Dokumen tersebut membahas konsep dasar diferensiasi dan diferensial total untuk fungsi satu dan lebih variabel, termasuk definisi keterdiferensiasian, linearitas lokal, hampiran diferensial total, dan syarat agar suatu persamaan diferensial bersifat eksak."

1. Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sriwijaya

2. Kediferensiasian
Diferensial Total dan Hampiran
Diferensial total dan Hampiran
Persamaan Diferensial Eksak
Diferensial total fungsi n Variabel
Diferensial

4. Kapan suatu f dikatakan terdiferensiasi di x ?
Suatu fungsi f dikatakan terdiferensiasi di x, jika ada turunan f’(x)
Bagaimana kaitan turunan f’ (x) terhadap garis singgungnya di x ?
Jika memiliki turunan f’(x) , maka pada x terdapat garis singgung
yang tak vertikal.
f
Apa yang dimaksud dengan linear secara lokal?
Fungsi f adalah linear secara lokal di a jika terdapat konstanta sedemikian sehingga
Di mana adalah fungsi yang memenuhi
Bagaimana mencari nilai
Menggunakan rumus
Fungsi adalah selisih antara kemiringan garis tali busur yang melalui titik (a,f(a)) dan
(a+h,f(a+h)) dan kemiringan garis singgung yang melalui (a,f(a)).
)()()( hhhmafhaf 
)(h 0)(lim
0


h
h

?)(h
m
h
afhaf
h 


)()(
)(
)(h

5. Jika f linear secara lokal di a maka
0
)()(
lim)(lim
00




m
h
afhaf
h
hh

Yang bermakna bahwa
m
h
afhaf
h



)()(
lim
0
Kita simpulkan bahwa haruslah terdiferensiasikan di dan bahwa
harus sama dengan . Atau jika terdiferensiasi di , maka ,
karenanya linear secara lokal.
f a
m )(' af f a
maf
h
afhaf
h



)('
)()(
lim
0
f

6. Definisi 1 : Linearitas Lokal untuk Fungsi Dua Variabel
Kita katakan bahwa linear secara lokal di jika
Dengan
f ),( ba
),(),(),(),(),(),( 212221112121 hhhhhhbafhbafhbafhbhaf yx  
0),(ketika0),(dan0),(ketika0),( 2121221211  hhhhhhhh 
Definisi 2: Keterdiferensiasian untuk Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Fungsi terdiferensiasi di p jika ia linear secara lokal di p. Fungsi terdiferensiasi pada
himpunan terbuka R jika ia terdiferensiasi di setiap titik di dalam R.
Gradien yang dinyatakan dengan vektor adalah
Atau ditulis dengan
Jadi, terdiferensiasikan di p jika dan hanya jika
f f
f
jpfipfpfpf yxyx )()())(),(( 
jpfipfpf yx )()()( 
f
hphpfpfhpf ).().()()( 

7. Teorema 1
Jika mempunyai turunan-turunan parsial kontinu dan pada cakram yang
bagian dalamnya memuat maka terdiferensiasikan di .
Teorema 2
Sifat-sifat
Operator gradien memenuhi
1.
2.
3.
Apakah hubungan antara keterdiferensiasian dan kekontinuan dari fungsi satu variabel? Jika
fungsi satu terdiferensiasi di p, maka kontinu di p, tapi tidak sebaliknya.
Teorema 3
Jika fungsi satu terdiferensiasi di , maka ketika mempunyai panjang kecil
Dengan memberikan ,kita dapatkan bahwa fungsi yang didefinisikan oleh
Merupakan aproksimasi yang bagus terhadap jika p dekat .
Persamaan z= T(p) disebut sebagai persamaan bidang singgung.
),( yxfx ),( yxfy D),( yxf
),( yxf),( ba ),( ba


f
f 0p h
hpp  0 T
)(pf
hpfpfhpf ).()()( 000 
)).(()()( 000 pppfpfpT 
 
 
  )()()()()().(
)()(
)()()()(
pfpgpgpfpgpf
pfpf
pgpfpgpf





9. Masalah hampiran secara tidak langsung telah diperkenalkan pada saat
membicarakan penafsiran turunan parsial. Bilamana 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi satu
variabel dari 𝑥 yang terdiferensialkan, menurut definisi
𝑓′
𝑥 = lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Dan bilamana ∆𝑥 dan ∆𝑦 masing-masing merupakan pertambahan dari variabel 𝑥 dan 𝑦,
jika pertambahan dari variabel bebas 𝑥 cukup kecil, maka pertambahan dari variabel tak
bebas 𝑦 yaitu ∆𝑦 dapat dihampiri oleh,
∆𝑦 = 𝑓′(𝑥)∆𝑥
Pendekatan di atas akan digunakan menentukan hampiran, khususnya untuk fungsi dua
atau tiga variabel.

10. Misalkan, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah fungsi yang terdeferensiabel di
𝑥, 𝑦 , dengan pendekatan (∆𝑦 = 𝑓′
𝑥 ∆𝑥) tersebut
dirumuskan untuk menghampiri pertambahan variabel tak
bebas 𝑧, yakni ∆𝑧. Misalkan 𝑓 suatu fungsi dua variabel dari
𝑥 dan 𝑦, pertambahan 𝑓 disembarang titik (𝑥0, 𝑦0)
didefinisikan oleh,
∆𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
Sejalan dengan konsep yang dikembangkan untuk fungsi
satu variabel, untuk menghitung pertambahan dari
∆𝑓(𝑥, 𝑦)dititik (𝑥0, 𝑦0) digunakan pendekatan diferensial
total.

11. Andaikan, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah fungsi yang terdiferensiabel di
(𝑥, 𝑦), dan andaikan pula 𝑑𝑥 dan 𝑑𝑦 adalah variabel yang
menyatakan pertambahan dari variabel bebas 𝑥 dan 𝑦 .
Diferensial total dari variabel tak bebas 𝑧 ditulis 𝑑𝑧
didefinisikan oleh,
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Dari definisi di atas, jika 𝑑𝑥 = ∆𝑥 , dan 𝑑𝑦 = ∆𝑦 , yang
masing-masing menyatakan pertambahan dari variabel
bebas 𝑥 dan 𝑦, maka 𝑑𝑧 merupakan hampiran yang cukup
baik bagi ∆𝑧. Dengan demikian hampiran dari pertambahan
dari 𝑓 yakni ∆𝑓 dititik (𝑥0, 𝑦0) diberikan oleh,
∆𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 ∆𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)∆𝑦

13. Dari definisi diferensial total fungsi dua variabel dapat
dikembangkan untuk menghitung diferensial total fungsi
tiga variabel atau lebih.
Andaikan, 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan fungsi yang dapat
didiferensialkan 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), dan andaikan pula 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, dan 𝑑𝑧
adalah variabel yang menyatakan pertambahan dari variabel
bebas 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Diferensial total dari variabel tak bebas 𝑤
ditulis 𝑑𝑤 didefinisikan oleh,
𝑑𝑤 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧
Dari definisi tersebut, bilamana pertambahan dari 𝑥, 𝑦 dan 𝑧
cukup kecil dimana masing-masing diberikan oleh, 𝑑𝑥 = ∆𝑥,
𝑑𝑦 = ∆𝑦, dan 𝑑𝑧 = ∆𝑧, maka hampiran dari variabel tak
bebas 𝑤 yakni ∆𝑤 dapat didekati oleh 𝑑𝑧, yang diberikan
oleh:
∆𝑤 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧

14. Persamaan Diferensial Eksak
Dari konsep diferensial total,
dikembangkan untuk
menentukan apakah diferensial
total tersebut eksak atau tidak,
bilamanana diferensial totalnya
eksak bagaimanakah caranya
menentukan fungsi
,pembangkitnya. Dari definisi
diferensial total, jika 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑐, mempunyai turunan-turunan
parsial diferensial totalnya
diberikan oleh,
Bilamana 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦
masih merupakkan fungsi dari
𝑥 dan 𝑦, ambil
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 , dan
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁 (𝑥, 𝑦)
Sehingga dihasilkan persamaan
diferensial total,
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑓 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

15. Sebagai ilustrasi
Andaikan 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦3
− 𝑥3
+ 𝑦2
. Karena 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 =
2𝑥𝑦3 − 3𝑥2, dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 𝑦2 − 2𝑦, maka persamaan
diferensialnya adalah:
2𝑥𝑦3
− 3𝑥2
𝑑𝑥 + 3𝑥2
𝑦2
+ 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
Bilamana 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦3
− 3𝑥2
, diturunkan secara parsial
terhadap 𝑦 dihasilkan:
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦2
Dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 𝑦2 − 2𝑦, diturunkan secara parsial
terhadap 𝑥, dihasilkan:
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦2

16. Dari ilustrasi sebelumnya terlihat bahwa, bilamana 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦
fungsi dari 𝑥 dan 𝑦 yang kontinu, maka diihasilkan,
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦
Kesamaan terakhir ini merupakan persyaratan diferensial
total eksak untuk fungsi dua variabel, yang selengkapnya
dinyatakan pada teorema berikut ini. Persamaan diferensial
total,
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Dikatakan sebagai persamaan diferensial total eksak jika
hanya jika
𝑀 𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁 𝑦(𝑥, 𝑦),
atau 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦).

17. THANK YOU