Ini adalah makalah tentang metode Transformasi khususnya Fourier.

1. MAKALAH
METODE TRANSFORMASI FOURIER
Oleh :
Ardiansyah (5150711141)
Nurhaq Sabani (5150711157)
Muh. Nur satrio M. (5150711161)
Tri Yulianingsih (5150711171)
Arwani Khakim (5150711176)
Yulianto (5150711184)
KELAS: D
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA
2016

2. Kata Pengantar
Alhamdulillah kami ucapkan syukur kepada Allah SWT yang telah
memberikan Rahmat serta Hidayah-Nya, sehingga kita masih dalam
keadaan
sehat dan longgar. Dan khususnya, kami (penyusun) bisa menyelesaikan
Makalah dengan judul ‘METODE TRANSFORMASI FOURIER.Makalah ini
dibuat sebagai tugas kelompokyang akan dikumpulkan dan di
presentasikan.
Yang kedua, tak lupa kami ucapkan terimakasih kepada pengampuh yang
memberikan arahan dan pembelajaran.
Adapun yang terakhir, penyusun menyadari makalah ini memiliki
banyak kekurangan, karena itu sangat diharapkan kritik dan saran yang
konstruktif dari pembacademiperbaikan dan sekaligus memperbesar
manfaat makalah ini sebagai pembelajaran

3. DAFTAR ISI
KATA
PENGANTAR.............................................................................................2
DAFTAR
ISI...............................................................................................................3
BAB I : PENDAHULUAN
1.1 : Latar Belakang...................................................................................4
1.2 : Rumusan Masalah.............................................................................4
1.3 : Tujuan................................................................................................4
BAB II : PEMBAHASAN
1. Pengertian tranformasi
fourier……………………………………………………………………..5
2. Hukum transformasi fourier…………………………………………….5
3. Tranformasi fourier 1D………………………………………………….6
BAB III : PENUTUP
Kesimpulan.................................................................................................8
Daftar Pustaka………………………………………………………………….

4. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Transformasi Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan kembali sebuah
fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral
dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Transformasi Fourier adalah suatu model
transformasi yang memindahkan domain spasial atau domain waktu menjadi domain
frekwensi.
1.2 RUMUSAN MASALAH
Adapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini:
1. Apa yang dimaksud transformasi fourier?
2. apa rumus-rumus transformasi fourier?
1.3 TUJUAN
Tujuan kami menyelesaikan makalah ini adalah untuk:
1. Untuk mengetahui pengertian dan rumus transformasi fourier.
2. Untuk mengetahui langkah kerja pada tranformasi fourier.

5. BAB II
PEMBAHASAN
PENGERTIAN TRANSFORMASI FOURIER
Transformasi Fourier
Bagaimana transformasi Fourier bekerja? Transformasi Fourier mendekomposisi sinyal
ke bentuk fungsi eksponensial dari frekuensi yang berbeda-beda. Caranya adalah dengan
didefinisikan ke dalam dua persamaan berikut:
∞
X( f ) = ∫ x(t)•e−2πft dt.................(1)
−∞
∞
x(t) = ∫ X( f )•e−2πft df .................(2)
−∞
Dalampersamaan tersebut, t adalah waktu dan f adalah frekuensi. x merupakan notasi sinyal
dalam ruang waktu dan X adalah notasi untuk sinyal dalamdomain frekuensi. Persamaan (1)
disebut Transformasi Fourier dari x(t) sedangkan persamaan (2) disebut Invers Transformasi
Fourier dari X(f), yakni x(t).
Persamaan (1) dapat juga ditulis sebagai :
Cos(2ft)+jSin(2ft).........................................(3)
Transformasi Fourier dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi
tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana frekuensi itu terjadi. Misalnya kita
punya dua sinyal yang berbeda. Misalkan pula keduanya mempunyai komponen spectral yang
sama. Katakan sinyal pertama mempunyai 4 frekuensi muncul bersamaan, dan yang satu lagi
mempunyai 4 frekuensi muncul bergantian. Transformasi Fourier keduanya sama sebagaimana.

6. Deret fourier terdiri dari yaitu
A. Arus bolak-balik (AC)
B. Getaran mekanik
C. Gelombang electromagnet
D. Gelombang air
E. Gelombang bunyi
F. Hantaran panas
G. Vibrasi garpu tala
H. Pendulum
Deret fourier ditemukan oleh Joseph Fourier pada tahun (1768-1830)
Transformasifourier dan Hukum Rangkaian
Kelinieran dari transformasi Fourier menjamin berlakunya relasi hukum Kirchhoff di
kawasan frekuensi. Relasi HTK misalnya, jika ditransformasikan akan langsung memberikan
hubungan di kawasan frekuensi yang sama bentuknya dengan relasinya di kawasan waktu.
Misalkan relasi HTK : v1 (t) + v2 (t) - v3 (t) = 0
jika ditransformasikan : V1 (w) + V3 (w) - V3 (w) = 0
Dengan demikian maka transformasi Fourier dari suatu sinyal akan mengubah pernyataan
sinyal di kawasan waktu menjadi spektrum sinyal di kawasan frekuensi tanpa mengubah bentuk
relasi hukum Kirchhoff.
Melibatkan Persamaan yang Mengandung Fungsi Sinus Cosinus
Digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik/berulang.
Contoh Fungsi Berulang
Gelombang Gigi Gergaji Gelombang Segi Empat

7. Gelombang Segitiga Gelombang Sinusoida
Menurut Fourier fungsi berulang dapat ditulis dalam bentuk deret sinusoida tak terhingga,
asalkan fungsi tersebut mempunyai syarat Dirichlet.
Jika satu fungsi (F(t)) memenuhi syarat Dirichlet, maka dapat ditulis dalam bentuk deret Fourier
yaitu:

9. Contoh:

11. Transformasi fourier 1D
Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t) didefinisikan dengan:
dimana F() adalah fungsi dalam domain frekwensi
 adalah frekwensi radial 0 – 2f,
atau dapat dituliskan bahwa
 = 2f




 dtetfF tj
 ).()(

12. Contoh 4.1.
Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut:
Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah:
:
Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier
 




1
1
1
1
3)3()( dtedteF tjtj 

  





)sin(63
3
1
1





jj
tj
ee
j
e
j
t0 1-1
3
f(t)

13. Transformasi Fourier 2D
Transformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial f(x,y) didefinisikan
dengan:
dimana F(1,2) adalah fungsi dalam domain frekwensi
f(x,y) adalah fungsi spasial atau citra
 dan 2 adalah frekwensi radial 0 – 2.
Transformasi fourier yang digunakan dalam pengolahan citra digital adalah transformasi
fourier 2D.
Contoh 4.2.
Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:
Transformasi fourier dari f(x,y) di atas adalah:
 
 





 dxdyeyxfF yxj 21
).,(),( 21


xy
f(x,y)
1
1 1

14. 1 2 :
Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D
   
12
12
1
1
2
2
1
112
2
1
1 2
2
1
1
1
12
1
1
1
1
21
)sin()sin(
)sin(
.
)sin()sin(
)sin(
).1(,
1
12
1
21




































 


 


 
j
e
dxedxe
j
e
dydxeF
xj
xjyj
xj
yxj

15. Gambar 4.4. Hasil transformasi fourier dalam surface
Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit
dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
TransformasiFourierDiskrit
Transformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT)
adalah prosedur yang paling umum dan kuat pada bidang pemrosesan sinyal digital. DFT
memungkinkan untuk menganalisis, memanipulasi, dan mensintesis sinyal dengan cara
yang tidak mungkin dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog.
DFT didefinisikan dengan :
Meskipun sekarang digunakan dalam hampir setiap bidang teknik. Aplikasi yang
menggunakan DFT terus berkembang sebagai utilitas yang menjadikan DFT lebih mudah
untuk dimengerti. Karena itu, pemahaman yang kuat tentang DFT adalah wajib bagi siapa
saja yang bekerja di bidang pemrosesan sinyal digital.



N
n
NknTj
enfkF
1
/2
).()( 

16. DFT merupakan prosedur matematika yang digunakan untuk menentukan harmonik atau
frekuensi yang merupakan isi dari urutan sinyal diskrit. Urutan sinyal diskrit adalah urutan
nilai yang diperoleh dari sampling periodik sinyal kontinu dalam domain waktu. DFT
berasal dari fungsi Transformasi Fourier X(f) yang didefinisikan:
Dalam bidang pemrosesan sinyal kontinu, Persamaan 2.1 digunakan untuk mengubah
fungsi domain waktu kontinu x(t) menjadi fungsi domain frekuensi kontinu X(f). Fungsi
X(f) memungkinkan untuk menentukan kandungan isi frekuensi dari beberapa sinyal dan
menjadikan beragam analisis sinyal dan pengolahan yang dipakai di bidang teknik dan
fisika. Dengan munculnya komputer digital, ilmuwan di bidang pengolahan digital berhasil
mendefenisikan DFT sebagai urutan sinyal diskrit domain frekuensi X(m), dimana:

17. Meski lebih rumit daripada Persamaan 2.2, Persamaan 2.3 lebih mudah untuk dipahami.
Konstanta j = √−1 hanya membantu membandingkan hubungan fase di
dalam berbagai komponen sinusoidal dari sinyal. Nilai N merupakan parameter
penting karena menentukan berapa banyak sampel masukan yang diperlukan, hasil
domain frekuensi dan jumlah waktu proses yang diperlukan untuk menghitung N-titik
DFT. Diperlukan N-perkalian kompleks dan N-1 sebagai tambahan. Kemudian, setiap
perkalian membutuhkan N-perkalian riil, sehingga untuk menghitung seluruh nilai N (X(0),
X(1), …, X(N-1)) memerlukan N2 perkalian. Hal ini menyebabkan perhitungan DFT
memakan waktu yang lama jika jumlah sampel yang akan diproses dalam jumlah besar.
DFT 1 Dimensi
DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak
digunakan dalam pengolahan sinyal digital.
Contoh 4.3 :
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
0 1 2 3
t
f(t)

18. DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
k=0 
k=1 
k=2 
k=3 
Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam
proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan
dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi
informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimalsetengah kali periode dari nilai
fungsinya.
Contoh 4.3 :
Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
41111
)().()0(
3
0
3
0
0

  

nn
jn
nfenfF
0).(
).()1(
3
0
5.0
3
0
4/2








n
jn
n
nj
enf
enfF


0).().()2(
3
0
3
0
4/4
  



n
jn
n
nj
enfenfF 
0).().()3(
3
0
5.1
3
0
4/6
  



n
nj
n
nnj
enfenfF 
0 1 2 3
t
f(t)
2
1
0 1 2 3

19. DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah :
k F(k)
0 12
1 0
2 -2 – 2j
3 0
4 0
5 0
6 -2 + 2j
7 0
Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur realdan imaginer.
Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur realdan imaginer sebagai berikut :
k Real{F(k)} Im{F(k)}
0 12 0
1 0 0
2 -2 -2
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 -2 2
7 0 0
 




7
0
8/
7
0
8/2
).().()(
n
nkj
n
nkj
enfenfkF 

20. Dan dapat digambarkan sebagai berikut :
Bagian Real Bagian Imaginer
Gambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer
Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :
Magnitude :
Phase :
Magnitude Phase
Gambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer
Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah:
k F(k) K F(k)
0 12 8 12
1 0 9 0
     22
)(Im)(Re)( kfkfkF 
   
 )(Re
)(Im
)(
kF
kF
kFArg 

21. 2 -2 – 2j 10 -2 – 2j
3 0 11 0
4 0 12 0
5 0 13 0
6 -2 + 2j 14 -2 + 2j
7 0 15 0
Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang
bentuk transformasi fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup
dilakukan sampai 1/2 periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT
(Fast Fourier Transform).
TransformasiFourierDiskrit2D
Transformasi Fourier Diskrit (DFT) 2 Dimensi adalah tranformasi fourier diskrit yang
dikenakan pada fungsi 2D (fungsi dengan dua variabel bebas), yang didefinisikan sebagai
berikut :
DFT 2D ini banyak digunakan dalam pengolahan citra digital, karena data citra dinyatakan
sebagai fungsi 2D.
 


1
1
2
2
222111
0 0
)//(2
2121 ).,(),(
N
n
N
n
NnkNnkTj
ennfkkF 

22. Contoh 4.4 :
Diketahui f(x,y) adalah sebagai berikut :
0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0
Bila digambarkan hasilnya adalah sebagai berikut :
Gambar 4.7. Contoh citra dalam f(x,y)
DFT dari fungsi f(x,y) di atas adalah :
Hasil dari DFT adalah sebagai berikut :
16 0 -2 - 3.46i 0 -2 +
3.46i
0
0 -1.27 -
4.73i
0 0 0 4.73 -
1.27i
0 0 0 0 0 0
0 -4.73+
1.27i
0 0 0 1.27 +
4.73i
Secara Grafis dapat ditunjukkan bahwa :
 


4
0
6
0
)6/4/(2
2121
1 2
2211
).,(),(
n n
nknkTj
ennfkkF 

23. Bagian Real Bagian Imaginer
Gambar 4.8. Contoh hasil DFT 2D
Hasil DFT dalam bentuk magnitude dan phase adalah sebagai berikut :
Magnitude =
16.0000 0 4.0000 0 4.0000 0
0 4.8990 0 0 0 4.8990
0 0 0 0 0 0
0 4.8990 0 0 0 4.8990
Phase =
0 0 -2.0944 0 2.0944 0
0 -1.8326 0 0 0 -2.8798
0 0 0 0 0 0
0 2.8798 0 0 0 1.8326
Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :
Magnitude Phase
Gambar 4.9. Contoh hasil DFT 2D dalam magnitude dan phase

24. Fast Fourier Transform
Meskipun DFT memainkan peranan yang penting sebagai prosedur matematis untuk
menentukan isi frekuensi dari urutan domain waktu, namun sangat tidak efisien. Jumlah
titik dalam DFT meningkat menjadi ratusan atau ribuan, sehingga jumlah- jumlah yang
dihitung menjadi tidak dapat ditentukan. Pada tahun 1965 sebuah makalah diterbitkan
oleh Cooley dan Tukey menjelaskan algoritma yang sangat efisien untuk menerapkan
DFT Cooley, J. & Tukey, J. 1965. Algoritma yang sekarang dikenal sebagai Fast Fourier
Transform (FFT). Sebelum munculnya FFT, seribu titik DFT membutuhkan waktu begitu
lama untuk melakukan perhitungan yang pada saat itu masih terbatas pada komputer-
komputer berspesifikasi rendah. Gagasan Cooley dan Tukey, dan perkembangan industri
semikonduktor menjadikan jumlah N-titik DFT semisal 1024- titik, dapat dilakukan dalam
beberapa detik saja pada komputer berspesifikasi rendah.
Meskipun telah banyak bermacam-macam algoritma FFT yang dikembangkan, algoritma
FFT radix-2 merupakan proses yang sangat efisien untuk melakukan DFT yang memiliki
kendala pada ukuran jumlah titik dipangkatkan dua. FFT radix-2 menghilangkan
redundansi dan mengurangi jumlah operasi aritmatika yang diperlukan. Sebuah DFT 8-
titik, harus melakukan N2 atau 64 perkalian kompleks. Sedangkan FFT melakukan
(N/2)log2N yang memberikan penurunan yang signifikan dari N2 perkalian kompleks.
Ketika N = 512 maka DFT memerlukan 200 kali perkalian kompleks dari yang diperlukan
oleh FFT.
Gambar Perbandingan jumlah perkalian kompleks DFT dengan FFT
FFT beroperasi dimulai dengan menguraikan (dekomposisi) sinyal domain waktu titik N
ke N sinyal domain waktu hingga masing-masing terdiri dari satu titik. Selanjutnya
menghitung N frekuensi spektrum yang berkorespondensi dengan N sinyal domain
waktu. Terakhir, spektrum N disintesis menjadi spektrum frekuensi tunggal.

25. Gambar Diagram Alir
Dalam proses dekomposisi diperlukan tahapan Log2N. Sebagai contoh, sinyal 16 titik
(24) memerlukan 4 tahapan, sinyal 512 titik (29) membutuhkan 9 tahap, sinyal 4096 titik
(212) membutuhkan 12 tahapan. Dalam Gambar1, sinyal 16 titik terurai melalui empat
tahap yang terpisah. Tahap pertama memisahkan sinyal 16 titik menjadi dua sinyal
masing-masing terdiri dari 8 titik. Tahap kedua menguraikan data menjadi empat sinyal
terdiri dari 4 titik. Pola ini berlanjut sampai sinyal N terdiri dari satu titik. Dekomposisi
digunakan setiap kali sinyal dipecah menjadi dua, yaitu sinyal dipisahkan menjadi sampel
genap dan sample ganjil.

26. Gambar1
Setelah dekomposisi, dilakukan Pengurutan Pembalikan Bit (Bit Reversal Sorting), yaitu
menata ulang urutan sampel sinyal domain waktu N dengan menghitung dalam biner
dengan bit membalik dari kiri ke kanan. Asumsi N adalah kelipatan dari 2, yaitu N = 2r
untuk beberapa bilangan bulat r=1, 2, dst. Algoritma FFT memecah sampel menjadi dua
bagian yaitu bagian genap dan bagian ganjil.
Tabel Pengurutan Pembalikan Bit

27. Persamaan 2.2 dibagi menjadi bagian ganjil dan bagian genap sebagai berikut:
Karena rumusan yang didapat panjang, sehingga digunakan notasi standar untuk
menyederhanakannya. Didefenisikan WN = 𝑒−𝑗2𝜋/𝑁 yang merepresentasikan nth root of
unity. Persamaan 2.4 dapat ditulis:

28. Sintesis domain frekuensi membutuhkan tiga perulangan. Perulangan luar menjalankan
tahapan Log2N (setiap tingkat mulai dari bawah dan bergerak ke atas).
Perulangan bagian tengah bergerak melalui masing-masing spektrum frekuensi individu
dalam tahap sedang dikerjakan (masing-masing kotak pada setiap tingkat). Dalam
pemrosesan sinyal digital dikenal istilah butterfly. Butterfly digunakan untuk
menggambarkan peruraian (decimation) yang terjadi. Karena tampilannya yang bersayap
maka disebut butterfly. Butterfly adalah elemen komputasi dasar FFT, mengubah dua
poin kompleks menjadi dua poin kompleks lainnya. Ada dua jenis peruraian, peruraian
dalam waktu (decimation in time-DIT) dan peruraian dalam frekuensi (decimation in
frekuensi-DIF). Gambar dari butterfly dasar untuk kedua jenis peruraian tersebut dapat
dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4
Gambar 3 FFT butterfly dasar untuk peruraian dalam waktu Lyons, Richard G. 1997.
Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall PTR.
Gambar 4 FFT

29. Perulangan paling dalam menggunakan butterfly untuk menghitung poin dalam setiap
spektrum frekuensi (perulangan melalui sampel dalam setiap kotak). Gambar 5
menunjukkan implemetasi FFT dari empat spektrum dua titik dan dua spektrum empat
titik. Gambar 5 terbentuk dari pola dasar pada Gambar 3 berulang-ulang.
Gambar 5 FFT

30. BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Transformasi merupakan suatu langkah yang harus dilakukan untuk mengubah penyajian suatu
sinyal dari suatu domain ke domain yang lain. Dalamhal ini Transformasi Fourier mengubah
sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi, sedangkan Transfomasi wavelet mengubah
sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi dan skala.
Pada konsep pengolahan citra pun, kita harus mengubah suatu citra dari satu domain ke
domain lainnya. Perubahan ini bertujuan untuk mempermudah pengkodean. Dari kedua jenis
transformasi diatas transformasi yang paling cocok untuk kompresi adalah transformasi
wavelet. Hal ini dikarenakan jika kita melakukan kompresi pada bagian detail, citra invers atau
citra hasil rekonstruksi tidak akan terlalu berbeda dengan citra awal
Daftar pustaka
Departmen Teknik Elektro, Modul Praktikum Pengolahan Citra dan Pengenalan Pola,
Institut Teknologi Bandung.
Paul Wintz, 2000, Digital Image Processing, Prentice-Hall.
MatLab 6 Help.
WilliamJ Palm, 2004, Introduction to MatLab 6 for Engineers, The McGraw-Hill
Companies, Inc.
http://iprg.ee.itb.ac.id/lab_works.html http://www.cs.ui.ac.id/WebKuliah/citra/2005
http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html
http://www.landasanteori.com/2015/10/pengertian-transformasi-fourier-diskrit.html