Dokumen tersebut membahas tentang integral lipat tiga pada berbagai koordinat ruang dan contoh-contoh perhitungannya. Terdapat penjelasan mengenai integral lipat tiga pada koordinat Kartesius, tabung, dan bola serta penggantian variabel dan contoh perhitungannya.

1. 2. INTEGRAL LIPAT TIGA
KPB 1

2. 08/30/18 2
Permukaan di Ruang (RPermukaan di Ruang (R33
))
Z
x
y
Paraboloida Elips
y
x
z
Bidang
Ax By Cz D+ + =
2 2
2 2
x y
z
a b
= +
Pendahuluan

3. 08/30/18 3
Z
x
y
z
x
y
Paraboloida Hiperbolik
Kerucut
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − =
2 2
2 2
x y
z
a b
= −

4. 08/30/18 4
Z
x
y
0a,azyx 2222
>=++
Bola
1
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
=++
Elipsoida
Z
x
y

5. 08/30/18 5
Z
x
y
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − =
Hiperboloida Berdaun Satu

6. 08/30/18 6
Hiperboloida Berdaun DuaHiperboloida Berdaun Dua
Z
x
y
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
− − =

7. 08/30/18 7
Integral Lipat Tiga pada BalokIntegral Lipat Tiga pada Balok
x
y
z
∆xk
∆yk
)z,y,x( kkk
B
Bk ∆zk
1. Partisi Balok B menjadi n bagian;
1 2, ,..., ,...,k nB B B B
2. Ambil , ,k k k kx y z B∈
3. Bentuk jumlah Riemann
Definisikan ∆ sebagai diagonal
ruang terpanjang dari Bk
1
( , , )
n
k k k k
k
f x y z V
=
∆∑

8. 08/30/18 8
0
1
( , , ) lim ( , , )
n
k k k k
kB
f x y z dV f x y z V
∆ →
=
= ∆∑∫∫∫
0
1
lim ( , , )
n
k k k k
k
f x y z V
∆ →
=
∆∑
4. Jika 0,∆ → maka diperoleh limit jumlah Riemann
5. Jika limit ini ada, maka dikatakan fungsi ( , , )w f x y z=
terintegralkan secara Riemann pada balok B, ditulis :

9. 9
( , , ) ( , , )
B B
f x y z dV f x y z dx dy dz=∫∫∫ ∫∫∫
V x y z dV dxdydz∆ = ∆ ∆ ∆ → =
Sehingga Integral Lipat Tiga dalam koordinat Cartesius ditulis :

10. 08/30/18 10
ContohContoh
∫∫∫B
dVyzx2
Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran
B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2}
Jawab.
∫∫∫B
dVyzx2
dzdydxyzx∫∫ ∫=
2
1
1
0
2
1
2
dzdyxyz∫ ∫ 





=
2
1
1
0
2
1
3
3
1
dzyz∫ 





=
2
1
1
0
2
2
1
3
7
2
1
2
2
1
6
7






= z
4
7
=

11. 08/30/18 11
Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangIntegral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang
• Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan
definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)
x
y
z
B
S
∫∫∫S
2
dVyzxHitung , Jika S benda padat sembarang
(gb. 1)

12. 08/30/18 12
Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangIntegral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang
• Jika S dipandang sebagai himpunan z
sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh
z=ψ1(x,y) dan z=ψ2(x,y), dan proyeksi S
pada bidang XOY dipandang sebagai
daerah jenis I) maka:
∫ ∫ ∫∫∫∫ =
b
a
x
x
yx
yxS
dxdydzzyxfdVzyxf
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(),,(
φ
φ
ψ
ψx
y
z
S
Sxyb
a
y=φ2(x)y=φ1(x)
z=ψ2(x,y)
z=ψ1(x,y)
(gb. 2)

13. 13
∫∫∫S
dVzyxf ),,(
Catatan:
( , , ) 1f x y z = , maka
menyatakan volume benda pejal S.
Jika

14. 08/30/18 14
ContohContoh
( , , )
S
f x y z dV∫∫∫Hitung dengan
dan S adalah padat yang dibatasi oleh tabung parabola dan
bidang-bidang z = 0, y=x, y=0
y=0
y=x
x
y
z
Sxy
Sxy = proyeksi S pada XOY
(segitiga)
Jawab.
Dari gambar terlihat bahwa
2
0 Sehingga,
2
S
xyz dV∫∫∫
21
2
2 2
0 0 0
2
x
x
xyz dz dy dx
−
= ∫∫ ∫
22 1
22 2
0
0 0
x
x
xy z dy dx
−
= ∫∫
( , , ) 2f x y z xyz=
21
2
2
z x= −
21
( , , ) | 0 2,0 ,0 2
2
S x y z x y x z x
 
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − 
 
21
2
2
z x= −

15. 08/30/18 15
22
2
0 0
1
2
2
x
xy x dy dx
 
= − ÷
 
∫∫
2
2 4 2
00
1 1
4 2
4 2
x
x x x y dx
 
= − + ÷
 
∫
2
3 5 7
0
1
2
8
x x x dx
 
= − + ÷
 
∫
2
4 6 8
0
1 1 1
2 6 64
x x x= − +
32 4
8 4
3 3
= − + =

16. 08/30/18 16
LatihanLatihan
∫∫∫S
dVz1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-
z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2
+ z2
= 1.
2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2
+ z2
= 1 dan
bidang x =1 dan x = 4, tuliskan integral lipatnya, kemudian hitung volumenya.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :
a. y = x2
, y + z = 4, x = 0, z = 0.
b. 1 = z2
+y2
, y = x, x = 0.
/ 2
0 0 0
sin( )
yz
x y z dxdydz
π
+ +∫ ∫∫4. Hitung
5. Ubah urutan integrasi ke
2 22 93 9
0 0 0
( , , )
y zz
f x y z dxdydz
− −−
∫ ∫ ∫;dzdydx

17. 08/30/18 17
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)
θ r
z
P(r,θ,z)
x
y
z
θ r
z
P(ρ,θ,φ)
x
y
z
φ
ρ
Syarat & hubungan dg Cartesius
r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
r2
= x2
+ y2
Syarat & hubungan dg Cartesius
ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π
Jika D benda pejal punya sumbu simetri  gunakan Koordinat Tabung
Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik  gunakan Koordinat Bola
Koordinat Tabung Koordinat Bola
2 2 2 2
cos ; sin
sin cos
sin
sin sin
cos ;
x r r
x
y r
z x y z
θ ρ φ
ρ φ θ
θ
ρ φ θ
ρ φ ρ
= =
=
=
=
= + + =

18. 08/30/18 18
ContohContoh
1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh
tabung x2
+y2
=4 dan bidang z = 0, z = 4
x
y
z
rθ
2
2
4
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
{ }2
( , , ) | 0 2,0 4 ,0 4D x y z x y x z= ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤
b. Tabung:
Jawab.
0
x2
+y2
=4
{ }( , , ) | 0 2,0 / 2,0 4D r z r zθ θ π= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

19. 08/30/18 19
ContohContoh
2. Sketsa D; D bagian bola x2
+y2
+ z2
=4 di oktan I.
x
y
z
rθ
2
2
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
b. Bola:
Jawab.
2
ρ
0
22
4 yxz −−=
2
2 2
( , , ) | 0 2,0 4 ,
0 4
x y z x y x
D
z x y
 ≤ ≤ ≤ ≤ − 
=  
≤ ≤ − −  
{ }( , , ) | 0 2,0 / 2,0 / 2D ρ θ φ ρ θ π φ π= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

20. 08/30/18 20
Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaPenggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga
( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ( , , )
D D
f x y z dx dy dz f m u v w n u v w p u v w J u v w du dv dw=∫∫∫ ∫∫∫
w
z
v
z
u
z
w
y
v
y
u
y
w
x
v
x
u
x
)w,v,u(J
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Jacobian
( )( , , ) , , , ) , ( , ,x m u v w y n u v w z p u v w= = =Misalkan
maka
dimana

21. 08/30/18 21
Koordinat KartesiusKoordinat Kartesius TabungTabung
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
Matriks Jacobiannya:
2 2
cos sin 0
( , , ) sin cos 0 cos sin
0 0 1
x x x
r z r
y y yJ u v w r r r r
r z
z z z
r z
θ θ θ
θ θ θ θθ
θ
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ −
∂ ∂ ∂= = = + =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
( , , ) ( cos , sin , )
D D
f x y z dx dy dz f r r z r dr d dzθ θ θ=∫∫∫ ∫∫∫

22. 08/30/18 22
Koordinat KartesiusKoordinat Kartesius BolaBola
2
sin cos sin sin cos cos
( , , ) sin sin sin cos cos sin sin
cos 0 sin
x x x
y y yJ
z z z
ρ θ φ φ θ ρ φ θ ρ φ θ
ρ θ φ φ θ ρ φ θ ρ φ θ ρ φρ θ φ
φ ρ φ
ρ θ φ
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ −
∂ ∂ ∂= = = −
∂ ∂ ∂
−∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
2
( , , ) ( sin cos , sin sin , cos ) sin
D D
f x y z dx dy dz f d d dρ φ θ ρ φ θ ρ φ ρ φ ρ θ φ=∫∫∫ ∫∫∫
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
ρ φ θ
ρ φ θ
ρ φ
=
=
=
Maka matriks Jacobiannya

23. 08/30/18 23
ContohContoh
1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2
+ y2
dan z = 4.
Z
x
y
z = 4
Jawab.
Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:
2 2
2 2
( , , | 2 2, 4 4 ,
4
x y z x x y x
S
x y z
 − ≤ ≤ − − ≤ ≤ − 
=  
+ ≤ ≤  
Dalam koordinat tabung:
Sxy
{ }2
( , , | 0 2,0 2 , 4S r z r r zθ θ π= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

24. 08/30/18 24
∫ ∫=
2
0
2
0
4
2
π
θ drdzr r
( )∫ −=
2
0
2
0
2
4 drrr
π
θ
0
2
42
4
1
22 





−= rrπ π8=
Jadi volume benda pejalnya adalah 8π
2
2 2 4
0 0
1
S r
V dv r dz d dr
π
θ= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Sehingga, volume benda pejalnya adalah

25. 08/30/18 25
2. Hitung volume bola pejal x2
+y2
+ z2
=4 di oktan I.
x
y
z
rθ
2
2
D dalam koordinat:
a. Cartesius:
b. Bola:
Jawab.
2
ρ
0
22
4 yxz −−=
2
2 2
( , , ) | 0 2,0 4 ,
0 4
x y z x y x
D
z x y
 ≤ ≤ ≤ ≤ − 
=  
≤ ≤ − −  
{ }( , , ) | 0 2,0 / 2,0 / 2D ρ θ φ ρ θ π φ π= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

26. 08/30/18 26
/ 2 / 2 2
2
0 0 0
sin d d d
π π
ρ φ ρ φ θ= ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 





=
2/
0
2/
0
2
0
3
3
1
sin
π π
θρφ drd
( )∫ −=
2/
0
2/
0
cos
3
8
π π
θφ d
( ) 2/
0
3
8 π
θ= π
3
4
=
Jadi volume benda pejalnya adalah 4π/3
1
S
V dV= ∫∫∫
Sehingga

27. 08/30/18 27
LatihanLatihan
∫∫∫D
2
dVx1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi
z =9 – x2
– y2
dan bidang xy.
2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi
bola x2
+ y2
+ z2
= 1 dan x2
+ y2
+ z2
=4.
3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh
bola r2
+ z2
= 5 dan di bawah r2
=4z.
4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid
z = x2
+ y2
dan bidang z =4.
5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola
x2
+ y2
+ z2
= 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara
menyamping oleh tabung x2
+y2
=4.

28. 08/30/18 28
6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola x 2
+ y2
+ z2
= 9, di luar kerucut
22
yxz += dan di atas bidang xy.
( )
2 2 2
2 2 2
3 9 9
3/ 22 2 2
3 9 9
x x z
x x z
x y z dy dz dx
− − −
− − − − − −
+ +∫ ∫ ∫7. Hitung
∫ ∫ ∫
−
+
3
0
9
0
2
0
22
2
x
dxdydzyx8. Hitung
2 22 42 4
2 2 2
0 0 0
1
x yx
dz dy dx
x y z
− −−
+ +∫ ∫ ∫9. Hitung
10. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh tabung
2 2
1x y+ =
dan 4 ; 0y z z+ = =