
3
2
2
22
45. Contoh, Kasus 3
Tentukanlah solusi PD
Jawab :
50)0(,0)0(
2cos5044 3
yy
teyyy t
22
2
2
22
22
2
3
)2](4)3[(
)105(50
)2(
50
2)-(s
1
]4)3[(
)3(50
Y(s)
5050)4(0)(
)2(44)(
4)3(
)3(50
]2cos50[)(
Y(s)pembantuPersamaan
ss
ss
s
s
s
ssG
ssssQ
s
s
teLsR t
43)-(s
32
L-
43)-(s
3)-12(s
L
2-s
6
L
2)-(s
40
Ly(t)
-32_1216(2RBC3
,1212i)Im(-16A,12i16-.
]4)3[()2(2
)105(50]4)3[(
6
4)3(
]105(10
A
40
]4)3[()2(
)10s5(50)2(
A
43)-(s
CB33)-B(s
2-s
A
2)-(s
A
Y(s)
2
1-
2
1-
1-
2
1-
23
22
22
2
2
2
1
2
22
22
2
2
1
2
2
ie
ss
sss
Q
s
ss
ds
d
ss
ss
is
a
s
s
46. Contoh, Kasus 4
Tentukanlah solusi PD
Jawab :
4)0(,4)0(
2sin82cos44
yy
ttyy
22
23
222
22
2
)4(
2044
4
44
)4(s
1
)4(
164
Y(s)
444)0(4)(
440)(
4
164
]2sin82cos4[)(
Y(s)pembantuPersamaan
s
sss
s
s
s
s
sssG
ssssQ
s
s
ttLsR
4s
4
L
4s
4s
L
4)(s
16
L-
4)(s
4s
Ly(t)
PDSolusi
4)1828Im(
)2(2
1
,4)1628Re(4[
)2(2
1
16)816Re(,4)816Im(
2
1
A
16282044S
816
)4(
)5(4)4(
R
4s
DCs
4)(s
BAs
Y(s)
2
1-
2
1-
22
1-
22
1-
2
2
23
a
2
22
2322
a
222
iD
C
iBi
isss
ds
d
i
s
ssss
i
is
47. Contoh, Kasus 4
Tentukanlah solusi PD
Jawab : Persamaan pembantu Y(s)
8)0(,2)0(
)2sin82cos4(84 2
yy
tteyyy t
428)2(2)(
4)2(84)(
4)2(
16)2(4
)]2sin82cos4([)(
22
2
2
sssG
ssssQ
s
s
tteLsR t
)2sin32cos22cos22sin(
4)2(
4
L
4)2(
)2(2
L
]4)2[(
16
L
]4)2[(
)2(4
Ly(t)
PDSolusi
4)2(
2)2(
]4)2[(
2)2(
Y(s)
parsialpecahanJumlahan
]4)2[(
82082
4)2(
42
4)2(
1
4)2(
84
)(
2
2
1-
2
1-
22
1-
22
1-
222
22
23
222
tttttte
s
s
s
ss
s
s
BCsC
s
BAsA
s
sss
s
s
ss
s
sY
t
48. Contoh, Kasus 4
Tentukanlah solusi PD
Jawab : Persamaan pembantu Y(s)
50)0(,10)0(,0)0(
2cos5016167 2
yyy
teyyyy t
)2(1050)7(100)(
]4)2)[(3(
16207)(
4)2(
)2(20
]2cos[16)(
2
23
2
2
sssG
ss
ssssQ
s
s
teLsR t
ttttttee
s
s
s
ss
s
s
iSiR
s
E
s
BCsC
s
BAsA
ss
sss
ss
s
ss
s
sY
tt
aa
2cos42sin
2
11
2cos52sin
2
5
10
4)2(
6
L
4)2(
)2(4
L
]4)2[(
40
L
]4)2[(
)2(10
L
3
10
Ly(t)
PDSolusi
2422,2040,
34)2(
2)2(
]4)2[(
2)2(
Y(s)
parsialpecahanJumlahan
]4)2)[(3(
)26216(10
]4)2)[(3(
)2(10
]4)2)[(3(
)2(50
)(
23
2
1-
2
1-
22
1-
22
1-1-
222
22
23
222
49. SOAL-SOAL LATIHAN
Carilah solusi persamaan diferensial berikut ini
4(0)y2,(0)y,0y(0)
e41)y-(aa-yay1)-(a-y(6)
b(0)y,y(0)
e1)y1)(ba(y2)b(a-y(5)
b(0)y2,y(0)
2sine4yay2a-y(4)
b(0)y2,y(0)
2cose41)y-a(ay1)-(2a-y(3).
b(0)ya,(0)y0,y(0)
10e15y-y23y9-y(2).
b(0)y2,y(0)
4ey3y4-y).1(
1)t-(a22
bt
1)t-(a2
at
at
at
t
a
a
t
t
(7). y+(a+b+1)y + a(b+1)y = be–at,
y(0)=a, y(0)=a+b
(8) y+(a+b+1)y+b(a+1)y = be–atcos 2t,
y(0)=0, y(0)=0
(9). y - (2a–1)y + a(a-1)y = teat
y(0)=b, y’(0)=b(a – 1)
(10). y + 2ay+(a2+b2)y = ab2te–at
y(0)=0, dan y(0)=a
,
50. FUNGSI TANGGA SATUAN
at
at
atu
jika,
jika,
1
0
)(
Gambar fungsi tangga satuan
Secara umum fungsi tangga yang
bernilai 0 bila t < a dan f(t – a) bila t
> a, diberikan oleh :
Fungsi tangga satuan yang disebut
juga dengan fungsi Heaviside
satuan didefinisikan oleh :
at
at
atf
tg
jika,
jika,
)(
0
)(
Dalam bentuk fungsi tangga
satuan, u(t – a), fungsi g(t)
dinyatakan oleh f(t – a)u(t – a),
dengan demikian fungsi diatas
ditulis menjadi
at
at
atf
atuatf
jika,
jika,
)(
0
)()(
51. Contoh
Nyatakan fungsi berikut dalam
tangga satuan
Jawab :
Dengan memperhatiikan sketsa
pada gambar,
1jika,
10jika,
0jika,
0
1
0
)(
t
t
t
tf
)1()(
1jika,
10jika,
0jika,
0
1
0
)(
tutu
t
t
t
tf
52. LAPLACE FUNGSI TANGGA
Jika F(s) = L{f(t)}, f(t) = L–1{F(s)}
maka transformasi Laplace dari
fungsi tangga
adalah,
at
at
atf
atuatf
,
,
)(
0
)()(
)()()}({
,Laplacenyainversdan
)()}()({
1
atuatfsFeL
sFeatuatfL
as
as
)(L
dan,
)}({
khusus,Kasus
1- atu
s
e
s
e
atuL
as
as
Contoh
Tentukanlah transformasi Laplace dari
f(t) = u(t) – u(t-1)
Jawab :
Karena, f(t) = u(t) – u(t-1), maka :
s
e
s
e
s
e
tuLtuLtfL
s
ss
1
)}1({)}({)}({
10
53. Contoh
Tentukanlah transformasi Laplace
dari
f(t) = tu(t)–u(t -1) - (t-1)u(t-1)
Jawab :
Karena, maka :
2
1
}{
s
tL
2
22
0
1
)}1()1{(
)}1({)}({)}({
s
ese
s
e
s
e
s
e
tutL
tuLttuLtfL
ss
sss
2
1
}{
s
tL
2
22
2
22
2
)}2()2{(
)}2({)}1()1{()}({
s
esee
s
e
s
e
s
e
tutL
tuLtutLtfL
sss
sss
Contoh
Tentukanlah transformasi Laplace
dari
f(t)=(t–1)u(t–1)–u(t–2)–(t–2)u(t – 2)
Jawab :
Karena, maka :
54. Contoh
Tentukanlah y(t) dari :
Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,
23
1
)(
2
ss
e
sY
s
1,
1,
)1()(
)(
1
1
2
1
)(
1
1
2
1
)2)(1(
1
)(
)()(
)2)(1(
1
)(
2
2
1
2
)1()1(2
2
211
t
t
ekek
ee
tuee
eety
ee
s
L
s
Ltf
ssss
sF
esFsF
ss
e
sY
tt
tt
tt
tt
tt
s
s
e
e
k
e
e
k
1
,
1
2
2
2
1
Contoh
Tentukanlah y(t) dari :
Jawab : Tulislah Y(s) menjadi,
4
)(
2
s
ses
sY
s
,
0,
0
2cos
)()(2cos2cos)(
2cos
4
)(
,
4
)(
)()(
4
)(
2
1
2
2
t
tt
tuttty
t
s
s
Ltf
s
s
sF
esFsF
s
ses
sY s
s
55. Contoh
Carilah solusi PD :
y′′ – 4y′ + 4y = r(t)
y(0)=0, dan y′(0)=0 dimana
r(t) = u(t) – u(t – 1)
Jawab :
Persamaan pembantu Y(s),
2
2
22
)2(
1
)(
dengan,
)()(
)2(
1
)(
00)0)(4()(
)2(44)(
1
)}1({)}({)(
ss
sF
esFsF
ss
e
sY
ssG
ssssQ
s
e
tuLtuLsR
s
s
s
Solusi PD
Mengingat,
)1(}1)1(2{
4
1
)12(
4
1
)()()()(
adalah,PDSolusi
)12(
4
1
)2(
1
)}({)(
maka,
)2(
1
)1(2)1(2
22
22
0
2
2
11
2
2
1
tueet
ete
atuatftfty
eteduue
ss
LsFLtf
te
s
L
tt
tt
ttt u
t
57. Selesaikanlah persamaan diferensial
berikut ini
(1). y + b2y = cos b(t - ) u(t - ), dengan
syarat y(0) = a, dan y’(0) = b
(2).y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 18,
y′(0) = 0, dan r(t) = sin3(t - π)u(t – π)
(3). y′′ – 5y′ + 6y = r(t), dengan syarat
y(0) = 8, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 2)
(4). y′′ + 4y = r(t), syarat y(0) = 8, y′ (0) = 0,
dan r(t) = cos 2t – cos 2(t – 2π) u(t – 2π)
(5). y′′ – 3y′ + 2y = r(t), dengan syarat y(0) =
10, y′(0) = 0, dan r(t) = u(t) – u(t – 1)
(6). y′′ + 9y = r(t), dengan syarat y(0) = 4,
y′(0) = 6, dan
r(t) = cos 3t – cos 3(t – 3π) u(t – 3π)
2222
s22
222
s2
2
s
2
s
2
s
2
s
)b)as((
)ses(
)s(F).6(
)as(
)e1(s
)s(F).5(
8s4s
)e1(4
)s(F).4(
9s
)e4s2
)s(F).3(
4s
)se4
)s(F).2(
2s3s
)e1(s
)s(F).1(
SOAL-SOAL LATIHAN
Tentukanlah f(t), jika :
58. TEOREMA KONVOLUSI
Andaikan f(t) dan g(t) terdefinisi
untuk t ≥ a, memenuhi konsistensi
transformasi transformasi Laplace
sedemikian sehingga L{f(t)} = F(s),
dan L{g(t)} = G(s), transformasi
Laplace fungsi yang didefinisikan
oleh, h(t) = (fοg)(t) diberikan oleh :
H(s) = L(fοg)(t) = L(f) L(g)
= F(s)G(s)
Akibatnya bila, h(t) = L–1[H(s)]
dengan H(s)= F(s)G(s), maka
fungsi h(t) diberikan oleh,
dzztgzf
thtfsGsFL
sHLth
t
)()(
)()()}()({
)}({)(
0
1
1
Contoh
Carilah h(t) jika
Jawab :
Mengingat,
22 )(
1
)(
ass
sH
)2()2(
1
22
1
)(zeh(t)
)(
1
,
1
33
0
32
2
0
2
t
0
az
2
1
2
1
at
a
e
at
a
e
aa
z
a
z
e
aa
z
t
dzzt
te
as
Lt
s
L
at
t
az
t
az
at
59. Contoh
Carilah solusi PD :
y′′ + b2y = bt
y(0)=0, dan y′(0)=0
Jawab :
Persamaan Y(s),
22
2
222
22
2
)(
1
)(
Konvolusi,Teorema
)(
)(
00)0)(0()(
)(
}{)(
bs
b
sG
s
sF
bss
b
sY
ssP
bssQ
s
b
btLsR
)sin(
1
sin
1
coscos
dzsin)(
sin)}()({y(t)
adalah,PDMakasolusi
sin,
1
Mengingat
2
0
2
0
1
22
1
2
1
btbt
b
bz
b
bz
b
z
bt
b
t
btzt
bttsGsFL
bt
bs
b
Lt
s
L
t
t
60. Contoh
Carilah solusi PD :
y′′ + 4y = 8 cos 2t
y(0)=3, dan y′(0)=6
Jawab :
Persamaan Y(s),
4
8
)(,
4
)(
Konvolusi,Teorema
4
4
4
3
)4(
8
4
43
)4(
8
)(
43)(
4)(
4
8
}2{cos8)(
22
2222
222
2
2
s
sG
s
s
sF
ss
s
s
s
s
s
s
s
sY
ssP
ssQ
s
s
tLsR
tttt
z
zzt
ttstt
ttztz
tttt
s
L
s
s
LsGsFL
t
s
Lt
s
s
L
t
t
t
2sin22cos32sin
4
1
2
2cos2sin
4
1
2sin
2
4
2sin
4
1
2cos
2
4
sin22cos3
2sin22cos3dz)(2cos2sin4
2sin22cos32sin2cos4
4
4
4
3
)}()({y(t)
adalah,PDsolusiMaka
2sin
2
1
4
1
,2cos
4
Mengingat
0
0
2
0
2
1
2
11
2
1
2
1
61. Persamaan integral biasanya
diberikan oleh persamaaan,
PERSAMAAN INTEGRAL
duuyutktfty
duuytuktfty
t
b
a
)()()()(
integral,persamaankhususKasus
)(),()()(
0
Fungsi, k(u,t)=k(t – u) disebut
Kernel. Dalam bentuk konvolusi
ditulis
y(t) = f(t) + k(t)*y(t)
Dengan transformasi Laplace
solusi persaman integral diberikan
oleh,
L{y(t)} =L{f(t)} + L{k(t)*y(t)}
Y(s) = F(s) + K(s)Y(s)
(1 – K(s))Y(s) = F(s)
Jadi persamaan pembantunya
adalah,
)(1
)(
Ly(t)
adalah
integralpersamaanSolusi
)(1
)(
)(
1-
sK
sF
sK
sF
sY
62. Contoh
Carilah solusi persaman integral,
Jawab :
Persamaan pembantu Y(s),
duuttety
tt
)(2cosy(u)2)(
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)2(
4
)(1
1
4
)2(
4
44
4
4
1)(1
4
4
}2cos4{)(
)2(
1
}{)(
s
s
sK
s
s
s
ss
s
s
sK
s
s
tLsK
t
teLsF t
t
s
s
ettt
AAs
ds
d
A
s
s
s
s
s
s
s
s
sY
223
2
1-
3
1-
4
1-
12
2
2
3
2
4
2
4
4
1
2
2
3
3
4
4
4
2
2
2
2
2
4
6
8
2)-(s
1
L
2)-(s
4
L
2)-(s
8
Ly(t)
PDSolusi
0,1,4)4(
8
)2(
4
)2(A
2-s
A
2)-(s
A
2)-(s
A
2)-(s
A
Y(s)
parsial,Jumlahan
)2(
4
)2(
4
)2(
1
)(
pembantu,Persamaan
63. SOAL-SOAL LATIHAN
Dengan Teorema Konvolusi,
hitunglah f(t)
)b(s
bs
F(s)(6).
)b(s
s
F(s)(5).
)1s)(a(s
s
(4).F(s)
)as(s
2a
(3).F(s)
)as(s
1
F(s)(2).
)as(s
1
F(s)).1(
222
22
222
2
222
2
222
3
3
Selesaikanlah persamaan integral
berikut ini
dre)r(ye2tey(t)).6(
dre)rt()r(ye2e1y(t)).5(
dr)rt(sin)r(y2tcosey(t)).4(
dr)rt(2cos)r(yt2sin2ey(t)).3(
dr)rt(2acos)r(ya2
)t(u)t(asiney(t)).2(
dr)rt(2acos)r(ya2tey(t)).1(
rt
0
t
t
rt
0
tt
t
0
2t
t
0
t
t
0
)-a(t
t
0
1)t(b-