Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linier. Definisi transformasi linier adalah fungsi yang memenuhi sifat kehomogenan dan sifat aditif. Contoh transformasi linier adalah perkalian vektor dengan matriks. Soal latihan membahas beberapa contoh untuk menentukan apakah suatu fungsi merupakan transformasi linier atau bukan dengan menggunakan syarat transformasi linier.

2. PERTEMUAN - 6
Transformasi Linier

3. Definisi Fungsi
Jika A dan B adalah dua buah himpunan (keduanya tak kosong)
maka suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 adalah sebuah pengaitan yang
mengaitkan setiap 𝑎 ∈ 𝐴 dengan satu 𝑏 ∈ 𝐵
𝐴 ∶
2
5
8
𝑓 = 𝑥2
B ∶
4
25
64
Domain
(daerah asal)
Kodomain
(daerah hasil)
𝒇 (x) adalah
fungsi dari A ke B

4. Transformasi Vektor
Misalkan V dan W adalah dua buah ruang vektor dan 𝑓: 𝑉 → 𝑊
adalah suatu fungsi. Maka dapat dikatakan juga bahwa fungsi
tersebut adalah transformasi dari V ke W (atau 𝑓: 𝑉 → 𝑊 sebagai
operator pada V ).
Contoh :
Diberikan fungsi 𝑓: 𝑅2
→ 𝑅3
, yang dijabarkan sebagai berikut :
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥2
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
Jadi 𝑓 adalah transformasi dari 𝑅2
𝑘𝑒 𝑅3
𝑓
𝑥
𝑦 =
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
𝑥2
𝑓 1, 1 = (2, 0, 1)
𝑓 0, 2 = (2, −2, 0)

5. Transformasi Vektor
Misalkan V dan W adalah dua buah ruang vektor dan 𝑓: 𝑉 → 𝑊
adalah sebuah transformasi dari V ke W. Fungsi 𝑓 dikatakan
sebagai transformasi linier apabila memenuhi dua sifat berikut :
(1) . Sifat Kehomogenan untuk setiap 𝛼 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku
𝒇 𝜶𝒗 = 𝜶𝒇(𝒗)
(2). Sifat aditif untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku
𝒇 𝒖 + 𝒗 = 𝒇 𝒖 + 𝒇(𝒗)
Ketika V = W , maka fungsi f dikatan sebagai operator linier V

6. Transformasi Vektor
Contoh :
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah
merupakan transformasi linier ?
𝑇: 𝑅2
→ 𝑅2
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇 2𝑥, 𝑦 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑣 = (𝑥, 𝑦)
Jawab: Syarat (1) : 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)
= 𝑇 𝛼𝑥, 𝛼𝑦
Syarat (2) : 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2
= (2𝛼𝑥, 𝛼𝑦)
= α 2𝑥, 𝑦 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖
= 𝑇 (𝑥1, 𝑦1 + (𝑥2 𝑦2))
= 𝑇 (𝑥1 + 𝑥2 , (𝑦1 + 𝑦2))
= 𝑇 2(𝑥1 + 𝑥2 , (𝑦1 + 𝑦2))
= 𝑇 2𝑥1, 𝑦1 + 𝑇 2𝑥2, 𝑦2 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖

7. Transformasi Vektor
Contoh :
Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah
merupakan transformasi linier ?
𝑇: 𝑅3
→ 𝑅2
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑇(𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 0)
Jawab: Syarat (1) : 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)
= 𝑇 𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧
Syarat (2) : 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣
= (𝛼𝑥 − 𝛼𝑦 + 𝛼𝑧, 0)
= α 𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 0 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖
= 𝑇( 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 )
= 𝑇 (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , (𝑧1 + 𝑍2))
= 𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2 , 0)
= 𝑇 𝑥1 − 𝑦1 + 𝑧1, 0 + 𝑇 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2, 0 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖

8. Soal 6.1
Diketahui 𝑇: 𝑉 → 𝑊, dimana 𝑇: 𝑅3
→ 𝑅3
dengan T(x,y,z)
= (2x+y, 2y-3x, x-z). (a) Hitung T (-4,5,1) , (b) Tunjukkan
bahwa T merupakan transformasi linier.
(1)
(2)
Tunjukkan apakah 𝑇: 𝑅2
→ 𝑅3
dengan T(x,y) = (2x+y,
x-3y, 3x+1) merupakan transformasi linier atau bukan
? Gunakan syarat transforasi linier 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)

9. PERTEMUAN - 6
Terima Kasih

10. Soal 6.2
Diketahui 𝐴 =
4 0
3 5
dan v adalah vektor (x,y) dan
𝑇: 𝑅2
→ 𝑅2
dengan T(v) = A.v , Tunjukkan apakah
merupakan transformasi linier atau bukan !
(1)
(2)
Tunjukkan apakah 𝑇: 𝑅2
→ 𝑅3
dengan T(x,y) = (2xy, x-
y, 2x+1) merupakan transformasi linier atau bukan ?
Gunakan syarat transformasi linier 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)