PPT-UEU-Kalkulus-1-20181-5

1. PERTEMUAN 5
TURUNAN FUNGSI
PELAKSANA AKADEMIK MATA KULIAH UMUM (PAMU)

2. DEFINISI TURUNAN
Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi pada selang terbuka 𝐼 yang memuat 𝑐.
Turunan pertama (disingkat turunan) dari fungsi 𝑓, ditulis 𝑓′(𝑐)
didefinisikan sebagai
𝑓′(𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)
𝑥 − 𝑐
bila limit itu ada.
Dengan penggantian 𝑥 = 𝑐 + ℎ, yang mengakibatkan 𝑥 → 𝑐 ↔ ℎ →
0 dan 𝑥 − 𝑐 = ℎ, turunan fungsi 𝑓 di 𝑐 dapat dituliskan dalam
bentuk
𝑓′(𝑐) = lim
ℎ→0
𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐)
ℎ
Jika nilai limitnya ada, kita katakan 𝑓′ 𝑐 ada, dan fungsi 𝑓
terdiferensialkan di 𝑐.

3. CONTOH
1. Misalkan 𝑓 𝑥 = 13𝑥 − 6. Carilah 𝑓′(4)
2. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 7𝑥, carilah 𝑓′(𝑐)

4. CATATAN
Notasi turunan :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
,
𝑑
𝑑𝑥
𝑦, 𝐷𝑥𝑦, 𝑦′, 𝑓′ 𝑥 ,
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)

5. TEOREMA
Teorema.
Jika 𝑓′(𝑐) ada, maka 𝑓 kontinu di 𝑐.
Bukti.

6. ATURAN DERIVATIF
DENGAN SATU VARIABEL BEBAS
1. Aturan fungsi konstanta
𝑓 𝑥 = 𝑘 →
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 0
2. Aturan fungsi identitas
𝑓 𝑥 = 𝑥 →
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 1
3. Aturan pangkat
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 →
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑛𝑥𝑛−1
4. Aturan kelipatan konstanta
𝑑
𝑑𝑥
𝑘. 𝑓 𝑥 = 𝑘.
𝑑𝑓
𝑑𝑥
5. Aturan jumlah dan selisih
𝑑
𝑑𝑥
(𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ±
𝑑
𝑑𝑥
(𝑔(𝑥))

7. 6. Aturan hasilkali
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥
(𝑔(𝑥))
7. Aturan Hasilbagi
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥
(𝑔(𝑥))
𝑔2(𝑥)
8. Aturan Rantai
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Jika 𝑔 terdifferensialkan di
𝑥 dan 𝑓 terdifferensialkan di 𝑢, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥

8. SOAL
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi
berikut.
1. 𝑦 = 2𝑥3
+ 4𝑥2
− 3𝑥 − 100
2. 𝑦 = 2 𝑥 +
3
𝑥3
3. 𝑦 = 𝑥3
+ 𝑥 8
4. 𝑦 = 𝑡 2𝑡 + 6 10
5. 𝑦 =
𝑥2−1
𝑥3+𝑥

9. TURUNAN TINGKAT TINGGI
Operasi turunan mengambil sebuah fungsi 𝑓 dan
menghasilkan sebuah fungsi baru 𝑓′. Jika 𝑓′
diturunkan maka akan menghasilkan fungsi baru 𝑓′′
dan disebut turunan kedua. Jika 𝑓′′ diturunkan maka
akan menghasilkan 𝑓′′′ dan disebut turunan ketiga.
Jika 𝑓′′′ diturunkan maka akan menghasilkan 𝑓(4) dan
disebut turunan keempat, begitu seterusnya.

11. CONTOH
Diketahui
𝑓 𝑥 = 2𝑥3
− 4𝑥2
+ 7𝑥 − 8
Maka
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 − 8𝑥 + 7
𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 − 8
𝑓′′′
𝑥 = 12
𝑓 4
𝑥 = 0

12. TUGAS
1. Diketahui
𝑓 𝑥 =
𝑥3
, 𝑥 < −1
𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 − 𝑥, 𝑥 > 1
Apakah fungsi 𝑓 kontinu di 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 1?
2. Diketahui
𝑓 𝑥 =
−1, 𝑥 ≤ 0
𝑎𝑥 + 𝑏, 0 < 𝑥 < 1
1, 𝑥 ≥ 1
Tentukan 𝑎 dan 𝑏 sehingga 𝑓 kontinu dimana-
mana

13. 3. Tentukan turunan pertama dari
𝑦 = 7𝑥3 + 3𝑥2 + 1
dengan menggunakan definisi turunan
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut.
4. 𝑦 = 𝑥10
+ 𝑥2 +
4
𝑥
−
5
𝑥2
5
5. 𝑦 =
𝑥2−1
𝑥3+𝑥

14. TERIMA KASIH