Persamaan Lagrange dan Hamilton

Mekanika
Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi

Persamaan Lagrange dan Hamilton

Pada bagian awal kita telah menggunakan hukum-
hukum Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda.
Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkan
persamaan gerak benda. Hukum Newton dapat diterapkan, jika
gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui. Namun dalam
kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang tidak
mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak
serta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda
yang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola.
Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang
bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian
maupun koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan,
sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui.
Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan
yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak
sistem yang pertama dikembangkan oleh matematikawan
Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme
Lagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat pula
formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya
terletak pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme
Hamilton menggunakan posisi dan kecepatan sebagai
koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan linier orde-
dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi dan
momentum digunakan untuk koordinat rampatan yang
menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang
diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan
hasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum
Newton.

1

Mekanika

A. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)

Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan
dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa
koordinat Kartesian, koordinat bola atau koordinat silinder.
Jika partikel bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah
permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua
koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk
partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada
lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat
saja.
Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka
diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan
posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah
minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan
konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan
dengan

q1, q2, …..qn (1)
yang disebut dengan koordinat rampatan (generalized
coordinates). Istilah rampat diambil dari kata merampat dan
papan Koordinat qk dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap
koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya; sistem
tersebut dinamakan holonomic. Jumlah koordinat n dalam hal
ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut.
Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing
koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain,
yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih
kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk
menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem
nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada
sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk
menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk
menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk

Mekanika

menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat
tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola
tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti
berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi
diri pada sistem holonomic.
Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebih
mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat
Kartesius:

x = x(q)
(satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva).
x = x(q1,q2)
(dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah
permukaan).

x = x(q1,q2,q3)
y = y(q1,q2,q3)
z = z(q1,q2,q3)

(tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang)

Misalkan q berubah dari harga awal (q1,q2, ….)
menuju harga (q1+δq1,q2+δq1 ..). Perubahan koordinat Kartesius
yang bersesuaian adalah :

∂x ∂x
δx = δq 1 + δq 2 + ..... (2)
∂q 1 ∂q 2

∂y ∂y
δy = δq 1 + δq 2 + ..... (3)
∂q 1 ∂q 2

3

Mekanika

∂z ∂z
δz = δq 1 + δq 2 + ..... (4)
∂q 1 ∂q 2

Turunan parsial ∂x/∂q1 dan seterusnya adalah fungsi dari q.
Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam
bidang. Misalkan kita memilih koordinat kutub untuk
menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini :

q1 = r q2 = θ (5)

Selanjutnya :

x = x(r,θ) = r cosθ
y = y(r,θ) = r sinθ (6)

dan
∂x ∂x
δx = δq 1 + δq 2 = cos θ δr - r sin θ δθ (7)
∂q 1 ∂q 2

∂y ∂y
δy = δq 1 + δq 2 = sin θ δr + r cos θ δθ (8)
∂q 1 ∂q 2

Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandung
sejumlah n partikel; dalam hal ini mengandung n derajat
kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan :

q1, q2, …..qn (9)

Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q1, q2, …..qn) ke
konfigurasi di dekatnya (q1+δq1, q2+δq2, …qn+δqn) menyatakan
perpindahan partikel ke i dari titik (x i,yi,zi) ke titik di dekatnya
(xi+δxi,yi+δyi,zi+δzi) dimana:

Mekanika

n
∂x i
δx i = ∑ ∂q
k =1 k
δq k (10)

n
∂y i
δy i = ∑ ∂q
k =1 k
δq k (11)

n
∂z i
δz i = ∑ ∂q
k =1 k
δq k (12)

Persamaan (10–12) menunjukkan bahwa turunan
parsialnya merupakan fungsi q. Selanjutnya kita akan
mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular,
dan indeks k untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol x i
kita pakai untuk menyatakan sembarang koordinat rectangular.
Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapat
berharga antara 1 dan 3N.

B. GAYA RAMPATAN

Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh δr
dibawah pengaruh sebuah gaya aksi F, gaya yang bekerja
padanya dinyatakan dengan

δW = F ⋅ δr = Fx δx + Fy δy + Fz δz
(13)

Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan

δW = ∑F δx
i
i i (14)

5

Mekanika

Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku
untuk partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak
partikel. Untuk satu partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3.
Untuk N partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3N.
Jika pertambahan δxi dinyatakan dalam koordinat
rampatan, maka diperoleh

 ∂x i 
δW = ∑ F ∑ ∂q
i


i
k k
δq k 



 ∂x i 
= ∑ ∑F ∂q


i k
i
k
δq k 


(15)

 ∂x i 
= ∑ ∑F ∂q

 i k
i
k 
δq k


Persamaan di atas juga dapat ditulis

δW = ∑Q
k
k δq k (16)

dimana :

 ∂x i 
Qk = ∑  F dq


i
k 

 (17)

Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan di
atas disebut dengan gaya rampatan. Oleh karena perkalian
Qkδqk memiliki dimensi kerja/usaha, maka dimensi Qk adalah
gaya jika qk menyatakan jarak, dan dimensi Qk adalah torka,
jika qk menyatakan sudut.

Mekanika

C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM
KONSERVATIF

Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam
sebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya tersebut
dinyatakan oleh persamaan

∂V
Fi = −
∂x i
(18)

dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh
karena itu perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan

 ∂V ∂x i 
Q k = −


∑ ∂x
i i ∂q k



(19)

Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan
parsial fungsi V terhadap qk. Oleh karena itu

∂V
Qk = − (20)
∂q k

Misalkan, kita menggunakan koordinat kutub, q1 = r ; q2 = θ,
maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan Qr = -∂V/∂r ; Qθ
= -∂V/∂θ. Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus gaya
sentral), maka Qθ = 0.

7

Mekanika

D. PERSAMAAN LAGRANGE

Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah
benda yang dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapat
memulai dengan persamaan berikut:

Fi = m i  i
x (21)

dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan
tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai
adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi
kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya
kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya
terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang
mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan

∑[ ]
k
T= 1
2
m i ( x 1 + y i2 + z i2
2   (22)
i =1

atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut

3N
T= ∑ i =1
1
2
m i x i2
 (23)

Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x
dan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kita
dapat misalkan

x i = x i ( q 1 , q 2 ,..., q n , t )
(24)

dan selanjutnya

Mekanika

∂x i ∂x i
xi =
 ∑ ∂q k
qk +

∂t
(25)

Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa
harga i adalah 1,2, …..3N dimana N menyatakan jumlah
partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n
menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan)
sistem. Oleh karena itu kita dapat melihat bahwa energi kinetik
sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap
waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t
tidak secara eksplisit terkait hubungan antara x i dan qk,
sehingga ∂xi/∂t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan
fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan q k .


∂x i
 ∂x i
Dari persamaan =
∂q k
 ∂q k
(26)

Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan x i dan

diferensialkan terhadap t, akan diperoleh:

d  ∂x i  d  ∂x i
 
 xi
  ∂q  = dt  x i ∂q
 
dt  k 
  k



∂x i ∂x i

=  i
x + xi
 (27)
∂q k ∂q k

atau
d  ∂ x i2 
 ∂x i ∂  x i2 

  x  
 ∂q 2  =  i ∂q + ∂q
dt   k  2  (28)
 k k  
9

Mekanika

Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan
m i  i = Fi , kita dapat peroleh
x

d ∂  m i x i2
  ∂x ∂  m i x i2
 
  = Fi i +   (29)
 2
dt ∂q k 
  ∂q k ∂q k  2 
  

Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :

d ∂T  ∂x i  ∂T
dt ∂q k

= ∑  F ∂q
i


i
k 
+
 ∂q
k
(30)

Dari definisi gaya rampatan kita peroleh

d ∂T ∂T
= Qk + (31)
dt ∂q k
 ∂q k

Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam
koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange
untuk gerak.
Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan
Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:

d ∂T ∂T ∂V
= −
dt ∂q k
 ∂q k ∂q k
(32)

Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat
dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni

Mekanika

L=T-V (33)

Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam
koordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan ∂V / ∂q k = 0 ,

kita peroleh

∂L ∂T ∂L ∂T ∂V
= dan = −
∂q k
 ∂q k
 ∂q k ∂q k ∂q k
(34)

Persamaan Lagrange dapat ditulis

d ∂L ∂L
= (35)
dt ∂q k
 ∂q k

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif
dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk
koordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak
konservatif, misalkan nilainya adalah Q 'k , maka kita dapat
menuliskan

∂V
Q k = Q 'k − (36)
∂q k

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi
Lagrangian L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensial
gerak dalam bentuk

d ∂L ∂L
= Q 'k + (37)
dt ∂q k
 ∂q k

11

Mekanika

d ∂L ∂L
− = Qk
'
(37)
dt ∂q
 k ∂qk

Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan
diperhitungkan.

E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN
LAGRANGE

Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan
persamaan Lagrange untuk menyelesaikan masalah-masalah
gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan
diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:

1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan
konfigurasi sistem.
2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut
beserta turunannya terhadap waktu.
3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V
sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak
konservatif, cari koordinat rampatan Qk.
4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari
dengan menggunakan persamaan di atas.

Beikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya :

1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak
akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang.
Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.

Mekanika

Misalkan koordinat polar (r,θ) digunakan sebagai koordinat
rampatan. Koordinat Cartesian (r,θ) dapat dihubungkan
melalui :

x = r cos θ y = r sin θ

Energi kinetik partikel dapat ditulis :

T = 1 mv 2 = 1 m ( x 2 + y 2 ) = 1 m ( r 2 + r 2 θ2 )
2 2
  2
 

Energi potensial oleh gaya sentral

k k
V=− =−
(x + y2 )
1/ 2
2 r

Persamaan Lagrange untuk sistem ini:

k
L = T − V = 1 m ( r 2 + r 2θ2 ) +
2
 
r

Dari persamaan Lagrange:

d ∂T ∂T ∂V
= −
dt ∂q k
 ∂q k ∂q k

d  ∂L  ∂L
  ÷− =0
dt  ∂q k  ∂q k

Substitusi q1 = r dan q2 = θ, diperoleh:

13

Mekanika

d  ∂L  ∂L
  ÷− =0
dt  ∂r  ∂r

d  ∂L  ∂L
  ÷− =0
dt  ∂θ  ∂θ

Dari kedua persamaan di atas diperoleh:

∂L
= mr

∂r

d  ∂L 
  ÷ = mr
dt  ∂r 
∂L  k
= mrθ2 − 2
∂r
 r

 k
mr 2 − mrθ2 = −

r2

Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :

∂V(r) ∂ k
F(r) = − = − − 2 ÷
∂r ∂r  r 

Jadi :  
mr 2 = mrθ2 + Fr

Dari persamaan Lagrange :

∂L 2 ∂L
 = mr θ =0
∂θ ∂θ

Mekanika

d  ∂L 
 2
  ÷ = 2mrrθ + mr θ
dt  ∂θ 

2mrrθ + mr 2 = 0
 θ

d dJ
atau :
dt
( 
mr 2 θ = )
dt
=0

Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang
nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan


J = mr 2 θ = konstan

Berdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam
medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan
gerak.

2. Osilator Harmonik

Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan
misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang
besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu
sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x
menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi
Lagrangiannya adalah

L=T-V= 1
2
mx 2 − 1 kx 2
 2
(38)

dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan
pegas. Selanjutnya:

15

Mekanika

∂L ∂L
= mx dan
 = −kx
∂x
 ∂x
(39)

Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak
konservatif yang harganya sebanding dengan kecepatan;
dalam hal ini Q' = -c  , sehingga persamaan gerak dapat
x
ditulis :

d
( mx ) = −cx + ( −kx )
 
dt
(40)

mx +  +
 cx kx =0

Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu
dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal.

3. Partikel yang berada dalam medan sentral.
Mari kita rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah
partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya
sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = θ. Maka

2 2
 ( 
T = 1 mv 2 = 1 m r 2 + r 2 θ 2 ) (41)

V = V(r )
(42)

2
(  )
L = 1 m r 2 + r 2 θ 2 − V( r ) (43)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange,
diperoleh :

Mekanika

∂L ∂L 
= mr
 = mrθ2 −f ( r )
∂r
 ∂r
(44)

∂L ∂L 
=0 = mr 2 θ
∂θ 
∂θ
(45)

Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan
geraknya adalah :

d ∂L ∂L d ∂L ∂L
= = (46)
dt ∂r
 ∂r 
dt ∂θ ∂θ
r 2
m = mrθ +f (r )
d
dt
( )
mr 2 θ = 0
(47)

4. Mesin Atwood
Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda
bermassa m1 dan m2 dihubungkan oleh tali homogen yang
panjangnya l dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar).
Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil
variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x
adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m 1 seperti yang
ditunjukkan pada gambar.a

l-x
x

m1
17

m2

Mekanika

Gambar 2. 1
Mesin atwood tunggal

Kecepatan sudut katrol adalah x / a , dimana a adalah jari-

jari katrol. Energi kinetik sistem ini adalah :

x2

T = 1 m1 x 2 + 1 m 2 x 2 + 1 I
2
 2
 2
(48)
a2

dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem
adalah :

V = −m2 gx − m1 g( l − x ) (49)

Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan,
sehingga fungsi Lagrangiannya adalah

 I 
L = 1  m1 + m 2 + 2  x 2 + g( m1 − m 2 ) x + m 2 gl
2
 (50)
 a 

dan persamaan Lagrangenya adalah

Mekanika

d ∂L ∂L
=
dt ∂x
 ∂x
(51)

yang berarti bahwa :

 I 
 m1 + m 2 + 2   = g( m1 − m 2 )
x (52)
 a 

atau
m1 − m 2
 = g
x (53)
m1 + m 2 + I / a 2

adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m 1>m2, maka m1
akan bergerak turun, sebaliknya jika m1<m2 maka m1 akan
bergerak naik dengan percepatan tertentu.

5. Mesin Atwood Ganda

Mesin Atwood ganda diperlihatkan pada gambar 2.2..
Nampak bahwa sistem tersebut mempunyai dua derajat
kebebasan. Kita akan menyatakan konfigurasi sistem dengan
koordinat x dan x'. Massa katrol dalam hal ini diabaikan (untuk
menyederhanakan persoalan).

Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah :

T = 1 m1 x 2 + 1 m 2 ( − x + x' ) 2 + 1 m 3 ( − x − x' ) 2
2
 2
  2
  (54)

V = −m 1gx − m 2 g( l − x + x' ) − m 3 g( l − x + l'−x' )
(55)

19

Mekanika

dimana m1, m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, dan
l serta l' adalah panjang tali penghubungnya.

l-x
x

m1
l'-x’

m2

m3

Mekanika

Gambar 2.2.
Mesin Atwood Ganda

L = 1 m1x 2 + 1 m 2 (− x + x ') 2 + 1 m 3 (− x − x ') 2 + g(m1 − m 2 − m 3 )x +
2
 2   2
 
g(m 2 − m3 )x '+ tetapan
(56)
sehingga persamaan geraknya dapat ditulis :

d ∂L ∂L d ∂ L ∂L
= =
dt ∂x
 ∂x dt ∂' ∂ '
x x
(57)

dengan penyelesaian

m1 + m 2 (  − ' ) + m 3 (  + ' ) = g( m1 − m 2 − m 3 )
x x x x x (58)
m 2 ( − + ' ) + m 3 (  + ' ) = g( m 2 − m 3 )
x x x x (59)

dan dari persamaan ini percepatan  dan
x ' dapat
x
ditentukan.

6. Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat
digerakkan.

Mari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikel
meluncur pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerak
pada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan
pada gambar 2.3. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat
kebebasan, sehingga kita butuhkan dua koordinat untuk
menggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau. Kita akan
memilih koordinat x dan x' yang masing-masing menyatakan
pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan
21

Mekanika

dan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti
yang ditunjukkan pada gambar.
Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa
kuadrat kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakan
hukum kosinus :

v 2 = x 2 + x '2 + 2 xx' cos θ
  
(60)

Oleh karena itu energi kinetiknya adalah

T = 1 mv 2 + 1 Mx 2 = 1 m( x 2 + x ' 2 + 2 x 2 x '2 cosθ) + 1 Mx 2
2 2
 2
    2

(61)

dimana M adalah massa bidang miring dengan sudut
kemiringan θ, seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.3. dan
m adalah massa partikel. Energi potensial sistem tak terkait
dengan x oleh karena bidangnya horisontal, sehingga kita
dapat tuliskan :

V=mgx'sin θ + tetapan (62)

dan

L = 1 m(x 2 + x '2 + 2xx 'cos θ) + 1 Mx 2 + mgx 'sinθ + tetapan
2
   2
 (63)

Persamaan geraknya

d ∂L ∂L d ∂ L ∂L
= =
dt ∂x
 ∂x dt ∂ ' ∂ '
x x
(64)

sehingga

Mekanika

m(  + ' cosθ) + M = 0 ;
x x x m(  ' + cosθ) + = mgsinθ
x x
(65)

Percepatan  dan  ' adalah :
x x

− g sin θ cos θ − g sin θ
 =
x ' =
x
m+M ; m cos 2 θ
− cos 2 θ 1−
m m +M
(66)

x

θ
x'

x' v

m

x M
θ

23

Mekanika

Gambar 2. 3
Gerak pada bidang miring dan representasi vektornya

7. Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah
benda tegar. Metode Lagrange dapat digunakan untuk
menurunkan persamaan Euler untuk gerak sebuah benda
tegar. Kita akan tinjau kasus torka - rotasi bebas. Kita
ketahui bahwa energi kinetik diberikan oleh persamaan:

1
T= (I1ω1 + I 2 ω2 + I 3 ω3 )
2
2
2
(67)
2

Dalam hal ini harga ω mengacu pada sumbu utama. Dalam
Bagian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa ω dapat
dinyatakan dalam sudut Euler θ, φ dan ψ sebagai berikut:

 
ω1 = θ cos ψ + φ sin θ sin ψ
 
ω = −θ sin ψ + φ sin θ cos ψ (68)
2
 
ω3 = ψ + φcos θ

Dengan memperhatikan sudut Eulerian sebagai koordinat
rampatan, persamaan geraknya adalah:

d ∂L ∂L
 =
dt ∂θ ∂θ
(69)

d ∂ L ∂L
=
dt ∂
φ ∂ φ
(70)

Mekanika

d ∂ L ∂L
=
dt ∂ψ ∂
 ψ
(71)

oleh karena Q (gaya rampatan) semuanya nol. Dengan
menggunakan aturan/dalil rantai :

∂L ∂T ∂ω3
=
∂ψ ∂ω3 ∂ψ
 
(72)
Sehingga

d ∂ L
= I 3ω
3
dt ∂
ψ
(73)

Dengan menggunakan lagi aturan rantai, kita peroleh

∂T ∂ω ∂ω2
= I1ω1
1
+ I 2 ω2
∂ψ ∂ψ ∂ψ

   
= I1ω1 ( −θsin ψ + φsin θ cos ψ) + I 2 ω2 ( −θ cos ψ − φsin θsin ψ)

= I1ω ω −I 2 ω ω
1 2 2 1
(74)
Akibatnya, persamaan 71 menjadi :

I 3ω = ω ω ( I1 − I 2 )
3 1 2

(75)

25

Mekanika

yang mana seperti yang ditunjukkan dalam bagian sebelumnya
adalah persamaan Euler ketiga untuk rotasi bebas sebuah
benda tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan Euler
lainnya dapat diperoleh dengan melakukan permutasi siklik
(putaran) dari subskrip : 1→2, 2→3, 3→1.

8. Pandanglah sebuah benda bermassa m (gambar 2.4)
meluncur dengan bebas pada sebuah kawat dengan lintasan
berbentuk lingkaran dengan jari-jari a. Lingkaran kawat
berputar searah jarum jam pada bidang horisontal dengan
kecepatan sudut ω disekitar titik O. (a). Selidiki bagaimana
gerak benda tersebut, dan (b). Bagaimana reaksi lingkaran
kawat.

Mekanika

Gambar 2.4.
Gerak pada kawat melingkar

Perhatikan gambar di atas. C adalah pusat lingkaran
kawat. Diameter OA membentuk sudut φ = ωt dengan sumbu-
X, sedangkan benda bermassa m membentuk sudut θ dengan
diameter OA. Jika yang kita perhatikan hanyalah gerak benda
bermassa m saja, maka sistim yang kita tinjau memiliki satu
derajat kebebasan, oleh karena itu hanya koordinat rampatan q
= θ yang dipakai. Berdasarkan gambar 2.4 a dan 2.4 b, kita
dapat tuliskan:

x = a cos ωt + a cos(ωt + θ)
y = a sin ωt + a sin(ωt + θ)
x = −aω sin ωt − a [ sin(ωt + θ)] (ωt + θ)
 
y = aω cos ωt + a[ cos(ωt + θ)] (ωt + θ)
 

Kuadratkan persamaan-persamaan di atas, kemudian
jumlahkan akan diperoleh besaran energi kinetik :

2
  2
[  (2
)  ( )
T = 1 m( x 2 + y 2 ) = 1 ma 2 ω 2 + θ + ω + 2ω θ + ω cos θ ]
∂T

 (
= ma 2 θ + ω + ω cos θ )
∂θ

dan

d  ∂T 
dt  ∂θ 
2
θ (
   = ma  − ωθ sin θ
 )
27

Mekanika

∂T
∂θ
( )
= −ma 2 ω θ + ω sin θ

Selanjutnya persamaan Lagrange :

d  ∂T  ∂T
 − = Q1
dt  ∂q 1  ∂q 1
  

Dalam hal ini Q1 = 0 dan q1 = θ, maka persamaan yang
dihasilkan :

( ) ( )
ma 2  − ωθ sin θ + ma 2 θ + ω sin θ = 0
θ  
 + ω 2 sin θ = 0
θ

Persamaan di atas menggambarkan gerak benda bermassa m
pada lingkaran kawat. Untuk harga θ yang cukup kecil,

 + ω2 θ = 0
θ

yang tak lain adalah gerak bandul sederhana. Bandingkan
dengan persamaan berikut :

 + g θ = 0
θ
l
Dan kita peroleh
g g
ω2 = atau l = 2
l ω

Ini berarti bahwa benda bermassa m berosilasi di sekitar garis
berputar OA sebagai bandul sederhana yang panjangnya
l = g / ω2 . Persamaan tersebut selanjutnya dapat juga

Mekanika

digunakan untuk menghitung kecepatan dan posisi benda
bermassa m.

b.Untuk menghitung reaksi kawat, kita mesti melihat
pergeseran virtual massa m dalam suatu arah yang tegaklurus
pada kawat. Untuk maksud tersebut, kita anggap bahwa jarak
CB sama dengan jarak r (merupakan variabel dan bukan
tetapan), seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.4 c. Maka
dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan dan dua
koordinat rampatan, yakni r dan θ. Dari gambar nampak
bahwa:

x = a cos ωt + r cos(ωt +θ )
y = a sin ωt + r sin(ωt +θ )

  (
x = − aω sin ω t + r cos ( ωt + θ ) − r [ sin( ωt + θ ) ] ω + θ )
  (
y = aω cos ω t + r sin( ωt + θ ) + r [ cos( ωt + θ ) ] ω + θ )
m( x 2 + y 2 )
1
T =  
2
1
2
[  (
= m a 2ω 2 + r 2 + r 2 θ + ω ) 2
( )
+ 2aω r sin θ + 2aω r θ + ω cos θ
 ]

d  ∂T  ∂T

 ∂ r  − ∂ r = Qr

dt  

Dimana Qr = R adalah gaya reaksi. Nilai dari ∂ ∂ dan
T r
∂ ∂ diperoleh dari persamaan (i) dan jika disubstitusi ke
T r
persamaan (ii), didapatkan :

29

Mekanika

[   (
R = m  + aωθ cos θ − r θ + ω
r ) 2
(  )
− aω θ + ω cos θ ]
r =a , r =0 ,
 dan  = 0
r

[  (
R = − ma ω 2 cos θ + θ + ω ) 2
]
yang merupakan persamaan yang menyatakan reaksi kawat .

9. Bahaslah gerak sebuah partikel dengan massa m yang
bergerak pada bidang sebuah kerucut dengan sudut setengah
puncak (half-angle) φ (lihat Gambar 2.5) dimana gaya yang
bekerja hanyalah yang disebabkan oleh gaya gravitasi saja.

Mekanika

Gambar 2.5.
Gerak pada kerucut

Misalkan puncak kerucut berada di titik O (pusat
koordinat dalam gambar), sedangkan sumbu kerucut
berimpit dengan sumbu z. Posisi partikel pada
permukaan kerucut dapat dinyatakan dengan koordinat
Cartesian (x,y,z). Namun kita akan gunakan koordinat
silinder ( r , θ, z ) sebagai koordinat rampatannya. Tidak
semua ketiga koordinat tersebut a adalah independen
(bebas satu sama lain). Koordinat z dan r dihubungkan
oleh parameter φ melalui persamaan :

z = r cot φ

z = r cot φ
 

Kemudian diperoleh dua derajat kebebasan. Bisa digunakan r,
θ sebagai koordinat umum dan menghilangkan z dengan
31

Mekanika

menggunakan persamaan pembatas diatas. Energi kinetik
massa m adalah :

T =
1
2
1
2
 [  
1
2
] [ ( ) 
mv 2 = m r 2 + r 2θ 2 + z 2 = m r 2 1 + cot 2 φ + r 2θ 2 ]
=
1
2
( 
m r 2 csc 2 φ + r 2θ 2
 )
atau

Energi potensial massa m (anggap V = 0 dan z = 0) :
V = mgz = mgr cot φ
Kemudian Lagrangian L sistem :
1
2
 (  )
L = T − V = m r 2 csc 2 φ + r 2θ 2 − mgr cot φ
Persamaan Lagrange untuk koordinat r adalah :

d  ∂L  ∂L

 ∂ r  − ∂r = 0

dt  

Dengan memasukkan nilai L, diperoleh :

∂L d  ∂L  ∂L
= mr csc 2 φ ,
  ∂r  = m csc φ , ∂r = mrθ − mg cot φ
  r 2 2
∂r
 dt  

Substitusi nilai ini ke persamaan (*), diperoleh :


 − rθ 2 sin 2 φ + g cos φ sin φ = 0
r

Ini adalah persamaan gerak untuk koordinat r.
Persamaan Lagrange untuk koordinat θ adalah :

Mekanika

d  ∂L  ∂L
 − =0 (**)
dt  ∂θ  ∂θ




Dengan memasukkan nilai L, diperoleh :

∂L  ∂L
= mr 2θ dan =0
∂θ ∂θ

Substitusi nilai ini ke persamaan (ii), diperoleh :

d
dt
( )d
mr 2θ = ( J z ) = 0

dt

Artinya

J z = mr 2θ = kons tan

F. MOMENTUM RAMPATAN

Tinjaulah gerak sebuah partikel tunggal yang bergerak
sepanjang garis lurus (rectilinier motion). Energi kinetiknya
adalah

T = 1 mx 2
2

(76)

dimana m adalah massa partikel, dan x adalah koordinat
posisinya. Selanjutnya disamping mendefinisikan momentum
partikel p sebagai hasil kali m x , kita juga dapat

mendefinisikan p sebagai kuantitas ∂T
∂x , yakni:

33

Mekanika

∂T
p= = mx

∂x

(77)

Dalam kasus dimana sebuah sistem yang digambarkan oleh
koordinat rampatan q1, q2, …, qk … qn, kuantitas pk
didefinisikan dengan

∂L
pk =
∂q k

(78)

yang disebut momentum rampatan. Persamaan Lagrange
untuk sistem konservatif dapat ditulis

∂L
pk =

∂q k
(79)

Misalkan dalam kasus khusus, satu dari koordinatnya,
katakanlah qλ, tidak tersirat secara eksplisit dalam L. Maka

∂L
pλ =

∂q λ
(80)

sehingga

p λ = tetapan = c λ (81)

Dalam kasus ini, koordinat qλ dikatakan dapat terabaikan
(ignorable). Momentum rampatan yang diasosiasikan dengan
koordinat terabaikan tak lain adalah tetapan gerak sistem.

Mekanika

Sebagai contoh, dalam persoalan partikel yang
meluncur pada bidang miring yang licin (yang telah dikerjakan
pada bagian sebelumnya), kita dapatkan bahwa koordinat x,
posisi bidang, tidak tersirat dalam fungsi Lagrangian L. Oleh
karena x merupakan suatu koordinat terabaikan, maka

∂L
px = = ( M + m) x + mx ' cos θ = tetapan
 
∂x

(82)

Kita dapat lihat bahwa ternyata p x adalah komponen total
dalam arah mendatar dari momentum linier sistem dan oleh
karena tidak terdapat gaya yang bekerja dalam arah mendatar
pada sistem, komponen momentum linier dalam arah mendatar
harus konstan.
Contoh lain koordinat terabaikan dapat dilihat dalam
kasus gerak partikel dalam medan sentral. Dalam koordinat
polar

(
   )
L = 1 m r 2 + r 2 θ2 − V (r )
2
(83)

seperti yang diperlihatkan dalam contoh di atas. Dalam kasus
ini θ adalah koordinat terabaikan dan

∂L 
pθ = = mrθ2 = tetapan
∂θ
(84)

yang sebagaimana telah kita ketahui dari bab terdahulu adalah
momentum sudut di sekitar titik asal.

35

Mekanika

Contoh

Bandul sferis, atau potongan sabun dalam mangkuk. Suatu
persoalan klasik dalam mekanika adalah bahwa partikel yang
terbatasi untuk berada pada permukaan sferis yang licin di
bawah pengaruh gravitasi, seperti sebuah massa kecil meluncur
pada permukaan mangkuk yang licin. Kasus ini juga
digambarkan oleh bandul sederhana yang berayun dengan
bebas dalam sembarang arah, Gambar 2.6. Ini dinamakan
bandul sferis, yang dinyatakan sebelumnya dalam bagian
terdahulu.
z

θ l

m

mg
y
φ

x

Gambar 2.6
Bandul sferis

Mekanika

Dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan, dan kita
akan menggunakan koordinat rampatan θ dan φ seperti yang
ditunjukkan. Hal ini kenyataannya ekivalen dengan koordinat
bola dengan r = l = tetapan dimana l adalah panjang tali
bandul. Kedua komponen kecepatan adalah vθ = lθ  dan vφ =
l sin θ . Ketinggian bola bandul, dihitung dari bidang-xy,

φ
adalah (l - l cos θ) , sehingga fungsi Lagrangian adalah

1 2 2 
L= ml (θ + sin 2 θφ2 ) − mgl(1 − cos θ)
2
(85)

Koordinat φ dapat diabaikan, sehingga diperoleh

∂L 
p θ =  = ml2 sin 2 θφ = tetapan
∂θ
(86)

Ini adalah momentum sudut di sekitar sumbu tegak atau
sumbu z. Kita akan menundanya untuk persamaan dalam θ:

d ∂L ∂L
 =
dt ∂θ ∂θ
(87)

yang dapat juga dinyatakan sebagai:

 
ml 2 θ = ml 2 sin θcos θφ2 − mgl sin θ
(88)

Mari kita perkenalkan tetapan h, yang didefinisikan dengan:

37

Mekanika

 p
h = sin θφ − φ2
ml
(89)

Selanjutnya persamaan diferensial gerak dalam θ menjadi

 + g sin θ − h 2 cos θ = 0
2
θ (90)
l sin 2 θ

Persamaan (90) mengandung beberapa makna sebagai berikut.
Pertama, jika sudut φ konstan, maka h = 0. Akibatnya,
persamaan di atas dapat ditulis sebagai :
 + g sin θ = 0
θ (91)
l

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul sederhana.
Geraknya berada dalam bidang φ = φo = konstan. Kedua, adalah
kasus banduk konik (conical pendulum). Dalam hal ini,
gantungan bandul menggambarkan suatu lingkaran horisontal,
sehingga θ = θo = konstan. Jadi, θ = 0 dan  = 0 , sehingga
 θ
persamaan (90) dapat disederhanakan menjadi :

2 cos θ o
2
g
sin θ o − h =0 (92)
l sin 2 θ o
atau :
g
h2 = sin 4 θo sec θo (93)
l
Dari nilai h yang diperoleh pada persamaan di atas, maka

2 g
φo = sec θo (94)
l

Mekanika

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul konik.

φ=φ2

φ=φ1

Gambar 5

Gambar 2.7
Gerak pada permukaan bola

G. FUNGSI HAMILTON

39

Mekanika

Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan
persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah fungsi dari
koordinat rampatan

H= ∑q

k
k pk −L (95)

Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem
adalah fungsi kuadrat dari q dan energi potensialnya

merupakan fungsi q saja :

L = T (q k , q k ) − V (q k )
 (96)

Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh

∂L ∂T
∑q p

k
k k −L = ∑q

k
k
∂q k

= ∑q

k
k
∂q k

= 2T (97)

Oleh karena itu :

H= ∑q
k
 k p k − L = 2T − (T − V ) = T + V (98)

Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita
tinjau. Selanjutnya, pandang n buah persamaan yang ditulis
sebagai :

∂L
pk = (k = 1,2, …n) (99)
∂q k

dan nyatakan dalam q dalam p dan q


q k = q k (p k , q k )
  (100)

Mekanika

Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang
bersesuaian dengan variasi δp k , δq k sebagai berikut :

 ∂L ∂L 
δH = ∑p δq
k
 k k + q k δp k −

∂q k

δq k −

∂q k
δq k 

(101)

Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung
saling meniadakan, oleh karena menurut defenisi
p k = ∂L / ∂q k , oleh karena itu:


δH = ∑[qδp
k
 k − p k δq k ]
 (102)
Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam
persamaan berikut :

 ∂H ∂H 
δH = ∑ ∂p

k k
δp k +
∂q k
δq k 

(103)

Akhirnya diperoleh :

∂H (104)
= qk

∂p k

∂H
= −p k
 (105)
∂q k

Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik
Hamilton untuk gerak. Persamaan-persamaan ini terdiri dari 2n
41

Mekanika

persamaan defernsial orde-1 (bandingkan dengan persamaan
Lagrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-2.
Persamaan Hamilton banyak dipakai dalam mekanika
kuantum (teori dasar gejala atomik).

Contoh pemakaian.

1. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan
gerak osilator harmonik satu dimensi.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat
dinyatakan sebagai :

1 1
T= mx 2
 dan V= Kx 2
2 2
(106)

Momentumnya dapat ditulis

∂T p
p= = mx atau x =
 
∂x
 m
(107)

Hamiltoniannya dapat ditulis :

1 2 K 2
H =T+V = p + x (108)
2m 2

Persamaan geraknya adalah :

∂H ∂H
=x
 = −p

∂p ∂x
(109)

Mekanika

dan diperoleh :

p
=x
 Kx = −p

m

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-
kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan di atas,
dapat kita tulis :

m + Kx = 0
x (110)

yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.

2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan
gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan
sentral.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat
dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut:

m 2 
T= (r + r 2 θ2 )
 dan V=V(r) (111)
2

Jadi :

∂T pr
pr = = mr
 r=

∂r
 m
(112)

∂T   p
pθ =

= mr 2 θ θ = θ2 (113)
∂θ mr

Akibatnya :
43

Mekanika

2
1 pθ
H= (p r + 2 ) + V (r )
2

2m r
(114)

Persamaan Hamiltoniannya:

∂H ∂H ∂H  ∂H
=r ,
 = −p r , = θ, = −p θ
∂p r ∂ r ∂p θ ∂θ
(115)

Selanjutnya:
pr
=r

m
(116)
∂V (r ) p θ
2
− = −p r

∂r mr 3
(117)

pθ 
=θ (118)
mr 2

− pθ = 0 (119)

Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum
sudut tetap,


p θ = kons tan = mr 2 θ = mh (120)

Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,

Mekanika

mh 2 ∂V(r )
m = p r =
r  −
r3 ∂r
(121)

untuk persamaan gerak dalam arah radial.

H. PERSAMAAN LAGRANGE UNTUK GERAK DALAM
MEDAN ELEKTROMAGNETIK

Salah satu masalah penting dalam persoalan mekanika
adalah gerak zarah bermuatan dalam medan elektromagnetik.
Hal itu dibahas dalam bab ini, khususnya cara penyelesaiannya
dengan metode Lagrange.
Medan elektromagnetik mempunyai potensial yang
bergantung dari kecepatan zarah. Oleh karena itu perlu
dilakukan penanganan terlebih dahulu terhadap bentuk
matematika fungsi potensial itu, sehingga kemudian metode
Lagrange dapat diterapkan.
Suatu zarah dengan massa m dan muatan q yang
bergerak dalam medan listrik E dan medan magnet berinduksi
magnet B, dipengaruhi geraknya oleh gaya :

F=qE+qvxB (122)

Dalam ungkapan itu v merupakan kecepatan zarah.
Komponen gaya itu dalam arah X berbentuk:

45

Mekanika

[
Fx = q E x + q y B z − z B y
  ]
(123)

Menurut teori elektromagnet, fungsi potensial suatu
medan elektromagnet terdiri dari dua bagian berikut :

Potensial skalar Ф dan potensial vektor A

Masing-masing besaran itu berkait dengan kuat medan E dan
induksi magnetik B melalui hubungan :

∂A
E = −∇Φ −
∂t

B = ∇× A (124)

Jika medan tak bergantung waktu, maka :

E = −∇ Φ dan B ≡ ∇×A (125)

Medan E tidak terkait dengan B.

Perhatikanlah suatu fungsi U yang diungkapkan sebagai :

U ≡ q Φ( r , t ) − q [ v •A ( r , t ) ]
(126)

Fungsi ini tak lain adalah fungsi potensial suatu zarah
bermuatan dalam suatu medan elektromagnetik. Fungsi U
tersebut dapat ditulis sebagai :

Mekanika

 [
U ≡ q Φ − q x Ax + y Ay + z Az
  ]
(127)

Perkalikanlah sekarang bagaimana bentuk fungsi

∂U d  ∂U 
− +   (128)
∂x dt  ∂x 
  

Yang diperoleh dengan mendiferensiasi persamaan (127) ke x,
ke x , dan kemudian ke t. Dua yang pertama secara parsial.

Diferensiasi U secara parsial ke x, memberikan :

∂U ∂Φ  ∂Ax ∂Ay ∂Az 
− = −q + q x
 ∂x +y
 +z
 

∂x ∂x  ∂x ∂x 
(129)

Diferensiasi U secara parsial ke x , memberikan :


∂U
= −q A x
∂x

(130)

Diferensiasi persamaan i ke t, menghasilkan :

∂U ∂U   ∂Ax ∂Ax ∂Ax ∂Ax  (131)
  = −q 
 ∂t + ∂x x + ∂ y y + ∂z z
  
∂t  ∂x 
    

Sehingga bentuk persamaan 128 menjadi :

47

Mekanika

∂U d ∂U 
− +  
∂ x dt  ∂ x 
  
 ∂Φ ∂Ax    ∂Ay ∂Ax   ∂Az ∂Ax 
 ∂ x − ∂ t  + q  y ∂ x − ∂ y
= q −    + z
  ∂ x − ∂ z 

   
   

=q E x +q ( y Bz − z B y )
 
= Fx

Oleh karena itu :

∂U ∂  ∂U 
− +   = qE x + q ( yB z − zB y ) = Fx
 
∂x ∂t  ∂x 
(132)
Dengan

E = ˆE x +ˆ E y +kE z
i j ˆ adalah kuat medan listrik
B = ˆB x + ˆ B y +kB z
i j ˆ adalah induksi magnetik

Persamaan 132 yang merupakan fungsi potensial untuk zarah
yang bermuatan dalam sebuah medan elektromagnetik,
merupakan fungsi dari kedudukan dan kecepatan.
Seperti pembahasan-pembahasan sebelumnya fungsi
Lagrange senantiasa menganggap bahwa fungsi potensial V
hanya bergantung pada kedudukan saja yakni :

V = V (q1, q2, .......... q3N) (133)

Pertanyaan kita adalah apakah mungkin persamaan Lagrange
dapat diterapkan dalam persoalan gerak zarah bermuatan
listrik ?
Andaikan bahwa gaya-gaya rampatan Qk yang bekerja
pada suatu sistem mekanika agar dapat diturunkan dari suatu

Mekanika

fungsi potensial skalar U yang bergantung dari kecepatan. Jika
hubungan antara Qk dan potensial U dinyatakan oleh

∂U ∂  ∂U 
Qk = +   (134)
∂q k ∂t  ∂q k
 



dan fungsi Lagrange untuk sistem ini dinyatakan oleh :

L=T–U (135)

Berdasar pada pembahasan-pembahasan sebelumnya,
hubungan antara T, Qk, qk, dan q k dapat dinyatakan dengan


∂  ∂U   ∂T 
  = Qk +   (136)
∂t  ∂q k
 


 ∂q
 k



Substitusi 134 ke dalam 136 menghasilkan :

∂  ∂T   ∂U d  ∂U   ∂T 
  = − +   +   (137)
∂t  ∂q k
 
  
  ∂q k dt  ∂q k
  ∂q
  k



dan dapat ditulis juga dalam bentuk lain

d  ∂T ∂U   ∂T ∂U 

 ∂q − ∂q −
 − =0 (138)
dt   k k   ∂q k ∂q k 

Apabila definisi umum fungsi Lagrange digunakan maka akan
diperoleh :
d  ∂T  ∂L
 − =0 (139)
dt  ∂q k  ∂q k
  
49

Mekanika

Berdasarkan pembahasan di atas dapat diambil suatu
kesimpulan bahwa, jika U merupakan fungsi potensial skalar
yang bergantung pada kecepatan zarah v yang ditandai oleh
hubungan gaya rampatan

∂U ∂  ∂U 
Qk = +   (140)
∂q k ∂t  ∂q k
 



maka persaman Lagrange untuk sistem mekanika yang
dikuasai oleh U memiliki bentuk

d  ∂T  ∂L
 −
 ∂q = 0 (141)
dt  ∂q k
   k

dengan fungsi Lagrange L = T - U

Untuk memecahkan persoalan apakah fungsi Lagrange di atas
dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan gerak
zarah dalam medan elektromegnetik, tinjaulah sebuah fungsi
potensial sebagaimana persamaan 127 seperti berikut:

 [
U ≡ q Φ − q x Ax + y Ay + z Az
  ]
Untuk komponen gaya ke arah x berlaku :

∂U ∂  ∂U 
Fx = − +  
∂x ∂t  ∂x 

(142)

Mekanika

Dengan penalaran yang sama, juga dapat dilakukan untuk
komponen Fy dan Fz. Jadi dengan demikian fungsi Lagrange
yang dimaksud dalam hal ini adalah :

1
L= Mv ⋅ v - qΦ(r , t) + v ⋅ A (r, t)q (143)
2

dimana m dan q masing-masing adalah massa dan muatan
zarah, v adalah kecepatan zarah, dan Ф (r,t) serta A(r,t)
masing-masing adalah potensial skalar dan potensial vektor
medan elektromagnetik.

Contoh :

1
1. Tunjukkan bahwa A = ( B × r ) merupakan vektor
2
potensial untuk suatu medan dengan induksi magnetik
B.

Jawab :

∇×A = 1 ∇×A
2

= 2 { B( ∇ ⋅ r ) − r ( ∇ ⋅ B ) + ( r ⋅ ∇ ) B − ( B ⋅ ∇ ) r}
1

Diketahui bahwa ∇ ⋅ r = 3 . Jadi suku pertama adalah
3B.

) 

(B ⋅ ∇ = B x
∂
∂x
+B y
∂
∂y
+B z
∂ ˆ
∂ 
z
j (
 ⋅ i x + ˆ y +kz
ˆ ) =B

Sehingga :

∇×A = 1
2
[ 2B − ( r ⋅ ∇ ) B]
51

Mekanika

Bila B merupakan medan yang konstan, suku
( r ⋅ ∇)B = 0
dan ∇ × A = B menurut definisi A. Jadi
untuk medan dengan induksi magnet yang tetap

A= 1
2
( B × r)
ˆ
Misalkan bahwa B = kB o maka dalam koordinat
Cartesius :
A= 1
2
( k × r ) B0
A = 1 B 0 ˆ x − ˆy
2 j i ( )
A = ˆ( 1 B 0 y ) + ˆ( 1 B 0 x )
i 2 j2
Dalam koordinat silinder :

A= 1
2
( B × r)
A = 1 B0 r
2

Arah A adalah dalam bidang r tegak lurus pada sumbu
–z, dan dapat pula tegak lurus pada sumbu r sendiri.
Jadi dalam arah koordinat φ, sehingga A hanya terdiri
dari komponen Aφ = 1 B 0 r , Ar = Az = 0.
2

z

Mekanika

kB0

y
r
x

Gambar 2.8
Hubungan antara arah B dengan r

2. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-
z, artinya B = B0 k , maka dalam koordinat silinder
ˆ
berlaku : Ar = 0, Aφ = 1 B o r dan Az = 0.
2

Jawab :

3. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-
z, artinya B = B0 k , maka dalam koordinat silinder
ˆ
berlaku : Ar = 0, Aφ = 1
2
B o r dan Az = 0.

Jawab :

4. Bagaimanakah bentuk potensial skalar Φ dalam
koordinat silinder, apabila medan listrik juga searah
dengan sumbu-z. Artinya E = E0 k .
ˆ

53

Mekanika

5. Tulislah fungsi Lagrange untuk suatu zarah (massa M
dan muatan q) yang bergerak dalam medan
elektromagnetik dengan B = B0 k dan E = E0 k .
ˆ ˆ
Gunakan koordinat silinder.

Jawab :
Sesuai dengan definisi : L = T - V

Fungsi Lagrange L untuk zarah dengan massa M dan
mauatn Q dalam medan tersebut :

L = 1 m(r 2 + r 2ϕ 2 + z 2 ) + QE 0 z + Qrϕ 1 B0 r
2
   2
L = 1 m(r 2 + r 2ϕ 2 + z 2 ) + QE 0 z + 1 QrϕB0 r 2
2
   2


6. Besaran fisika mana saja yang merupakan tetapan gerak
dalam soal nomor 5 ?

Koordinat siklik dalam fungsi Lagrange di atas adalah
φ, sehingga pφ merupakan tetapan gerak.

Hal tersebut dapat diturunkan dari persamaan Lagrange
d  ∂L  ∂L

 ∂  − ∂ϕ = 0

dt  ϕ

∂L
Bila L tidak merupakan fungsi φ, maka = 0, dan
∂ϕ
d  ∂L 
oleh karena itu   = 0 , yang berarti bahwa pφ =
dt  ∂ϕ
 
∂L
= p = Mr ϕ + 1 Qr ϕB 0 = tetap.
2 2 2
tetap, atau  
∂ϕ φ
 2

Mekanika

7. Tulis perangkat persamaan Lagrange untuk sistem di
atas

Perangkat persamaan Lagrange untuk sistem diatas :

∂L
= mr

∂r

∂L
= mrϕ2 +QB0 rϕ
 
∂r
Dengan demikian :

m = Mrϕ2 +QB0 rϕ
r  

∂L 1
= M r 2 ϕ+ QB o r 2

∂
ϕ 2
∂L
=0
∂ϕ

1
Diperoleh : m r 2ϕ +
 QBo r 2 = kons tan
2
Kemudian :
∂L
=m z

∂z


∂L
=Q Eo
∂z

Sehingga : m  =Q E o
z

Andaikanlah dicari solusi dengan r tetap, maka diperoleh dari
persamaan Lagrange pertama diatas :

55

Mekanika

0 = ( m ϕ + Q Bo ) ϕ
 

Q Bo
ϕ=0 , atau
 ϕ =−

m

Sedangkan persamaan ketiga memberikan :

QE
 =
z = tetap
m

Artinya gerak dipercepat dalam arah z.
Q Bo
Secara skematik solusi dengan ϕ =−

m
diterangkan disamping.

Bagaimanakah lintasan bila diambil ϕ=0 ?s


SOAL SOAL

Gunakan metode Lagrange untuk mencari persamaan gerak
berikut, kecuali ada pernyataan lain.

1. Cari persamaan diferensial gerak peluru dalam sebuah
medan gravitasi seragam tanpa hambatan/gesekan udara.
2. Cari percepatan bola pejal seragam yang menggelinding
dengan sempurna pada bidang miring.

Mekanika

3. Dua buah balok dengan massa sama m dihibungkan oleh
sebuah tali yang lunak. Salah satu balok berada di atas meja
yang licin (tanpa gesekan) dan yang lain tergantung pada
ujung meja. Carilah percepatan sistem jika massa tali
diabaikan.
4. Sebuah bola dengan massa m bergerak ke bawah pada
sebuah bidang miring bermassa M dengan sudut
kemiringan θ serta bebas bergerak pada bidang datar yang
licin. Kontak antara bola dengan bidang miring adalah
kasar sempurna. Carilah percepatan bidang miring.
5. Gunakan metode Hamilton untuk mencari persamaan
gerak berikut :

a. Bandul sederhana.
b. Mesin Atwood sederhana.
c. Benda yang meluncur ke bawah pada sebuah bidang
miring.

57

Persamaan Lagrange dan Hamilton

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Persamaan Lagrange dan Hamilton

Similar to Persamaan Lagrange dan Hamilton (20)

More from Kira R. Yamato

More from Kira R. Yamato (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Persamaan Lagrange dan Hamilton