Deret Fourier merupakan deret yang dapat digunakan untuk mewakili fungsi periodik. Dokumen ini menjelaskan konsep dasar deret Fourier seperti koefisien an dan bn, syarat Dirichlet, fungsi genap dan ganjil, serta deret sinus dan kosinus setengah jangkauan. Contoh soal juga diberikan untuk memperjelas penerapan konsep-konsep tersebut dalam perderetan fungsi.

1. DERET FOURIER
Oleh :
Nama : 1. Neti Okmayanti (2007.121.460)
2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465)
3. Feri Febriansyha (2007.121.458)
Kelas : 6. L
Mata Kuliah : Matematika Lanjutan
Dosen Pengasuh : Fadli, S.Si
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
2010

2. DERET FOURIER
a n p x
p
+ +
n x
0 ( cos sin )
2 n
1 p
n x
1 p
n x
1
A. Fungsi Periodik
Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka
f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier:
f(x) = Σ ¥
=
1
b
n L
n L
a
L
dimana an = ∫
-
L
dx
n x
L
f x
L
p ( ) sin
1
n = 0, 1, 2, . . . . .
n x
∫
-
bn = dx
L
f x
L
L
L
p
( ) sin
1
bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis
dalam bentuk :
+2
∫
an = dx
L
f x
L
c L
c
( ) cos
n = 0, 1, 2, . . . . .
+2
∫
bn = dx
L
f x
L
c L
c
( ) sin
B. Syarat Dirichlet
Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L)
a. Bernilai tunggal
b. Terbatas (bounded)
c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L
d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu
e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga

3. 1 f x + + f x - untuk x dimana f(x) tidak kontinu.
- - -
2
Maka deret Fourier konvergen ke :
1. f(x) di x dimana f(x) continu
2. { ( 0) ( 0)}
2
C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier
1. ∫ u dv = u v - ∫ v du atau
∫ uv = u v1 – u’ v2 + u’’ v3 - . . . . . dimana
u’ = turunan pertama
v1 = ∫ v dx dan seterusnya
Contoh :
x
6
6

 +  


1. ∫ x3 sin 2x dx = x
x x
x
x
x
sin 2
16
cos 2
8
sin 2
4
3
cos 2
2
3 2
- 


 

-1
3x2 cos 2x
2
1
6x - sin 2x
4
1
6 cos 2x
8
1
0 sin 2x
16
Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan,
kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan
tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.
Perderetkan f(x) =
0
  
3
- < <
2 0
< <
0 x
2
x
menurut deret Fourier:

4. p p ∫ + ∫
-
n r
- n = 1, 2, . . . . .
3 + px + px + 1
px + px
+  -
(2 1)
3
(periode 4, L = 2)
Penyelesian :
0
1
a0 = ∫
-
2
0
2
dx + ∫ 2
0
3
1
2
1 2
dx = 3 0
2
0 x =
npx 1
p
1
a0 = ∫ + ∫
-
2
0
0
3cos
2
2
2
2 0 cos
2
dx
n x
dx
= 
 n x
n
= 0,
2
sin
3.2
1 2
2
0


p
p
n = 1, 2, . . . . . (sin np = 0 )
1 1
2
bn = dx
dx
n r
2
3sin
2
2
0 sin
2
0
0
2
3

= (1 cos ),
2
cos
3.2
1 2
2
0
p
p
p
p
n
n
n x
n
- = 

bn = 0 untuk n genap
7
1
5
3
1
jadi: f (x) = ...)
2
sin
7
2
sin
5
2
sin
3
2
(sin
6
2
p
3
Y
-2 2 X
f (x) dapat ditulis sebagai berikut:
f (x) = Σ ¥
6 1
=

 

 

-
+
sin
1 (2 1)
2
3
2
n
n x
n
p
p

5. p p
p p p p
1
∫ f x dx = ∫ dx + ∫ dx = x + x
p p
2 2
p p p

4
Perderetan f(x) =
1
  
2
p
2
< <
x
0
x
< <
p p
menurut deret Fourier.
(periode 2π, L = π)
Penyelesaian:
p
a0 = { ] p
] p }
p
p
2
0
2
0
2
0
2
1
2
1
1
1
( )
1 p + p - p = + =
p
= {( ) (4 2 )} 1 2 3
p
an = ∫ = ∫ + ∫
p
p
p
p
p p
p p 0
0
2.cos
1
1.cos
1
( )
1
dx
n x
dx
n x
f x dx
1 1
2
∫ + ∫
= cos
nxdx 2 cos nxdx
0
p
p
p
p p
 1 p 2

2
p
p p
= 
 + 
= sin
sin 0

0 2


nx
n
nx
n
p
2
bn = ∫ = ∫ + ∫
p
p p
p p
p p
0 0
2
2.sin
1
1.sin
1
( )
1
dx
n x
dx
n x
f x dx
p
p 0
2π
1
= ∫ + ∫
π
2.sin nx dx
π
1.sin nx dx
1
=
p
p
p
 - nx
- + 
p p
2
0
cos
2
cos
1



n
nx
n
2 Y
1
π 2π
X

6. 1 - + + - ; (cos 0 = cos 2π)
p p
∫ f x = ∫ f x
-
5
=
p
p
p p
p
n
p n n
n
n
n
2
cos
1 2
cos
1 p -
p
= (cos n
1),
n
n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap
bn =
2
n -
(2 1)p
D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x)
Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0
p p
a0 = ∫ = ∫
p p -
p 0
( ).
2
( )
1
f x dx f x dx
2
p
∫ =
-
an = ( )cos nx dx
( ).cos nx dx
1
f x f x
p p
p
Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x).
Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0
2
bn = ( ) sin nx dx
( ).sin nx dx
1
0
p p p
Contoh Soal :
1. Perderetkan f(x) = x2, -π ≤ x ≤ π (periode 2π)
Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0
a0 = ∫ ∫
-
= =
p
p
p
p
2
p p p 0
0
2 3
3
.
2
( )
1
f x dx x dx x
2 p 3
p
= ( )
3
=
2p 2
3

7. p p
p
an = ∫ = ∫
p 0
p p
2 p
x + -
+ -
p 3
- cos
x - cos 2
x + cos 3
x cos 4
x
4(
- + 3 2 2 2 2
2 n x
4 px px 3
px px
6
-
p
p p
2 .cos
2
( ) cos
1
dx
n x
dx x
n x
f x
=
0
sin )
2
cos
2
( sin
2
2 3
p
nx
n
nx
n
x
nx
n
p np
2 cos
= (0
0)
2
2 + +
n
p
4
2 -
= n
n
( 1)
2. Perderetkan f(x) = x, 0 < x < 2
1
sin nx
1
n
-
1
n3
Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus
Penyelesaian: (disini yang dicari hanya bn)
bn = ∫ L
dx
2 p
n x
L
f x
L 0
( ) sin
2
= ∫ ] = - - -
0
2
sin
4
2 2 2 0
2
cos
2
2
sin
2
n
n x
n
x
dx
n x
x
p
p
p
p
p
= p
p
n
n
cos
- 4
x2 cos nx
2x -
n
2
2
-
cos nx
0 sin
nx
Jadi f(x) = x2= Σ ¥
=
1
2
2
cos
( 1)
4
3 n
n
nx
n
p
Atau = ....
4
3
2
1
x2 sin
npx
2
1
-
2 n x
n
2
cos
p
p
0
2
sin
-
4
2 2
n x
n
p
p
Jadi f(x) = Σ ¥
=
-
cos sin
4
1 2
n
n x
n
n
p p
p
4
1
1
2
1
Atau = - + - -
2
sin
4
2
sin
3
2
sin
2
2
(sin
4

8. E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan
Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya
memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus,
fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L).
Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga
cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L)
Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya bn, demikian juga pada cosinus ½
jangkaun yang divari hanya a0 dan an.
Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus)
2 π
∫ - x = x + - ∫
p
7
bn = ∫ L
dx
2 p
n x
L
f x
L 0
( ) sin ,
a0 dan an = 0
untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus)
a0 = ∫ L
f x dx
L 0
( )
2
an = ∫ L
2 n p x
dx
bn = 0
L
f x
L 0
( ) cos ,
Contoh Soal
Perderetkan f(x) = ex untuk 0 < x < π, dalam deret sinus.
Penyelesaian :
bn = ∫ L
dx
2 p
n x
L
f x
L 0
( ) sin
1
1
1
(
n
= e sin nx dx)
n
e sin nx
n
e cos nx
n
2
e sin nx dx
0
x
2
2
0
x
2
=
p
2
2


n x
p 2 2
0
sin
1
cos
1
1
2


- +
+
e nx
n
e nx
n n

9. ep p p
< <
1
-a a/2 a
2 2
1
∫ + ∫ - = + - = - = a
∫ + ∫ - = + - = - =
a
2 p p
a / 2
8

 -
= 

+
p
p
ep n
n
n
(1 cos
1
2
2
1
(
2. Perderetkan f(x) =
1
  
-1
x a
a
a
x
< <
2
2
0
dalam cosinus.
( periode 2a)
Penyelesaian :
a0 = ( 1).
[ ] [ ] 1 1 0
2
1.
2
/ 2
/ 2
0
/ 2
/ 2
0
a
a
a
a
a
x
a
x
a
dx
a
dx
a
2 2
= ( 1).
[ ] [ ] 1 1 0
2
1.
2
/ 2
/ 2
/ 2
0
/ 2
0
a
a
a
a
a
a
x
a
x
a
dx
a
dx
a
n x
an = ∫ + ∫ -
a
a
dx
n x
a
a
dx
a
/ 2
0
( 1) cos
2
1.cos
ex sin nx
ex
- cos nx
n
- nx
sin
n
ex 2
f(x) = ex = sin 3 ....)
3 1
sin 2 3
2 1
sin 2
1 1
2
2 2 2 -
+
+ +
+
+ +
+
+
x
e
x
e
x
p
Y
1
-1
X

10. / 2

 p
 - 
n / 2
2 p
cos
px p p
4 - 1
3 x
+ 1
5
x
-
atau = ...)
9
=
a
a
a
n x
a
n x
a n
0
sin
2
sin
2




p
p
p
= ,
2
sin
4
2
sin
2
2
sin
p
p
p
p
p
n
n
n
n
n
n
+ = untk n genap a an = 0
f(x) =
Σ ¥
n
4
p
=
(cos
p
F. Harmonic Analisis
p
-
(2 1)
m x
-
(2 m
1)
2
sin
2
-
(2 m
) 1
p
1
cos
5
cos
3
a
a
a
Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan
digunakan suatu formula yaitu :
p 1
p
p p
a0 = ∫ =
∫ -
2
0
2
0
( ) .
2 0
( ) 2
1
f x dx f x dx
a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π).
an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π).
b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).
Contoh:
Tentukan konstante a0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang
diberikan sebagai berikut:
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 9 18 24 28 26 20

11. Penyelesaian :
x x / 3 Sin x / 3 Cos x / 3 f(x) f(x) sin x / 3 f(cos) x / 3
0 0 0 1 9 0 9
1 / 3 0,687 0,5 18 15,606 9
2 2 / 3 0,687 -0,5 24 20,808 -12
3 3 / 3 0 -1 28 0 -28
4 4 / 3 -0,687 -0,5 26 -22,542 -13
5 5 / 3 -0,687 0,5 20 -17,340 10
a p p
x
x
0 + + + + Jadi f(x) = b
...
+ - + px px
1 2 2
10
125 -3,468 -25
a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66
a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33
b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156
a
Identitas Parsevel
Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L)
maka:
Σ{ } = +Σ +
-
( )
2
( )
2
2 0
n n
L
L
a b
a
f x dx
L
Contoh:
p 4
= 1
+ 1
+ 1
+ 1
+
Buktikan: ....
90 4 4 4 4
4
3
2
1
3
... sin
3
cos
2 1 1
= 20,83 – 8,33 cos ....
3
1,156sin
3

12. + - = -
p p
o p

2 2 1 p
p p p
2 2
2 1
) 16
2
2p = Σ ¥
2 2 16
p 4 = .......
1
+ + + 1
+
4 4 4 4 p -π ≤ x ≤ π
11
Bila diberikan :
x2 = Σ ¥
=
1
2
2
2
cos ( ( ) ,
( 1)
4
3 n
n
nx f x x
n
≤ x ≤ π)
p
∫
-
( f (x))2 dx
1
p p
2
= 5
0
5
0
4
5
5
= 
∫ x dx = x
0 a
2
=
p 2 atau
3
3
0
p
a
4
2 -
an = n
n
( 1)
4
5
+
1
4
2
1
2
(
2
n
p
2p 4 = Σ ¥
5

1
+  


 

1
4
2
3
2
n
p
2(9 5)- p
4
45
= 16 Σ ¥
1
1
n
4
90
4
1
3
1
2
1
+ -
Diberikan deret : x2 = Σ ¥
=
1
2
2
cos ,
( 1)
4
3 n
n
nx
n
1
- 1
+ 1
- 1
+
2 2 2 2 Hitung : .....
4
3
2
1
Untuk x = 0 didapat:
+ -
0 = Σ ¥
=
1
2
2
cos 0
( 1)
4
3 n
n
n
p
p 2
- 1
1
1
1
4(
- + - +
0 = ...)
3 2 2 2 2
4
3
2
1
p 2 ...)
=
12
1
- + - 1
( +
2 2 2 2 4
1
3
1
2
1

13. LEMBAR KERJA
12
1. Perderetan f(x) =
  
2
x
- £ £
2 0
£ £
6 x
2
x
menurut deret fourier
Dimana periode 4, L = 2
2. Perderetan f(x) = x3, -p <p <p periode (2p )
Dimana f(x) = x3, adalah fungsi ganjil!
3. Perderetan f(x) = cos x, 0 < x < p , ke dalam deret sinus!