More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to 4 turunan
Similar to 4 turunan (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
4 turunan
- 1. Turunan Kalkulus Referensi: Purcell, Varberg, Rigdon “Kalkulus Jilid 1” , Erlangga K. A. Stroud, “Matematika Teknik”, Erlangga
- 2. Definisi Turunan • Turunan sebuah fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓′ (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 𝑓 𝑎𝑘𝑠𝑒𝑛) yang nilainya pada sembarang bilangan c : 𝒇′ 𝒄 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇 𝒄 + 𝒉 − 𝒇(𝒄) 𝒉 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) 𝒉 asal limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞. • 𝑓′ 𝑐 𝑓 terdiferensiasikan di 𝑐 • Pencarian turunan diferensiasi • Kalkulus yang berhubungan dengan turunan kalkulus diferensial
- 3. Pencarian Turunan • 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 = 13𝑥 − 6, 𝑐𝑎𝑟𝑖𝑙𝑎ℎ 𝑓′ 4 𝑓′ 4 = lim ℎ→0 𝑓 4+ℎ −𝑓(4) ℎ = lim ℎ→0 13 4+ℎ −6 −[13 4 −6] ℎ = lim ℎ→0 [52+13ℎ−6−52+6] ℎ = lim ℎ→0 13ℎ ℎ = 13
- 4. Pencarian Turunan … • Tentukan 𝑓′ 𝑐 jika : 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 7𝑥 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0
- 5. Teorema Pencarian Turunan • 𝐷 𝑥 mengambil turunan terhadap peubah 𝑥, dan sebagai tanda operasi diferensiasi, sehingga 𝐷 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 • Aturan fungsi Konstanta Jika 𝒇 𝒙 = 𝒌 dengan 𝑘 suatu konstanta, maka utk sembarang 𝑥, 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 𝑫 𝒙 𝒌 = 𝟎 • Aturan fungsi identitas Jika 𝒇 𝒙 = 𝒙 maka 𝒇′ 𝒙 = 𝟏 𝑫 𝒙 𝒙 = 𝟏 • Aturan pangkat Jika 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒏 dengan n bil bulat positif, maka 𝒇′ 𝒙 = 𝒏𝒙 𝒏−𝟏 𝑫 𝒙 𝒙 𝒏 = 𝒏𝒙 𝒏−𝟏 • Aturan Kelipatan konstanta Jika 𝒌 suatu konstanta dan 𝒇 suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka 𝒌𝒇 ′ 𝒙 = 𝒌. 𝒇′ (𝒙) 𝑫 𝒙 𝒌. 𝒇 𝒙 = 𝒌. 𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 suatu pengali konstanta 𝒌 dapat dikeluarkan dari operator 𝑫 𝒙
- 6. Teorema Pencarian Turunan… • Aturan jumlah Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan, maka 𝒇 + 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 + 𝒈′ (𝒙) 𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = 𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 + 𝑫 𝒙 𝒈(𝒙) turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan • Aturan selisih Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan, maka 𝒇 − 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′(𝒙) 𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) = 𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 − 𝑫 𝒙 𝒈(𝒙) • Contoh: Turunan dari 5𝑥2 + 7𝑥 − 6 =?
- 7. Teorema Pencarian Turunan… • Aturan hasilkali Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan, maka 𝒇. 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 . 𝒈′ 𝒙 + 𝒈 𝒙 . 𝒇′ 𝒙 𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙)𝑫 𝒙 𝒈 𝒙 + 𝒈(𝒙)𝑫 𝒙 𝒇(𝒙) (3𝑥2−5)(2𝑥4 − 𝑥) =? • Aturan Hasilbagi Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasikan dengan 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎. Maka 𝒇 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒈 𝒙 .𝒇′ 𝒙 −𝒇 𝒙 .𝒈′ 𝒙 𝒈 𝟐(𝒙) 𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝒈(𝒙)𝑫 𝒙 𝒇 𝒙 −𝒇(𝒙)𝑫 𝒙 𝒈(𝒙) 𝒈 𝟐(𝒙) Turunan dari 3𝑥−5 𝑥2+7 ′ ?
- 8. Turunan sinus dan kosinus 1. Untuk 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 dan 𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙, turunan fungsi tersebut adalah 𝑫 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 dan 𝑫 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = −𝒔𝒊𝒏 𝒙 2. 𝐷 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 3. 𝐷 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐2 𝑥 4. 𝐷 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 5. 𝐷 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 Tentukan: • 𝐷 𝑥(3 sin 𝑥 − 2 cos 𝑥) • 𝐷 𝑥(3 sin 2𝑥)
- 9. Aturan rantai • Notasi 𝐷 𝑥 turunan 𝑦 terhadap 𝑥, mengukur seberapa cepat 𝑦 berubah terhadap 𝑥. 𝑥 sebagai peubah dasar • Andaikan 𝒚 = 𝒇(𝒖) dan 𝑢 = 𝒈 𝒙 . Jika 𝒈 terdiferensiasikan di 𝒙 dan 𝒇 terdiferensiasikan di 𝒖 = 𝒈(𝒙), maka fungsi komposit 𝒇𝒐𝒈, didefinisikan oleh 𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒙 ) terdiferensiasikan di 𝒙 dan (𝒇𝒐𝒈)′ 𝒙 = 𝒇′ (𝒈 𝒙 )𝒈′ (𝒙), yakni 𝑫 𝒙(𝒇 𝒈 𝒙 ) = 𝒇′ (𝒈 𝒙 )𝒈′ (𝒙) atau 𝑫 𝒙 𝒚 = 𝑫 𝒖 𝒚𝑫 𝒙 𝒖 • Tentukan 𝐷 𝑥 𝑦 untuk 𝑦 = (2𝑥2 − 4𝑥 + 1)60 dan 𝑦 = 1 (2𝑥5−7)3
- 10. Notasi Leibniz untuk turunan • Notasi Leibniz untuk turunan 𝑑𝑦 𝑑𝑥 • Contoh: 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ? • Andaikan 𝒚 = 𝒇(𝒖) dan 𝑢 = 𝒈 𝒙 , turunan untuk fungsi komposit 𝑓𝑜𝑔 dalam notasi Leibniz: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
- 11. Turunan yang lebih tinggi • Notasi untuk turunan 𝑦 = 𝑓(𝑥) • Jika diketahui 𝑦 = sin 2𝑥 , carilah 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 , 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 dan 𝑑12 𝑦 𝑑𝑥12 Turunan Notasi 𝒇′ Notasi 𝒚′ Notasi D Notasi Leibniz Pertama 𝑓′ (𝑥) 𝑦′ 𝐷 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Kedua 𝑓′′ (𝑥) 𝑦′′ 𝐷2 𝑥 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 Ketiga 𝑓′′′ (𝑥) 𝑦′′′ 𝐷3 𝑥 𝑦 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 Ke-n 𝑓(𝑛)(𝑥) 𝑦(𝑛) 𝐷 𝑛 𝑥 𝑦 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛
- 12. Diferensiasi Implisit • sebuah fungsi yang suku 𝑥 dan 𝑦 tidak dapat dipisahkan fungsi implisit • Diferensiasi implisit diferensiasi fungsi implisit • Contoh : • Carilah 𝑑𝑦/𝑑𝑥 jika 4𝑥2 𝑦 − 3𝑦 = 𝑥3 − 1. Penyelesaiannya secara eksplisit atau menggunakan diferensiasi implisit
- 13. Implementasi Turunan • Garis Singgung – Garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada titik 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) adalah garis yang melalui 𝑃 dengan kemiringan 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐) ℎ Menunjukkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞. • Kecepatan Sesaat • Jika sebuah benda bergerak sepanjang sebuah garis koordinat dengan fungsi kedudukan 𝑓 𝑡 , maka kecepataan sesaatnya pada waktu 𝑐 adalah 𝑣 = lim ℎ→0 𝑣 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 = lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐) ℎ Menunjukkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞. • Percepatan turunan dari kecepatan
- 14. Implementasi Turunan … • Carilah kemiringan garis singgung pada kurva 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 di titik (2,4) • Jika fungsi jarak berubah terhadap waktu didefinisikan sebagai 𝑓 𝑡 = 16𝑡2, hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh beranjak dari posisi diam pada t=3.8 detik dan pada t=5.4 detik. • Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s memenuhi 𝑠 = 2𝑡2 − 12𝑡 + 8 dengan s diukur dalam cm dan t dlm detik dengan 𝑡 ≥ 0. Tentukan kecepatan benda ketika 𝑡 = 1 dan ketika 𝑡 = 6. Kapankah kecepatannya 0? Kapankah kecepatannya positif? • Untuk 𝑠 = 𝑡3 − 12𝑡2 + 36𝑡 − 30, s dalam dm, t dalam detik. Kapan kecepatannya 0? Kapan kecepatannya positif? Kapan titik bergerak mundur?kapan percepatannya positif?