1. กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
สมการเชิงเส้นสองตัวแปร Ax + By + C = 0 เมื่อ A < 0 และ B < 0 นิยมจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูป
ที่สะดวกในการแทนค่า x เพื่อหาค่า y ดังนี้
จาก Ax + By + C = 0 เมื่อ A = 0
จะได้ By = – Ax – C
A C
ดังนั้น y= - x-
B B
ถ้าให้ a = - A
และ b = - C
จะได้สมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรูป y = ax + b
B B
เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว และเรียก a ว่าสัมประสิทธิ์ของ x
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป Ax + By + C = 0 พร้อมทั้งหาค่า A, B และ C
1) 3x + 7y + 1 = 0
วิธีทา จาก 3 x + 7y + 1 = 0
ดังนั้น A = 3, B = 7 และ C = 1
2) 2y = 4x + 3
วิธีทา จาก 2y = 4x + 3
จะได้ 2 y – 4x – 3 = 0
ดังนั้น A = – 4, B = 2 และ C = – 3
3) 1
x – 2y = 5
3
วิธีทา จาก 1
x – 2y = 5
3
จะได้ 1
x – 2y – 5 = 0
3
ดังนั้น A = 1 , B = –2 และ C = –5
3
4) – 4x – 2 y = 5
3 3
วิธีทา จาก – 4x – 2
y = 5
3 3
จะได้ – 4x – 2
y– 5
= 0
3 3
ดังนั้น A = – 4, B = – 2 และ C = – 5
3 3

2. ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของสมการ 3x + y = 4
วิธีทา จัดสมการ 3x + y = 4
จะได้ 3x + y = 4
y = 4 – 3x
คาตอบของสมการคือ
x 0 1 3
y 4 1 -5
กราฟของสมการ 3x + y = 4 เป็นดังนี้
นา (x ,y) ซึ่งเป็นคู่อันดับที่ได้ค่าของ x และ y จากตารางทั้ง 2 มาเขียนกราฟจะได้ดังรูป
Y
12
1
3x + y = 4 0
8
6
4 . (0, 4)
2 . (1, 1)
- - - - 0 2 4 6 8 X
8 6 4 2 -
2
-
4
.(-3, -5)
ตัวอย่างที่ 3 3x – 2y – 6 = 0
วิธีทา จากสมการ 3x – 2y – 6 = 0
จะได้ – 2y = 6 – 3x
y= 3 x–3
2
คาตอบของสมการคือ
x –2 0 2
y –6 –3 0
กราฟของสมการ 3x – 2y – 6 = 0 เป็นดังนี้

3. Y
6
4
0
2 3x – 2y – 6 = 0
- - - - 0
(2,
1 2
0)
. 3 4 X
4 3 2 1 -
(0, -1)
2
-4
.
(-1, -3) . -
6
-
8
ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ลงบนแกนคู่เดียวกัน
(1) y = -2 (2) y = 1
วิธีทา เขียนกราฟของสมการ y = -2 และ y = 1
คาตอบคือ x –2 0 2
y = -2 -2 -2 -2
y=1 1 1 1
เขียนกราฟของสมการ y = -2 และ y = 1 ได้ดังนี้
20
15
10
5
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40
-5
-10
-15
-20

4. ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ลงบนแกนคู่เดียวกัน
(1) 4y – 24 = 0 (2) 3 – 2y = – 3
วิธีทา จากสมการ 4y – 24 = 0
จะได้ 4y = 24
y = 24
4
y=6
จากสมการ 3 – 2y = –3
– 2y = –6
y=3
คาตอบของสมการคือ
x –2 0 2
y=6 6 6 6
y=3 3 3 3
กราฟของสมการ 4y – 24 = 0 , 3 – 2y = – 3 ได้ดังนี้
16
14
12
10
8
6
4
2
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
ตัวอย่างที่ 6 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ ลงบนแกนคู่เดียวกัน
(1) x = 3 (2) x = -2
วิธีทา คาตอบของสมการ x = 3 คือ
x=3 3 3 3
y -4 0 4

5. คาตอบของสมการ x = -2 คือ
x = -2 -2 -2 -2
y -4 0 4
กราฟของสมการ x = 0 และ x = -2 เป็นดังนี้
Y
x=0 x=0
6
(-2, 4) 4 (3, 4)
2
(-2, 0) (3, 0)
–3 –2 –1 0 1 2 3 X
–2
(-2, -4) –4 (3, -4)
–6
ตัวอย่างที่ 7 จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ ลงบนแกนคู่เดียวกัน
(1) 2x – 3 = 0 (2) 3x – 2 = -5
วิธีทา จากสมการ 2 x–3= 0
3 1
จะได้ x= หรือ x = 1
2 2
1
คาตอบของสมการ 2x – 3 = 0 หรือ x = 1 คือ
2
1 1 1 1
x = 1 1 1 1
2 2 2 2
y –2 0 2
จากสมการ 3x – 2 = -5
จะได้ 3x = -3
x = -1
คาตอบของสมการ 3x – 2 = -5 หรือ x = -1 คือ x = -1 -1 -1 -1
y –2 0 2

6. 1
กราฟของสมการ 2x – 3 = 0 หรือ x = 1 และ 3x – 2 = -5 หรือ x = -1 เป็นดังนี้
2
Y
3x – 2 = -5 2x – 3 = 0
3
(-1, 2) 2 ( 1 1 , 2)
2
1
(-1, 0) ( 1 1 , 0)
2
– – – 0 1 2 3 X
3 2 1 –
(-1, -2) 1
– ( 1 1 , -2)
2
2
–
3
–
4
ถ้า x = c กราฟจะขนานกับแกน y ตัดแกน x ที่จุด ( c , 0 )
ถ้า y = c กราฟจะขนานกับแกน x ตัดแกน y ที่จุด ( 0 , c )
ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนกราฟของสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้บนแกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด
( 1) x = 0 (2) y = 5 (3) x = - 3 (4) y = 0
2
วิธีทา เขียนกราฟได้ดังนี้
Y
1
x=- 2 x=0
1
3
08
6
(-2, 5 ) 4 (0, 5 )
5 2 2
y= 2
2
y = 0 (-2, 0) (0, 0)
- - - - 0 2 4 6 8 X
8 6 4 2 -
2
-
4
จุดตัดของกราฟของสมการ x = 0, y = 5 , x = - 3, y = 0 คือ (-2, 5 ), (0, 0), (0, 4) และ (-2, 0)
2 2

7. ตัวอย่างที่ 9 จงเขียนกราฟของสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้บนแกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด
(1) 3x + 2 = 14 (2) 3 – x = 5 1 (3) y – 8 = -10 (4) 5 + 2y = 9
2
วิธีทา จากสมการ 3x + 2 = 14
จะได้ 3x = 12
x=4
จากสมการ 3–x= 5
1
2
จะได้ -x = 2
1
2
x= - 2
1
2
จากสมการ y – 8 = -10
จะได้ y = -2
จากสมการ 5 + 2y = 9
จะได้ 2y = 4
y=2
เขียนกราฟได้ดังนี้
Y
1
3 – x = 5 12
1 3x + 2 = 14
2
0
8
6
4
( 2 1 , 2) (4, 2)
2 2
5 + 2y = 9
- - - - 0 2 4 6 8 X
y – 8 =8- 6 4 2 -
( 2 1 , -2) (4, -2)
10 2 2
-
4
จุดตัดของกราฟของสมการ 3x + 2 = 14, 3 – x = 5 1 , y – 8 = -10, 5 + 2y = 9 คือ (4, -2), (4, 2),
2
( 2 , -2) และ ( 2 , 2)
1 1
ขั้น2สรุป 2

8. ตัวอย่างที่ 10 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน
(1) y=x (2) y = x + 3
วิธีทา
คาตอบของสมการคือ
x -2 0 2
y=x -2 0 2
y=x+3 1 3 5
กราฟของสมการ y = x , y = x + 3 เป็นดังนี้
Y
y = x +3
8 y=x
6(2, 5)
4•
• (2,
(0, 3)
(-2, 1) 2 • 2)
•• 2 4
-6 -4 -2 0(0,0) 6 X
• -2
(-2, -2)
-4
-6
ตัวอย่างที่ 11 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน
(1) y = 3x (2) 3x – y = 2 (3) 2y – 6x = 4
วิธีทา จากสมการ 3x – y = 2
จะได้ -y = 2 – 3x
y = 3x - 2
จากสมการ 2y – 6x = 4
จะได้ 2y = 6x + 4
y = 3x + 2
กราฟของสมการ y = x , y = 3x - 2 และ y = 3x + 2 เป็นดังนี้

9. x -1 0 1
y = 3x -3 0 3
y = 3x - 2 -5 -2 1
y = 3x +2 -1 2 5
กราฟของสมการ เป็นดังนี้
Y
9
2y – 6x = 4
6 (2, 5) y = 3x
• 3x – y = 2
• 3
(0, 2) •(2, 3)
• •(2, 1) X
-2 (-1, -1) (0, 0)0
-1• 1 2
•
(-1, -3) •
-3 -2)
(0,
•
(-1, -5) -6
-9
ตัวอย่างที่ 12 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด
(1) y = 3x ( 2) y = – 3x – 2
วิธีทา คาตอบของสมการคือ
x -1 0 1
y = 3x -3 0 3
y = – 3x – 2 1 -2 -5
กราฟของสมการ y = 3x และ y = – 3x – 2 เป็นดังนี้

10. Y
y = -3x - 5
2 y = 3x
4
3 • (1, 3)
2
•
(-1, 1) 1
(0, 0)
• X
-3 -2 -10 1 2 3
1
( - , -1) -1
3
•
•
-2(0, -2)
•
(-1, -3) -3
-4
-5 • -5)
(1,
จุดตัดของกราฟทั้งสอง คือ ( - 1 , -1)
3
ตัวอย่างที่ 13 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน และหาจุดตัด
1
( 1) y = x + 1 ( 2) y = - 2x + 1 ( 3) y = - x + 1
2
วิธีทา กราฟของสมการ y = x + 1 , y = - 2x + 1 , y = -
1
x + 1 เป็นดังนี้
2
x -2 0 2
y=x+1 -1 1 3
y = - 2x + 1 5 1 -3
2 1 0
1
y = - x + 1
2

11. กราฟของสมการคือ Y
(-2, 5)• 5
4
(-2, 2)
3 •(2, 3)
• 2
1 (0, 1) •
(2, 0)
-5 - - -2 -1 0 1 2 3 4 5 • X
4 3 •
(-2, -1)-1 1
y = - x +1
-2 2
y = - 2x + 1 (2, -
-3
3)
•
-4 y=x+1
จุดตัดของกราฟทั้งสาม คือ (0, 1)
ตัวอย่างที่ 14 จงเขียนกราฟของของสมการในข้อต่อไปนี้โดยใช้แกนคู่เดียวกัน
y - 2x
( 1) y - 2x = 0 ( 2) = 1 ( 3) 2y + 6x = 6
3
วิธีทา จากสมการ y - 2x = 0
จะได้ y = 2x
y - 2x
จากสมการ = 1
3
จะได้ y – 2x = 3
y = 2x + 3
จากสมการ 2y + 6x = 6
จะได้ 2y = – 6x + 6
y = – 3x + 3
คาตอบของสมการคือ
x -1 0 1
y = 2x -2 0 2
y = 2x + 3 -1 3 5
y = – 3x + 3 6 3 0

12. กราฟของสมการ y = 2x , y = 2x + 3 , y = – 3x + 3 เป็นดังนี้
Y
(-1, • 6 y - 2x
3
=1
6) 5 •(1, 5)
4 y - 2x = 0
(0, 3)3 •
•(1, 2)
2
(-1,
1) (0, 0)
1• (1, 0)
-5 - - -2 -1 0 • • 2 3 4
1 5
X
4 3 -1
2y + 6x = 6
(1, 2) -2•
-3
-4
-5
ตัวอย่างที่ 15 จงพิจารณาโดยไม่ต้องเขียนกราฟว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปรแต่ละคู่ต่อไปนี้มีกราฟเป็น
เส้นตรงที่ขนานกันหรือตัดกัน
1. 2 x  3 y  5  0 และ  6 x  9 y  8  0
วิธีทา เนื่องจากสมการ x  2 y  5 และ 2 x  y  3
เขียนให้อยู่ในรูป y = ax + b
ได้เป็น y
2
x
5
และ y
2
x
8
3 3 3 9
จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ x เท่ากันคือ  2
3
ดังนั้น กราฟของสมการทั้งสองจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน
2. x  2y  5 และ 2 x  y  3
วิธีทา เนื่องจากสมการ x  2 y  5 และ 2 x  y  3
เขียนให้อยู่ในรูป y = ax + b
ได้เป็น y
1
x 
5
และ y  2x  3
2 2
จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ x เป็น 1 และ 2 ซึ่งไม่เท่ากัน
2
ดังนั้น กราฟของสมการทั้งสองจะเป็นเส้นตรงที่ตัดกัน

13. การหาจุดตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปรอาศัยหลักการ ดังนี้
1. กราฟจะตัดแกน Y ที่จุด x = 0 เสมอ
2. กราฟจะตัดแกน X ที่จุด y = 0 เสมอ
ตัวอย่างที่ 16 จงหาจุดตัดบนแกน X และแกน Y ของกราฟของสมการต่อไปนี้ และเขียนกราฟของสมการลง
บนแกนคู่เดียวกัน
1) 2x + 3y + 6 = 0 2) 3x + 4y - 12 = 0
วิธีทา 1) เนื่องจาก กราฟตัดแกน X ที่จุด y = 0
แทนค่า y = 0 ในสมการ 2x – 3y + 6 = 0
จะได้ 2 x + 3(0) + 6 = 0
2 x+6 = 0
2x = -6
-6
x =
2
x = -3
ดังนั้นกราฟของสมการ 2 x + 3y + 6 = 0 ตัดแกน X ที่จุด (-3, 0)
เนื่องจาก กราฟตัดแกน Y ที่จุด x = 0
แทนค่า x = 0 ในสมการ 2x + 3y + 6 = 0
จะได้ 2 (0) + 3y + 6 = 0
3y + 6 = 0
3y = -6
-6
y =
3
y = -2
ดังนั้นกราฟของสมการ 2x + 3y + 6 = 0 ตัดแกน Y ที่จุด (0, -2)
x –3 0 3
2x
y= - - 2 0 -2 -4
3
สามารถเขียนกราฟได้ดังนี้

14. Y
3
2
2x + 3y + 6 = 0 1
(-3, 0)
-4 -  - - 0 1 2 3 4 X
3 2 1 -1
- (0, -2)
2
-
(3, -4)
3
-4 
2) 3x + 4y - 12 = 0
เนื่องจาก กราฟตัดแกน X ที่จุด y = 0
แทนค่า y = 0 ในสมการ 3x + 4y - 12 = 0
จะได้ 3 x + 4(0) - 12 = 0
3 x -12 = 0
3x = 12
12
x =
3
x = 4
ดังนั้นกราฟของสมการ 3 x + 4y - 12 = 0 ตัดแกน X ที่จุด (4, 0)
เนื่องจาก กราฟตัดแกน Y ที่จุด x = 0
แทนค่า x = 0 ในสมการ 3x + 4y - 12 = 0
จะได้ 3 (0) + 4y - 12 = 0
4y - 12 = 0
4y = 12
12
y =
4
y = 3
ดังนั้นกราฟของสมการ 3x + 4y - 12 = 0 ตัดแกน Y ที่จุด (0, 3)

15. x –4 0 4
- 3x
y= + 3 6 3 0
4
สามารถเขียนกราฟได้ดังนี้
Y
8
(-4,

6) 6
4 (0, 3)

3x + 4y - 12
= 0 2
(4, 0)
- - - - 0 1 2 
3 4 X
4 3 2 1 -
2
-
4
-
6
การตรวจสอบว่าจุดที่กาหนดอยู่บนกราฟของสมการที่กาหนดหรือไม่
ถ้าจุด (a, b) ใด ๆ อยู่บเส้นตรง L เมื่อแทน x ดวย a และแทน y ด้วย b ในสมการ
เส้นตรง L แล้วจะทาให้สมการเป็นจริง แต่ถ้าแทน x ด้วย a แล้ว สมการไม่เป็นจริงแสดง
ว่า จุด (a, b) ไม่อยู่บนเส้นตรง L
ตัวอย่างที่ 17 กาหนดสมการ y  2 x  1 จงตรวจสอบว่าจุดต่อไปนี้เป็นคาตอบของสมการที่กาหนดให้
หรือไม่
1) (2 , 5)
วิธีทา จากสมการ y  2x  1
แทนค่า x = 2 และแทนค่า y = 5 จะได้
5 = 2(2) – 1
5 = 4–1
5 = 3 เป็นสมการที่เป็นเท็จ
ดังนั้น (2,5) ไม่อยู่บนกราฟของสมการที่กาหนดให้

16. 2) (-2 ,-5)
วิธีทา จากสมการ y  2 x  1
แทนค่า x = -2 และแทนค่า y = -5 จะได้
-5 = 2(-2) – 1
-5 = -4 – 1
-5 = -5 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น (-2,-5) อยู่บนกราฟของสมการที่กาหนดให้
16. ครูให้นักเรียนถามข้อสงสัยเกี่ยวกับตัวอย่างที่ 2
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดสมการ y
1
x 1 จงหาค่าของ m ซึ่งทาให้จุด (-2, m) เป็นคาตอบของสมการ
2
วิธีทา จุด (-2, m) เป็นคาตอบของสมการ ดังนั้น
m = 1
 2   1
2
m = 11
m = 2
ดังนั้น m = 2
ตัวอย่างที่ 18 กาหนดสมการ 2 x  5 y  10 จงหาค่าของ n ซึ่งทาให้จุด (สมร
วิธีทา จุด (n, -1) เป็นคาตอบของสมการ ดังนั้น
2  n   5   1 = 10
2 n   5 = 10
2 n  = 5
5
n =
2
ดังนั้น n = 2
1
2