1. Dokumen membahas tentang kemungkinan solusi persamaan binomial dan multinomial dengan syarat-syarat tertentu. 2. Terdapat rumusan teorema dan contoh soal untuk menghitung jumlah kemungkinan solusi persamaan tersebut menggunakan kombinasi dan koefisien binomial. 3. Dibahas pula ekspansi persamaan binomial menggunakan koefisien binomial sesuai teorema binomial.

1. Pertemuan ke-11
Binomial
dan
Multinomial
Matematika Diskrit
heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id

2. Berapa kemungkinan solusi untuk bil. Bulat positif 𝑥𝑖
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 9, 𝑥𝑖 > 0
Jumlah 3
bil.positif
Banyak
kemungkinan
1+1+7 3!
2! 1!
= 3
1+2+6 3! = 6
1+3+5 3! = 6
1+4+4 3!
2! 1!
= 3
2+2+5 3!
2! 1!
= 3
2+3+4 3! = 6
3+3+3 3!
3!
= 1
Total
Kemungkinan
28
Kombinasi dengan perulanganPermutasi dengan perulangan
n=9 dan r=3
banyak kemungkinan solusi
𝐶 9 − 1,3 − 1 = 𝐶 8,2
=
8!
6! 2!
= 4 × 7
= 𝟐𝟖

3. Kombinasi dengan perulangan
TEOREMA (De Moivre)
Misalkan 𝑛 adalah bilangan bulat positif (𝑛 > 0).
Banyak solusi bulat positif dari
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑟 = 𝑛, 𝑥𝑖 > 0
adalah
𝐶(𝑛 − 1, 𝑟 − 1)
COROLLARY
Misalkan n adalah bilangan bulat positif.
Banyak solusi bulat non negatif untuk
𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑟 = 𝑛, 𝑦𝑖 ≥ 0
adalah
𝐶(𝑛 + 𝑟 − 1, 𝑟 − 1)

4. Contoh Soal
1. Pada persamaan 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 12, 𝑥𝑖 adalah bilangan bulat non
negative. Berapa jumlah kemungkinan solusinya?
n=12 , r=4, 𝑥𝑖 ≥ 0 ⟹ Banyak solusi =
𝐶 12 + 4 − 1,4 − 1 =
15!
12! 3!
= 5 × 7 × 13 = 455
2. Berapa banyak cara angka 100 dapat dituliskan sebagai jumlah dari
empat buah bilangan bulat positif?
n=100, r=4, 𝑥𝑖 > 0 ⟹ Banyak solusi =
𝐶 12 − 1,4 − 1 =
11!
8!3!
= 11 × 5 × 3 = 165
3. Terdapat 5 orang dalam sebuah lift yang memiliki 8 lantai.
Berapa banyak cara mereka dapat memilih lantai untuk keluar lift?
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 = 5, 0 ≤ 𝑥𝑖
n=5, r=8, 𝑥𝑖 ≥ 0 ⟹ Banyak solusi =
𝐶 5 + 8 − 1,8 − 1 =
12!
5! 7!
= 12 × 11 × 3 × 2 = 792

5. 4. Berapa banyak kemungkinan solusi
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 12, 𝑥𝑖 adalah bilangan bulat non negative
bila disyaratkan 𝑥1 > 0,𝑥2 > 1,𝑥3 > 2, dan 𝑥4 ≥ 0?
JAWAB :
Kita ubah syarat menjadi 𝑦𝑖 > 0 sehingga
𝑦1 = 𝑥1 > 0
𝑦2 = 𝑥2 − 1 > 0
𝑦3 = 𝑥3 − 2 > 0
𝑦4 = 𝑥4 > 0 (Untuk 𝑥4 = 0 akan dibahas selanjutnya)
Persamaan menjadi
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑦1 + 𝑦2 + 1 + 𝑦3 + 2 + 𝑦4 = 12
Masalah tersebut ekuivalen dengan
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 = 9, 𝑦𝑖 > 0
atau 𝑥4 = 𝑦4 = 0 , sehingga
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 9, 𝑦𝑖 > 0
Banyak kemungkinan solusi
𝐶 9 − 1,4 − 1 + 𝐶 9 − 1,3 − 1 =
8!
5! 3!
+
8!
6! 2!
= 8 × 7 + 4 × 7 = 56 + 28 = 84
Contoh Soal

6. Contoh Soal
5. 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak mendapa
t minimal 1 buah apel dan jeruk Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilaku
kan?
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 20, 𝑥𝑖 > 0
dan
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑦5 = 15, 𝑦𝑖 > 0
Banyak cara pembagian minimal 1 apel dan jeruk
𝐶 20 − 1,5 − 1 × 𝐶 15 − 1,5 − 1 =
19!
15! 4!
×
14!
10! 4!
6. Berapa jumlah cara pembagian tiap anak mendapat 1 buah apel atau jeruk atau
tidak keduanya
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 20, 𝑥𝑖 ≥ 0
dan
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 + 𝑦5 = 15, 𝑦𝑖 ≥ 0
Banyak cara pembagian mendapat 1 apel atau jeruk atau tidak keduanya
𝐶 20 + 5 − 1,5 − 1 × 𝐶 15 + 5 − 1,5 − 1 =
24!
20! 4!
×
19!
15! 4!

7. Latihan Soal
1.Tentukan banyak quadruples (a,b,c,d) dari bilangan
bulat yang memenuhi
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 100, 𝑎 ≥ 30, 𝑏 > 21, 𝑐 ≥ 1, 𝑑 ≥ 1
2. Tentukan banyak quadruples (a,b,c,d) dari bilangan
bulat tak negative yang
memenuhi persamaan
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ≤ 2001

8. Segitiga Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
𝑎 + 𝑏 𝑛
=….

9. TEOREMA
𝐶(𝑛, 𝑟) = 𝐶(𝑛 − 1, 𝑟) + 𝐶(𝑛 − 1, 𝑟 − 1)
BUKTI :
𝐶 𝑛, 𝑟 =
𝑛!
𝑛 − 𝑟 ! 𝑟!
=
𝑛!
𝑛 − 𝑟 ! 𝑟!
𝑛 − 𝑟
𝑛
+
𝑟
𝑛
=
𝑛!
𝑛 − 𝑟 ! 𝑟!
𝑛 − 𝑟
𝑛
+
𝑛!
𝑛 − 𝑟 ! 𝑟!
𝑟
𝑛
=
(𝑛 − 1)!
𝑛 − (𝑟 + 1) ! 𝑟!
+
(𝑛 − 1)!
𝑛 − 𝑟 ! (𝑟 − 1)!
=
(𝑛 − 1)!
𝑛 − 1 − 𝑟 ! 𝑟!
+
(𝑛 − 1)!
𝑛 − 𝑟 ! (𝑟 − 1)!
= 𝐶 𝑛 − 1, 𝑟 + 𝐶(𝑛 − 1, 𝑟 − 1))
untuk bil.bulat 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛
Identitas Pascal

10. Koefisien Binomial
TEOREMA (Teorema Binomial)
Misalkan 𝑎 dan 𝑏 adalah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak
negatif (n≥ 0), maka
𝑎 + 𝑏 𝑛 = 𝐶(𝑛, 𝑘)𝑎 𝑛;𝑘 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
Bilangan-bilangan 𝐶(𝑛, 𝑘) disebut koefisien-koefisien binomial
karena muncul sebagai koefisien dalam ekspansi 𝑥 + 𝑦 𝑛
.

11. Bukti Teorema Binomial
P n : 𝑎 + 𝑏 𝑛 = 𝐶(𝑛, 𝑘)𝑎 𝑛;𝑘 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
Untuk n=1, p(1) benar, karena
𝑃 1 : 𝑎 + 𝑏 1
= 𝐶(1, 𝑘)𝑎1;𝑘
𝑏 𝑘
1
𝑘<0
=
1
0
𝑎1
𝑏0
+
1
1
𝑎0
𝑏1
= 𝑎 + 𝑏
Asumsikan bahwa p(n) benar dan akan dibuktikan bahwa 𝑝(𝑛 + 1) benar.
𝑎 + 𝑏 𝑛:1
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑛
= 𝑎 + 𝑏 𝐶 𝑛, 𝑘 𝑎 𝑛;𝑘
𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
= 𝐶 𝑛, 𝑘 𝑎 𝑛;𝑘:1 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
+ 𝐶(𝑛, 𝑘)𝑎 𝑛;𝑘 𝑏 𝑘:1
𝑛
𝑘<0
Misalkan j=k+1, maka
k=0 => j=1, k=n => j=n+1, dan k=j-1
sehingga
𝐶 𝑛, 𝑘 𝑎 𝑛;𝑘 𝑏 𝑘:1 = 𝐶(𝑛, 𝑗 − 1) 𝑎 𝑛;(𝑗;1) 𝑏 𝑗;1 :1 = 𝐶(𝑛, 𝑗 − 1) 𝑎 𝑛:1;𝑗 𝑏 𝑗

12. Lalu diperoleh
𝑎 + 𝑏 𝑛:1 = 𝐶 𝑛, 𝑘 𝑎 𝑛;𝑘:1 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
+ 𝐶(𝑛, 𝑗 − 1) 𝑎 𝑛:1;𝑗 𝑏 𝑗
𝑛
𝑘<0
Notasi indeks 𝑗 dapat diganti menjadi 𝑘, menjadi
𝑎 + 𝑏 𝑛:1 = 𝐶 𝑛, 𝑘 𝑎 𝑛;𝑘:1 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
+ 𝐶(𝑛, 𝑘 − 1) 𝑎 𝑛:1;𝑘 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
= 𝐶 𝑛, 0 𝑎 𝑛:1;0 𝑏0 + 𝐶 𝑛, 𝑘 + 𝐶(𝑛, 𝑘 − 1) 𝑎 𝑛:1;𝑘 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
+𝐶(𝑛, 𝑛 + 1 − 1)𝑎 𝑛:1;(𝑛:1) 𝑏 𝑛:1
= 𝑎 𝑛:1 + 𝐶 𝑛, 𝑘 + 𝐶(𝑛, 𝑘 − 1) 𝑎 𝑛:1;𝑘 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
+ 𝑏 𝑛:1
Dari Identitas Pascal
𝐶(𝑛, 𝑘) = 𝐶(𝑛 − 1, 𝑘) + 𝐶(𝑛 − 1, 𝑘 − 1)
diperoleh
𝑎 + 𝑏 𝑛:1 = 𝑎 𝑛:1 + 𝐶(𝑛 + 1, 𝑘)𝑎 𝑛:1;𝑘 𝑏 𝑘
𝑛
𝑘<0
+ 𝑏 𝑛:1 = 𝐶(𝑛 + 1, 𝑘)𝑎 𝑛:1;𝑘 𝑏 𝑘
𝑛:1
𝑘<0

13. Contoh soal
1. Tentukan koefisien 𝑥3 𝑦2 dari ekspansi (𝑥 + 𝑦)5!
𝐶 5,2 =
5!
3! 2!
= 10
2. Jabarkan (3𝑥 − 2)3
(3𝑥 − 2)3=
3
0
(3𝑥)320 +
3
1
(3𝑥)221 +
3
2
(3𝑥)122 +
3
3
(3𝑥)023
=
3
0
27𝑥3
+
3
1
18𝑥2
+
3
2
12𝑥 +
3
3
8
= 27𝑥3 + 54𝑥2 + 36𝑥 + 8
3. Buktikan bahwa 𝐶 𝑛, 𝑘 = 2 𝑛𝑛
𝑘<0 !
Penerapan Teorema binomial dengan 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 1 menghasilkan
2 𝑛
= 1 + 1 𝑛
= 𝐶(𝑛, 𝑘)1 𝑛;𝑘
1 𝑘
𝑛
𝑘<0
= 𝐶(𝑛, 𝑘)
𝑛
𝑘<0

14. Teorema Multinomial
Jika 𝑛, 𝑛1, 𝑛2, . . , 𝑛 𝑘 adalah bilangan bulat tak negatif dan
𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑘, maka
𝑛
𝑛1, 𝑛2, . . , 𝑛 𝑘
=
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛 𝑘!
Multinomial teorema berbentuk
(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑘) 𝑛=
𝑛
𝑛1, 𝑛2, . . , 𝑛 𝑘
𝑥1
𝑛1
𝑥2
𝑛2
… 𝑥 𝑘
𝑛 𝑘
𝑛<𝑛1:𝑛2:⋯:𝑛 𝑘
𝑛1,𝑛2,..,𝑛 𝑘≥0

15. Contoh Soal
1. Hitunglah koefisien-koefisien multinomial berikut
a.
6
3,2,1
=
6!
3!2!1!
= 60
b.
8
4,2,2,0
=
8!
4!2!2!0!
= 420
c.
10
5,3,2,2
= tidak memiliki arti karena 5 + 3 + 2 + 2 ≠ 10
2. Berapakah koefisien dari suku 𝑥2
𝑦3
𝑧3
pada (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)8
?
23 8
2,3,3
= 23 ×
8!
2! 3! 3!
3. Berapakah koefisien suku 𝑥23
pada (1 + 𝑥5
+ 𝑥9
)23
?
𝑥23 diperoleh dari suku 120(𝑥5)1(𝑥9)2 dengan koefisien
23
20,1,2
=
23!
20! 1! 2!
= 23 × 11 × 21