Dokumen tersebut membahas fungsi Bessel, termasuk definisi, persamaan diferensial Bessel, fungsi Bessel jenis pertama dan kedua, rumus-rumus penting seperti rumus pengulangan dan asimtotik, serta sifat-sifat seperti nilai nol dan ketegaan-lurusan fungsi Bessel.

1. FUNGSI BESSEL
DISUSUN OLEH
KELOMPOK III
Nama Anggota : Desrianah 2007.121.246
Titin Yuniarti 2007.121.254
Okta Herlaiza 2007.121.2
Septia Julita 2007.121.278
Dessy Adetia 2007.121.440
Esca Oktarina 2007.121.459
Semester : 6L
Program Studi : Pendidikan Matematika
Mata Kuliah : Matematika Lanjutan
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
2009/2010

2. FUNGSI BESSEL
PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL
Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.
x2 y''+xy'+(x2 - n2 )y = 0 , n ³ 0 (1)
yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan
oleh
( ) ( ) 1 2 y c J x c Y x n n = + (2)
Penyelesaian J (x) n , yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol
dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian Y (x) n
yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati
nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi
Neumann.
Jika peubah bebas x pada (1) diganti lx di mana l suatu konstanta,
persamaan yang dihasilkan adalah
x2 y''+xy'+(l2 x2 - n2 )y = 0 (3)
Yang mempunyai penyelesaian umum ( ) ( ) 1 2 y c J x c Y x n n = l + l (4)
FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA
Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai
( ) ( ) ( )( )   
  
x
x
x
= -
...
× + +
+
+
-
G +
2 2 2 2 4 2 2 2 4
1
2 1
( )
2 4
n n
n
n
J x n
n
n (5)
Atau

 -
x
( )
( ) Σ ¥
J x (6)
=
+


2
1
G + +
=
0
2
! 1
( )
r
n r
r
n r n r
Di mana G(n +1) adalah fungsi gamma [Bab 9]. Jika n bilanngan bulat positif,
G(n +1) = n!, G(1) = 1. Untuk n = 0, (6) maka

3. J x (7)
...
6
4
2
0 = - + - + x x x
( ) 1 2
2 2
2 2 2
2 2 4 2 4 6
Deret (6) konvergen untuk setiap x. Grafik J ( x ) dan J ( x ) ditunjukkan pada
0 1 Gambar 10-1.
Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, J (x) dapat dinyatakan dalam
n suku-suku sinus dan cosinus. Lihat Soal 10.4 dan 10.7.
Sebuah fungsi J (x) , n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh –n
-n pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan
bahwa [lihat Soal 10.3]
J (x) ( 1) n
J (x) n
n = - - (8)
Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka J (x) n dan J (x) -n bebas linear, dan
untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah
y AJ (x) B J (x) n
= + n
, n ¹ 0,1,2,3,... (9)
n - FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA
Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai
( )
( ) cos
p
( )
J x n J x
n n
p
sin
( ) ( )

 

 

p
-
-
=
cos
J x p J x
-
-
lim
® p
p
n
Y x
p p
n
p n sin
0,1,2,3,...
0,1,2,3,...
¹
=
n
n
(10)
Untuk kasus di mana n =0,1,2,3,… diperoleh uraian deret berikut untuk Y (x) .
n n k n
( ) ( ) ( )
 = Σ
 - - -
k

n n
x
J x n k
x
Y x
- -
=


1 !

  
  
+ 

1 2
0 2
1
2
ln
2
p
g
p
x

1 1 2
k n


( ) { ( ) ( )} ( )! !
1
2
1
k k
0 k n k
n
k
k
+

- - F + F +
+
-
= Σ
p
(11)
Di mana g = 0,5772156... adalah konstanta Euler dan
( )
F = 1+ + + + , F(0) = 0 (12)
p
p
1
...
1
3
1
2

4. FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK J (x)
n (GENERATING FUNCTION)
x
 -

e J x t
Fungsi ( ) Σ ¥
=-¥


=
n
n
n
t
t
1
2 (13)
dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde
bulat, yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini
untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk
semua n.
RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA)
Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n.
n
2
1. ( ) J (x) J (x)
+ - = -
J x n 1 n n 1
x
1
2. J ' (x) = [J (x) -
J (x)] n 2
n - 1 n + 1 3. xJ (x) nJ (x) xJ (x) n n n 1 ' + = -
4. xJ (x) xJ (x) nJ (x) n n n = - -1 '
d
5. [x J (x)] x J (x)
dx
n
n
n
n
-1 =
d
6. [x J (x)] x J (x)
dx
n
n
n
n
+1
- = - -
Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan
fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara
dengan 5 dan 6.
Fungsi Y (x) n memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana Y (x) n
menggantikan J (x) n .
FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL
1.Fungsi Hankel Jenis Pertama dan Kedua, yang berturut-turut
didefinisikan oleh

5. H ( ) (x) J (x) iY (x) n n n 1 = + , H ( ) (x) J (x) iY (x) n n n 2 = +
2.Fungsi Bessel yang Dimodifikasi. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis
pertama berorde n didiefinisikan oleh
p
I (x) i n
J (ix) J (ix) n
n n
n i
e 2
= - = (14)
Jika n bilangan bulat, I (x) I (x) n n = - (15)
Tetapi jika n bukan bilangan bulat, I (x) n dan I (x) -n bebas linear.
Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua berorde n didefinisikan oleh
( )
( ) ( )

I x I x
n n
p
( ) ( )
p

 

 



 -
2 sin
lim
 -



=
I x I x
-
-
p
® p
p
n
K x
p p
n
p n 2 sin
0,1,2,3,...
0,1,2,3,...
¹
=
n
n
(16)
Fungsi ini memenuhi persamaan diferensial
x2 y"+xy'-(x2 + n2 )y = 0 (17)
dan penyelesaian umum persamaan ini adalah
y c I (x) c K (x) 1 n 2 n = + (18)
atau jika n ¹ 0,1,2,3,... y AI (x) BI (x) n -n = + (19)
3.Fungsi Ber, Bei, Ker, Kei. Fungsi Ber (x) n dan Bei (x) n adalah bagian riil


3
J i x n
dan imajiner dari  

  
2
3 p
i


2 4
di mana i e ( i)
-  

 
= = 1

2
3
2
, yaitu


3
J i x Ber (x) iBei (x) n n n + =  

 

2
(20)
Fungsi Ker (x) n dan Kei (x) n adalah bagian riil dan imajiner dari

 

- 
e K i x n
 

p
n i
1
2
2
i


2 2 4
di mana i e ( i)
+  

 
= = 1

2
1 p
, yaitu

6. 
- 
1
n n(x) n(x)
p
n i
iKei Ker x i K e + =  

 

2
2
(21)
Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan
x2 y"+xy'-(ix2 + n2 )y = 0 (22)
yang membangun teknik kelistrikan dan lapangan lainnya. Penyelesaian
umum dari persamaan ini adalah

 
1 (23)


 
1
3
y = c J i x c K i x n n


+  


 

2
2
2
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM
PERSAMAAN BESSEL
Persamaan
x2 y"+(2k +1)xy'-(a 2x2r +b 2 )y = 0 (24)
di mana k, a , r, b konstanta mempunyai penyelesaian umum

 


 


 


 


+  


 

= -
r
k
r
r
k
r
k
x
r
c Y
x
r
y x c J
a a
1 2 (25)
di mana = k 2 -b 2 K . Jika a = 0 , persamaannya dapat diselesaikan
sebagai persamaan Euler atau Cauchy [lihat halaman 83]
RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL
Untuk nilai x besar kita mempunyai rumus asimtotik berikut ini
2 p p
p

 - -
J (x) n ~ 

4 2
cos
n
x
x
2 p p
p

 - -
,Y (x) n ~ 

4 2
sin
n
x
x
(26)
NILAI NOL FUNGSI BESSEL
Kita dapat menunjukkan bahwa jika n suatu bilangan riil, J (x) = 0 n
mempunyai tak berhingga banyaknya akar yang semuanya riil. Perbedaan di
antara akar-akar yang berurutan mendekati p jika nilai akarnya membesar.

7. Ini dapat dilihat dari (26). Kita dapat juga menunjukkan bahwa akar-akar
J (x) = 0 n terletak di antara ( ) 0 1 = - J x n dan ( ) 0 1 = + J x n . Catatan serupa dapat
juga dibuat untuk Y (x) n .
KETEGAK-LURUSAN (ORTHOGONALITY) FUNGSI BESSEL
Jika l dan m dua konstanta berbeda, kita dapat menunjukkan [lihat Soal
10.21] bahwa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ = n n - n n
l m m l m l m l
2 2
1
0
' '
l m
-
n n
J J J J
xJ x J x dx (27)
sedangkan [lihat Soal 10.22]




2
1
n
( ) ( ) ( )
∫ l = l + - 2
l
xJ x dx J (28)

 

 

l
2
1 2
0
2 ' 1
2
J
n n n
Dari (27) kita lihat bahwa l dan m adalah dua akar berbeda dari persamaan
RJ (x)+ SxJ ' (x) = 0 n n (29)
di mana R dan S konstanta, maka
( ) ( ) 0
1
∫ xJ l x J m x dx = (30)
0
n n yang menyatakan bahwa fungsi xJ ( l x) dan xJ ( m x) tegaklurus pada
n n (0,1). Perhatikanlah bahwa sebagai kasus khusus (29) kita melihat bahwa l
dan m dapat merupakan dua akar berbeda dari J (x) = 0 atau J ' (x) = 0 .
n n Kita dapat juga mengatakan bahwa fungsi-fungsi J ( l x) , J ( m x) tegaklurus
n n terhadap fungsi kepadatan x.
DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL
Seperti pada kasus Deret Fourier, kita dapat menunjukkan bahwa jika f(x)
memenuhi syarat Dirichlet [di halaman 197] maka di setiap titik kekontinuan
f(x) pada selang 0 < x < 1 terdapat suatu uraian deret Bessel yang berbentuk

8. ( ) ( ) ( ) ( ) Σ ¥
n n p n p f x A J l x A J l x A J l x (31)
=
= + + =
1
1 1 2 2 ...
p
R
di mana , ,... 1 2 l l adalah akar-akar positif (29) dengan ³ 0
S
, S ¹ 0 dan
l
= 1
p
l
p A n p
( )
xJ ( x)f (x)dx


2
l J
l
R
S
n
p n p
∫
 

 

- +
0
2
2
2 2
2 2
(32)
Di titik ketak-kontinuan deret di ruas kanan (31) konvergen ke
[ ( 0) ( 0)]
2
1 f x + + f x - yang dapat digunakan untuk menggantikan ruas kiri
(31).
Dalam kasus S = 0 sehingga , ,... 1 2 l l adalah akar-akar dari J (x) = 0 n ,
( ) xJ ( x)f (x)dx
2
= 1
l ∫
p l
A n p
J
2 0
1
+
n p
(33)
Jika R = 0 dan n = 0, maka deret (31) dimulasi dengan suku tetap
A x f (x)dx p = ∫1
2 (34)
0
SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA
PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL
10.1 Gunakan metode Frobenius untuk menentukan deret penyelesaian persamaan
diferensial Bessel x2 y"+xy'+(x2 + n2 )y = 0 .
Andaikan suatu jawaban berbentuk =Σ k+b
k y c x di mana k bergerak
dari -¥ sampai ¥ dan = 0 k c untuk k < 0, maka
( ) Σ Σ Σ + Σ +
+ = +b + - +b = b - k b
k x n y c x n c x c x n2c x
-
k
k
k
k
k
k
2
2 2 2 2
=Σ( +b ) k+b
k xy' k c x
=Σ( +b )( +b - ) k+b
k x2 y" k k 1 c x
Kemudian, dengan menjumlahkannya diperoleh

9. =Σ[( + )( + - ) + ( + ) + - ] + =
2 b b b k b
- " 1 2 0
x y k k c k c c n c x
k k k 2
k dan karena koefisien xk +b harus nol, diperoleh
[( ) ] 0 2
2 2 + - + = k k- k b n c c (1)
Andaikan k = 0 pada (1); karena 0 2 = - c maka diperoleh persamaan awal
( ) 0 0
b 2 - n2 c = ; atau andaikan 0 0 c ¹ , b 2 = n2 . Kemudian, tinjaulah dua
kasus, b = -n dan b = n . Pertama akan dipandang kasus pertama b = n , dan
kasus kedua diperoleh dengan menggantikan n oleh –n.
Kasus 1, b = n .
Dalam kasus ini (1) menjadi
(2 ) 0 2 + + = k k - k n k c c (2)
Ambillah k =1,2,3,4,... secara berurutan pada (2), kita mempunyai
= -
c
0 1 c = , 2(2 2)
c
c
c 0
, c = 0 , () =
2 n
+
3 42 42 4(2 2)(2 4)
c 2 0
, …
4 +
× + +
= -
n n
n
Jadi deret yang diinginkan adalah

x
x
= + + + + + = - ...
y c xn c xn c xn c xn (3)
( ) ( )( ) 


-
× + +
+
+
2 2 2 2 4 2 2 2 4
... 1
2 4
0
4
4
2
0 2 n
n n
Kasus 2, b = -n .
Gantilah n oleh –n pada Kasus 1, diperoleh

x
x
= - - ...
y c x n (4)
( ) ( )( ) 


-
× - -
+
-
2 2 2 2 4 2 2 2 4
1
2 4
0 n
n n
Sekarang, jika n = 0 kedua deret sama. Jika n =1,2,... deret kedua tidak
mungkin ada. Tetapi bila n ¹ 0,1,2,... kedua deret tersebut dapat ditunjukkan
bebas linear sehingga untuk kasus ini penyelesaian umumnya adalah

x
x
= - ...
( ) ( )( ) 


-
× + +
+
+
2 2 2 2 4 2 2 2 4
1
2 4
n n
n
y Cxn

x
x
Dx n (5)
+ - - ...
( ) ( )( ) 


-
× - -
+
-
2 2 2 2 4 2 2 2 4
1
2 4
n n
n

10. Kasus untuk n = 0,1,2,3,... akan dibicarakan kemudian [lihat Soal 10.15 dan
10.16].
FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA
Gunakan definisi (5) dari J (x) yang diberikan pada halaman 240 untuk
n menunjukkan bahwa jika n ¹ 0,1,2,3,...maka penyelesaian umum pada
persamaan bassel adalah y = AJ (x) + BJ (x) untuk kasus n ¹ 0,1,2,3,...
n -n 2
1.Buktikanlah (a) sin ,
= (b) cos ,
( ) 1 2 x
x
J x
p
2
( ) 1 2 x
x
J x
p
= -
(a) ( ) 1 2 J x
1 2 5 2 9 2
( x
2)
= - + -
( )
( )
x
( x
2)
( x
2)
( 1) ( x
2)
+
1 2 5 2 7 2
= - + -
p p p
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
  
  
x x x x x
= =
x x
x x x
r
r
r
r r r
r
r r
sin
sin 2
(1/ 2)
...
= - + -
3! 5!
1
(1/ 2)
...
2! 5 / 2 (3/ 2)(1/ 2)
1!(3/ 2)(1/ 2)
(1/ 2)
...
2! (7 / 2)
1! 5/ 2
(3 2)
! ( 3 2)
1 2 2 4 1 2
0
1 2 2
p p p
- =Σ ¥
=
+
(b) ( ) ( ) ( )
1 x
2 7 / 2
( )
( )
( )
( )
( )
( x
/ 2
)
...
2! ( 5/ 2
) / 2
x
1! 3/ 2
2
1/ 2
! 1 2
0
1 2 2 1/ 2 3 / 2
1 2 = - + -
+
- =Σ ¥
=
- + -
- r
r
r
x
r r r
J x
r
r r
= ( ) x
2 1 2 2 4
p p
x
x x x
cos
2
...
2! 4!
1
=
  
  
- + -
-
2.Hitunglah (a) ∫ x J1 (x)dx
4 , (b) ∫ x 3
J (x)dx 3
(a) Metode 1.Metode pengintralan parsial memberikan
∫ x 4
J (x)dx = ∫ (x 2 )[x 2
J (x)dx] 1
1
= x [x J (x)]- ∫[x J (x)][2xdx] 2
2 2
2
2
( ) ( )
x J (x) x J (x) c
= - 2
∫
x J x x J x dx
= - +
2
3
2
4
2
3
2
4
2
(b) Metode 2. Gunakanlah ( ) ( ), 1 0 J x = -J x diketahui
{ }
∫ = - ∫ = - -
∫
( ) ( ) ( ) 4 ( )
x J x dx x J x dx x J x x J x dx
[ ] [ ] [ ][ ]
∫ = ∫ = -
∫
( ) ( ) ( ) ( ) 2
x J x dx x xJ x dx x xJ x xJ x xdx
∫ x 2
J ( x ) dx = - 1
∫ x 2
J 1 ( x ) dx = - { x 2
J ( x ) -
0
0 ∫ 2 xJ ( x )
dx
}
0
1 1
2
0
2
0
2
0
3
0
1 4
0
4
1
4
= x2J x + xJ x
( ) 2 ( ) 0 1

11. Maka ∫ x 4
J (x)dx = -x 4
J (x) + 4[x 3
J (x) - 2{- x 2
J (x) + 2xJ (x)}]+ c 1
0
1
0 1
= x2 - x4 J x + x 2
- x J x
(8 ) ( ) (4 16 ) ( ) 0
1
x J (x)dx x [x J (x)dx] 3
3 - ∫ = ∫
5 2
3
[ ] [ ]
= - - - - -
( ) ( ) 5
x x J x x J x x dx
∫
∫
= - +
( ) 5 ( )
x J x x J x dx
2
2
2
3
4
2
2
2
5 2
x J (x)dx x [x J (x)]dx 2
2 - ∫ = ∫
3 1
2
[ ] [ ]
= - - - - -
( ) ( ) 3
x x J x x J x x dx
∫
∫
= - +
( ) 3 ( )
x J x xJ x dx
1 1
2
2
1
1
1
3 1
∫ xJ (x)dx = -∫ xJ 1
(x)dx = -[xJ (x) - ∫ J (x)dx] 1 0
0 0
= -xJ (x) + ∫ J (x)dx 0 0
Maka x J (x)dx x J (x) 5{ x J (x) 3[ xJ (x) J (x)dx]} 1 0 0
∫ 3 = - 3
+ - 2
+ - +
2
2
= -x 3
J (x) - 5x 2
J (x) -15xJ (x) +15∫ J (x)dx 2
1 0 0
Integral ∫ J (x)dx tidak dapat diperoleh dalam bentuk tertutup.secara umum ,
0 ∫ x 2 J (x)dx dapat diperoleh dalam bentuk tertutup jika p + q ³ 0 dan p + q
0
genap hasilnya dapat diperoleh dalam suku-suku ∫ J (x)dx 0 .
a) Buktikanlah ( ) ( ) ( )
2sin n
p
J x J x J x J x n n n n p
x
' ( ) ' - = - -
b) Bahaslah arti hasil (a) dipandang dari kebergantungan linear J (x) n dan J (x) -n
c) Karena J (x),dan,J (x) n -n ,berturut-turut disingkat J danJ (x), n -n memenuhi
persamaan bassel,maka
2 " + ' + ( 2 - 2 ) = 0, 2 " + ' + ( 2 - 2 ) = 0 n n n -n -n -n x J xJ x n J x J xJ x n J katakanlah
persamaan pertama dengan n J- dan kedua dengan n J dan kurangkanlah.
Maka yang dapat ditulis
[ - ] + [ - ]
=
0
[ ] [ ] 0
2 " " ' '
x J J J J x J J J J
- - - -
n n n n n n n n
J J J J J J J J
dx
- + - =
' ' ' '
- - - -
n n n n n n n n
d
x

12. d
' ' Atau { x [ J J - J J
]}= 0 n -n -n n dx
Integralkanlah ,kita memperoleh
c
x
J ' J - J '
- -
J= n n n n Untuk menentukan c gunakanlah uraian deret n J dan n J- ,diperoleh
-
x
x
x
n
n
n
= -
x
( ) ( ) ( ) ( ) ...
J n
2
...,
2 1
...,
2
...,
2 1
1
'
1
' -
-
- =
- +
- = - =
+
- -
- -
-
+
r n
J
r n
J
r n
J
r n
n
n n
n n
n n
n
Dan kemudian subsitusikan pada (1), kita memperoleh
np
p
1 1
2
=
r n r n r n r n r n r n
c
2sin
( ) (1 )
( 1) ( )
( ) (1 )
-
=
+ -
-
-
=
Dengan menggunakan hasil 1,dihalaman 227. Ini memberikan hasil yang diinginkan.
- - - pada (a) adalah determinan Wronski dari n J dan n J- . Jika n
a) Bentuk n n n n J ' J J ' J
bilangan bulat kita lihat dari (a) bahwa determinan wronski ini nol;sehingga n J dan
n J- bergantungan linear dan dan juga jelas dari soal 10.3(a). dalam hal lain,jika n
bukan bilangan bulat , n J dan n J- keduanya bebas linear karena pada kasus ini
determinan wronskinya tak nol.
FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL LAINNYA
1)Buktikanlah
( )( ) n
Σ ¥
e - = J ( x )
t n
n
t t x
=-¥
1
2
Kita mempunyai
( )( ) Σ( ) Σ( ) ΣΣ ( )
¥ + -
¥
- - = -
=
¥
=
=
¥
=
  
   -
  
  
= =
2
2
x t
xt
0 0 0 0
2 1 2 2
( 1) 2
x t
! !
!
!
r k
k r k r k
k
k
r
r
x t t xt x x
r k
k
r
e e e
Andaikan r - k = n sehingga n bergerak dari -¥ sampai +¥ , maka jumlahnya
menjadi
( ) ( ) n
n
n
n
¥ +
n k
k n k
n k
k n k n
¥
t J x t
( 1) x
2
k n k
( 1) 2
x t
n k k
( )
!( )!
( )! !
0
2
0
2
Σ Σ Σ Σ Σ
=-¥
¥
=-¥
¥
=
=-¥
¥
=
+
=
  
  
+
= -
+
-
2)Buktikanlah (a) cos( sin ) ( ) 2 ( ) cos 2 2 ( ) cos 4 ... 0 2 4 x q = J x + J x q + J x q +
(b) sin( sin ) 2 ( ) sin 2 ( ) sin 3 2 ( ) sin 5 ... 1 3 5 x q = J x q + J x q + J x q +
Andaikan
t = eiq pada soal 1,maka

13. q q [ q q ] q q
1 = =Σ =Σ +
2 x ( e i e i
) ix sin ( ) in
( ) cos sin
e e J x e J x n i n n
n
¥
-¥
¥
-¥
- -
{ [ ] q [ ] q
}
{[ ( ) ( )]sin [ ( ) ( )]sin 2 ...}
= + + + + +
( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2 ...
J x J - x J x J 0 1 1 -
x J x
2 2
+ i J x + J x q + J x + J x
q
+
1 - 1 2 -
2
= { J ( x ) + 2 J ( x ) cos 2 q + ...} + i {2 J ( x ) sin q + 2 J ( x ) sin 3 q +
...} 0 2 1 3 Dimana kita telah menggunakan soal 10.3(a). samakan bagian riil dan imajinernya
untuk peroleh hasil yang diinginkan.
1
p
J x = ∫ n - x d n = n q q q
3)Buktikanlah ( )
cos( sin ) , 0,1,2,...
0
p
Kalikan hasil pertama dan kedua soal 2.berturut-turut dengan cara cos nq dan
sin nq dan integralkan dari 0 sampai p dengan menggunakan
  
∫ = 0
0 2
cos cos p
p
mq nqdq
¹
m n
m =
n
  
∫ = 0
0 2
sin sin p
p
mq nqdq
¹
m n
m n
= ¹ 0
Kemudian jika n genap atau nol diperoleh :
p
sin(xsin ) sin n d
1
= ∫ q q q
, q q q
p
1
J x x n d n cos( sin ) cos
p
( )
0
= ∫
p
0
0
Dan dengan menjumlahkannya diperoleh :
p p
= ∫[ + ] = ∫ -
q q q
p
q q q q q
p 0 0
cos( sin )
1
cos( sin ) cos sin( sin ) sin
1
J (x) x n x n d n x d n
Dengan cara serupa ,jika n ganjil ,maka
p
cos(xsin ) sin n d
1
= ∫ q q q
, q q q
p
1
J x x n d n sin( sin ) sin
p
( )
0
= ∫
p
0
0
Dan dengan menjumlahkannya diperoleh
J x n x d n = ∫ -
q q q
p
p
0
cos( sin )
1
( )
Jadi kita memperoleh hasil yang berlaku untuk n genap atua ganjil ,yaitu n=0,1,2,…
4)Buktikanlah hasil soal 10.6(b) untuk nilai bulat n dengan menggunakan fungsi
pembangkit.
Diferensialkan kedua ruas fungsi pembangkit terhadap t tanpa menuliskan limit
-¥ sampai +¥ untuk indeks n.

14. 1
 + 
1

( x 2 )( t - 1 t ) = Σ nJ ( x )
t
- 
2
1
2
n
n
t
x
e
1
 + 
1
Atau Σ Σ - = 

2 ( ) ( )
1
2
n
n
n
n J x t nJ x t
t
x
1
 + 
1
Yaitu Σ Σ - = 

2 ( ) ( )
1
2
n
n
n
n J x t nJ x t
t
p
Ini dapat ditulis sebagai
p p
Σ Σ Σ + ( ) -2 = ( ) -1
2
( )
2
n
n
n
n
n
n J x t J x t nJ x t
2 1 Σ Σ Σ + p + p = +
Atau n
n
n n
n J x t t (n 1)J (x)t
2
( )
 p +p
2 2 1 Σ Σ + + + = 
Yaitu n
n
n
n n J x J (x) t (n 1)J (x)t
2
( )


Karena koefisien t n harus sama ,maka
p p
2 2 J x J x n J x n n n + = + +
( ) ( 1) ( )
2
( )
Dan dari sini hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti n oleh n-1.
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA
1 (a)Tunjukkan bahwa jika n bilangan bulat,penyelesaian umum persamaan
Bessel adalah
y = EJ n ( ) ( ) ( )


+  cos
- -
x F n n

p
n
J x n J x
p
sin
(b)Jelaskanlah bagaimana anda dapat menggunakan bagian (a) untuk
memperoleh penyelesaian umum persamaan bessel dalam kasus n bulat.
FUNGSI BESSEL
(a) Karena n J- dan n J bebas linear,Penyelesaian umum persamaan bessel
dapat ditulis :
y = c J (x) c J (x) n -n + 1 2

15. dan hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti konstanta sebarang
1 2 c × c oleh E dimana
= + p
- = -
F
cos
F n
1 2
p n
p
c
n
c E
sin
,
sin
Perhatikanlah bahwa kita mendefinisikan fungsi bessel jenis kedua bila n
bukan suatu bilangan bulat dengan
( ) ( ) cos -
( )
Y = - p
n
J x n J x
x n n
p
n sin
( ) cos -
( )
(b) Bentuklah - p
n
J x n J x n n
p
sin
Menjadi suatu “tak tentu / indeterminate” yang berbentuk 0/0 untuk kasus
n suatu bilangan bulat.Hal ini disebabkan untuk suatu bilangan n,diketahui
n ( ) danJ (x) ( ) J (x) n
cos p = -1 n = -1 n
lihat soal 10.3. “ bentuk tak tentu”
- n
ini dapat dihitung dengan rumus L’Hospital,yaitu
( ) ( )


 - -

p
p
cos
J x p J x p n
lim
® p
p n sin
Gunakanlah soal 1 untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan untuk
n=0
Dalam kasus ini harus dihitung
( ) ( )


 - -

p
p
cos
J x p J x p p
lim0
® p
p sin
Gunakanlah rumus L’Hospital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap
p)pada limit (1),diperoleh
0
0

= 1
¶  ( ¶ / ¶ )cos p
- ( ¶ /
¶
J p p J Jp
p cos
p p
lim
=

- ¶
J
J
- -

® 

¶
¶


p
p P P P
p
p
p p

16. Dimana lambang yang digunakan menyatakan bahwa kita mengambil turunan
parsial dari J (x)danJ (x) terhadap p dan kemudian mengambil p=0.Karena
P - p ( ) ¶
J
¶ J / ¶ - p= -¶ J / ¶ p. limit yang diinginkan juga sama dengan - P - p 0
2
p
¶ p
p
=
p
Untuk memperoleh J p p ¶ / ¶ diturunkan deret
( ) ( ) ( )
( ) Σ =
¥
+
1 x
/ 2
+ +
= -
0
2
! 1
r
r p r
J x
p r r p r
Terhadap p dan diperoleh
( ) ( )
¶ ¥ +
( )  
  
1 2
J p r
= - ¶
x
¶ + +
¶
= Σ
1
/ 2
!
p r p
0 r p r
r
r
P
Sekarang jika seandainya ( )
+
1
/ 2 2
x p r
( ) G
r p r
=
+ +
, maka
Ln G = (p + 2r)ln(x / 2)- ln r(p + r +1)
Sehingga turunanya terhadap p memberikan
( ) ( )
= - + +
1 p r
1
( 1)
ln / 2
1
+ +
¶
G
¶
r p r
x
p
G
Maka untuk p=0 diperoleh

( )

( ) ( ) ( )

( )
- +
' 1
+
/ 2 2
G r
+
=
¶
¶
ln / 2
r r
x
x
r r
1
r r
1
= 0 p
p
Gunakan (2) dan (3) , diperoleh
( ) ( )


( )

( ) ( ) ( )
- +
' 1
+
J
2 2 1 x
/ 2
+
¶ Σ ¥
= -
¶
ln / 2
r r
x
! 1
1
= = 0
2
r r r
r r
0 p
r
r r
p
p
p p


1
4
3
+ + -  + 
...
= ( ) { } ( ) 

+ 

2
1
2 2 4
2
ln / 2
2
2 2
2
0
x x
x J x
p
g
p

17. Dimana deret terakhir diperoleh dengan menggunakan hasil (6)dihalaman
240.deret terakhir ini adalah deret untuk Y ( ) 0 x .Dengan cara yang sama kita
dapat memperoleh deret (11) dihalaman 241 untuk Y (x) n dimana n sebuah
bilangan bulat.Jika n sebuah bilangan bulat,maka penyelesaian umumnya
diberikan oleh y c J (x) c Y (x) 1 n 2 n = +
FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL
2. Buktikanlah rumus pengulangan untuk fungsi bessel jenis pertama
yangtelah dimodifikasi l n (x)yang diberikan oleh
n
2
I ( x ) I ( x ) I (x)
n n n
x
1 1 = - + -
Dari soal 10.6(b)kita memperoleh
J x n+ n n- = -
( ) ( )
2
n
( ) 1 1 J x J x
x
Gantilah x dengan ix untuk memperoleh
J ix n+ n n- = - -
( ) ( )
2
in
( ) 1 1 J ix J ix
x
Sekarang menurut definisinya I (x) i nJ (ix) n n = - atau i I (x) n
n sehingga
2
in
n -
+ = - -
1 i I x i I x
( ) 1
1
(2)menjadi ( ) ( )
i I x n
x
n
n
n
n
+
Bagilah dengan in+1 ,maka hasil yang diinginkan tercapai.
3. Jika n bukan suatu bilangan bulat,tunjukkanlah bahwa
J ( x ) e inx
J ( x
)
(a)
(1) ( )
H x n
i np
n
n sin
-
- = -
Menurut definisi H x danY x maka n n (1) ( ) ( ),


= + = +  - -
( )cos ( )
(1) ( ) ( ) ( ) ( )
H x J x iY x J x i n n

p
n
J x n J x
p
n n n n sin
=
p p
( )sin ( )cos ( ) - + -
J x n iJ x n iJ x n n n
p
n
sin

p p
 - - -
( )(cos sin ) ( )
J x n i n J x
i n n
= 

p
n
sin

18. 
 inx
- -
( ) ( )
= 

-
np
J x e J x
i n
n
sin
=
( ) - inx
( )
- -
J x e J x n
i np
n
sin
(b)
inx
= e J ( x ) -
( )
H (2) J x
( x ) n - n
n i sin
np
Karena H(2) (x) = J (x) - iY (x), denhan mengganti i oleh –i pada hasil (a)
n n n maka diperoleh
inx
= - -
( ) ( )
J x e J x
(2) ( )
H x n
i np
n
n sin
-
=
( ) ( ) - -
e J x J x n n
i np
inx
sin
8
4
0 = - + - x x
4. Tunjukkanlah (a) Ber ...
( ) 1 2 2
2 2 2 2
2 4 2 4 6 8
x
10
6
2
0 = - + - x x x
Bei ...
( ) 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 4 6 2 4 6 8 10
x
FUNGSI BESEEL
Diketahui:
 
i z i z i z i z

 

 
 
 
12 8
9 6
6 4
3 2
2
3
i z i z i z i z
= - + - + -
8
6
4
2
iz z iz z
= + - - + -

6
8
2
+ - +  

 



= - + -
 

-


+


-


+


- = 

 
2
3
...
2 2 4 6
...
8
4
2 4 2 4 6 8
1
...
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
1
...
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
1
...
8
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
1
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
4
2
3
2
2
2
3
2
3
0
z z
i
z z
r i z
Dan hasil yang diinginkan tercapai dengan mengingat bahwa
J Ber ( ) iBei( )dan z z
 0
0 i 2
z
= +



33 menyamakan bagian riil dan imajinernya.perlu

19. dicat bahwa kadang-kadang menghilangkan indeks nol dalam
0 ( ) 0 ( ). Ber z danBei z
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM
PERSAMAAN BESSEL
1.. tentukan penyelesaian umum persamaan xy''+ y'+ay = 0.
Pesamaan tersebut dapat ditulis sebagai x z y''+xy'+axy = 0 dan merupakan
suatu ------khusus dari persamaan (24) di halaman 242dimana
k = 0,a = a, r = 1
2, 0
b = maka penyelesaian seperti diberikan 242
adalah
y c J (2 ax ) c y (2 ax ) 1 0 2 0 = +
KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL
( ) ( ) m ( l ) ' ( m ) -
l ( m ) '
( l
)
2.Buktikanlah ∫ = n n n n
2 2
1
l m
0 l -
m
n
n
J J J J
xJ x J x dx jika l ¹ m.
Dari (3) dan (4) dihalaman 240,kelihatan bahwa y J ( x) n = l 1 dan
y J ( x) n = m 2
Adalah penyelesaian persamaan
( ) 0, 2
''
' ( 2 2 2
) 0 1
2
2
2
' 2 2 2
1
''
1
x2 y + xy + l x - n y = x y + xy + m x - n y =
Dengan pengalikan persamaan dengan 2 y dan 2 dengan 1 y dan kemudian
kurangkan, kita memperoleh
[ ] [ ' ] ( 2 2 ) 2
1 2
x2 y y - y y + x y y - y y = m -l x y y
1 2
'
2 1
''
1 2
''
2 1
Setelah dibagi dengan x dapat ditulis sebagai berikut
[ ] [ ] ( ) 1 2
d
x - + - ' = m 2 -l
2
1 2
'
2 1
'
1 2
'
2 1 y y y y y y y y xy y
dx
Atau
{ [ ]} ( ) 1 2
d - ' = m 2 -l
2
1 2
''
2 1 x y y y y xy y
dx
Kemudian integralkan dan hilangkan konstanta pengintegralannya,

20. ( m 2 - l2 )∫ xy y dx = x [ y y '
- y y
'
] 1 2 2 1
1 2
Lalu gunakan y J ( x) y J ( x) n n = l = m 1 2 , dan bagikan dengan m 2 -l2 ¹ 0,
maka
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ∫ -
' '
m l
l m l m l m
-
l m x J x J x J x J x
= 2 2
xJ x J x dx n n n n
n n
( ) ( ) l ( m ) ' ( l ) -
m ( l ) '
( m
)
Jadi ∫ = n n n n
2 2
1
l m
0 m -
l
n n
J J J J
xJ x J x dx
Yang ekivalen dengan hasil yang diinginkan.
2



1 2

n
3. buktikan ( ) ( ) 1 ( ) .
∫ l = l + - J
l
n n n 2
2
1 2
0
2 

 

 

l
xJ x dx J
misalkan m ®l pada hasil soal no 2.dengan mengunakan rumus L hospital
diperoleh
' ( ) l ( m ) ' ( l ) ( l ) '
( m ) m ( l ) ( m
)
m
lm
m l 2
1
0
2 lim n n n n n n
n
J J J J J J
xJ dx
- -
=
®
∫
( ) ( ) ( ) ( )
'2 ' ''
n n n n n J - J J - J J
l l l l l l l
l
2
=
Tetapi karena l2 J '' (l )+l J ' (l )+ (l2 - n 2 ) J (l ) = 0, dengan menyelesaikan
n n n untuk J '' (l )
dan mensubstusikannya diperoleh
n 



2
1
( ) ( ) ( )
∫ = + - J x

 

 

n
2
xJ x dx J n n n
2
1 '2
0
2 1
2
l
l l
4.buktikan bahwa jika ldanm adalah dua akar berbeda dari prsamaan
N RJ (x)+ SxJ ' (x) = 0 n n dimana R dan S kostanta, maka
∫ ( ) ( ) = 1
0
xJ x J x dx 0 n n l m
Yaitu xJ ( x) n l dan xJ ( x) n m saling tegak lurus pada (0,1).
Karena l dan m akar dari RJ (x)+ SxJ ' (x) = 0, n n kita mempunyai

21. RJ ( )+ SxJ ' (x) = 0, n N l (m )+ ' (m ) = 0 n m n RJ S J
Kemudian, jika R ¹ 0, S ¹ 0 dari (1) kita memperoleh
m (l ) ' (m )-m (m ) ' (l ) = 0 n n n n J J J J
Sehingga dari soal 2.kita mendapatkan hasil yang diinginkan
∫ ( ) ( ) = 1
0
xJ x J x dx 0 n n l l
Dalam kasus R ¹ 0, S ¹ 0 atau R ¹ 0, S = 0, hasil tersebut juga dapat
dibuktikan dengan mudah.
DERET FUNGSI BESSEL
1.Jika f (x) =ΣA J ( x),0 p n p l < x >1, dimana 1,2,3,..., , p = p l akar positif dari
J (x) = 0, n ditunjukkan bahwa
( )∫ ( ) ( )
= 1
P l
A n p
l
2 0
1
+
2
xJ x f x dx
J
n p
Kalikan deret untuk f(x) dengan xJ ( x) n k l dan integralkan suku demi suku
dari 0 sampai 1.maka
»
∫ ( ) ( ) Σ ∫ ( ) ( )
n k p n k n p xJ l x f x dx A xJ l x J l x dx
=
= 1
0
p 1
= ∫ ( ) 1
A xJ 2 x dx k n k l
0
1
= ( ) K N k A J '2 l
2
Dimana kita telah menggunakn soal 10.22.dan 10.23 bersama-sama dengan
kenyataan bahwa
2
= ( ) ∫ ( ) ( ) 1
K l
A n k
l
'2 0
xJ x f x dx
J
n k
Untuk memperoleh hasil yang diinginkan dari sini,digunakan rumus
pengulangan 3 dihalaman 240 yang ekivalen denga rumus 6 dihalaman itu,
kita memperoleh
l J '
( l ) nJ ( l ) lJ ( l ) k n k n k n 1
k + = -

22. Atau karena ( ) = 0 n k J l
J '
( l ) J ( l ) n k n 1
k + = -
2.uraikan f(x)=1 dalam suatu deret yang berbentuk
A J ( l x
) p 0
p Σ ¥
p
=1
Untuk 0<x<1,jika p l ,p=1,2,3,…, adlah akar positif dari ( ) 0, 0 J X =
= 2 2
( )∫ xJ ( x ) dx
= ( )∫ p vJ ( v ) dv
J
J
A
p p
p
p
p
l
l l
l
l 2 0 0
1
2
1
2 0 0
1
2 2 =
= ( ) vJ ( v
) l
p
l 2 J
2 l 1 0
l J
( l
) p i p p 1
p Dimana kita telah menggunakan penggantian v x p = l dalam intergralnya
dan hasil soal 10.8 dengan n=1
Jadi kita memperoleh deret yangdiinginkan
( ) ( ) ( ) Σ ¥
f x l
=
= =
1
0
2
l l
1
1
p
p
k p
J x
J
Yang dapat ditulis sebagai ( )
l
l
J x
J x
0 1 + + =
( )
( )
1
( ) ...
2
0 2
2 2 2
1 1 1
l l
l l
J
J
SOAL-SOAL TAMBAHAN
PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL
10.26. Tunjukanlah bahwa jika x diganti oleh lx dimana l kostanta, maka
persamaan Bessel x2 y'' + xy' + (x2 - n2 )y = 0 ditransformasikan menjadi
x2 y'' + xy' + (l2 x2 - n2 )y = 0
FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA

23. 7
5
5
1 = - + - + x x x x
10.27.(a) tunjukan ( ) ...
J x dan periksalah bahwa
2 2 2
4 2 2 4 2
6 2242628
selang kekonvergenan adalah - ¥<x<¥
10.28.tunjukan J 1
( X ) = -J ( x
). 0 1
d
10.29. tunjukanlah [xJ (x)] xJ (x)
dx
1 0 =
10.30.Hitunglah (a) J (x)
5 dan (b) J (x)
2
-5 dalam suku-suku sinus dan cosinus.
2
10.31.tentukanlah (3) 3 J dalam suku-suku ( ) ( ). 0 1 J x danJ x
10.32. buktikanlah bahwa (a)
1
( ) [ ( ) ( ) ( )]
''
= - +
J x J x J x J x
- +
2 2
n n n n
1
J '''
(x) = [J (x) - 3 J (x) + 3
J (x) -
J (x)]
n n 3 n 1 n 1 n
3
4
2
2
- - + +
Dan buatlah perumusan hasil ini.
x3J x dx (b). ∫ ( ) 1
10.33 hitunglah (a) ∫ ( ) , 2
x3J x dx (c). ∫ x J (x)dx 0
0 0
2
1 (b). ( )
10.34 hitunglah (a) ∫ J (3 x )dx
J x
∫ dx
x
2
2
10.35.hitunglah ∫ ( )sin . 0 J x xdx
FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN
10.36 gunakanlah fungsi pembangkit untuk membuktikan bahwa
J '
(x) 1
[J (x) J (x)] n n 1 n 1
- + = + untuk kasus dimana n bulat.
2
10.37 gunakanlah fungsi pembangkit untuk mengerjakan soal 10.30 dalam kasus n
bulat.
2 p
10.38 tunjukanlah ( ) = ∫ 2 ( )
q q
0 0 cos sin
J x x d
p
Σ x
10.39 tunjukanlah ∫ ( ) = 2
( ) 0 2 + ¥
1 k J t dt J x
0
=
k
0
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA
10.40. Buktikanlah Y '
(x) = -
Y (x) 0 1

24. 10.41. hitunglah (a). 1 2 ( ), Y x (b). ( ). 1 2 Y- x
10.42.buktikanlah J (x)Y (x) J (x)Y (x) x n n n n ' - ' = 2 p
2
10.54. Tunjukanlah ( ) ( q ) q
p
p
I x = ∫ x d 2
0 0 cosh sin
.
10.55. Tunjukanlah (a) sinh 2[ ( ) ( ) ...] 1 3 x = I x + I x +
(b) cosh ( ) 2[ ( ) ( ) ...] 0 2 4 x = I x + I x + I x +



10.56. Tunjukanlah (a) ( ) = -

x
x
x
x
I x
sinh
cosh
2
3 2 p


(b) ( ) 
= - - x

x
x
x
I x
cosh
sinh
2
3 2 p
.
n
2
10.57. (a) Tunjukanlah ( ) ( ) K ( x)
K x K x n n n
x
1 1 = + + -
(b) Jelaskanlah mengapa fungsi K ( x) n memenuhi rumus pengulangan yang
sama seperti untuk I ( x) n dengan I ( x) n diganti dengan K ( x) n .
10.58. Berikan rumus asimtotik untuk (a) I ( ) ( x) n
1 , (b) H( ) ( x) n
2 .
10.59. Tunjukanlah
( ) { ( ) } ( ) ( ) ( ) ( )
...
1
4
1
x x
+ + + + 
3
1
2

1
2

p
g
= - + + + - +
ln 2 2
4!
1
2
1
2
2!
1
4
8

0 0 0 2 - 



Ker x x Ber x Bei x
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DUTRANSFORMASIKAN KEDALAM
PERSAMAAN BESSEL
10.60. Selesaikan 4xy”+4y’+y = 0.
10.61. Selesaikan (a) xy”+2y’+xy = 0, (b) y”+x2y = 0.
10.62. Selesaikanlah y”+e2xy = 0. (misalkan ex = u).
10.63. Tunjukanlah dengan pergantian langsung bahwa y J (2 x ) 0 = adalah suatu
penyelesaian dari y"+xy = 0 dan (b) tuliskanlah penyelesaian umumnya.

25. 

2
= 3 2

10.64. (a) Tunjukan dengan pergantian langsung bahwa 
y xJ x adalah
1 3 3
suatu jawaban dari y”+xy = 0 dan (b) tuliskan penyelesaian
umumnya.
10.65. (a) Tunjukanlah bahwa persamaan Bessel x2 y,, + xy, + (x2 - n2 )y = 0 dapat
 2
-
1 4

+ - u
d u
ditransformasikan kedalam 0
1 2
2
2
= 

x
n
dx
dimana y = u x .
(b) Bahaslah kasus dimana x besar dan jelaskan hubungannya dengan rumus
asimtotik dihalaman 243.
DERET TEGAK LURUS FUNGSI-FUNGSI BESSEL
10.66. Lengkapilah soal 10.23 dihalaman 253 untuk kasus (a) R ¹ 0,S = 0 ,
(b) R = 0,S ¹ 0
nx
10.67. Tunjukanlah ( ) [ ( ) ( )] J ( x) J ( x) c
l J l x J l x
1
x
xJ x dx n n n n n = + - + + + ∫ l l
al
2
1
2
2
2
2
10.68. Buktikanlah hasil
10.69. Tunjukanlah
( )
( ).......0 1
- Σ¥
l
x J x
8
1
2
= 0
< <
l 3
l
=
1 1
x
J
p
p p p
dimana p l
adalah akar positif
dari ( ) 0 0 J l = .
10.70. Tunjukanlah
( l
)
J x
1 < < - = Σ¥
2 ( )....... 1 x
1
=
1 l J
l
2
x
p
p p
dimana p l
adalah akar positif
dari ( ) 0 1 J l = .
10.71. Tunjukanlah
( l ) ( l
)
( ) .......0 1
2 8
-
p p
l 3
l
=Σ¥
1 1
1
2
2 £ <
=
x
J
J x
x
p p p
dimana p l
adalah akar
positif dari ( ) 0 1 J l = .
10.72. Gunakanlah soal 10.73 dan 10.75 untuk menunjukan
1 1
2 Σ =
4
p l
dimana p l
adalah akar positif dari ( ) 0 0 J l = .

26. JAWABAN SOAL-SOAL TAMBAHAN
10.28. (a)
( )


 - -
2 3 2 sin 3 cos

x x x x
2
x
xp
(b)
( )


 - -
2 3 sin 3 2 cos

x x x x
2
x
xp

 -
8 2 4
10.29. ( ) J ( x)
x
J x
x
x
2 1 0
- 

3 (b) 2 (1) 3 (1) 0 1 J - J (c) x J ( x) + xJ ( x) - ∫ J ( x)dx 1 0 0
10.31. (a) x J ( x) + c 3
2
10.32. (a) xJ ( x )- x J (3 x )+ c
0
3 3 2
1
63 3
(b)
( ) ( )
1
J x ∫ - - + 0
J ( x)dx
j x
2 1
x
3
3 3
10.33. xJ ( x) sin x - xJ ( x) cos x + c 0 1
10.42. (a)
1
a + b
2 2
(b)
+ -
2 2
b a b
a b a
+
2 2
( + -
)
(c) 2 2
b a b
a b a
n
2 2
n
+
2
p
2
p
- (b) x
10.48. (a) x
x
cos
x
sin
3 (b) - Y ( x) - 2Y ( x) / x + c 2 1
10.50. (a) x Y ( x) + c 3
1
1
1
- Y x - - + ∫ 1 2 2 3 15 0
(c) ( ) ( ) Y ( x) Y ( x)dx
x
Y x
x
1
5
15
15
10.63. y AJ ( x ) BY ( x ) 0 0 = +
10.64. (a)
A x B x
x
y
sin + cos






1
= -
1
= (b) 
y x AJ x BJ x



+ 

2
1 4
2
1 / 4 2
2
10.65. y AJ (ex ) BY (ex ) 0 0 = +