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1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: PLANA DE ÁLGEBRA

2. ECUACIONES
POLINOMIALES II
Semana 13

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Entre las aplicaciones de la ecuación
cubica nos permite describir el
mundo real en términos matemáticos,
como por ejemplo, las variaciones de
la temperatura, el movimiento de los
planetas, las ondas cerebrales, los
ciclos comerciales, el ritmo cardíaco y
el crecimiento de la población entre
otros. También sirve para detectar la
anemia
En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna. En
esta obra da los métodos de resolución de las
ecuaciones de tercer y cuarto grado.
Su Ars Magna sin embargo tuvo una influencia en todos
los matemáticos posteriores. En esta obra, además se
expresan diversos teoremas que relacionan raíces y
coeficientes
El Ars Magna presenta una
explicación completa de la
ecuación cúbica
También se publica la
resolución de la ecuación
general de cuarto grado,
debida a su alumno, Ferrari

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
✓ Aplicar el teorema de la
paridad de raíces.
✓ Aplicar el teorema de Cardano en
una ecuación de cúbica.
✓ Reconocer la diferencia entre
raíces y soluciones.
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Toda ecuación polinomial de grado 𝑛 ≥ 1, con
coeficientes complejos, posee al menos una raíz
compleja.
COROLARIO:
Toda ecuación polinomial de grado 𝑛 ≥ 1, con
coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces.
Ejemplos:
En las ecuaciones polinomiales tenemos:
2𝑥 − 3 = 0 tiene 1 raíz
𝑥2
+ 2𝑥 − 3 = 0 tiene 2 raíces
4𝑥3 − 7𝑥 + 9 = 0 tiene 3 raíces
Ejemplo: Resolver: 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0
𝑥2
− 4𝑥 + 4 = 0
(𝑥 − 2)2
(𝑥 − 2)2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 2 = 0
∨
𝑥 = 2 𝑥 = 2
Raíces: 2; 2 (raíz doble)
C.S = 2; 2 = 2 (una solución)
Tenemos:
La ecuación tiene 2 raíces pero 1 solución
𝑁° 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 ≥ 𝑁° 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
En general:

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo:
Resolver: 𝑥 − 8 3. 𝑥 − 7 2 . 2𝑥 − 3 = 0
Tenemos: 𝑥 − 8 𝑥 − 8 𝑥 − 8 𝑥 − 7 𝑥 − 7 2𝑥 − 3 = 0 Teorema: 𝑎. 𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0
𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0 ∨ 𝑥 − 7 = 0 ∨ 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 8 𝑥 = 8 𝑥 = 8 𝑥 = 7 𝑥 = 7 𝑥 =
3
2
∨ ∨ ∨ ∨ ∨
(raíz) (raíz) (raíz) (raíz) (raíz)
Raíces: 8; 8; 8; 7; 7 ;
3
2
C.S= 8; 8; 8; 7; 7;
3
2
= 8; 7;
3
2
(raíz)
Hay 6 raíces Hay 3 soluciones
𝑁° 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 ≥ 𝑁° 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Raíz triple Raíz doble
Raíz simple
En general ¿Cuándo son iguales?

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo:
Al resolver la ecuación:
𝑥 + 1 2
. 𝑥3
− 𝑥 = 0
Tenemos que:
Resolución:
M= suma de raíces
Encuentre el valor de M-N.
N= suma de soluciones
Tenemos que:
𝑥3 − 𝑥 = 𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1
Entonces, nos queda:
𝑥 + 1 2. 𝑥3 − 𝑥 = 0
𝑥 + 1 2
. 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 0
𝑥 + 1 3. 𝑥 𝑥 − 1 = 0
𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 1 . 𝑥 𝑥 − 1 = 0
= 0 = 0 = 0 = 0 = 0
Raíces: −1; −1; −1; 0; 1
M= Suma de raíces:
= −1 − 1 − 1 + 0 + 1
𝑀 = −2
𝐶. 𝑆 = −1; 0; 1
N= suma de soluciones
= −1 + 0 + 1
𝑁 = 0
∴ 𝑀 − 𝑁 = −2
C U R S O D E Á L G E B R A

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo:
Construir una ecuación polinomial que tiene:
✓ −7 como raíz triple
✓ 5 como raíz doble
Resolución:
Sea la ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0, como:
✓ −7 es raíz triple de 𝑃 𝑥 , 𝑥 + 7 3
✓ 5 es raíz doble de 𝑃 𝑥 , 𝑥 − 5 2
✓ −6 como raíz simple
✓ −6 como raíz simple de 𝑃 𝑥 , 𝑥 + 6
La ecuación es:
𝑃 𝑥 = 𝑥 + 7 3
. 𝑥 − 5 2. 𝑥 + 6 . 𝑞 𝑥 = 0
un factor es
un factor es
un factor es
Ejemplo:
Construir una ecuación polinomial de mínimo grado,
que tiene:
✓ 5 como raíz triple
✓ 4 como raíz simple
Resolución:
Sea la ecuación polinomial 𝑃 𝑥 = 0, como:
✓ 5 es raíz triple de 𝑃 𝑥 , un factor es 𝑥 − 5 3
✓ 4 es raíz simple de 𝑃 𝑥 , un factor es 𝑥 − 4
Luego:
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 5 3
. 𝑥 − 4 . 𝑞 𝑥 = 0
Mínimo grado 𝑞 𝑥 = 𝑘
𝑥 − 5 3
. 𝑥 − 4 = 0
La ecuación es:
𝑘.

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
ECUACIÓN CÚBICA
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
Tienen la siguiente forma
Para resolverlo:
I) Se factoriza (generalmente por el método
de divisores binómicos)
II) Se aplica el teorema
𝑎𝑏 = 0 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0
III) Se encuentran las raíces
IV) Se encuentran su conjunto solución
Ejemplo Resolver: 𝑥3 − 3𝑥 + 2 = 0
Resolución: Factorizando:
1 0 2
−3
1
1
1
1
1
−2
−2
0
𝑥 − 1 𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0
𝑥
𝑥
+2
−1
𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝑥 + 2 = 0
= 0 = 0 = 0
𝑥 − 1 = 0 𝑥 − 1 = 0 𝑥 + 2 = 0
Raíces: 1; 1; −2 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠)
C.S = 1; −2 (2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
∨ ∨

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo Resolver: 𝑥3
− 3𝑥2
+ 2𝑥 = 0
Resolución: Factorizando:
𝑥3
− 3𝑥2
+ 2𝑥 = 0
𝑥 𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0
𝑥
𝑥
−2
−1
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 𝑥 − 1 = 0
∨
Raíces: 0; 2; 1 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠)
C.S = 2; 2𝑖; −2𝑖 (3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
Ejemplo Resolver: 𝑥3
− 2𝑥2
+ 4𝑥 − 8 = 0
Resolución: Factorizando:
1 −2 −8
4
2
1
2
0
0
4
8
0
𝑥 − 2 𝑥2
+ 4 = 0 𝑥 − 2 = 0 ∨ 𝑥2
+ 4 = 0
𝑥 = 2 ∨ 𝑥2
= −4
𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = 2𝑖 ∨ 𝑥 = −2𝑖
Raíces: 2; 2𝑖; −2𝑖 (3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠)
C.S = 0; 2; 1 (3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
NOTA Si el T.I es cero, una raíz es cero.
NOTA
Toda ecuación cúbica con coeficientes reales
tiene al menos una raíz real..

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
TEOREMA DE CARDANO - VIETTE
Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Se cumple que:
𝐼) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
𝑏
𝑎
𝐼𝐼) 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 =
𝑐
𝑎
𝐼𝐼𝐼) 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = −
𝑑
𝑎
(De 1 en 1)
(De 2 en 2)
(De 3 en 3)
Ejemplo 1
Si 𝑚; 𝑛; 𝑝 son las raíces de la ecuación
4𝑥3
+ 7𝑥2
− 5𝑥 − 9 = 0
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette:
𝐼) 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
7
4
𝐼𝐼) 𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 =
𝑐
𝑎
=
(−5)
4
= −
5
4
𝐼𝐼𝐼) 𝑚. 𝑛. 𝑝 = −
𝑑
𝑎
= −
(−9)
4
=
9
4
C U R S O D E Á L G E B R A
− −
+
+
− −
+
+
; 𝑎 ≠ 0

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 2
Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación
2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette :
𝐼)𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
(−5)
2
𝐼𝐼) 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 =
𝑐
𝑎
=
3
2
𝐼𝐼𝐼) 𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = −
𝑑
𝑎
= −
7
2
Ejemplo 3
Si 𝛼; 𝛽; 𝜃 son las raíces de la ecuación
3𝑥3 + 𝑛𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑛 − 1 = 0
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette :
𝐼) 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
𝑛
3
𝐼𝐼) 𝛼𝛽 + 𝛽𝜃 + 𝛼𝜃 =
𝑐
𝑎
=
(−4)
3
= −
4
3
𝐼𝐼𝐼) 𝛼. 𝛽. 𝜃 = −
𝑑
𝑎
= −
(2𝑛 − 1)
3
=
5
2
− −
+
+ − −
+
+

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 4
Si 𝑚; 𝑛; 𝑝 son las raíces de la ecuación
3𝑥3
− 5𝑥2
− 4𝑥 + 7 = 0
Calcule el valor de:
𝐼) 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = −
𝑏
𝑎
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
= −
(−5)
3
𝐼𝐼) 𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 =
𝑐
𝑎
=
(−4)
3
= −
4
3
𝐼𝐼𝐼) 𝑚. 𝑛. 𝑝 = −
𝑑
𝑎
= −
7
3
− −
+
+
𝐽 =
1
𝑚
+
1
𝑛
+
1
𝑝
Resolución
Entonces, por el teorema de Cardano - Viette :
=
5
3
Nos piden:
𝐽 =
1
𝑚
+
1
𝑛
+
1
𝑝
=
𝑛𝑝 + 𝑚𝑝 + 𝑚𝑛
𝑚𝑛𝑝
=
−
4
3
−
7
3
𝐽 =
1
𝑚
+
1
𝑛
+
1
𝑝
=
4
7

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES
1) En toda ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥ 2, se cumple que:
𝑎 + 𝑏 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏 es raíz
Ejemplos:
𝑎 ∧ 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 ; 𝑏 es irracional
Donde:
Sea una ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥ 2, donde:
𝑖) 𝑠𝑖 2 + 3 es raíz ↔ 2 − 3 es raíz
𝑖𝑖) 𝑠𝑖 4 − 5 es raíz ↔ 4 + 5 es raíz
𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑖 7 es raíz ↔ − 7 es raíz
Ejemplos:
Encuentre una ecuación de segundo grado, con
coeficientes enteros, si una raíz es 3 + 5
Resolución:
Como los coeficientes son enteros, eso implica que
son racionales ℤ ⊂ ℚ .
Como una raíz es 3 + 5, por paridad otra raíz es
3 − 5 . Por reconstrucción, tenemos
𝑆 = (3 + 5) + (3 − 5) = 6
𝑃 = 3 + 5 . (3 − 5) = 32 − 5
2
= 9 − 5 = 4
La ecuación es:
𝑥2
− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥2
− 6𝑥 + 4 = 0

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES
2) En toda ecuación polinomial con coeficientes
reales y grado 𝑛 ≥ 2, se cumple que:
𝑎 + 𝑏𝑖 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏𝑖 es raíz
Ejemplos:
𝑎 ∧ 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 ; 𝑏 ≠ 0
Donde:
Sea una ecuación polinomial con coeficientes
reales y grado 𝑛 ≥ 2, donde:
𝑖) 𝑠𝑖 7 + 4𝑖 es raíz ↔ 7 − 4𝑖 es raíz
𝑖𝑖) 𝑠𝑖 6 − 𝑖 es raíz ↔ 6 + 𝑖 es raíz
𝑖𝑖𝑖) 𝑠𝑖 3𝑖 es raíz ↔ −3𝑖 es raíz
Ejemplos:
Encuentre una ecuación de segundo grado, con
coeficientes enteros, si una raíz es 2 + 𝑖
Resolución:
Como los coeficientes son enteros, eso implica que
son reales ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ .
Como una raíz es 2 + 𝑖, por paridad otra raíz es
2 − 𝑖 . Por reconstrucción, tenemos
𝑆 = (2 + 𝑖) + (2 − 𝑖) = 4
𝑃 = 2 + 𝑖 . (2 − 𝑖) = 22
− 𝑖2
= 4 − −1 = 5
La ecuación es:
𝑥2
− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
𝑥2
− 4𝑥 + 5 = 0
; 𝑖 es la unidad imaginaria

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMAS DE LA PARIDAD DE RAÍCES
3) En toda ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥4, se cumple que:
𝑎 + 𝑏 es raíz
− 𝑎 + 𝑏
− 𝑎 − 𝑏
Ejemplo:
↔ 𝑎 − 𝑏 son raíces
Sea una ecuación polinomial con coeficientes
racionales y grado 𝑛 ≥ 4, donde:
3 + 2 es raíz ↔
− 3 + 2
− 3 − 2
3 − 2 son raíces
Ejemplo:
Encuentre una ecuación de cuarto grado, con
coeficientes enteros, donde 3 + 2 es una raíz
Resolución:
Podemos formar la ecuación, a partir de su raíz
𝑥2
− 2 3𝑥 + 3 = 2
𝑥 − 3 = 2
2 2
𝑥 = 3 + 2
𝑥2
+ 1 = 2 3𝑥
2 2
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 1 = 12𝑥2
𝑥4
− 10𝑥2
+ 1 = 0
En general: 𝑘(𝑥4
− 10𝑥2
+ 1) = 0 ; 𝑘 ≠ 0

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo:
Si 1 + 3 es raíz de la ecuación
2𝑥3
− 3𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Donde 𝑎, 𝑏 son enteros. Encuentre la raíz racional de
la ecuación
Resolución:
Como los coeficientes son enteros, entonces son
racionales ℤ ⊂ ℚ
Si 𝑥1 = 1 + 3 es raíz entonces por paridad
𝑥2 = 1 − 3 es raíz
Como la ecuación es cúbica (tercer grado), presenta
3 raíces: 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3
Por el teorema de Cardano – Viette, tenemos
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
3
2
=
3
2
Como:
𝑥1 = 1 + 3 𝑥2 = 1 − 3
∧
𝑥1 + 𝑥2 = 1 + 3 + 1 − 3 = 2
Luego:
= 2
𝑥3 = −
1
2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
(−3)
2
(Raíz racional)
¿Cómo calcularías el valor de 𝑎 𝑦 𝑏?

18. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e