Modul ini membahas tentang fungsi invers, termasuk konsep dan sifat fungsi invers, cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi, grafik fungsi invers, invers dari fungsi komposisi, dan menentukan komponen fungsi komposisi dengan menggunakan sifat-sifat invers fungsi.

1. MODUL AJAR MATEMATIKA
Kode Modul : MA34FI
Pokok Bahasan : Fungsi Invers
Penyusun : Nur Muchamad
Website : matematika.mdl2.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2014

2. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI INVERS” 1
FUNGSI INVERS
A. Konsep dan Sifat Invers Fungsi
Misalkan fungsi 푓 adalah pemetaan dari himpunan 퐴 ke himpunan 퐵 dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut: 푓={(푎,푏)|푎∈퐴 푑푎푛 푏∈퐵}
Suatu relasi dari himpunan 퐵 ke himpunan 퐴 yang diperoleh dengan cara menukarkan tiap pasangan terurut (푎,푏)∈푓 menjadi (푏,푎) disebut invers fungsi 푓. Invers fungsi 푓 dilambangkan dengan 푓−1.
Jadi invers suatu fungsi didefiniskan sebagai berikut:
Definisi:
Jika fungsi 푓:퐴→퐵 dinyatakan dengan pasangan terurut 푓= 푎,푏 푎∈퐴 푑푎푛 푏∈퐵
Maka invers dari fungsi 푓 adalah 푓−1:퐵→퐴 ditentukan oleh 푓−1={(푏,푎)|푏∈퐵 푑푎푛 푎∈퐴}
Catatan:
1. Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi.
2. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi maka invers fungsi itu disebut fungsi invers.
Suatu fungsi 푓:퐴→퐵 mempunyai fungsi invers 푓−1:퐵→퐴 jika dan hanya jika 푓 merupakan fungsi bijektif atau dari himpunan 퐴 dan himpunan 퐵 dalam korespondensi satu-satu.
B. Fungsi Invers dari Suatu Fungsi
Jika 푓 adalah suatu fungsi bijektif maka invers fungsi 푓 merupakan fungsi atau 푓−1 adalah fungsi invers.
Misalkan fungsi 푓 adalah fungsi bijektif dan 푦 adalah peta dari 푥 oleh fungsi 푓, sehingga pemetaan oleh fungsi 푓 dapat dinyatakan dengan persamaan: 푦=푓(푥)
Kalau 푓−1 adalah invers dari fungsi 푓, maka 푥 adalah peta dari 푦 oleh fungsi 푓−1. Jadi, pemetaan oleh fungsi 푓−1 dapat dinyatakan dengan persamaan: 푥=푓−1(푦)
Rumus 푥=푓−1(푦) diperoleh dengan cara menyatakan persamaan 푦=푓(푥) dalam bentuk 푥 sebagai fungsi 푦. Selanjutnya dengan mengganti peubah 푦 pada 푓−1(푦) dengan peubah 푥, didapatlah rumus fungsi invers 푓−1(푥).
Berdasarkan uraian di atas, langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers 푓−1(푥) kalau fungsi 푓(푥) sudah diketahui adalah sebagai berikut.
Langkah 1
Ubah persamaan 푦=푓(푥) dalam bentuk 푥 sebagai fungsi 푦.

3. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI INVERS” 2
Langkah 2
Bentuk 푥 sebagai fungsi 푦 pada langkah 1 dinamai dengan 푓−1(푦).
Langkah 3
Gantilah 푦 pada 푓−1(푦) dengan 푥 untuk mendapatkan 푓−1(푥).
푓−1(푥) adalah rumus fungsi invers dari fungsi 푓(푥).
Jika fungsi 푓(푥) adalah fungsi bijektif dan 푓−1(푥) adalah fungsi invers dari 푓(푥), maka berlaku:
1. 푓∘푓−1 푥 = 푓−1∘푓 푥 =퐼 푥 =푓푢푛푔푠푖 푖푑푒푛푡푖푡푎푠.
2. Grafik fungsi 푓 푥 dengan fungsi 푓−1(푥) simetri atau setangkup terhadap garis 푦=푥.
Contoh Soal:
Jika diketahui 푓 푥 =푥 푥+2 dengan 푥≠2. Maka tentukanlah inversnya!
Penyelesaian:
Misalkan 푓 푥 =푦, dengan kata lain 푥=푓−1(푦)sehingga fungsinya menjadi 푓(푥)= 푥 푥+2 푦= 푥 푥+2 푦 푥+2 =푥 푦푥+2푦=푥 푦푥−푥=−2푦 푦−1 푥=−2푦 푥= −2푦 푦−1
Karena 푥=푓−1(푦), maka 푓−1 푦 =−2푦 푦−1
Sehingga 푓−1 푥 =−2푥 푥−1 dengan 푥≠1.
C. Grafik Fungsi Invers
a. Menentukan Domain dan Kodomain Fungsi Invers
Contoh Soal:
Diketahui fungsi 푓 ditentukan oleh rumus 푓 푥 =2 푥+1.
1. Carilah rumus 푓−1(푥)
2. Tentukan domain dan kodomain fungsi 푓 agar 푓(푥) mempunyai fungsi invers.
Penyelesaian:
1. Misalkan 푦=푓 푥
푓 푥 = 2 푥+1⇔푦= 2 푥+1 푓 푥 = 2 푥+1⇔푦(푥+1)=2 푓 푥 = 2 푥+1⇔푦푥+푦=2

4. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI INVERS” 3
푓 푥 = 2 푥+1⇔푦푥=2−푦 푓 푥 = 2 푥+1⇔푥= 2−푦 푦 푓 푥 = 2 푥+1⇔푓−1 푦 = 2−푦 푦
Jadi, invers dari fungsi 푓 adalah 푓−1 푥 =2−푥 푥
2. Karena fungsi 푓 berbentuk fungsi rasional (pecahan), maka syarat agar domainnya Real adalah bahwa penyebutnya tidak boleh sama dengan nol. Dengan kata lain 푥+1≠0 atau 푥≠−1.
Jadi, domain untuk fungsi 푓 adalah 퐷푓={푥|푥≠−1,푥∈푅}.
Kita mengetahui bahwa rumus 푓−1 푥 =2−푥 푥 , sehingga domain alaminya adalah semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak sama dengan nol, dengan kata lain 푥≠0.
Karena domain untuk 푓−1(푥) juga sekaligus kodomain untuk fungsi 푓 (ingat definisi invers fungsi), maka kodomain dari 푓 adalah 퐾푓={푥|푥≠0,푥∈푅}.
b. Menggambar Grafik Fungsi Invers
Telah diketahui bahawa fungsi 푓 memiliki invers (푓−1) jika dan hanya jika fungsi 푓 adalah bijektif. Grafik fungsi bijektif pada himpunan bilangan Real adalah kurva yang dibagun oleh himpunan titik-titik {푥,푓 푥 }, sedangkan grafik fungsi inversnya dibangun oleh himpunan titik-titik 푓 푥 ,푥 .
Contoh Soal:
Diketahui fungsi 푓:푅→푅 ditentukan oleh 푓 푥 =2푥+6. Tentukanlah:
1. Rumus fungsi 푓−1(푥)
2. Daerah asal (domain) untuk 푓(푥)
3. Daerah asal (domain) untuk 푓−1 푥
4. Gambarlah grafik fungsi 푓 푥 dan 푓−1 푥
Penyelesaian:
1. 푓 푥 =푦
푦=2푥+6 푦−6=2푥 푦−62=푥 푥= 푦−62 푓−1 푦 = 푦−62 푓−1 푥 = 푥−62
2. Daerah asal fungsi 푓 adalah 퐷푓= 푥 푥∈푅

5. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI INVERS” 4
3. Daerah asal fungsi 푓−1 adalah 퐷푓= 푥 푥∈푅
4. Untuk 푓 푥 =2푥+6
푥
0
−3
푓(푥)
6
0
Untuk 푓−1 푥 =푥−62
푥
0
6
푓−1(푥)
3
0
Grafik 푓(푥) dan 푓−1(푥)
Apabila diperhatikan dengan seksama, terlihat bahwa grafik fungsi 푓(푥) dengan grafik fungsi inversnya 푓−1 푥 simetris terhadap garis 푓 푥 =푦=푥, sehingga dapat dikatakan bahwa:
Grafik dari fungsi invers 푓−1(푥) adalah pencerminan dari grafik fungsi 푓(푥) terhadap garis 푓 푥 =푦=푥.
D. Invers dari Fungsi Komposisi
Perhatikan gambar diagram panah fungsi komposisi berikut ini.

6. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI INVERS” 5
Dari diagram tersebut terlihat bahwa fungsi komposisi (푔∘푓) memetakan dari 푎 ke 푐. Sedangkan fungsi invers dari (푔∘푓) yaitu 푔∘푓 −1 memetakan dari 푐 ke 푎, atau dapat dinyatakan dengan 푔∘푓 −1 푐 =푎.
Dalam hal ini, 푔−1 memetakan 푐 ke 푏 dan 푓−1 memetakan 푏 ke 푎, seperti yang terlihat pada diagram berikut ini.
Maka diperoleh 푓−1 푔−1 푐 =푓−1 푏 =푎 dengan 푓−1 푔−1 푐 = 푓−1∘푔−1 (푐).
Untuk sembarang nilai 푥, secara umum dapat dikatakan bahwa: 푔∘푓 −1 푥 = 푓−1∘푔−1 (푥)
Dengan perluasan konsep didapat pula bahwa 푓∘푔∘푕 −1 푥 = 푕−1∘푔−1∘푓−1 (푥).
E. Menentukan Komponen Fungsi Komposisi dengan Menggunakan Sifat-sifat Invers Fungsi
Sifat-sifat Fungsi Invers
1. 푓∘푓−1=푓−1∘푓=퐼
2. 푓∘푔 −1=푔−1∘푓−1
3. Jika 푓∘푔=푕, maka 푓=푕∘푔−1
4. Jika 푓∘푔=푕, maka 푔=푓−1∘푕
Contoh Soal:
Jika 푓∘푔 푥 =6푥+1 dan 푔 푥 =2푥+3, maka 푓 푥 = . . . .
Penyelesaian:
Berdasarkan sifat invers fungsi, bahwa jika 푓∘푔=푕, maka 푓=푕∘푔−1.
Kita ketahui 푓∘푔 푥 =6푥+1=푕(푥). Maka kita perlu mencari terlebih dahulu untuk rumus 푔−1(푥).
Misalkan 푔 푥 =푦 sehingga 푥=푔−1(푦), maka 푦=2푥+3 2푥+3=푦 2푥=푦−3 푥= 푦−32
Karena 푥=푔−1(푦) maka 푔−1 푦 =푦−32.

7. http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI INVERS” 6
Atau 푔−1 푥 =푥−32.
Jadi, diketahui bahwa 푔−1 푥 =푥−32.
푓 푥 =푕 푥 ∘푔−1 푥 푓 푥 = 6푥+1 ∘ 푥−32 푓 푥 =6. 푥−32 +1 푓 푥 =3. 푥−3 +1 푓 푥 =3푥−9+1 푓 푥 =3푥−8
Jadi, rumus untuk fungsi 푓 푥 =3푥−8.
F. Menentukan Rumus Invers Fungsi dengan Metode Arah Perjalanan Terbalik
DAFTAR PUSTAKA
Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1. Jakarta: Erlangga.