Dokumen tersebut membahas tentang transformasi Laplace, yaitu teknik matematika untuk mengubah representasi persamaan dari domain waktu ke domain s. Dibahas pula definisi transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana, sifat-sifat transformasi Laplace, dan syarat agar transformasi Laplace suatu fungsi dapat didefinisikan."

1. 1
TKS 4003
Matematika II
Transformasi Laplace
(LaplaceTransform)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
PENDAHULUAN
Pengertian Transformasi
Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang
digunakan untuk mengubah representasi persamaan
matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang
lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya
inverse transformasi untuk melakukan hal yang
sebaliknya.

2. 2
Latar Belakang Penggunaan Transformasi
Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk
memecahkan persoalan matematika yang rumit. Penggunaan
transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada
Gambar 1.
Gambar 1. Penggunaan transformasi dan inversenya
PENDAHULUAN (Lanjutan)
Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t), untuk t > 0
adalah :
𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
(1)
Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi
f(t) yang berada dalam kawasan waktu t ke kawasan s.
Solusi didapat dengan mengubah persamaan diferensial
(yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu t ke
kawasan s dengan menggunakan transformasi Laplace,
sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.
DEFINISI

3. 3
Gambar 2. Penggunaan transformasi Laplace dan inversenya
Rumus Tranformasi Laplace (Pers. 1), jika digunakan
secara langsung pada permasalahan akan seringkali
dijumpai kesulitan dalam perhitungannnya, sehingga
disarankan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi
Laplace.
DEFINISI (Lanjutan)
Berikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi :
1. Konstanta
Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C(y(t) = C),
adalah :
𝓛𝑪 = 𝒆−𝒔𝒕
𝑪𝒅𝒕 =
∞
𝟎
−
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕
𝑪
∞
𝟎
= 𝟎 − −
𝑪
𝒔
=
𝑪
𝒔
’
sehingga :
𝓛𝑪 =
𝑪
𝒔
(8)
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA

4. 4
2. Fungsi y(t) = t
𝓛𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒕𝒅𝒕 =
∞
𝟎
−
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕
𝒕
∞
𝟎
+
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕
𝒅𝒕
∞
𝟎
⇒ 𝓛𝒕 = 𝟎 − 𝟎 +
𝟏
𝒔
−
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕 ∞
𝟎
=
𝟏
𝒔 𝟐
sehingga :
𝓛𝒕 =
𝟏
𝒔 𝟐 (9)
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
3. Fungsi y(t) = t n
𝓛 𝒕 𝒏
= 𝒆−𝒔𝒕
𝒕 𝒏
𝒅𝒕 =
∞
𝟎
−
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕
𝒕 𝒏 ∞
𝟎
+
𝟏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕
𝒏𝒕 𝒏−𝟏
𝒅𝒕
∞
𝟎
⇒ 𝓛 𝒕 𝒏
= −𝟎 + 𝟎 +
𝒏
𝒔
𝒆−𝒔𝒕
𝒏𝒕 𝒏−𝟏
𝒅𝒕
∞
𝟎
=
𝒏
𝒔
𝓛 𝒕 𝒏−𝟏
⇒ 𝓛 𝒕 𝒏
=
𝒏
𝒔
𝓛 𝒕 𝒏−𝟏
dengan cara yang sama :
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

5. 5
𝓛 𝒕 𝒏−𝟏
=
𝒏−𝟏
𝒔
𝓛 𝒕 𝒏−𝟐
𝓛 𝒕 𝒏−𝟐
=
𝒏−𝟐
𝒔
𝓛 𝒕 𝒏−𝟑
⋮
𝓛 𝒕 𝟏
=
𝟏
𝒔
𝓛 𝒕 𝟎
sehingga :
𝓛 𝒕 𝒏
=
𝒏!
𝒔 𝒏−𝟏 (10)
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
4. Fungsi eksponensial y(t) = e at
𝓛 𝒆 𝒂𝒕
= 𝒆−𝒔𝒕
𝒆 𝒂𝒕
𝒅𝒕 =
∞
𝟎
𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕
𝒅𝒕
∞
𝟎
⇒ 𝓛 = 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕
𝒅𝒕
∞
𝟎
= −
𝟏
𝒔−𝒂
𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕 ∞
𝟎
⇒ 𝓛 𝒕 𝒏
= 𝟎 − −
𝟏
𝒔−𝒂
𝒆−𝟎
=
𝟏
𝒔−𝒂
sehingga :
𝓛 𝒆 𝒂𝒕
=
𝟏
𝒔−𝒂
(11)
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

6. 6
4. Fungsi cosinus dan sinus
𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 = 𝓛
𝟏
𝟐
𝒆𝒊𝝎𝒕
+
𝟏
𝟐
𝒆−𝒊𝝎𝒕
⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =
𝟏
𝟐
𝟏
𝒔−𝒊𝝎
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝒔+𝒊𝝎
⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =
𝟏
𝟐
𝒔+𝒊𝝎
𝒔 𝟐+𝝎 𝟐 +
𝒔−𝒊𝝎
𝒔 𝟐+𝝎 𝟐 =
𝒔
𝒔 𝟐+𝝎 𝟐
sehingga :
𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =
𝒔
𝒔 𝟐+𝝎 𝟐 (12)
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
dengan cara yang sama, transformasi Laplace dari fungsi
sinus adalah :
𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 =
𝝎
𝒔 𝟐+𝝎 𝟐 (13)
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)

7. 7
Tabel 1. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana
Fungsi f(t) Transformasi Laplace F(s)
𝒚 𝒕 = 𝑪
𝑪
𝒔
𝒚 𝒕 = 𝒕
𝟏
𝒔 𝟐
𝒚 𝒕 = 𝒕 𝒏 𝒏!
𝒔 𝒏+𝟏
𝒚 𝒕 = 𝒆 𝒂𝒕 𝟏
𝒔 − 𝒂
𝒚 𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝒔
𝒔 𝟐 + 𝝎 𝟐
𝒚 𝒕 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝝎
𝒔 𝟐 + 𝝎 𝟐
TRANSFORMASI LAPLACE
FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan)
Agar dapat menyatakan syarat cukup untuk f(t) yang
menjamin keujudan 𝓛 f(t) , diperkenalkan konsep
kekontinuan bagian-demi-bagian (piecewise continuity) dan
orde eksponensial (exponential order).
1. Kekontinuan bagian-demi-bagian, fungsi f(t) dikatakan
kontinu bagian-demi-bagian pada suatu interval jika :
(i) interval tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah
berhingga interval bagian di mana f(t) kontinu pada
interval bagian ini, dan
(ii)limit fungsi f(t) untuk t mendekati titik akhir setiap
interval bagiannya bernilai hingga.
SYARAT CUKUP KEUJUDAN
TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

8. 8
Atau dengan kata lain, suatu fungsi bagian-demi-bagian
hanya mempunyai sejumlah berhingga titik di mana fungsi
tersebut tak kontinu seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Contoh fungsi bagian-demi-bagian
SYARAT CUKUP KEUJUDAN
TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
2. Orde eksponensial, suatu fungsi f(t) dikatakan berada
dalam orde eksponensial untuk t > T jika dapat ditentukan
konstanta M dan , sehingga |f(t)|  Met untuk t > T.
Dengan menggunakan kedua persyaratan tersebut dapat
dibuat teorema sebagai berikut :
Teorema 1
Jika f(t) kontinu bagian-demi-bagian pada setiap interval
berhingga 0  t  T dan berada dalam tingkat eksponensial
untuk t > T, maka 𝓛 |f(t)| ada untuk s >  .
SYARAT CUKUP KEUJUDAN
TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)

9. 9
Teorema 2
Jika f(t) memenuhi syarat Teorema 1, maka :
𝒍𝒊𝒎
𝒔 → ∞
𝓛 𝒕 =
𝒍𝒊𝒎
𝒔 → ∞
𝑭 𝒔 = 𝟎
Hal ini menyebabkan bahwa jika
𝒍𝒊𝒎
𝒔 → ∞
𝑭(𝒔) ≠ 𝟎, maka f(t)
tidak dapat memenuhi syarat Teorema 1.
SYARAT CUKUP KEUJUDAN
TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan)
1. Linieritas
Jika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan :
𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
dan
𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒈 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
maka :
𝓛 𝒄𝒇 𝒕 = 𝒄𝑭(𝒔) dan
𝓛 𝒂𝒇 𝒕 + 𝓛 𝒃𝒈 𝒕 = 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔
2. Pergeseran dalam S
Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
maka :
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI
LAPLACE

10. 10
𝓛𝒆 𝒂𝒕
𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒆 𝒂𝒕
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
= 𝑭(𝒔 − 𝒂)
3. Pergeseran dalam S dan inversnya
Jika 𝓛𝒆 𝒂𝒕
𝒇 𝒕 = 𝑭(𝒔 − 𝒂)
maka :
𝓛−𝟏
𝑭(𝒔 − 𝒂) = 𝒆 𝒂𝒕
𝓛−𝟏
𝑭(𝒔)
= 𝒆 𝒂𝒕
𝒇 𝒕
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI
LAPLACE (Lanjutan)
4. Integrasi
Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
maka :
𝓛−𝟏 𝟏
𝒔
𝑭(𝒔) = 𝒇 𝝉 𝒅𝝉
𝝉
𝟎
5. Teorema Konvulsi
Jika transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah
F(s) dan G(s) dengan :
𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
dan
𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 = 𝒆−𝒔𝒕
𝒈 𝒕 𝒅𝒕
∞
𝟎
maka :
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI
LAPLACE (Lanjutan)

11. 11
𝓛 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
= 𝑭 𝒔 𝑮 𝒔
6. Integral Konvulsi
Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan
G(s) adalah f(t) dan g(t) dengan :
𝓛−𝟏
𝑭 𝒔 = 𝒇 𝒕 dan
𝓛−𝟏
𝑮 𝒔 = 𝒈 𝒕
maka :
𝓛−𝟏
𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 = 𝒇 𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
atau
𝓛−𝟏
𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 = 𝒇 𝒕 𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉
𝒕
𝟎
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI
LAPLACE (Lanjutan)
Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :
1. f(t) = sin t cos t
2. f(t) = sin 2t cos 3t
3. f(t) = t2 et sin 3t
Jawab :
1. Ingat sin t cos t = ½ sin 2t
𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 = 𝓛 𝟏
𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 = 𝟏
𝟐 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕
=
𝟏
𝟐
𝟐
𝒔 𝟐+𝟒
=
𝟏
𝒔 𝟐+𝟒
CONTOH

12. 12
2. Ingat 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y)
𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒕 = 𝓛 𝟏
𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝐬𝐢𝐧(−𝒕)
= 𝟏
𝟐 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝓛 −𝐬𝐢𝐧 𝒕
=
𝟏
𝟐
𝟓
𝒔 𝟐+𝟐𝟓
−
𝟏
𝒔 𝟐+𝟏
=
𝟏
𝟐
𝟓 𝒔 𝟐+𝟏 − 𝒔 𝟐+𝟐𝟓
𝒔 𝟐+𝟐𝟓 𝒔 𝟐+𝟏
=
𝟏
𝟐
𝟒𝒔 𝟐−𝟐𝟎
𝒔 𝟐+𝟐𝟓 𝒔 𝟐+𝟏
=
𝟐𝒔 𝟐−𝟏𝟎
𝒔 𝟐+𝟐𝟓 𝒔 𝟐+𝟏
CONTOH(Lanjutan)
3. 𝓛 𝒕 𝟐
𝒆 𝒕
𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 , untuk mempermudah dikerjakan secara
bertahap.
𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 =
𝟑
𝒔 𝟐+𝟗
𝓛 𝒆 𝒕
𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 =
𝟑
(𝒔−𝟏) 𝟐+𝟗
=
𝟑
𝒔 𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎
𝓛 𝒕 𝟐
𝒆 𝒕
𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 =
𝒅 𝟐
𝒅𝒔 𝟐
𝟑
𝒔 𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎
=
𝒅
𝒅𝒔
𝟔(𝟏−𝒔)
𝒔 𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎
𝟐
=
𝟐𝟑𝒔 𝟐−𝟒𝟔𝒔+𝟏𝟒
𝒔 𝟐−𝟐𝒔+𝟏𝟎
𝟑
CONTOH (Lanjutan)

13. 13
LATIHAN
Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut :
1. f(t) = t e at
2. f(t) = cos t cos 2t
3. f(t) = sin 2t cos 2t
4. f(t) = e -t cos 2 t
5. f(t) = t 2 cos at
6. f(t) = t 3 e -3t
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!