Transformasi Z merupakan transformasi sinyal waktu diskrit ke domain Z yang memiliki sifat yang sama dengan Transformasi Fourier untuk sistem analog. Transformasi Z digunakan untuk mempermudah operasi pada domain waktu seperti konvolusi yang dapat dipetakan ke perkalian pada domain Z. Transformasi Z didefinisikan sebagai deret tak hingga yang memetakan sinyal waktu diskrit ke bidang kompleks.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Pengolahan Sinyal Digital
Transformasi Z
Beny Nugraha, MT, M.Sc
13FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Transformasi Z
• Transformasi Z dalam pengolahan sinyal digital
mempunyai aturan yang sama dengan Transformasi
Fourier pada rangkaian dan sistem analog. Kegunaan
transformasi Z untuk mempermudah operasi pada
domain waktu, contoh: konvolusi pada domain waktu
dipetakan ke perkalian pada domain Z

3. Transformasi Z
• Transformasi Z dapat di-ekivalenkan dengan
transformasi Fourier pada kawasan waktu kontinyu:
• Persamaan di atas adalah pernyataan dalam kawasan
kontinyu, jika diubah menjadi kawasan diskrit maka
integral ( ∫ ) akan berubah menjadi sigma ( ∑ ), dan
mangubah bilangan e menjadi variabel z, maka
didapatlah definisi transformasi z untuk sinyal waktu
diskrit x(n) didefinisikan:

4. Transformasi Z
• Pernyataan definisi diatas biasa dinamakan
transformasi z dua sisi, karena variabel n berlaku
untuk negatif dan positif. Ada juga definisi lain, yaitu
transformasi z satu sisi (untuk deret kausal), karena
harga n hanya berlaku untuk positif saja. Definisi
transformasi z satu sisi dapat dituliskan sebagai
berikut :

5. Transformasi Z
• Di mana z adalah variabel kompleks, persamaan ini
kadang-kadang dinamakan transformasi-z langsung,
karena ia mentransformasi sinyal domain waktu
diskrit x(n) menjadi penggambaran bidang kompleks.
• Hubungan antara x(n) dengan X(z):

6. Transformasi Z
• Karena transformasi Z merupakan deret yang tidak
terbatas  Hanya ada untuk harga z di mana
deretnya konvergen.
• ROC (region of Convergence) X(z) adalah himpunan
seluruh harga z dimana X(z) mempunyai harga
terbatas atau definisi lain ROC adalah Himpunan
semua nilai z, dimana X(z) mempunyai nilai
berhingga.
• Kesimpulan: Dalam Transformasi Z selalu ditentukan
juga ROC-nya.

7. Transformasi Z
• Contoh:
• Tentukan Transformasi Z untuk:
x(n) = 2n untuk n > 0
= 0 untuk n < 0
• Jawab:
• Gambar dari bentuk sinyal tersebut adalah:

8. Transformasi Z
• Sinyal tersebut merupakan deret geometri tidak
terbatas, Transformasi Z dari sinyal tersebut adalah:

9. Transformasi Z
• ROC dari sinyal tersebut adalah:
X(Z) =
1
1 −
2
𝑍
Maka, ROC-nya adalah:
|
2
𝑍
| < 1
|Z| > 2

10. Latihan
Tentukan Transformasi Z dan ROC untuk:
x(n) = -2.(4n) untuk n > 0
= 0 untuk n < 0

11. Sifat-Sifat Transformasi Z
1. Linearitas
• Jika:
• Maka berlaku sifat:

12. Sifat-Sifat Transformasi Z
2. Pergeseran Waktu
• Jika:
• Maka berlaku sifat:

13. Sifat-Sifat Transformasi Z
2. Pergeseran Waktu
• Bukti:

14. Sifat-Sifat Transformasi Z
3. Perkalian Dengan Eksponensial
• Jika:
• Maka berlaku sifat:

15. Sifat-Sifat Transformasi Z
4. Pembalikan Waktu
• Jika:
• Maka berlaku sifat:

16. Sifat-Sifat Transformasi Z
5. Konvolusi
• Untuk konvolusi berlaku sifat:
• Contoh:
• Tentukan konvolusi dari :
x1(n) = {1,-2,1}
x2(n) = 1; 0 < n < 5
= 0; selain itu

17. Sifat-Sifat Transformasi Z
5. Konvolusi
• Jawab:
• Konversi x1(n) dan x2(n) menjadi X1(z) dan X2(z):
X1(z) = 1-2z-1+ z-2
X2(z) = 1+ z-1+ z-2+ z-3+ z-4+ z-5
• Sesuai dengan sifat konvolusi di atas, maka:
X(z) = X1(z)X2(z) = 1-z-1-z-6-z-7

18. Transformasi Z Untuk Beberapa Fungsi
1. Fungsi Unit Step, u[n]

19. Transformasi Z Untuk Beberapa Fungsi
2. Fungsi Eksponensial

20. Transformasi Z Untuk Beberapa Fungsi
3. Fungsi Sinusoidal

21. Transformasi Z Untuk Beberapa Fungsi
4. Fungsi x(n) = n

22. Transformasi Z Untuk Beberapa Fungsi
5. Fungsi x(n) = an

23. Transformasi Z Untuk Beberapa Fungsi
6. Fungsi x(n) = an cos πn

24. Terima Kasih
Beny Nugraha, MT, M.Sc