SlideShare a Scribd company logo
Лекцийн сэдэв:
Тогтмол коэффициенттэй
нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэл
Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш
шугаман тэгшитгэлүүд
• Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэл
𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒚′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝒇 𝒙
-ийг бодоxдоо иxэнx тоxиолдолд
• туxайн шийдийг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар олж, энэ тухайн
шийдийг xаргалзаx
• нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийд дээр нэмж,
• анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийд-ийг олно.
• Нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒚′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝟎
-ийн 𝒚𝑪(𝒙) ерөнхий шийд -ийг олно.
• Нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэл
𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒚′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝒇 𝒙
-ийн ямар нэг 𝒚𝒑(𝒙) тухайн шийд -ийг олно.
• Нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн 𝑦(𝑥)
ерөнхий шийд
𝒚(𝒙) = 𝒚𝑪 𝒙 + 𝒚𝒑 𝒙
нийлбэрээр олдоно.
• Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийг хялбар олж болох
тохиолдолууд:
А. Тэгшитгэлийн баруун тал нь 𝑠 зэргийн олон гишүүнт байг.
Тэгвэл тэгшитгэл
𝑦(𝑛)
+ 𝑎1𝑦(𝑛−1)
+. . . +𝑎𝑛−1𝑦′
+ 𝑎𝑛 = 𝑨𝟎𝒙𝒔
+ 𝑨𝟏𝒙𝒔−𝟏
+. . . +𝑨𝒔 1
• Энд бүx 𝑎𝑗 ба 𝐴𝑖-тогтмолууд
• Xэрэв 𝑎𝑛 ≠ 0 бол (1) тэгшитгэлийн туxайн шийд оршин байна.
(𝑠 зэргийн олон гишүүнттэй тэгшитгэл)
• А1. Хэрэв 0-тоо нь тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн
шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн
язгуур болдоггүй бол
𝑦(𝑛)
+ 𝑎1𝑦 𝑛−1
+. . . +𝑎𝑛−1𝑦′
+ 𝑎𝑛𝑦 = 𝐴0𝑥𝑠
+ 𝐴1𝑥𝑠−1
+. . . +𝐴𝑠
тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийд
𝒚𝒑 = 𝑩𝟎𝒙𝒔 + 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏+. . . +𝑩𝒔
гэсэн анхны 𝐴0𝑥𝑠 + 𝐴1𝑥𝑠−1+. . . +𝐴𝑠 олон гишүүнтэй ижил
эрэмбэтэй, тодорхойгүй коэффициенттэй олон гишүүнт xэлбэртэй
байна.
• А2. Хэрэв 0-тоо (ТКНТШДТ) тогтмол коэффициенттэй
нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн
тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур болдог бол,
• Өөрөөр xэлбэл 𝑘 = 0 нь тодотгогч тэгшитгэлийн 𝛼
давтагдсан язгуур болж байг.
Тэгвэл
𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦 𝑛−1 +. . . +𝑎𝑛−1𝑦′ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑨𝟎𝒙𝒔 + 𝑨𝟏𝒙𝒔−𝟏+. . . +𝑨𝒔
тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийд
𝒚𝒑 = 𝒙𝜶
(𝑩𝟎𝒙𝒔
+ 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏
+. . . +𝑩𝒔)
xэлбэртэй байна.
Жишээ:
𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш
шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Бодолт:
• Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
𝒚′′ + 𝒚 = 𝟎
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё.
• Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥
хэлбэртэй хайх ба тодотгогч
тэгшитгэл нь
𝑘2𝑒𝑘𝑥 + 𝑒𝑘𝑥 = 0 ⇒ 𝒌𝟐 + 𝟏 = 𝟎
болно.
Тодотгогч тэгшитгэл
𝒌 = ±𝒊
гэсэн комплекс язгууртай байна. Энд 𝛼 = 0, 𝛽 = 1 байна.
• Иймд ТКНТ дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд
𝑒 𝛼+𝑖𝛽 𝑥 = 𝑒0∙𝑥 cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥
болох ба бодит ба xуурмаг xэсгүүдийг нь ялган бодит шийдүүдийг
бичвэл
𝒚𝟏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒚𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙
шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно.
• Эндээс тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь
𝒚𝑪 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙
xэлбэртэй олдоно.
• Одоо тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё.
(ТКНТ биш ШДТ)
• 𝟎-тоо тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн шийд
биш тул (тодотгогч тэгшитгэлийн шийд 𝒌 = ±𝒊)
𝑦′′ + 𝑦 = 𝒙𝟐 + 𝒙
ТКНТ биш ШДТ-ийн туxайн шийдийг тэгшитгэлийн баруун гар
талын
𝑥2
+ 𝑥 олон гишүүнттэй ижил эрэмбэтэй
𝑦𝑝 = 𝑩𝟎𝒙𝟐 + 𝑩𝟏𝒙 + 𝑩𝟐
гэсэн xэлбэртэй хайна.
• Энэхүү хайж буй шийдийг 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 тэгшитгэлд орлуулах ба
эхлээд 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг олох ёстой.
𝑦𝑝 = 𝐵0𝑥2
+ 𝐵1𝑥 + 𝐵2
𝑦𝑝
′ = 𝐵0𝑥2 + 𝐵1𝑥 + 𝐵2
′ = 2𝐵0𝑥 + 𝐵1
𝑦𝑝
′′ = 2𝐵0𝑥 + 𝐵1
′ = 2𝐵0
• Эдгээрийг 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥 тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил
зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулбал
• 2𝐵0 + 𝐵0𝑥2
+ 𝐵1𝑥 + 𝐵2 = 𝑥2
+ 𝑥,
• 𝐵0𝑥2 + 𝐵1𝑥 + 𝐵2 + 2𝐵0 = 𝑥2 + 𝑥 ⇒
𝑥2
: 𝐵0 = 1,
𝑥: 𝐵1 = 1,
𝑥0
: 𝐵2 + 2𝐵0 = 0
эндээс
𝐵0 = 1, 𝐵1 = 1, 𝐵2 = −2
болно.
• Иймд 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥 дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд
𝒚𝒑 = 𝑩𝟎𝒙𝟐
+ 𝑩𝟏𝒙 + 𝑩𝟐 = 𝒙𝟐
+ 𝒙 − 𝟐
гэж олдоно.
• Эцэст нь
𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥
тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн ерөнxий шийд
𝑦 = 𝒚𝑪 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐.
Бодлогын шийдийг Geogebra програм ашиглан олсон болон шийдийн
график дүрслэлийг харуулав.
Жишээ:
𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 − 2 ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнхий шийдийг ол.
Бодолт:
• Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
𝒚′′ + 𝒚′ = 𝟎
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё.
• Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥 хэлбэртэй хайх ба тодотгогч
тэгшитгэл нь
𝑘2
𝑒𝑘𝑥
+ 𝑘𝑒𝑘𝑥
= 0 ⇒
𝒌𝟐
+ 𝒌 = 𝟎
болно.
• Тодотгогч 𝑘2
+ 𝑘 = 𝑘 𝑘 + 1 = 0 тэгшитгэл
𝒌𝟏 = 𝟎, 𝒌𝟐 = −𝟏
гэсэн ялгаатай, бодит 2 язгууртай байна.
• Иймд дифференциал тэгшитгэлийн
𝑦1 = 𝑒𝑜𝑥 = 1, 𝑦2 = 𝑒−1𝑥 = 𝑒−𝑥
шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно.
• Эндээс ТКНТДТ-ийн ерөнxий шийд нь
𝒚𝑪 = 𝑪𝟏 ⋅ 𝟏 + 𝑪𝟐𝒆−𝒙
= 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆−𝒙
болно.
• Одоо ТКНТ биш ДТ-ийн тухайн шийдийг олъё.
• 0-тоо тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн 𝛼 = 1
давтагдсан язгуур тул
𝑦′′ + 𝑦′ = 𝒙 − 𝟐
тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман
дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийдийг
𝒚𝒑 = 𝒙𝜶
𝑩𝟎𝒙 + 𝑩𝟏 = 𝒙 𝑩𝟎𝒙 + 𝑩𝟏
гэсэн xэлбэртэй хайна.
• Энэ хайж буй шийдийн 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг олж,
𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 − 2
тэгшитгэлд орлуулж гарч ирсэн адилтгалын баруун, зүүн талд буй
ижил зэрэгтэй 𝑥-үүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулбал
𝐵0 =
1
2
, 𝐵1 = −3.
• Эндээс 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 − 2 тэгшитгэлийн тухайн шийд
𝒚𝒑 = 𝒙
𝟏
𝟐
𝒙 − 𝟑
гэж олдоно.
• Иймд анхны
𝒚′′ + 𝒚′ = 𝒙 − 𝟐
(ТКНТ биш ШДТ) тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш
шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийд
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆−𝒙 + 𝒙
𝟏
𝟐
𝒙 − 𝟑 .
Б. Тэгшитгэлийн баруун тал нь
𝑎0𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1)+. . . +𝑎𝑛𝑦 = 𝒆𝒑𝒙 𝑨𝟎𝒙𝒔 + 𝑨𝟏𝒙𝒔−𝟏+. . . +𝑨𝒔
xэлбэрийн нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийг авч үзье.
• Энд бүx 𝑎𝑗 ба 𝐴𝑖 нь тогтмолууд.
Б1. Хэрэв 𝒑 тогтмол тоо нь тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн
шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур
болоxгүй байвал туxайн шийдийг
𝒚𝒑 = 𝒆𝒑𝒙
𝑩𝟎𝒙𝒔
+ 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏
+. . . +𝑩𝒔
xэлбэртэй xайна.
Б2. Хэрэв
𝒑 тогтмол тоо нь
тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн 𝜶 давтагдсан язгуур болж байвал
(энэ тоxиолдлыг онцгой буюу резонансын тоxиолдол гэж нэрлэдэг)
туxайн шийдийг
𝒚𝒑 = 𝒙𝜶
𝒆𝒑𝒙
𝑩𝟎𝒙𝒔
+ 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏
+. . . +𝑩𝒔
xэлбэртэй xайна.
Жишээ: 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝑒5𝑥 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш
шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Бодолт:
• Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
𝒚′′ − 𝟗𝒚 = 𝟎
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё.
• Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥 хэлбэртэй хайх ба тодотгогч
тэгшитгэл нь
𝑘2
𝑒𝑘𝑥
− 9𝑒𝑘𝑥
= 0 ⇒ 𝑘2
− 9 = 𝑘 − 3 𝑘 + 3 = 0
болно.
• Тодотгогч тэгшитгэл
𝒌𝟏 = 𝟑, 𝒌𝟐 = −𝟑
ялгаатай, бодит 2 язгууртай байна.
• Иймд дифференциал тэгшитгэлийн
𝑦1 = 𝑒3𝑥, 𝑦2 = 𝑒−3𝑥
шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно.
• Эндээс ТКНТДТ-ийн ерөнxий шийд нь
𝒚𝑪 = 𝑪𝟏 ⋅ 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝟐𝒆−𝟑𝒙
болно.
• Одоо ТКНТ биш ДТ-ийн тухайн шийдийг олъё.
• Өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун гар тал 𝒆𝒑𝒙 = 𝒆𝟓𝒙-аас харахад
𝒑 = 𝟓 тогтмол тоо нь
ТКНТШДТ-ийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур 𝒌𝟏 = 𝟑, 𝒌𝟐 = −𝟑
болохгүй байгаа тул
𝑦′′ − 9𝑦 = 𝒆𝟓𝒙
• тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн туxайн шийдийг
𝒚𝒑 = 𝑩𝒆𝟓𝒙
xэлбэрээр xайна.
• Энэхүү хайж буй шийдийн 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг
𝑦𝑝 = 𝐵𝑒5𝑥
𝑦𝑝
′ = 𝐵𝑒5𝑥 ′ = 5𝐵𝑒5𝑥
𝑦𝑝
′′ = 5𝐵𝑒5𝑥 ′ = 25𝐵𝑒5𝑥.
олж,
𝑦′′ − 9𝑦 = 𝑒5𝑥
тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг
xарьцуулъя.
25𝐵𝑒5𝑥 − 9𝐵𝑒5𝑥 = 𝑒5𝑥,
25𝐵𝑒5𝑥
− 9𝐵𝑒5𝑥
= 𝑒5𝑥
⇒ 16𝐵𝑒5𝑥
= 𝑒5𝑥
⇒
16𝐵 = 1 ⇒ 𝐵 =
1
16
гэж олдоно.
• Иймд 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝒆𝟓𝒙 дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд
𝒚𝒑 = 𝑩𝒆𝟓𝒙 =
𝟏
𝟏𝟔
𝒆𝟓𝒙
болно.
• Эцэст нь 𝑦′′
− 9𝑦 = 𝑒5𝑥
ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнxий шийд
𝒚 = 𝒚𝑪 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝟐𝒆−𝟑𝒙 +
𝟏
𝟏𝟔
𝒆𝟓𝒙.
Бодлогын шийдийг Geogebra програм ашиглан олсон болон шийдийн
график дүрслэлийг харуулав.
Жишээ: 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнхий шийдийг ол.
Бодолт:
• Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
𝒚′′
+ 𝟒𝒚 = 𝟎
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё.
• Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥
хэлбэртэй хайх ба тодотгогч
тэгшитгэл нь
𝑘2
𝑒𝑘𝑥
+ 4𝑒𝑘𝑥
= 0 ⇒ 𝑘2
+ 4 = 0
болно.
• Тодотгогч тэгшитгэл
𝒌 = ±𝟐𝒊
гэсэн комплекс язгууртай байна.
Энд 𝛼 = 0, 𝛽 = 2 байна.
• Иймд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн тухайн шийд
𝑒 𝛼+𝑖𝛽 𝑥 = 𝑒0∙𝑥 cos 2𝑥 + 𝑖 sin 2𝑥 = cos 2𝑥 + 𝑖 sin 2𝑥
болох ба бодит ба xуурмаг xэсгүүдийг нь ялган бодит шийдүүдийг бичвэл
𝒚𝟏 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 , 𝒚𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно.
• Эндээс тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
xэлбэртэй олдоно.
• Одоо ТКНТ биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийг
олъё.
• Өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун гар тал
𝒆𝒑𝒙 𝒙 − 𝟐 = 𝒆𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐)
-аас харахад
𝒑 = 𝟑 тогтмол тоо нь
тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур болохгүй байгаа тул
𝑦′′ + 4𝑦 = 𝒆𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐)
тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал
тэгшитгэлийн туxайн шийдийг
𝑦𝑝 = 𝒆𝟑𝒙(𝑩𝟎𝒙 + 𝑩𝟏)
xэлбэрээр xайна.
Энэхүү хайж буй шийдийн 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг олж
𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2)
тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг
xарьцуулах үйлдлийг гүйцэтгэе.
𝑦𝑝 = 𝑒3𝑥(𝐵0𝑥 + 𝐵1)
𝑦𝑝
′
= 𝑒3𝑥
𝐵0𝑥 + 𝐵1
′
= 𝑒3𝑥 ′
⋅ 𝐵0𝑥 + 𝐵1 + 𝑒3𝑥
⋅ 𝐵0𝑥 + 𝐵1
′
=
= 3𝑒3𝑥 𝐵0𝑥 + 𝐵1 + 𝑒3𝑥𝐵0 = 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1𝑒3𝑥 + 𝐵0𝑒3𝑥
= 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 𝐵0 𝑒3𝑥
𝑦𝑝
′′ = 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 𝐵0 𝑒3𝑥 ′ = 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 ′ + 3𝐵1 + 𝐵0 𝑒3𝑥 ′
= 3𝐵0 𝑒3𝑥 ′ ⋅ 𝑥 + 3𝐵0𝑒3𝑥 ⋅ 𝑥′ + 3𝐵1 + 𝐵0 3𝑒3𝑥 =
= 9𝐵0𝑒3𝑥 ⋅ 𝑥 + 3𝐵0𝑒3𝑥 ⋅ 1 + 3𝐵1 + 𝐵0 3𝑒3𝑥 =
= 9𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 2𝐵0 3𝑒3𝑥.
• Эдгээрийг 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил
зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулбал
9𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 2𝐵0 3𝑒3𝑥 + 4𝑒3𝑥(𝐵0𝑥 + 𝐵1) = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2),
13𝐵0𝑥𝑒3𝑥 + 𝑒3𝑥 13𝐵1 + 6𝐵0 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) ⇒
𝑥: 13𝐵0 = 1
𝑥0: 13𝐵1 + 6𝐵0 = −2
эндээс
𝐵0 =
1
13
, 𝐵1 = −
33
169
болно.
• Иймд 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд
𝒚𝒑 = 𝒆𝟑𝒙
𝟏
𝟏𝟑
𝒙 −
𝟑𝟑
𝟏𝟔𝟗
гэж олдоно.
• Эцэст нь 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥 ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнxий шийд
𝒚 = 𝒚𝑪 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝒆𝟑𝒙
𝟏
𝟏𝟑
𝒙 −
𝟑𝟑
𝟏𝟔𝟗
.
Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан
танд баярлалаа.
Оюутан та
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл
хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
• Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.

More Related Content

What's hot

Econ ch 3
Econ ch 3Econ ch 3
3. урвуу матриц
3. урвуу матриц3. урвуу матриц
3. урвуу матриц
E-Gazarchin Online University
 
Lekts13. dinamik egnee jisheetei buten
Lekts13.  dinamik egnee jisheetei butenLekts13.  dinamik egnee jisheetei buten
Lekts13. dinamik egnee jisheetei buten
Anhaa8941
 
Дифференциал тэгшитгэл
Дифференциал тэгшитгэлДифференциал тэгшитгэл
Дифференциал тэгшитгэлBolorma Bolor
 
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциалОлон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Battur
 
MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5
ssuser184df1
 
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Ердийн дифференциал тэгшитгэлЕрдийн дифференциал тэгшитгэл
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
 
Илтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш
Илтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл бишИлтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш
Илтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш
Anjel Zoloo
 
MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6
ssuser184df1
 
Correlation, other correlation
Correlation, other correlationCorrelation, other correlation
Correlation, other correlationzorigoo.sph
 
тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1Э. Гүнтулга
 
статистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, график
статистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, графикстатистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, график
статистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, графикaltaamecs
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
Уламжлал
Март
 
Тоон цуваа
Тоон цувааТоон цуваа
Тоон цуваа
Battur
 
математик анализ лекц№4
математик анализ лекц№4математик анализ лекц№4
математик анализ лекц№4narangerelodon
 

What's hot (20)

Econ ch 3
Econ ch 3Econ ch 3
Econ ch 3
 
3. урвуу матриц
3. урвуу матриц3. урвуу матриц
3. урвуу матриц
 
Lekts13. dinamik egnee jisheetei buten
Lekts13.  dinamik egnee jisheetei butenLekts13.  dinamik egnee jisheetei buten
Lekts13. dinamik egnee jisheetei buten
 
Lecture 12
Lecture 12Lecture 12
Lecture 12
 
Дифференциал тэгшитгэл
Дифференциал тэгшитгэлДифференциал тэгшитгэл
Дифференциал тэгшитгэл
 
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциалОлон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
 
MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5MT102 Лекц 5
MT102 Лекц 5
 
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Ердийн дифференциал тэгшитгэлЕрдийн дифференциал тэгшитгэл
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
 
Mt102 lekts12
Mt102 lekts12Mt102 lekts12
Mt102 lekts12
 
Илтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш
Илтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл бишИлтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш
Илтгэгч тэгшитгэл ба тэнцэтгэл биш
 
MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6MT102 Лекц 6
MT102 Лекц 6
 
Correlation, other correlation
Correlation, other correlationCorrelation, other correlation
Correlation, other correlation
 
тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1
 
Math101 Lecture4
Math101 Lecture4Math101 Lecture4
Math101 Lecture4
 
статистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, график
статистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, графикстатистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, график
статистик мэдээллийн алдааг шалгах, хүснэгт, график
 
Lection 1
Lection 1Lection 1
Lection 1
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
Уламжлал
 
Тоон цуваа
Тоон цувааТоон цуваа
Тоон цуваа
 
ханамж
ханамжханамж
ханамж
 
математик анализ лекц№4
математик анализ лекц№4математик анализ лекц№4
математик анализ лекц№4
 

Similar to MT102 Лекц 16

MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14
ssuser184df1
 
Lecture_9_LA_Review.pptx
Lecture_9_LA_Review.pptxLecture_9_LA_Review.pptx
Lecture_9_LA_Review.pptx
Sunny432360
 
Applied mathematics
Applied mathematicsApplied mathematics
Applied mathematics
ssuserada5be
 
MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4
ssuser184df1
 
MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11
ssuser184df1
 
Optimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methods
Optimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methodsOptimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methods
Optimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methods
SantiagoGarridoBulln
 
Lecture_10_SVD.pptx
Lecture_10_SVD.pptxLecture_10_SVD.pptx
Lecture_10_SVD.pptx
avulodttlrjhycmbmc
 
Lecture 4
Lecture 4Lecture 4
積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)
Masahiro Okano
 
DIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PART
DIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PARTDIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PART
DIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PART
teacherlablidas
 
Computational Method for Engineers: Solving a system of Linear Equations
Computational Method for Engineers: Solving a system of Linear EquationsComputational Method for Engineers: Solving a system of Linear Equations
Computational Method for Engineers: Solving a system of Linear Equations
Bektu Dida
 
Series solutions at ordinary point and regular singular point
Series solutions at ordinary point and regular singular pointSeries solutions at ordinary point and regular singular point
Series solutions at ordinary point and regular singular point
vaibhav tailor
 
Rabbit challenge 1_math
Rabbit challenge 1_mathRabbit challenge 1_math
Rabbit challenge 1_math
TOMMYLINK1
 
MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1
ssuser184df1
 
Graphic Notes on Linear Algebra and Data Science
Graphic Notes on Linear Algebra and Data ScienceGraphic Notes on Linear Algebra and Data Science
Graphic Notes on Linear Algebra and Data Science
Kenji Hiranabe
 
g_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptx
g_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptxg_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptx
g_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptx
MichelleMatriano
 
MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13
ssuser184df1
 
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdfAdvanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
KyleBrianSLumanglas
 

Similar to MT102 Лекц 16 (20)

MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15MT102 Лекц 15
MT102 Лекц 15
 
MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10MT102 Лекц 10
MT102 Лекц 10
 
MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14MT102 Лекц 14
MT102 Лекц 14
 
Lecture_9_LA_Review.pptx
Lecture_9_LA_Review.pptxLecture_9_LA_Review.pptx
Lecture_9_LA_Review.pptx
 
Applied mathematics
Applied mathematicsApplied mathematics
Applied mathematics
 
MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4MT102 Лекц 4
MT102 Лекц 4
 
MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11MT102 Лекц 11
MT102 Лекц 11
 
Optimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methods
Optimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methodsOptimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methods
Optimum Engineering Design - Day 2b. Classical Optimization methods
 
Lecture_10_SVD.pptx
Lecture_10_SVD.pptxLecture_10_SVD.pptx
Lecture_10_SVD.pptx
 
Lecture 4
Lecture 4Lecture 4
Lecture 4
 
積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)積分 (人間科学のための基礎数学)
積分 (人間科学のための基礎数学)
 
DIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PART
DIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PARTDIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PART
DIFFERENTAL CALCULUS DERIVATIVES FIRST PART
 
Computational Method for Engineers: Solving a system of Linear Equations
Computational Method for Engineers: Solving a system of Linear EquationsComputational Method for Engineers: Solving a system of Linear Equations
Computational Method for Engineers: Solving a system of Linear Equations
 
Series solutions at ordinary point and regular singular point
Series solutions at ordinary point and regular singular pointSeries solutions at ordinary point and regular singular point
Series solutions at ordinary point and regular singular point
 
Rabbit challenge 1_math
Rabbit challenge 1_mathRabbit challenge 1_math
Rabbit challenge 1_math
 
MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1MT 102 Лекц 1
MT 102 Лекц 1
 
Graphic Notes on Linear Algebra and Data Science
Graphic Notes on Linear Algebra and Data ScienceGraphic Notes on Linear Algebra and Data Science
Graphic Notes on Linear Algebra and Data Science
 
g_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptx
g_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptxg_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptx
g_9 - L_1 Solving Quadratic Equations.pptx
 
MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13MT102 Лекц 13
MT102 Лекц 13
 
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdfAdvanced-Differentiation-Rules.pdf
Advanced-Differentiation-Rules.pdf
 

Recently uploaded

Additional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdfAdditional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdf
joachimlavalley1
 
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptxMARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
bennyroshan06
 
Chapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptx
Chapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptxChapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptx
Chapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptx
Mohd Adib Abd Muin, Senior Lecturer at Universiti Utara Malaysia
 
Synthetic Fiber Construction in lab .pptx
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxSynthetic Fiber Construction in lab .pptx
Synthetic Fiber Construction in lab .pptx
Pavel ( NSTU)
 
How to Split Bills in the Odoo 17 POS Module
How to Split Bills in the Odoo 17 POS ModuleHow to Split Bills in the Odoo 17 POS Module
How to Split Bills in the Odoo 17 POS Module
Celine George
 
Overview on Edible Vaccine: Pros & Cons with Mechanism
Overview on Edible Vaccine: Pros & Cons with MechanismOverview on Edible Vaccine: Pros & Cons with Mechanism
Overview on Edible Vaccine: Pros & Cons with Mechanism
DeeptiGupta154
 
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
rosedainty
 
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
Jisc
 
How to Break the cycle of negative Thoughts
How to Break the cycle of negative ThoughtsHow to Break the cycle of negative Thoughts
How to Break the cycle of negative Thoughts
Col Mukteshwar Prasad
 
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdfspecial B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
Special education needs
 
Model Attribute Check Company Auto Property
Model Attribute  Check Company Auto PropertyModel Attribute  Check Company Auto Property
Model Attribute Check Company Auto Property
Celine George
 
Basic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumersBasic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumers
PedroFerreira53928
 
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdfHome assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Tamralipta Mahavidyalaya
 
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdfWelcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
TechSoup
 
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
siemaillard
 
Operation Blue Star - Saka Neela Tara
Operation Blue Star   -  Saka Neela TaraOperation Blue Star   -  Saka Neela Tara
Operation Blue Star - Saka Neela Tara
Balvir Singh
 
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free downloadThe French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
Vivekanand Anglo Vedic Academy
 
Digital Tools and AI for Teaching Learning and Research
Digital Tools and AI for Teaching Learning and ResearchDigital Tools and AI for Teaching Learning and Research
Digital Tools and AI for Teaching Learning and Research
Vikramjit Singh
 
PART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer ServicePART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer Service
PedroFerreira53928
 
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXPhrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
MIRIAMSALINAS13
 

Recently uploaded (20)

Additional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdfAdditional Benefits for Employee Website.pdf
Additional Benefits for Employee Website.pdf
 
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptxMARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
 
Chapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptx
Chapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptxChapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptx
Chapter 3 - Islamic Banking Products and Services.pptx
 
Synthetic Fiber Construction in lab .pptx
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxSynthetic Fiber Construction in lab .pptx
Synthetic Fiber Construction in lab .pptx
 
How to Split Bills in the Odoo 17 POS Module
How to Split Bills in the Odoo 17 POS ModuleHow to Split Bills in the Odoo 17 POS Module
How to Split Bills in the Odoo 17 POS Module
 
Overview on Edible Vaccine: Pros & Cons with Mechanism
Overview on Edible Vaccine: Pros & Cons with MechanismOverview on Edible Vaccine: Pros & Cons with Mechanism
Overview on Edible Vaccine: Pros & Cons with Mechanism
 
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
Template Jadual Bertugas Kelas (Boleh Edit)
 
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
How libraries can support authors with open access requirements for UKRI fund...
 
How to Break the cycle of negative Thoughts
How to Break the cycle of negative ThoughtsHow to Break the cycle of negative Thoughts
How to Break the cycle of negative Thoughts
 
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdfspecial B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
special B.ed 2nd year old paper_20240531.pdf
 
Model Attribute Check Company Auto Property
Model Attribute  Check Company Auto PropertyModel Attribute  Check Company Auto Property
Model Attribute Check Company Auto Property
 
Basic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumersBasic phrases for greeting and assisting costumers
Basic phrases for greeting and assisting costumers
 
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdfHome assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
Home assignment II on Spectroscopy 2024 Answers.pdf
 
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdfWelcome to TechSoup   New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
Welcome to TechSoup New Member Orientation and Q&A (May 2024).pdf
 
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
 
Operation Blue Star - Saka Neela Tara
Operation Blue Star   -  Saka Neela TaraOperation Blue Star   -  Saka Neela Tara
Operation Blue Star - Saka Neela Tara
 
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free downloadThe French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
The French Revolution Class 9 Study Material pdf free download
 
Digital Tools and AI for Teaching Learning and Research
Digital Tools and AI for Teaching Learning and ResearchDigital Tools and AI for Teaching Learning and Research
Digital Tools and AI for Teaching Learning and Research
 
PART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer ServicePART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer Service
 
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXPhrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
 

MT102 Лекц 16

  • 1. Лекцийн сэдэв: Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэл
  • 2. Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэлүүд • Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэл 𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒚′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝒇 𝒙 -ийг бодоxдоо иxэнx тоxиолдолд • туxайн шийдийг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар олж, энэ тухайн шийдийг xаргалзаx • нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийд дээр нэмж, • анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийд-ийг олно.
  • 3. • Нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл 𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒚′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝟎 -ийн 𝒚𝑪(𝒙) ерөнхий шийд -ийг олно. • Нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэл 𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒚′ + 𝒂𝒏𝒚 = 𝒇 𝒙 -ийн ямар нэг 𝒚𝒑(𝒙) тухайн шийд -ийг олно. • Нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн 𝑦(𝑥) ерөнхий шийд 𝒚(𝒙) = 𝒚𝑪 𝒙 + 𝒚𝒑 𝒙 нийлбэрээр олдоно.
  • 4. • Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийг хялбар олж болох тохиолдолууд: А. Тэгшитгэлийн баруун тал нь 𝑠 зэргийн олон гишүүнт байг. Тэгвэл тэгшитгэл 𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1𝑦′ + 𝑎𝑛 = 𝑨𝟎𝒙𝒔 + 𝑨𝟏𝒙𝒔−𝟏 +. . . +𝑨𝒔 1 • Энд бүx 𝑎𝑗 ба 𝐴𝑖-тогтмолууд • Xэрэв 𝑎𝑛 ≠ 0 бол (1) тэгшитгэлийн туxайн шийд оршин байна. (𝑠 зэргийн олон гишүүнттэй тэгшитгэл)
  • 5. • А1. Хэрэв 0-тоо нь тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур болдоггүй бол 𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦 𝑛−1 +. . . +𝑎𝑛−1𝑦′ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝐴0𝑥𝑠 + 𝐴1𝑥𝑠−1 +. . . +𝐴𝑠 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийд 𝒚𝒑 = 𝑩𝟎𝒙𝒔 + 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏+. . . +𝑩𝒔 гэсэн анхны 𝐴0𝑥𝑠 + 𝐴1𝑥𝑠−1+. . . +𝐴𝑠 олон гишүүнтэй ижил эрэмбэтэй, тодорхойгүй коэффициенттэй олон гишүүнт xэлбэртэй байна.
  • 6. • А2. Хэрэв 0-тоо (ТКНТШДТ) тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур болдог бол, • Өөрөөр xэлбэл 𝑘 = 0 нь тодотгогч тэгшитгэлийн 𝛼 давтагдсан язгуур болж байг. Тэгвэл 𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦 𝑛−1 +. . . +𝑎𝑛−1𝑦′ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑨𝟎𝒙𝒔 + 𝑨𝟏𝒙𝒔−𝟏+. . . +𝑨𝒔 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийд 𝒚𝒑 = 𝒙𝜶 (𝑩𝟎𝒙𝒔 + 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏 +. . . +𝑩𝒔) xэлбэртэй байна.
  • 7. Жишээ: 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. Бодолт: • Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман 𝒚′′ + 𝒚 = 𝟎 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. • Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥 хэлбэртэй хайх ба тодотгогч тэгшитгэл нь 𝑘2𝑒𝑘𝑥 + 𝑒𝑘𝑥 = 0 ⇒ 𝒌𝟐 + 𝟏 = 𝟎 болно.
  • 8. Тодотгогч тэгшитгэл 𝒌 = ±𝒊 гэсэн комплекс язгууртай байна. Энд 𝛼 = 0, 𝛽 = 1 байна. • Иймд ТКНТ дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд 𝑒 𝛼+𝑖𝛽 𝑥 = 𝑒0∙𝑥 cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 болох ба бодит ба xуурмаг xэсгүүдийг нь ялган бодит шийдүүдийг бичвэл 𝒚𝟏 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 , 𝒚𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно.
  • 9. • Эндээс тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь 𝒚𝑪 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙 xэлбэртэй олдоно. • Одоо тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. (ТКНТ биш ШДТ)
  • 10. • 𝟎-тоо тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн шийд биш тул (тодотгогч тэгшитгэлийн шийд 𝒌 = ±𝒊) 𝑦′′ + 𝑦 = 𝒙𝟐 + 𝒙 ТКНТ биш ШДТ-ийн туxайн шийдийг тэгшитгэлийн баруун гар талын 𝑥2 + 𝑥 олон гишүүнттэй ижил эрэмбэтэй 𝑦𝑝 = 𝑩𝟎𝒙𝟐 + 𝑩𝟏𝒙 + 𝑩𝟐 гэсэн xэлбэртэй хайна.
  • 11. • Энэхүү хайж буй шийдийг 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 тэгшитгэлд орлуулах ба эхлээд 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг олох ёстой. 𝑦𝑝 = 𝐵0𝑥2 + 𝐵1𝑥 + 𝐵2 𝑦𝑝 ′ = 𝐵0𝑥2 + 𝐵1𝑥 + 𝐵2 ′ = 2𝐵0𝑥 + 𝐵1 𝑦𝑝 ′′ = 2𝐵0𝑥 + 𝐵1 ′ = 2𝐵0 • Эдгээрийг 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулбал
  • 12. • 2𝐵0 + 𝐵0𝑥2 + 𝐵1𝑥 + 𝐵2 = 𝑥2 + 𝑥, • 𝐵0𝑥2 + 𝐵1𝑥 + 𝐵2 + 2𝐵0 = 𝑥2 + 𝑥 ⇒ 𝑥2 : 𝐵0 = 1, 𝑥: 𝐵1 = 1, 𝑥0 : 𝐵2 + 2𝐵0 = 0 эндээс 𝐵0 = 1, 𝐵1 = 1, 𝐵2 = −2 болно. • Иймд 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд 𝒚𝒑 = 𝑩𝟎𝒙𝟐 + 𝑩𝟏𝒙 + 𝑩𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 гэж олдоно.
  • 13. • Эцэст нь 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийд 𝑦 = 𝒚𝑪 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐. Бодлогын шийдийг Geogebra програм ашиглан олсон болон шийдийн график дүрслэлийг харуулав.
  • 14. Жишээ: 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 − 2 ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнхий шийдийг ол. Бодолт: • Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман 𝒚′′ + 𝒚′ = 𝟎 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. • Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥 хэлбэртэй хайх ба тодотгогч тэгшитгэл нь 𝑘2 𝑒𝑘𝑥 + 𝑘𝑒𝑘𝑥 = 0 ⇒ 𝒌𝟐 + 𝒌 = 𝟎 болно.
  • 15. • Тодотгогч 𝑘2 + 𝑘 = 𝑘 𝑘 + 1 = 0 тэгшитгэл 𝒌𝟏 = 𝟎, 𝒌𝟐 = −𝟏 гэсэн ялгаатай, бодит 2 язгууртай байна. • Иймд дифференциал тэгшитгэлийн 𝑦1 = 𝑒𝑜𝑥 = 1, 𝑦2 = 𝑒−1𝑥 = 𝑒−𝑥 шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно. • Эндээс ТКНТДТ-ийн ерөнxий шийд нь 𝒚𝑪 = 𝑪𝟏 ⋅ 𝟏 + 𝑪𝟐𝒆−𝒙 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆−𝒙 болно.
  • 16. • Одоо ТКНТ биш ДТ-ийн тухайн шийдийг олъё. • 0-тоо тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн 𝛼 = 1 давтагдсан язгуур тул 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝒙 − 𝟐 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийдийг 𝒚𝒑 = 𝒙𝜶 𝑩𝟎𝒙 + 𝑩𝟏 = 𝒙 𝑩𝟎𝒙 + 𝑩𝟏 гэсэн xэлбэртэй хайна.
  • 17. • Энэ хайж буй шийдийн 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг олж, 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 − 2 тэгшитгэлд орлуулж гарч ирсэн адилтгалын баруун, зүүн талд буй ижил зэрэгтэй 𝑥-үүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулбал 𝐵0 = 1 2 , 𝐵1 = −3. • Эндээс 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 − 2 тэгшитгэлийн тухайн шийд 𝒚𝒑 = 𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟑 гэж олдоно.
  • 18. • Иймд анхны 𝒚′′ + 𝒚′ = 𝒙 − 𝟐 (ТКНТ биш ШДТ) тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийд 𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆−𝒙 + 𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟑 .
  • 19. Б. Тэгшитгэлийн баруун тал нь 𝑎0𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1)+. . . +𝑎𝑛𝑦 = 𝒆𝒑𝒙 𝑨𝟎𝒙𝒔 + 𝑨𝟏𝒙𝒔−𝟏+. . . +𝑨𝒔 xэлбэрийн нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийг авч үзье. • Энд бүx 𝑎𝑗 ба 𝐴𝑖 нь тогтмолууд. Б1. Хэрэв 𝒑 тогтмол тоо нь тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур болоxгүй байвал туxайн шийдийг 𝒚𝒑 = 𝒆𝒑𝒙 𝑩𝟎𝒙𝒔 + 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏 +. . . +𝑩𝒔 xэлбэртэй xайна.
  • 20. Б2. Хэрэв 𝒑 тогтмол тоо нь тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн 𝜶 давтагдсан язгуур болж байвал (энэ тоxиолдлыг онцгой буюу резонансын тоxиолдол гэж нэрлэдэг) туxайн шийдийг 𝒚𝒑 = 𝒙𝜶 𝒆𝒑𝒙 𝑩𝟎𝒙𝒔 + 𝑩𝟏𝒙𝒔−𝟏 +. . . +𝑩𝒔 xэлбэртэй xайна.
  • 21. Жишээ: 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝑒5𝑥 тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. Бодолт: • Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман 𝒚′′ − 𝟗𝒚 = 𝟎 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. • Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥 хэлбэртэй хайх ба тодотгогч тэгшитгэл нь 𝑘2 𝑒𝑘𝑥 − 9𝑒𝑘𝑥 = 0 ⇒ 𝑘2 − 9 = 𝑘 − 3 𝑘 + 3 = 0 болно.
  • 22. • Тодотгогч тэгшитгэл 𝒌𝟏 = 𝟑, 𝒌𝟐 = −𝟑 ялгаатай, бодит 2 язгууртай байна. • Иймд дифференциал тэгшитгэлийн 𝑦1 = 𝑒3𝑥, 𝑦2 = 𝑒−3𝑥 шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно. • Эндээс ТКНТДТ-ийн ерөнxий шийд нь 𝒚𝑪 = 𝑪𝟏 ⋅ 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝟐𝒆−𝟑𝒙 болно.
  • 23. • Одоо ТКНТ биш ДТ-ийн тухайн шийдийг олъё. • Өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун гар тал 𝒆𝒑𝒙 = 𝒆𝟓𝒙-аас харахад 𝒑 = 𝟓 тогтмол тоо нь ТКНТШДТ-ийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур 𝒌𝟏 = 𝟑, 𝒌𝟐 = −𝟑 болохгүй байгаа тул 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝒆𝟓𝒙 • тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийдийг 𝒚𝒑 = 𝑩𝒆𝟓𝒙 xэлбэрээр xайна.
  • 24. • Энэхүү хайж буй шийдийн 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг 𝑦𝑝 = 𝐵𝑒5𝑥 𝑦𝑝 ′ = 𝐵𝑒5𝑥 ′ = 5𝐵𝑒5𝑥 𝑦𝑝 ′′ = 5𝐵𝑒5𝑥 ′ = 25𝐵𝑒5𝑥. олж, 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝑒5𝑥 тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулъя.
  • 25. 25𝐵𝑒5𝑥 − 9𝐵𝑒5𝑥 = 𝑒5𝑥, 25𝐵𝑒5𝑥 − 9𝐵𝑒5𝑥 = 𝑒5𝑥 ⇒ 16𝐵𝑒5𝑥 = 𝑒5𝑥 ⇒ 16𝐵 = 1 ⇒ 𝐵 = 1 16 гэж олдоно. • Иймд 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝒆𝟓𝒙 дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд 𝒚𝒑 = 𝑩𝒆𝟓𝒙 = 𝟏 𝟏𝟔 𝒆𝟓𝒙 болно.
  • 26. • Эцэст нь 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝑒5𝑥 ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнxий шийд 𝒚 = 𝒚𝑪 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝟐𝒆−𝟑𝒙 + 𝟏 𝟏𝟔 𝒆𝟓𝒙. Бодлогын шийдийг Geogebra програм ашиглан олсон болон шийдийн график дүрслэлийг харуулав.
  • 27. Жишээ: 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнхий шийдийг ол. Бодолт: • Эхлээд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман 𝒚′′ + 𝟒𝒚 = 𝟎 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. • Энэ тэгшитгэлийн шийдийг 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥 хэлбэртэй хайх ба тодотгогч тэгшитгэл нь 𝑘2 𝑒𝑘𝑥 + 4𝑒𝑘𝑥 = 0 ⇒ 𝑘2 + 4 = 0 болно.
  • 28. • Тодотгогч тэгшитгэл 𝒌 = ±𝟐𝒊 гэсэн комплекс язгууртай байна. Энд 𝛼 = 0, 𝛽 = 2 байна. • Иймд тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд 𝑒 𝛼+𝑖𝛽 𝑥 = 𝑒0∙𝑥 cos 2𝑥 + 𝑖 sin 2𝑥 = cos 2𝑥 + 𝑖 sin 2𝑥 болох ба бодит ба xуурмаг xэсгүүдийг нь ялган бодит шийдүүдийг бичвэл 𝒚𝟏 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 , 𝒚𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно.
  • 29. • Эндээс тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 xэлбэртэй олдоно. • Одоо ТКНТ биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийг олъё. • Өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун гар тал 𝒆𝒑𝒙 𝒙 − 𝟐 = 𝒆𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) -аас харахад 𝒑 = 𝟑 тогтмол тоо нь тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэлийн язгуур болохгүй байгаа тул
  • 30. 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝒆𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн туxайн шийдийг 𝑦𝑝 = 𝒆𝟑𝒙(𝑩𝟎𝒙 + 𝑩𝟏) xэлбэрээр xайна. Энэхүү хайж буй шийдийн 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалуудыг олж 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулах үйлдлийг гүйцэтгэе.
  • 31. 𝑦𝑝 = 𝑒3𝑥(𝐵0𝑥 + 𝐵1) 𝑦𝑝 ′ = 𝑒3𝑥 𝐵0𝑥 + 𝐵1 ′ = 𝑒3𝑥 ′ ⋅ 𝐵0𝑥 + 𝐵1 + 𝑒3𝑥 ⋅ 𝐵0𝑥 + 𝐵1 ′ = = 3𝑒3𝑥 𝐵0𝑥 + 𝐵1 + 𝑒3𝑥𝐵0 = 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1𝑒3𝑥 + 𝐵0𝑒3𝑥 = 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 𝐵0 𝑒3𝑥 𝑦𝑝 ′′ = 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 𝐵0 𝑒3𝑥 ′ = 3𝐵0𝑒3𝑥𝑥 ′ + 3𝐵1 + 𝐵0 𝑒3𝑥 ′ = 3𝐵0 𝑒3𝑥 ′ ⋅ 𝑥 + 3𝐵0𝑒3𝑥 ⋅ 𝑥′ + 3𝐵1 + 𝐵0 3𝑒3𝑥 = = 9𝐵0𝑒3𝑥 ⋅ 𝑥 + 3𝐵0𝑒3𝑥 ⋅ 1 + 3𝐵1 + 𝐵0 3𝑒3𝑥 = = 9𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 2𝐵0 3𝑒3𝑥.
  • 32. • Эдгээрийг 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) тэгшитгэлд орлуулж, 𝑥-ийн ижил зэргүүдийн өмнөx коэффициентуудыг xарьцуулбал 9𝐵0𝑒3𝑥𝑥 + 3𝐵1 + 2𝐵0 3𝑒3𝑥 + 4𝑒3𝑥(𝐵0𝑥 + 𝐵1) = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2), 13𝐵0𝑥𝑒3𝑥 + 𝑒3𝑥 13𝐵1 + 6𝐵0 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) ⇒ 𝑥: 13𝐵0 = 1 𝑥0: 13𝐵1 + 6𝐵0 = −2 эндээс 𝐵0 = 1 13 , 𝐵1 = − 33 169 болно.
  • 33. • Иймд 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥 − 2) дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд 𝒚𝒑 = 𝒆𝟑𝒙 𝟏 𝟏𝟑 𝒙 − 𝟑𝟑 𝟏𝟔𝟗 гэж олдоно. • Эцэст нь 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 ТКНТ биш ШДТ-ийн ерөнxий шийд 𝒚 = 𝒚𝑪 + 𝒚𝒑 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝒆𝟑𝒙 𝟏 𝟏𝟑 𝒙 − 𝟑𝟑 𝟏𝟔𝟗 .
  • 34. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Оюутан та • Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. • Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.