Dokumen tersebut membahas tentang bilangan kompleks, yang merupakan gabungan bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk a + bi dan digambarkan dalam bidang kompleks. Bilangan kompleks juga dapat ditulis dalam bentuk polar dan eksponensial dengan menggunakan jarak (r) dan sudut (θ) dari titik asal. Dokumen ini juga menjelaskan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks.

1. BILANGAN
KOMPLEKS
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010

2. DAFTAR SLIDE
Aturan Perkuliahan
Pendahuluan
Pokok Bahasan
Jadwal Pertemuan
2
2

3. TUJUAN
Apakah Tujuan Pertemuan ini ?
Mahasiswa diharapkan mampu :
• Memahami bilangan kompleks
• Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks
• Menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk polar
3
3

4. PENDAHULUAN
Apakah Bilangan Kompleks itu ?
 Bilangan Kompleks adalah gabungan dari bilangan
nyata (Riil) dengan bilangan imajiner
4
4

5. PENDAHULUAN
5
5

6. PENDAHULUAN
Apakah Bilangan Imajiner itu ?
 Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu
bilangan negatif
 Contoh :
− 5 , − 7, − 13
 Definisi 1 : i = − 1 dan i 2 = −1
 Jadi −5 dapat ditulis − 1 * 5 = i 5
6
6

7. PENDAHULUAN
 Bilangan kompleks dinotasikan dalam bentuk
a + bj dimana a dan b merupakan bilangan
real dan j merupakan bilangan imajiner
 Jika nilai a ≠ 0 dan b = 0 maka a+bi
merupakan bilangan kompleks yang real
 Jika nilai a = 0 dan b ≠ 0 maka a+bi merupakan
bilangan imajiner murni
7
7

8. MACAM BIL KOMPLEKS
1. Bilangan Kompleks Sekawan
contoh: a+bi dan a-bi
2.Bilangan Kompleks Berlawanan
contoh: a+bi dan –(a+bi)
8
8

9. ASAL BILANGAN KOMPLEKS
Mengapa bisa muncul bilangan − 1 tersebut ?
Bilangan tersebut berasal dari akar-akar persamaan
kuadrat yang diperoleh dengan menggunakan rumus
ABC
Masih ingatkah Anda dengan Rumus ABC ?
− b ± b − 4.a.c
2
x1 , x2 =
2.a
9
9

10. RUMUS ABC
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat berikut :
x² - 4x + 5 = 0
Jawab :
1.Cari nilai diskriminan D nya.
D = b² - 4ac
= (-4)² - 4(1)(5)
= 16 – 20
= -4 D<0
apabila D < 0 maka persamaan tersebut tidak
memiliki akar real
2.Gunakan rumus ABC
10
10

11. RUMUS ABC
− b ± b 2 − 4.a.c
x1 , x2 =
2.a
4± −4 4 ± 2 −1
x1 , x2 = x1 , x2 =
2. 2.
x1 = 2 + − 1 x2 = 2 − − 1
Akar-akar ini merupakan akar imajiner dan apabila digunakan
lambang i maka dapat ditulis :
x1 = 2 + i
x2 = 2 - i
11
11

12. LATIHAN 1
Tentukan akar – akar dari persamaan kuadrat berikut :
x 2 + 2 x +5 = 0
3 x + 2 x +1 = 0
2
x −4 x +8 = 0
2
x −x +7 = 0
2
x − 2 x +3 = 0
2
12
12

13. BILANGAN KOMPLEKS
 Penulisan bilangan kompleks z =
a+bj sering disingkat sebagai
pasangan terurut (a,b), oleh
karena itu bilangan kompleks
dapat dinyatakan dalam suatu
bidang datar seperti halnya
koordinat titik dalam sistem
koordinat kartesius
 Bidang yang digunakan untuk
menggambarkan bilangan
kompleks disebut bidang
kompleks atau bidang argand
13
13

14. BILANGAN KOMPLEKS
 Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :
x = 4 + 6j dimana :
4 merupakan bilangan real positif
6j merupakan bilangan imajiner positif
14
14

15. Latihan 2
 Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :
x = -4 + 3j dimana :
-4 merupakan bilangan real negatif
3j merupakan bilangan imajiner positif
15
15

16. Latihan 2
 berapa nilai bilangan kompleks dari grafis berikut:
x=-6–j2
16
16

17. Latihan 3
 Buatkan kedalam bentuk grafis bilangan kompleks berikut:
x =4 – j 6
x = -7
x = - 6 – j 13
x =j11
17
17

18. Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks
 Ada beberapa bentuk penulisan bilangan kompleks
yaitu :
 Bentuk Polar
 Bentuk Rectangular
 Bentuk Exponensial
18
18

19. BENTUK REKTANGULAR
 Bentuk bilangan kompleks a + jb
disebut juga bilangan kompleks bentuk
rektangular
 Gambar grafik bilangan kompleks
bentuk rektangular :
 Dari gambar di atas titik A mempunyai
koordinat (a,jb). Artinya titik A
mempunyai absis a dan ordinat b.
19
19

20. BENTUK POLAR
 Bilangan kompleks bentuk rektangular
a+ jb dapat juga dinyatakan dalam
bentuk polar, dengan menggunakan
suatu jarak (r) terhadap suatu titik
polar θ
 Jika OA = r, maka letak (kedudukan)
titik A dapat ditentukan terhadap r dan
θ.
20
20

21. BENTUK POLAR
Sehingga rumus yang didapatkan untuk mengubah suatu bilangan
kompleks dari bentuk rektangular ke bentuk polar adalah:
r adalah sisi miring, yang nilainya adalah :
Besar sudut kemiringan
dengan θ :
21
21

22. BENTUK EKSPONENSIAL
 Bentuk eksponensial diperoleh dari
bentuk polar.
 Harga r dalam kedua bentuk itu sama
dan sudut dalam kedua bentuk itu juga
sama, tetapi untuk bentuk
eksponensial harus dinyatakan dalam
radian.
22
22

23. KUADRAN
 Selain itu, perlu diketahui pula letak posisi sudut berada kuadran
berapa dari garis bilangan. Dimana :
Kuadran I berada pada sudut ke 0 - 90
Kuadran II berada pada sudut ke 90 - 180
Kuadran III berada pada sudut ke 180 – 270 atau (-90) – (-180)
Kuadran IV berada pada sudut ke 270 – 360 atau 0 – (-90)
23
23

24. CONTOH SOAL
Perhatian persamaan bilangan kompleks berikut z = 3 – j8
bentuk umum bilangan kompleks diatas dapat dirubah ke
dalam bentuk bentuk penulisan yang lain.
Sudut yang dibentuk adalah di kuadran IV
Bentuk Polar nya :
z = r(cosθ + j sinθ) = 8.54(cos(-69.44) + j sin(-69.44))
Bentuk Exponensialnya :
z = r.e jθ = 8,54.e − j .69, 44
24
24

25. LATIHAN SOAL
Dapatkan bentuk polar dan bentuk exponensial dari bilangan
kompleks z = -3 + 3i dan terletak di kuadran berapa sudut θ
nya ?
25
25

26. JAWABAN
Persamaan bilangan kompleks z = -3 + j3
r = (−3) 2 + 32 = 3 2
θ = arctg (3 / − 3) = arctg (−1) = 135
1
Dimana : Sin θ = 2
2
1
Cos θ = − 2 di kuadran II
2
Bentuk Polar nya :
z = r(cosθ + j sinθ) = 3 2 (cos(135) + j sin(135))
Bentuk Exponensialnya :
z = r.e jθ = 3 2 .e − j .135
26
26

27. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
 Operasinal matematika penjumlahan dan pengurangan
merupakan konsep yang umum dan sederhana. Namun
bagian ini merupakan bagian yang terpenting dan
mendasar.
 Prinsip penjumlahan dan pengurangan adalah sama,
memenuhi sifat-sifat aljabar penjumlahan dan pengurangan
27
27

28. CONTOH SOAL
x1 = 2- j3
x2 = 5+ j4
Jawab :
xt = (2-j3) + (5+j4)
= (2+5) +j(-3+4)
= 7+j
28
28

29. CONTOH SOAL
x1 = 2- j3
x2 = 5+ j4
Jawab :
x1 + x2= (2-j3) + (5+j4)
= (2+5) +j(-3+4)
= 7+j
x1-x2 = (2-j3) - (5+j4)
= (2-5) +j(-3-4)
= -3-j7
29
29