2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

2ο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ρίζες πραγματικών αριθμών Ενότητα 7η
 Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού
Ορισμός
Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με √ 𝜶 και είναι
ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
Είναι δηλαδή η μη αρνητική λύση της εξίσωσης 𝑥2
= 𝛼 .π.χ. √9 = 3 , αφού 32
= 9 .
Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας
1. √ 𝛼
2
= 𝛼 π.χ. √7
2
= 7 .
2. √𝛼2 = |𝛼| π.χ. �(−3)2 = |−3| = 3 .
3. √ 𝛼 ∙ �𝛽 = �𝛼 ∙ 𝛽 π.χ. √2 ∙ √8 = √2 ∙ 8 = √16 = 4 .
4.
√ 𝛼
�𝛽
= �
𝛼
𝛽
π.χ. 24
3
12
3
12
=== .
 ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού
Ορισμός
ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού α ορίζεται ο μη αρνητικός αριθμός, που όταν
υψωθεί στην ν δύναμη, δίνει α.
Η ν-οστή ρίζα του α, όπου α≥0, συμβολίζεται με √ 𝜶
𝝂
.
Ισχύει αα νν
=⇔= xx , με α≥ 𝟎, x≥ 𝟎 και ν∈ *
Ν .
π.χ. √8
3
= 2, αφού 23
= 8 . Ομοίως √16
4
= 2, αφού 24
= 16
και √27
3
= 3, αφού 33
= 27 .
Ιδιότητες των ριζών
1.Αν α≥ 0 τότε αα
ν
ν
= π.χ. 77
3
3
=
2. ααν ν
= αν ν περιττός και ααν ν
= αν ν άρτιος
Π.χ. 445 5
= ,ν=5(περιττός) ενώ 33)3(4 4
=−=− ,ν=4(άρτιος)
3. ννν
βαβα ⋅=⋅ π.χ. 444444 3 33 23 23
==⋅=⋅
4. 0, ≠= β
β
α
β
α
ν
ν
ν
π.χ 327
3
81
3
81 33
3
3
===
Πνευματικός Μάριος – Κατσανός Απόστολος 64
23.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 22

2ο
5. νµµ ν
αα ⋅
= π.χ. 6323
222 == ⋅
6. ν µρν ρµ
αα =
⋅ ⋅
π.χ. 33 273 7221 14
25555 === ⋅ ⋅
7.
ν νν βαβ =a π.χ.
3 53 233 33
2224242 =⋅=⋅=
 Δυνάμεις με ρητό εκθέτη
Ορισμός
Αν α>0 , μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε ν µν
µ
αα = .
π.χ. 𝟖
𝟐
𝟑 = √𝟖 𝟐𝟑
= √𝟔𝟒
𝟑
= 𝟒 (αφού 𝟒 𝟑
= 𝟔𝟒)
Αν μ,ν *
Ν∈ τότε 𝟎
𝝁
𝝂 = 𝟎 .
 Παρατηρήσεις:
1.Προσοχή!Η δύναμη ν
µ
α δεν ορίζεται για α<0 .
Π.χ. ( ) ( ) 2733
3
2
3
−=−=− το οποίο είναι αδύνατο.
Σύμφωνα με το παραπάνω η παράσταση (𝑥 − 2)
3
2 έχει νόημα μόνο αν
202 ≥⇔≥− xx
Επιπλέον η παράσταση (𝑥 − 2)−
3
2 έχει νόημα μόνο αν 202 >⇔>− xx αφού το –
στον εκθέτη υποδηλώνει πως η ποσότητα x-2 βρίσκεται στον παρονομαστή
( ν
ν
α
α
1
=−
) συνεπώς θα πρέπει x-2≠ 0.
2.Η ρίζα 3 2
x έχει νόημα για x∈ 𝑅 , όμως η 3
2
x έχει νόημα για x≥ 0 !
Αυτό ουσιαστικά σημαίνει πως η ισότητα 3 2
x = 3
2
x μόνο για x≥ 0 .
Συνεπώς για x∈ 𝑅 3 2
x =
( )




<−
≥
==
0,
0,
3
2
3
2
3
2
3
2
xx
xx
xx .

2ο
Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).Αν είναι
λανθασμένες να εξηγήσετε γιατί.

2ο
Β.Ερωτήσεις αντιστοίχησης
Γ. Για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση .

2ο
Υπενθύμιση:Γνωστές Τετραγωνικές ρίζες
√0 = 0 , √1 = 1 , √4 = 2 , √9 = 3 , √16 = 4 , √25 = 5 , √36 = 6 , √49 = 7 , √64 = 8
√81 = 9 , √100 = 10 , √121 = 11 , √144 = 12 , √169 = 13 , √196 = 14 , √225 = 15
√256 = 16 , √289 = 17 , √324 = 18 , √361 = 19 , √400 = 20

2ο
Ασκήσεις
Α.Υπολογιστικές
1. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες(εάν ορίζονται):
α) √172 β) √39
2
γ) �(−23)2
δ) √−162 ε) √−13
2
στ) �(−41)2
2. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
α) Α = √81 - √121 + √144 β) Β = �20 + �20 + √25
γ) Γ = �7 − �13 − √16 δ) Δ = �84 − �2 + √49
ε) Ε=�21 + �13 + �7 + √4 στ) ΣΤ=�41 − �29 − �19 − √9
ζ) Ζ=�21 + �13 + �7 + √4
3. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες:
α) √733
β) √11
4 4
γ) �(−8)66
δ) √0
7
ε) √1
8
στ) √1
𝜈
ζ) √0,000015
4. Να κάνετε τις πράξεις:
α) √547
· √537
β) √356
· √3
6
γ)
√495
√445
δ)
�1154
√11
4 ε) √573
· √5−43
στ) √7115
· �
1
76
5
ζ) √5
6
∙ √526
∙ √536
η) √3512
∙ √3712
5. Να απλοποιήσετε τι παραστάσεις :
α) √8
6
β) √16
8
γ) √32
10
δ) √81
12
Χρήσιμες ιδιότητες
ννν
βαβα ⋅=⋅ , 0, ≠= β
β
α
β
α
ν
ν
ν
Χρήσιμη ιδιότητα
ν µρν ρµ
αα =
⋅ ⋅

2ο
ε) √24 · 32 στ) √36 · 533
ζ) √26 · 34 η) √312 · 283
θ) √224 · 318 · 563
6. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:
α) Α = √50 −√18 − √8 β) Β = √12 + √27 − √75
γ) Γ = √20 + √80 − √180 δ) Δ = √2 · (√8 + √18 - √2)
ε) Ε =
√ 8− √12
√18−√27
στ) ΣΤ=
√ 75− √50
√48−√32
ζ) Ζ =
√32+√50+√98
√2
η) Η =3√8 - 5√18 + 2√72 -5√50
θ) Θ =
√20 − 2√8+ 3√12
√45− 2√18 + 3√27
ι) Ι =
√8− √12− √50+ √75
√18− √27− √32+ √48
7. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :
α) (√16 − 3√5 + √20 − √9) ∙ (1 − √5)
β) (√32 + √125 − √50) ∙ (√20 − √98)
γ) (√48 − √63) ∙ (√112 − √28 + √48)
δ) (√18 − 4√2 + 3√4 − √50) ∙ (1 + √2)
8. Nα βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:
α) Α = �√5 − 1 · �√5 + 1 β) Β = ��4 − √7��4 + √7�
3
· √3
3
γ) Γ = √2
3
· �4 − 2√3
3
· �4 + 2√3
3
δ) Δ = �√8 · �2 − √2 · �2 + √2
ε) Ε =�√3 · �√50 − √32� · √6 · √6 στ) ΣΤ =�3(√5 + �2)
2
(7 − 2√10
3
)
ζ) Ζ = �
3
8
3
· �3√2 − 3
3
· �3√2 + 3
3
η) Η =�6 − 3√3
3
∙ √3
3
∙ �3√3 + 6
3
Μεθοδολογία
1.Για να απλοποιήσω μια ρίζα
γραφω τον αριθμό που βρίσκεται
εντός της ρίζας ως γινόμενο δύο
αριθμών , εκ των οποίων ο ένας
αριθμός να έχει γνωστή ρίζα.π.χ.
2224248 =⋅=⋅=
2.Επειδή δε γνωρίζουμε τον
ακριβή αριθμό πίσω από τη √2
,στις πράξεις του
συμπεριφερόμαστε σαν άγνωστο
δηλαδή √2 + 3√2 = 4√2
Όπως x+3x=4x κτλ.

2ο
9. Να αποδείξετε ότι:
α. �3 + √5 · �3 + �6 + √5 · �3 − �6 + √5 = 2
β. �2 + �2 + √5 · �2 + √5 · ��2 + √5 − 2 = 1
γ. �2 + �2 + √3 · �2 + √3 · �2 − �2 + √3 = 1
δ. √3
4
�√29 − √2
4
�√29 + √2
4
= 3
α) 36
1
2 β) 27
1
3 γ) 16
1
4
δ) 8
2
3 ε) 9
3
2 στ) 4
5
2
Β.Ρίζες και Απόλυτη τιμή
11. Να απλοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις:
α) Α = ��√3 − √2�
2
β) Β = ��√6 − √7�
2
γ) Γ = ��√5 − 2�
2
δ) Δ = ��√3 − 2�
2
ε) Ε = �� 4 − √15�
2
στ) ΣΤ= ( )3
3
27 −
ζ) Ζ=�
(𝜋−3)2
4
+ �
(𝜋−4)4
16
4
η) Η=��√2 − 1�
33
+ ��√2 − 2�
2
12. Αν α,β≥ 0 να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις.
α) √4𝛼 − √49𝛼 + 3√ 𝛼 β) �4𝛼2 𝛽 + 2𝛼�𝛽 − �64𝛼2 𝛽
γ) �𝛼2 𝛽 − 𝛼�𝛽 + �9𝛼2 𝛽 δ)�8𝛼3 𝛽23
− 𝛼�𝛽23
𝜶 ≥ 𝟎
Ορισμός
ν µν
µ
αα =
Ιδιότητες
ααν ν
= αν ν περιττός και
ααν ν
= αν ν άρτιος



<−
≥
=
0,
0,
αα
αα
α

2ο
13. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά.
α) A= ( )2
1−x β) B= 122
++ xx γ) Γ= ( ) 962 22
+++− xxx
(χωρίς συνθήκη ,όπως στο παράδειγμα)
14. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις.(Με συνθήκη)
α) Α =
( )
2
44
1
1 22
−
+−
−
−
−
x
xx
x
x
,αν 1<x<2 .
β) Β =
x
xx
x
xx
−
+−
+
+
++
1
12
1
12 22
,|𝑥| < 1 .
γ) Γ =
x
xx
x
x
−
+−
+
1
21 22
, αν -2<x<0 .
δ) Δ = 11236 24
++ xx
ε) Ε = 0,
25
2
25 4
2
2
4
>++ y
x
y
y
x
15. α) Αν ισχύει 0< x < 1, να απλοποιήσετε την παράσταση:
Α = √𝑥2 – √𝑥2 − 2𝑥 + 1
β) Αν ισχύει 2< y < 3, να απλοποιήσετε την παράσταση:
Για να απλοποιήσω μια αλγεβρική παράσταση που αποτελείται από ριζικά ελέγχω
αν η υπόρριζη ποσότητα μπορεί να γραφεί ως δύναμη.Άν επιπλέον η δύναμη αυτή
έχει τον ίδιο βαθμό με την τάξη της ρίζας μπορώ να απλοποιήσω χρησιμοποιώντας
την ιδιότητα ααν ν
= αν ν περιττός και ααν ν
= αν ν άρτιος.Άν προκύψει
απόλυτη τιμή με τη βοήθεια δοθείσας συνθήκης απαλοίφω το απόλυτο, αλλιώς
παίρνω περιπτώσεις.
Παράδειγμα Να απλοποιηθεί η παράσταση Α =
√𝑥2
𝑥
.
A =



<−
>
=






<
−
>
==
0,1
0,1
0,
0,2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
για x=0 η παράσταση δεν ορίζεται.

2ο
B = �𝑦2 − 4𝑦 + 4 + �𝑦2 − 6𝑦 + 9
16. Αν ισχύει -1< x < 3, να απλοποιήσετε την παράσταση:
A =
√𝑥2+2𝑥+1
𝑥+1
–
√𝑥2−6𝑥+9
𝑥−3
17. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει -3< x < - 2, να απλοποιήσετε την
παράσταση: Α = 5�(𝑥 − 2)2 - 3�(𝑥 + 3)2 + √𝑥2 + 4𝑥 + 4
18. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι x ∈ (−2, 2), να απλοποιήσετε την
παράσταση: Α =
√𝑥2+4𝑥+4
𝑥+2
-
√𝑥2−4𝑥+4
𝑥−2
19. Nα υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Α =
�(𝑥2+4𝑥+7)2 −6(𝑥2+4𝑥+7)+9
𝑥2+4𝑥+4
Γ.Περιορισμοί
20. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζονται οι επόμενες παραστάσεις. Στη συνέχεια
να γράψετε τα διαστήματα στα οποία ανήκει το x.
α) Α = √𝑥 − 3 β) Β = √ 𝑥 + 4
γ) Γ =√5 − 2𝑥 δ) Δ = √ 𝑥 + 2 + √3 − 𝑥
ε) Ε = √2𝑥 − 6 - √𝑥 − 5
3
στ) ΣΤ =
√3𝑥+12
3
√7−𝑥
4
ζ) Ζ = x−5 η) H =
2
1
2
+
−
x
x
θ) Θ =
xx
x
−
+
− 4
1
2

2ο
21. Δίνεται η παράσταση:
Α = (√ 𝑥 + 4 – √2 − 𝑥 )(√ 𝑥 + 4 + √2 − 𝑥 )
α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α.
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α.
Δ.Σύγκριση άρρητων
22. Δίνονται οι αριθμοί α = √15 - √5 και β = 5 - √3
α) Να βρείτε τα αναπτύγματα των 𝛼2
και 𝛽2
β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β
23. Να συγκριθούν οι αριθμοί:
α. √17 και 5
β. √45 και 7
γ. √12 𝜅𝛼𝜄 √15
δ. √8 και √5 + √3
ε. √6 + √7 και √13
στ. 3 + √2 και 2 + √7
ζ. 2 - √3 και √2 – 1
η. 5 + √3 𝜅𝛼𝜄 √5 + 3
θ. √𝛼45
𝜅𝛼𝜄 √𝛼54
𝛾𝜄𝛼 𝛼 > 0
ι. √14
3
και √6
ια. �2 + √2
3
και �1 + √2
ιβ. �
2
3
4
και �
3
5
6
ιγ. �
4
5
και �
2
3
3
ιδ. 4√5
3
και 1 + 5√2
νν
βαβα <⇔< ,όπου α,β μη αρνητικοί αριθμοί.
Μεθοδολογία: Σύγκριση άρρητων
1.Για να συγκρίνω ένα θετικό ακέραιο με μια ρίζα αρκεί
να μετατρέψω τον ακέραιο σε ρίζα.π.χ. 83 > αφού
893 >= .
2.Για να συγκρίνω δύο άρρητους αρκεί να συγκρίνω τα
τετράγωνά τους.π.χ. √5 και √3 + √2
√5
2
= 5 και (√3 + √2)2
= √3
2
+ 2√3 ∙ √2 + √3
2
=
3 + 2√6 > 5 .
3.Για να συγκρίνω δύο ρίζες με διαφορετική τάξη
υψώνω και τις δύο στο Ε.Κ.Π. των τάξεών τους.
π.χ. Να συγκριθούν οι 5
5 και 3
3
Ε.Κ.Π.(5,3)=15, οπότε ( ) ( ) 125555 3
35
5
15
5
==



=
και ( ) ( ) 243333 5
53
3
15
3
==



= άρα
( ) ( ) 35
15
3
15
5
3535 <⇔< .

2ο
Ε.Ρίζα ως υπόρριζη ποσότητα
Παράδειγμα Να απλοποιηθεί η παράσταση �2�4√32
35
Για να απλοποιήσω μια τέτοια ρίζα ξεκινώ από αριστερά προς τα δεξιά εισάγωντας κάθε
αριθμό στην αμέσως επόμενη ρίζα με τη βοήθεια της ιδιότητας ν νν βαβ =a .Δηλαδή
�2�4√32
35
= ��23 ∙ 4√32
35
στη συνέχεια με χρήση της νµµ ν
αα ⋅
= έχω
��23 ∙ 4√32
35
= �23 ∙ 22 ∙ √32
15
= �25 ∙ √32
15
= ��(25)2 ∙ 32
15
= �210 ∙ 2530
= �21530
Και τέλος με χρήση της ν µρν ρµ
αα =
⋅ ⋅
καταλήγουμε √21530
= √2 .
24. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις :
α) �√16
4
β)√27 ∙ 64 ∙ 125
3
γ)�3�3√31554
δ) �2�8√8
346
ε)�4�2√8
3
6
στ)�3√3243
ζ) �3�27√9
35
η)�5�25√125
3
4
ι)�2�2√24
33
ια) 4 2
333 ια)
2
3
3
2
2
3 ιβ)
3 2
x
ιγ)
5 3 4
α ιδ) 4
2
2 x
y
y
x
25. Αν α ≥ 0, να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας:
α) Α = �√𝛼3
3
β) Β = � 𝛼√𝛼534
γ) Γ = �� 𝛼5 · √𝛼7443
δ) Δ= � 𝛼� 𝛼2
√ 𝛼
34
ε) Ε = �� 𝛼6√𝛼3
35
στ) Ζ = �� 𝛼4 · √𝛼8365
Αν α,β≥ 0 τότε ισχύουν οι
ιδιότητες :
νµµ ν
αα ⋅
=
ν µρν ρµ
αα =
⋅ ⋅
ν νν βαβ =a

2ο
26. Αν α≥ 0, να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας:
α) Α = � 𝑎4 · � 𝑎 · √𝑎534
β) Β= � 𝛼 · � 𝛼 · √𝛼3
53
γ) Γ = � 𝛼4 · � 𝛼2 · √𝛼7437
δ) Δ =� 𝛼2 · � 𝛼4 · � 𝛼3 · √ 𝛼
5433
ε) Ε =
3 4
6 2
α
α
στ) ΣΤ =
4 23 4
1
αα
α
÷
ΣΤ. Γινόμενο ή πηλίκο ριζών διαφορετικών τάξεων
Όταν έχουμε γινόμενο ή πηλίκο ριζών διαφορετικής τάξης, τότε τις μετατρέπουμε όλες σε
ρίζες με τάξη το Ε.Κ.Π. των τάξεων τους, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα =ν µ
α
ρν ρµ
α
⋅ ⋅
.
α) Α = √3 · √3 ·
3
√3
6
β) Β= √2
6
· √243
· √23
γ) Γ = √723
· √734
· √7712
δ) Δ =
�53 · √523
√5
6
ε) Ε =√226
∙ √239
∙ √2412
στ) ΣΤ =
√369
∙ √346
√3
3
ζ) Ζ = √523
∙ √5
4
∙ √5
12
η) Η =
√2
6
∙ √2
3
√2
12
θ) Θ = √81
3
∙ √9
9
∙ √3
9
ι) Ι = 63
32212 +⋅−
28. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν:
α) �√29
3
· √2 β) �√7234
· √756
γ)
��315
5
√3
δ) �√45310
· √4116
ε) �√2953
· √4
5
στ) �√13956
· �√131445

2ο
29. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις :
α) √𝛼35
∙ √𝛼23
∙ √𝛼1115
β)
√𝛼34
√ 𝛼
,α>0
30. Να υπολογίσετε τα γινόμενα:
α) √𝛼25
· √𝛼415
β) √𝛼712
· √𝛼320
· √𝛼215
γ) √2 · √3
3
· �
1
6
5
δ) �𝛼𝛽 · �𝛼2 𝛽
3
· �𝛼𝛽34
Ζ.Ρητοποίηση παρονομαστή
Μεθοδολογία:
1.Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα της μορφής
𝛽
√𝛼 𝜇𝜈 με α>0 και μ<ν , σε ισοδύναμο με
ρητό παρονομαστή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του
κλάσματος με ρίζα της μορφής √ 𝛼 𝜈−𝜇𝜈
.
Π.χ.
7
7
7
7
77
7
77
7
7
1 5 2
5 5
5 2
5 23
5 2
5 25 3
5 2
5 3
==
⋅
=
⋅
= .
2.Για να μετατρέψουμε κλάσμα που έχει παρονομαστή της μορφής √ 𝛼 ± �𝛽 ή 𝛼 ± �𝛽 .
Σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με
κατάλληλη παράσταση (που ονομάζεται συζηγής παράσταση) .
31. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:
α)
1
√2
β)
2
√3
γ)
10
√5
δ)
1
√2
3 ε)
6
√323
στ)
12
√958 ζ)
1
3√6
η)
5
2 √5
3 θ)
6
5 √357
32. Να μετατρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:
α)
1
�5−√2
β)
3
√6+√3
γ)
2
√7−1

2ο
δ)
√3−1
√3+1
ε)
2√3−1
2√3+1
στ)
2√3+3√2
2√3−3√2
ζ)
11
5− √3
η)
1
3√2+ 2
θ)
6
4√3−5√2
ι)
1
√2+√3−√5
33. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:
α) Α =
√3
√5− √3
+
√5
√5+ √3
β) Β =
√7
√7+ √5
+
√5
√7− √5
1
√3 + 1
+
1
√5 + √3
+
1
√7 + √5
+
1
3 + √7
= 1
35. Να αποδείξετε ότι : 1
33
12
23
3
13
2
2017
−=





−
+
−
+
+
.
36.Να μετατρέψετε το κλάσμα
33
23
1
−
σε ισοδύναμο με
ρητό παρονομαστή.
37.Να μετατρέψετε τα επόμενα
κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό
παρονομαστή:
α) 33
34
1
+
β) 3
22
2
−
γ)
15
2
3
−
δ) 33
53
16
−
ε)
124
1
33
+−
στ) 333
469
2
++
Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα που έχει παρονομαστή της μορφής
33
βα − σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή,πολλαπλασιάζουμε τους
όρους του κλάσματος με την παράσταση
2
333
2
3
ββαα +⋅+ .Τότε
σύμφωνα με την ταυτότητα ( )( ) 3322
yxyxyxyx −=++− έχουμε:
( ) βαβαββααβα −=−=



 +⋅+−
3
3
3
3
2
333
2
333

2ο
Η.Σημαντικές ισοδυναμίες
0
0
0
,0
0
0
,0
0
0
2
2
==⇔






≤+
=+
==⇔





≤+
=+
==⇔





≤+
=+
βα
βα
βα
βα
βα
βα
βα
βα
βα
ν
ν
νν
νν
νν
νν
ήήή
38. α) Αν για α≥ 0 και β≥ 0 ισχύει √ 𝛼 + �𝛽 = 0 , τότε να αποδείξετε ότι : α=β=0 .
β) Να βρείτε τις τιμές των x,y∈ 𝑅 , αν ισχύει √ 𝑥 + 1 + �2 − 𝑦 = 0 .
39. Να βρείτε τις τιμές των α,β όταν :
α) √2𝛼 − 1 = 2𝛽 − 𝛽2
− 1 β) �2𝛼 − 3𝛽 + |𝛽 − 2| ≤ 0 .
40. Αν για τους αριθμούς α,β ισχύει : ( ) ( ) 02121
22
≤−−+−+ βα ,τότε να
αποδείξετε ότι οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι.
Θ. Γενικές
α)
1
α 2
α
+ ≥ , α 0≥ β)
2
2
x 3
2
x 2
+
>
+
α) √7 · √723
· √734
· √7
6
· √7512
= 49√7
β) 3��2√2
43
· �2�√2
3
4
+ 6√2−1 - 5√4
4
= 4
γ)
� √7
3
+ √2
3
�( √49
3
− √14
3
+ √4
3
)
( √5
3
− �2)
3
( √25
3
+ √10
3
+ �4)
3 = 3
δ) �3 − √5 · �1 + √5
3
· �7 + 3√5
6
= 2
43. α) Να βρείτε τα αναπτύγματα των �2 + √5�
2
και �2 − √5�
2
β) Να αποδείξετε ότι: �9 + 4√5 - �9 − 4√5 = 4

2ο
44. α) Να βρείτε τα αναπτύγματα των �4 − √15�
2
και �4 + √15�
2
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση:
Α = �31 − 8√15 + �31 + 8√15
45. α) Να βρείτε τα αναπτύγματα �√3 + 2�
2
και �√3 − 2�
2
β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Α = (�7 + 4√3 – �7 − 4√3) √3
46. Να απλοποιηθεί η παράσταση
x y
A
x y 2 xy
−
=
+ −
όπου x,y>0
47. Να κάνετε τις πράξεις
α)
1 1
Κ
3 1 3 1
= +
− −
β)
5 2 5 2
Λ
5 2 5 2
+ −
= +
− +
γ)
2 2
Μ
7 1 7 1
= +
− +
48. Να αποδείξετε ότι
βα
βα
βα
β
βα
α
−
+
=
−
+
+
για α,β≥ 0 και α≠β.
49. Να υπολογίσετε την παράσταση :
Α = 44444
151315132 −⋅+⋅+⋅−⋅ .
*50. Να υπολογίσετε την παράσταση :
Β =
2
13
3331
32 −
⋅+++
51. Aν α, β ≥ 0, να αποδείξετε ότι:
α) �√ 𝛼 + �𝛽�
2
≥ 4�𝛼𝛽
β)
�√ 𝛼−� 𝛽�
2
2
≤ α + β
γ) �√ 𝛼 + �𝛽��√𝛼 − �𝛽� ≥ 2(�𝛼𝛽 - β)
δ) � 𝛼+4𝛽
2
≥
√ 𝛼+2�𝛽
2

2ο
52. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:
α) Α =
√20 −2√8 + 3√12
√45 −2√18 + 3√27
β) Β =
√𝑥3+�𝑦3 +�𝑥2 𝑦+�𝑥𝑦2
√ 𝑥+√ 𝑦
, με x, y> 0
53. Να μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή:
α)
1
�2 + �3
4 β)
1
√2 + √3 + √5
54. Να υπολογίσετε την παράσταση : 353522 +⋅−⋅
55. Να μετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή :
α)
1xx
1xx
2
2
++
+− β)
x3
x9
−
−
γ)
39x
x
−+
δ)
2
2
x11
x
−−
ε)
35x
22x
2
−+
−+ στ) ( )
4x4x
4x
2
+−
−
ζ)
2
1
1
1
1
1
−
−
η)
βα
βα
−
− (με α > β)
56. Αν 0 < x < α να δείξετε ότι :
α
x
xα
xα
xα
xα
xα
xα
xα
xα
=
+
−
+
−
+
+
−
−
−
+
.
57. Να δείξετε ότι : ( ) ( )
3
32
9
31
9
31
22
=
−
+
+ .
58. Να δείξετε ότι : 3515210 +>+ .
59. Αν α>0 , β>0 και α>β να αποδείξετε ότι :
βαβαβαββαα −=−⋅−⋅+ 33

2ο
60. Αν α,β,γ μήκη πλευρών ορογωνίου τριγώνου με α>β>γ , να αποδείξετε ότι η
παράσταση
( ) ( ) 4222242222
22 γγββαγγββα ++⋅+⋅++⋅−
είναι ανεξάρτητη των α,β,γ.
61. Αν α,β θετικοί με α>β να αποδείξετε ότι :
βα
βα
αββα
βα
βα
+=
+
−+
⋅
−
+ 222
62. Να υπολογίσετε την παράσταση :
223
15
2525
−−
+
−++
63. Να βρεθεί η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές
δίνονται από τις παραστάσεις
α = 627627 +⋅− και β =
144
3
144
3
+
+
−
.
*64. Δίνονται οι παραστάσεις
α = κ++⋅⋅− 333
13413 και β = ( ) 105 2
222 −⋅−⋅− κκκ
α) Να αποδείξετε ότι α+β=4
β) Αν Α = ( ) ( )22 −⋅− βα ποιό από τα παρακάτω είναι το σωστό;
i) (α-2)(β-2) ii) (2-α)(β-2) iii) (2-α)(2-β)
*65. Δίνονται οι αριθμοί α,β∈ 𝑅 με α>1 και αβ=1.
α) Να απλοποιηθεί η παράσταση Α = 1296 224
+−−++ αααα .
β) Αν Β = 22
12 βββ ++− να υπολογίσετε το 𝛣2019
.

2ο
66. Δίνεται η παράσταση Α = 263
3224 κ−⋅⋅
α) Να αποδείξετε ότι Α = 2
4 κ− .
β) Να λυθεί η ανίσωση Α>0 .
*67. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις Α και Β.
Α= ( )
( )
( )
9
8
8
8
2
3814
347
1
347
−
⋅








−
++
και Β= ( )
( )
( )
2018
2017
2017
2017
2
2232
23
1
23
−
⋅








−
++
**68.α) Να αποδείξετε ότι ( ) 121 +=⋅++ ννν για κάθε ν>-1.
β) Να αποδείξετε ότι 2020202120191 =⋅+ .
γ) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :
Α= 202120191201642016120151 ⋅++++
69.Αν −1 < 𝛼 < 1 να δείξετε ότι 0
1
2
1
1
1
1
42
2
2
2
=
−
−
+
−
+
−
+
αα
α
α
α
70.Αν 𝛼2
+ 𝛽2
= 1 να δείξετε ότι 344 2424
=+++ αββα
71.Αν x,ψ,z>0 και 𝛼5
= �𝑥 + 𝛽10 , 𝛽5
= �𝜓 + 𝛾10 , 𝛾5
= √𝑧 + 𝑎10
Να δείξετε ότι 𝑥3
+ 𝜓3
+ 𝑧3
= 3𝑥𝜓𝑧 .
72.Αν α,β,γ,κ,λ,μ,ν θετικοί πραγματικοί αριθμοί και
𝛼
𝜅
=
𝛽
𝜆
=
𝛾
𝜇
Να δείξετε ότι √ 𝛼𝜅 + �𝛽𝜆 + √ 𝛾𝜇 = �(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)(𝜅 + 𝜆 + 𝜇) .
73.Να λυθεί η εξίσωση : � 𝑥 + 2√ 𝑥 + 1 + 2� 𝑥 − 2√ 𝑥 + 1 = 3.
74.α) Αν α,β>0 να δείξετε ότι √ 𝛼 + �𝛽 ≤ 2�
𝛼+𝛽
2
.
β) Να δείξετε ότι √2000 + √2001 + √2003 + √2004 ≤ 4√2002 .

2ο
75.α) Για κάθε 𝑥 ≥ 0 να δείξετε ότι √ 𝑥 ≤
𝑥+1
2
.
β) Αν α+β+γ=1 να δείξετε ότι √4𝛼 + 1 + �4𝛽 + 1 + �4𝛾 + 1 ≤ 5 .
76.Να δείξετε ότι 10
99100
1
...
34
1
23
1
12
1
1 =
−
++
+
+
+
+
+
+
77.Αν α,β>0 και ισχύει 0
1
244
=







−+−+
αβα
β
β
α
αββα να βρείτε τα α
και β.
78.Να βρείτε το λάθος στο συλλογισμό που ακολουθεί.
Είναι :
⇔





−=





−⇔





−=





−⇔+−=+−⇔−=−
2222
2
5
3
2
5
2
2
5
3
2
5
2
4
25
159
4
25
104159104
32
2
5
3
2
5
2 =⇔−=−⇔

2ο
 Βιβλιογραφία
Παπαδάκης Βασίλης , Εκδόσεις Σαββάλας
Μπάρλας Τάσος , Εκδόσεις Μπάρλας
Στεργίου Μπάμπης – Νάκης Χρήστος , Εκδόσεις Σαββάλλας
Μιχαηλίδης Γιώργος , Ελληνοεκδοτική
Μαυρίδης Γιώργος , Εκδόσεις Μαυρίδη
Ρεκούμης Κωνσταντίνος , Εκδόσεις Μεταίχμιο
 Επίσης οι ασκήσεις και τα θέματα αντλήθηκαν από τις σημειώσεις των
εξαίρετων συναδέλφων όπως και από τις δικές μας.
Μιχαήλογλου Στέλιος – Πατσιμάς Δημήτριος , www.askisopolis.gr/
Κουτσοβασίλης Κώστας , perikentro.blogspot.gr
Κόλλας Αντώνης , www.kosmonaftis.gr
Παπαγρηγοράκης Μίλτος
Παλαιολόγου Παύλος
Παγώνης Θεόδωρος
Παπαδημητρίου Βαγγέλης
3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης σχολικό έτος 2015-2016(τα ονόματα των
συγγραφέων δεν αναγράφονται στις σημειώσεις) ,πηγή: lisari.blogspot.com
Κατσανός Απόστολος – Πνευματικός Μάριος

2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

More Related Content

What's hot

Similar to 2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

More from Μάκης Χατζόπουλος

Recently uploaded

2.5: Ρίζες πραγματικών αριθμών - Άλγεβρα Α΄ Λυκείου