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関数（＆統計の続き）（人間科学のための基礎数学）
- 2. お品書き • 関数とは • 基礎/基本的な話題 – 関数とは – 関数のグラフ – 色々な関数と関係の深い現象 • 実用/応用/発展的な話題 – 相関分析、回帰分析 – 予測する人工知能 久保田康毅. (1982). 走幅跳と 50m 走の関係についての研究. 島根大学教育学部紀要 自然科学, (15), p23-30. を参考にダミーデータから作成 𝑦𝑦 = −72.8𝑥𝑥 + 976.5 （± 誤差）
- 3. 関数（英：function）とは • 昔は「函数」と書いた。 • 二つの変数x、yがあって、xの値が決まれば、それに伴って yの値がただ一つ決まるとき、yはxの関数であるという。 • たとえば、1個a円のりんごx個の値段をy円とすれば、 y＝axであり、この式によってyはxの関数として定められる。 • また郵便料金の場合、xグラムの書状の料金をy円とすれば、 yをxについての一つの式だけで表すことはできない。しかし各xに対し てyの値はただ一つ決まるからyはxの関数である。 "関数", 日本大百科全書（ニッポニカ）, JapanKnowledge, https://japanknowledge.com , (参照 2018-10-19)
- 4. 一言で言うと • 関数 ＝ 数と数の対応関係 – 「yはxの関数」𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 function の f ＝ xの値が決まればyの値がただ一つに決まる – 「𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 」 と表すとき、 𝑥𝑥 を 独立変数、 𝑦𝑦 を 従属変数 と言う • 関数の式 ＝ 対応関係を表す方程式 （例） – 一次関数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 – 二次関数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 – n次関数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎3𝑥𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 – 三角関数 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 = cos 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = tan 𝑥𝑥 – 指数関数 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 – 対数関数 𝑦𝑦 = log𝑎𝑎 𝑥𝑥 他にもいろいろ（＆さらに組み合わせて無数に作れる）
- 5. 補足：写像（英：mapping, map） • fが対象AからBへの写像とは、Aの任意の元xに対して、 fによって、Bのただ一つの元が定まるときで、このyのことを xのfによる像といい、x → f(x) とか y = f(x) のように記す。 "写像", 日本大百科全書（ニッポニカ）, JapanKnowledge, https://japanknowledge.com , (参照 2018-10-22) – 写像 ＝ 関数を拡張した概念で、数以外のものも扱う対応関係 • 数と集合（ある条件を満たすものの集まり）、集合と集合、 3次元空間と2次元平面、などの対応 – 「対応」や「変換」と呼ばれることもある
- 6. 関数のグラフ • xとyの対応関係を直線や曲線で図示したもの – 直線（曲線）は方程式を満たす座標を持つ点が集まってできている 𝑦𝑦 = −0.5𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦 = 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = −2 sin 2𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝜋𝜋 2 + 3 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥 + sin 2𝑥𝑥 − 1 + 2 sin 3𝑥𝑥 + sin 4𝑥𝑥 + sin 5𝑥𝑥 + sin 6𝑥𝑥
- 7. 補足：方程式とグラフ上の点 • 関数（方程式）のグラフ＝方程式を満たす座標を持つ点の集まり – 例：直線 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2 と 点A 0, 2 , B −2, 0 , C 1, 2.5 , D(1, 1) …A, B, Cは「x座標を0.5倍して2を足すとy座標に等しい」 → 直線上に乗る Dは「x座標を0.5倍して2を足してもy座標に等しくない」 → 直線上に乗らない – グラフが曲線状でも同じことが言える 7 直線 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2
- 8. 蛇足：不等式と領域 • 方程式を満たす点が線を作るように、不等式を満たす点は領域を作る – 例：直線 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2 と 点A 0, 2 , B −2, 0 , C 1, 2.5 , D 1, 1 , E −1, 2 …A, B, C, Eは「x座標を0.5倍して2を足すとy座標以上の値になる」領域にある （ここでは直線 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2 より上の領域） Dは「x座標を0.5倍して2を足してもy座標より小さい値になる」領域にある （ここでは直線 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2 より下の領域） 8 → 𝑦𝑦 ≧ 0.5𝑥𝑥 + 2 の領域にある → 𝑦𝑦 < 0.5𝑥𝑥 + 2 の領域にある 直線 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦 > 𝑥𝑥 − 1 2 + 1 の領域 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥 − 1 2 + 1 の領域 放物線 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 2 + 1 𝑦𝑦 < 0.5𝑥𝑥 + 2 の領域 𝑦𝑦 > 0.5𝑥𝑥 + 2 の領域 同じことは曲線でも考えられる↓
- 9. 関数のグラフを描く • 手で描く場合 1. x と y の値の対応表を作る 2. 座標平面に点（x, y）を打っていく 3. 打った点を滑らかにつなぐ • パソコンで描く場合 1. x を入力する 2. 関数機能で y を計算する （これで対応表ができる） 3. グラフ機能に放り込む Excelで描いてみた例 → 関数機能 ↓
- 10. 一次関数 • 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 – y が x の一次式で表される関数 – グラフの形状は直線 – 𝑎𝑎 を「傾き」、 𝑏𝑏 を「切片」と呼ぶ • 一次関数で表せる現象の例 – 等速直線運動での 経過時間と進んだ距離の関係 – 電圧値と電流値の関係 𝑦𝑦 = 0.5𝑥𝑥 + 2
- 11. 二次関数 • 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 – y が x の二次式で表される関数 – グラフの形状は放物線 • 二次関数で表せる現象の例 – 斜め上に投げた物体の 高さと 時刻との関係 – 自動車の速度と停止距離の関係 – パラボラアンテナの形 𝑦𝑦 = −0.5𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3
- 12. n次関数 • 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎3𝑥𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 – y が x の n次式で表される関数 – 総称して 多項式関数（polynominal function） と言う • 多項式関数で表せる現象 – 𝑛𝑛 → ∞で考えればけっこう何でも • 「テーラー展開」 • とはいえ現実的ではないので 色んな関数を使えるとよい 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 3
- 13. 今後扱う予定の関数＆関係の深い現象 • 指数関数 – 細菌やウイルスや借金の増殖 – 放射性物質の放射能の減少 • 対数関数 – 感覚刺激の物理量と感覚量との関係 – 速さと正確性のトレードオフ • 三角関数 – リズムや波、ゆらぎに関わる現象ならほとんど何でも
- 14. 実用・応用・発展編
- 15. 相関 1. 相互に関係しあっていること。 互いに影響しあう関係にあること。「―概念」 2. 〔数〕いくつかの変量がかなりの程度の相互関係を 示しつつ同時に変化していく性質。 （広辞苑 第七版） • データ x と y に相関関係がある ＝ x と y に対応関係がある ＝ y を x の関数として表せる* * もちろん同じ値の x に複数のyが 対応することがあるので、 厳密に関数とは言えませんが 𝑦𝑦 ≒ 2𝑥𝑥 + 0.5
- 16. 相関の強さの指標：共分散と相関係数 • 共分散（covariance; 記号 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥, cov(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)など） & 相関係数 (correlation coefficients; 記号 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝜌𝜌𝑥𝑥𝑥𝑥など) – 2つの変数間の 直 線 的 な 相関の強さを表す指標 – 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥 > 0 のとき正の相関 (片方が大きいほど他方も大きい) 、 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥 < 0 のとき負の相関 (片方が大きいほど他方は小さい) と言う – −1 ≦ 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥 ≦ 1 で、関係が強いほど 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥の値は 1 ( -1 )に近づく 16 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 = 1 𝑛𝑛 � 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 (𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥)(𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑦𝑦) 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 � 𝑠𝑠𝑦𝑦𝑦𝑦 • 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑠𝑠𝑦𝑦𝑦𝑦 はそれぞれxとyの分散 • つまり相関係数＝共分散÷両方の標準偏差
- 18. 補足：相関係数の式の仕組み • 正の相関の場合 – 青領域では 𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥 (𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑦𝑦)のは＋ – 赤領域では 𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥 (𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑦𝑦)のは－ – 正の相関が強いほど＋の点が多い → 𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥 (𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑦𝑦)の平均値* も大きな値になる * そしてその平均値が共分散 1 𝑛𝑛 ∑𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 (𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥)(𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑦𝑦))
- 19. 補足：相関係数の式の仕組み • 負の相関の場合も同様 – 青領域では 𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥 (𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑦𝑦)のは＋ – 赤領域では 𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥 (𝑦𝑦𝑖𝑖 − � 𝑦𝑦)のは－ – 負の相関が強いほど－の点が多い → 𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅ 𝑥𝑥 (𝑦𝑦𝑖𝑖 − ̅ 𝑦𝑦)の平均値（= 共分散）もマイナス方向の大きな値になる – 最後に共分散をx, yの標準偏差両方で割り、値を標準化*している * 標準化 … 「統計」の章をご覧ください
- 20. 注意すべき状況（他にも多々…考えてみましょう） 1. 関係が直線的でないとき … 共分散・相関係数は定義的に無意味になる 2. 外れ値があるとき … 共分散・相関係数は外れ値に引っ張られた値になる 必ず散布図を見て、状況を確かめてから計算すること • どちらも r = 0.82だが、 左の図には右下がりな 領域がある（1．の例） • 外れ値を含めるか除外するかで相関係数が大きく変わる（2. の例） 外れ値↓ 外れ値↓ 外れ値↓ 外れ値抜き： r = 0.12 外れ値込み： r = 0.58 外れ値抜き： r = -0.82 外れ値込み： r = 0.15 外れ値抜き： r = 0.53 外れ値込み： r = -0.46 参考：吉田寿夫 (1998) 本当にわかりやすい すごく大切なことが書いてある ごく初歩の統計の本 北大路書房
- 22. 補足：疑似相関、相関と因果 • 相関関係＝因果関係 ではないことに注意 – どっちが原因でどっちが結果かは相関だけではわからない – どっちも別の変数の結果に過ぎない可能性もある – 単に全くの偶然で、見かけだけの相関の可能性もある • 「見せかけの相関」の例が多数載ってるwebサイト – http://www.tylervigen.com/spurious-correlations 22 https://www.jiji.com/jc/article?k=2018100700356&g=soc 運動続ける 諦めない子 になる もともと 諦めない子 運動続ける ある教育法 諦めない子 運動続ける （左の記事の因果関係の解釈の例）
- 23. 回帰分析（別名 統計モデリング） • データ間の関係を表す関数を求める分析 – 「関係がある」と示すだけでなく、片方の値から他方の値を 予測できるようにしたい時などに特に利用 – 求まった関数のことを 「回帰式」または 「統計モデル」と言う – 右図のようなデータが 取れたとすると、大まかに と表すことが出来る （式の求め方は本格的な統計の授業をお楽しみに） （データによっては1次関数以外の関数を当てはめることもある） 久保田康毅. (1982). 走幅跳と 50m 走の関係についての研究. 島根大学教育学部紀要 自然科学, (15), p23-30. を参考にダミーデータを作成 𝑦𝑦 = −72.8𝑥𝑥 + 976.5 （± 誤差） 例：14歳男子の50m走と走り幅跳びの記録の関係
- 24. 予測する人工知能 • 人工知能の基本的な機能 ＝ 入力された値に対して答えの値（出力）を返す … 入力と出力の対応関係（＝関数）が人工知能の正体 14歳、 50m走 6秒90 !! 𝑦𝑦 = −72.8𝑥𝑥 + 976.5 ± (誤差) 彼 ノ 走リ幅跳ビ ノ 記録ハ 474.2 ± 34.1 cm 程度 （平均±SD） ト 予測 サレマス
- 25. まとめ • 関数＝数値と数値の対応関係 – 「特に重要な対応関係」に名前が付いている – グラフや領域は式を満たす点の集まり – 写像＝関数の概念を数値以外にも広げたもの • 関数 ≒ 一部の統計や人工知能の正体 – 相関関係の分析 ＝ 対応関係の分析 – 回帰分析 ＝ データの対応を表す関数を探す – 人工知能を作る ≒ 関数を作る
- 26. 役立ちそうな文献の紹介 • 基本的な知識・考え方を学びたい人へ – 高校・高専の教科書 – 高橋一雄「語りかける高校数学」シリーズ ベレ出版 • さらに理解を深めたり解析を試したりしたい人へ – 山田剛史「Rによるやさしい統計学」オーム社 – 吉田寿夫「本当にわかりやすいすごく大切なことが書いてある ごく初歩の統計の本」北大路書房 – 高橋信「マンガでわかる統計学 回帰分析編」オーム社 – 堀裕亮「ゼロからはじめる統計モデリング」ナカニシヤ出版 – 株式会社システム計画研究所「Pythonによる機械学習入門」オーム社 26