transfomasi

1. Mengolah Citra Digital
Melalui Transformasi Fourier
Oleh : maria Yunita

2. •Transformasi Fourier
memungkinkan kita
untuk memandang
citra digital melalui
dimensi yang lain,
yaitu dimensi frekuensi

3. Mengapa mengolah sinyal begitu
penting ????
Dalam kehidupan sehari-hari, sadar
atau tidak sadar, kita seringkali
bertemu dengan sinyal. Beberapa
contoh sinyal yang sering kita
jumpai (walaupun secara visual
tidak nampak) misalnya, sinyal
ponsel, radio, televisi, suara yang
kita keluarkan, detak jantung,
gerakan partikel (dan citra digital
yang juga dapat disebut sebagai
sinyal).
Segala macam bentuk yang dapat diukur
energinya yang terjadi dalam suatu waktu
atau ruang dapat dipandang sebagai sinyal.
Pada suatu citra digital, yang disebut energi
adalah intensitas warna keabuan(pada citra
grayscale) dan red/green/blue (pada citra
berwarna). Sementara yang disebut ruang
adalah sistem koordinat 2 dimensi pada suatu
citra. Dengan cara demikian, suatu citra dapat
dipandang sebagai sinyal sehingga berlaku
Tranformasi Fourier beserta segala propertinya

4. • Dalam keadaan di mana sinyal masih berada dalam kawasan waktu (atau
ruang), pengolahan yang dapat dilakukan akan terbatas. Namun ketika
sinyal tersebut ditransformasi ke dalam kawasan frekuensi, maka
pengolahan terhadap sinyal tersebut menjadi lebih praktis. Misalnya,
(setelah sinyal berada dalam kawasan frekuensi) dapat dilakukan penapisan
(filtering) untuk mengurangi derau (noise) pada sinyal (baik pada sinyal
berupa suara ataupun pada citra digital). Transformasi Fourier merupakan
sebuah metode atau kakas (tool) untuk mengubah suatu sinyal dalam
kawasan waktu menjadi kawasan frekuensi. Setelah sinyal berada dalam
kawasan frekuensi dan diolah, sinyal dapat dikembalikan menjadi kawasan
waktu kembali.

5. Mengapa Ada Transformasi Fourier?
• Tranformasi Fourier diawali di abad ke-19 (tepatnya
tahun 1822) oleh seorang matematikawan Perancis yang
bernama Jean Baptiste Fourier. Dalam penelitiannya,
Fourier berhasil menunjukkan bahwa semua fungsi yang
bersifat periodik (sinyal) dalam waktu dapat
diekspresikan sebagai fungsi penjumlahan (integral)
trigonometri sinus dan cosinus dari berbagai frekuensi.
Tidak peduli bagaimana rumitnya bentuk dari sebuah
sinyal, selama sinyal tersebut periodik dan memenuhi
beberapa kondisi matematika, maka sinyal tersebut akan
dapat direpresentasikan dalam penjumlahan fungsi sinus
dan cosinus

6. Sebagai contoh, diketahui bentuk dari sinyal x dalam fungsi waktu adalah seperti
pada gambar 1.
Berdasarkan teori yang
dipaparkan Fourier, sinyal
tersebut dapat digambarkan
sebagai fungsi penjumlahan dari
sinus dan cosinus, yaitu f(t)=1/2
sin (t)+cos(2t), di mana t
merupakan periode (waktu).

7. di mana a0, an, dan bn merupakan koefisien dari deret Fourier. Dengan
menggunakan rumus tersebut, untuk bentuk sinyal yang rumit seperti
square signal (sinyal ini muncul pada berbagai perangkat elektronik
digital) juga dapat didekati sebagai fungsi penjumlahan dari fungsi
sinus dan cosinus.

8. Pada gambar 3 di atas, baris pertama
merupakan contoh pendekatan square signal
dengan menggunakan fungsi sinus biasa. Pada
baris berikutnya, didekati dengan fungsi sin(t)
+ 1/3 sin(3t), baris berikutnya didekati dengan
fungsi sin(t)+1/3 sin(3t)+1/5 sin(5t) dan
seterusnya. Semakin banyak penjumlahan yang
dilakukan, maka pendekatan akan semakin
baik.

9. • Secara umum, bentuk pendekatan dari sinyal
tersebut dengan menggunakan Deret Fourier
adalah

10. • Setelah fungsi dari sebuah sinyal dapat didefinisikan dalam
kawasan waktu, maka sinyal fungsi tersebut dapat diubah
ke dalam kawasan frekuensi. Seperti yang disinggung pada
bagian sebelumnya, pengubahan kawasan sinyal dari waktu
menjadi frekuensi menjadikan sinyal lebih mudah dianalisa
ataupun diolah. Sekedar gambaran misalkan pada saat
komputer memainkan file musik berformat MP3. Jika
software untuk memainkan musik dilengkapi dengan
spectrum analyzer, maka akan nampak berbagai frekuensi
yang muncul saat musik dimainkan. Dari berbagai frekuensi
tersebut, dapat dideteksi mana bass, treble, vokal dan
sebagainya. Dengan mengolah sinyal pada kawasan
frekuensi seperti ini, dapat dilakukan pengolahan seperti
menghilangkan frekuensi tertentu (yang merupakan noise)
sehingga menghasilkan musik yang lebih jernih. Hal ini akan
sulit dilakukan jika sinyal masih berada dalam kawasan
waktu.

11. Fourier mendefinisikan transformasi sinyal dari kawasan waktu
ke kawasan frekuensi dengan rumus:

12. Sebaliknya, untuk mengubah sinyal dari kawasan frekuensi menjadi kawasan waktu
(melakukan invers) dengan menggunakan rumus:
F(w) merupakan spektrum, di mana w mewakili frekuensi, dan f(t)
merupakan sinyal asli dalam kawasan waktu. Bilangan j yang muncul
adalah bilangan kompleks (akar -1). Batas atas dan batas bawah dari
integral adalah plus minus tak terhingga, yang menyatakan bahwa sinyal
tersebut merupakan sinyal kontinyu (periodik) dari rentang minus tak
terhingga sampai plus tak terhingga.

13. • Sinyal dalam rentang tersebut, akan sulit
diolah oleh komputer. Untuk itu, sinyal
perlu didiskritkan dan diberikan batas
dalam waktu tertentu (atau istilahnya
dilakukan sampling). Pada sebuah file
musik digital sekualitas CD, sampling yang
dilakukan adalah 44.100 sampling per
detik. Artinya dalam satu detik, ada 44.100
data yang dicuplik. Pada kasus musik
digital, semakin tinggi nilai sampling, tentu
kualitas suara yang dihasilkan akan lebih
baik.

14. • Jika sinyal telah menjadi sinyal yang
diskrit, maka batas atas dan batas
bawah dari integral dapat dibatasi
dan diubah dalam bentuk
penjumlahan biasa. Proses
transformasi Fourier untuk sinyal
yang telah menjadi diskrit
(mempunyai batas yang tertentu)
disebut sebagai Discrete Fourier
Transform (DFT). Rumus untuk DFT
adalah sebagai berikut:

15. • Untuk mengembalikan menjadi sinyal dalam
kawasan waktu, rumus DFT yang digunakan
adalah:

16. Transformasi
Fourier
Untuk 1D
• Transformasi Fourier adalah mengubah sinyal
dalam kawasan waktu ke dalam kawasan
frekuensi. Dengan men-transformasi sinyal ke
dalam kawasan frekuensi, kita dapat melihat
frekuensi berapa sajakah yang muncul pada
sinyal tersebut.

17. Script Matlab berikut akan menghasilkan grafik yang mewakili sebuah sinyal yang dicuplik 100
sample per detik dengan durasi selama 3 detik. Pada fungsi sinyal, diberikan komponen frekuensi
sebesar 10Hz dan 15Hz dengan ditambahkan nilai acak.
• fs=100; % sampling 100 cuplikan/detik
• duration=3; % selama 3 detik
• t = 0:1/fs:duration-1/fs;
• x = 1.3*sin(2*pi*10*t) ... % 10 Hz component
• + 1.7*sin(2*pi*15*t)... % 15 Hz component
• + 1.5*randn(size(t)); % penambahan derau (noise)
• subplot(2,1,1), plot(t,x);
• n = 512;
• y = fft(x,n); % DFT
• f = (0:n-1)*(fs/n); % Frequency range
• ab = abs(y); % Nilai absolute
• subplot(2,1,2), plot(f, ab);
• xlabel('Frequency (Hz)');

18. • Untuk mengubah suatu sinyal dalam
kawasan waktu ke dalam kawasan frekuensi
pada Matlab menggunakan Fast Fourier
Transform, fungsi yang digunakan adalah
fungsi fft. Fungsi ini mempunyai 2
parameter, yaitu x yang menunjukkan sinyal
yang hendak ditransformasi dan n yang
merupakan panjang sinyal dalam 2x. Pada
contoh di atas, karena terdapat 100
sampling per detik dan dilakukan selama 3
detik, maka total panjang sinyal (jumlah
total sampling) adalah 300. Panjang sinyal
untuk proses FFT yang dibutuhkan adalah
29 atau 512 (2 pangkat sekian yang paling
mendekati 300).

19. • Nilai hasil Transformasi
Fourier dengan
menggunakan fungsi FFT
(pada variabel y)
mengandung bilangan
kompleks (akar minus 1)
yang tidak dapat
diplotting. Untuk itu, hasil
dari FFT di-absolute-kan
dengan fungsi abs agar
bisa diplot dalam grafik.

20. • Hasil plotting sinyal dengan komponen frekuensi
10Hz dan 15Hz dalam kawasan waktu seperti pada
gambar berikut.

21. • Pada gambar di atas, sumbu x mewakili frekuensi yang muncul pada sinyal. Nampak pada
frekuensi 10 dan 15, terdapat puncak (peak) yang lebih tinggi dari nilai lain. Ini menunjukkan
bahwa pada sinyal mengandung kedua frekuensi tersebut. Kedua puncak yang muncul di akhir
sebenarnya hanya merupakan refleksi dari kedua puncak pada frekuensi 10Hz dan 15Hz,
sementara puncak-puncak yang lebih rendah di frekuensi lainnya dihasilkan dari derau (noise)
yang ditambahkan pada sinyal.

22. • Dari visualisasi kawasan frekuensi tersebut, kita
dengan mudah melakukan pengolahan, seperti
melakukan penapisan (filtering) untuk menghapus
frekuensi tertentu (tinggi, menengah atau rendah)
yang muncul pada sinyal tersebut. Sebagai contoh,
misalkan kita akan menghapus frekuensi tinggi yang
muncul pada sinyal tersebut. Yang dibutuhkan
adalah sebuah saringan (mask) yang bisa
melewatkan frekuensi rendah dan meng-nol-kan
frekuensi tinggi. Skrip berikut digunakan untuk
membuat saringan, melakukan penapisan pada
sinyal kawasan frekuensi hasil Fourier Transform,
kemudian dari hasil penapisan, sinyal dikembalikan
pada kawasan waktu. Hasil sinyal pada kawasan
waktu menunjukkan hilangnya komponen pada
frekuensi tinggi.

23. • Skrip untuk mendapatkan saringan (mask) yang dapat melewatkan
frekuensi rendah dan menghapus frekuensi tinggi.
mask = zeros(1, n);
l = 0:n/2;
sigmaf = 10;
mask(1:n/2+1) = exp(-(l/(5*sigmaf)).^2);
mask(n:-1:n/2+2) = mask(2:n/2);
subplot(3,1,1); plot(f,mask);

24. • Saringan tersebut akan dikalikan terhadap sinyal pada kawasan
frekuensi. Hasil dari perkalian ini adalah sinyal-sinyal pada
frekuensi rendah, sementara sinyal pada frekuensi tinggi telah
hilang (0).
Xfilt = y .* mask;
subplot(3,1,2); plot(f,abs(Xfilt));

25. Bentuk sinyal setelah
disaring adalah seperti
pada gambar berikut: