1.1 เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

1. ร.ร.ศรีสวัสดิ์วทยาคาร จ.น่าน
ิ -1-
บทที่ 1 เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทม
ึ
1.1 เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
ในหัวข้อนี้ จะกล่าวถึงบทนิยามเกี่ยวกับเลขยกกาลังที่มีเลขชีกาลังเป็นจานวนเต็ม และสมบัติของ
้
เลขยกกาลังดังกล่าว โดยไม่มีการพิสูจน์
บทนิยาม ถ้า 𝑎 เป็นจานวนจริง และ 𝑛 เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว
𝑎 𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ …∙ 𝑎
𝑛 ตัว
𝑎0 = 1 เมื่อ 𝑎 ≠ 0
1
𝑎−𝑛 = 𝑛
เมื่อ 𝑎 ≠ 0
𝑎
เรียก 𝑎 𝑛 ว่า เลขยกกาลัง เรียก 𝑎 ว่า ฐานของเลขยกกาลัง และ เรียก 𝑛 ว่า เลขชีกาลัง
้
ตัวอย่าง 1 จงหาค่าต่อไปนี้
1) 54 =…………………………………………………………….. 2) (-4)3 =………………………………………………………….
3) (-7)1 =………………………………………………………… 4) 05 =………………………………………………………………
5) (-65)0 =……………………………………………………… 6) 690 =……………………………………………………………
7) 10 =……………………………………………………………… 8) 00 =……………………………………………………………..
9) 7-3 =…………………………………………………………… 10) (-2)-3 =………………………………………………………..
1 1
11) 4 =…………………………………………………………… 12) =………………………………………………………..
5 10 −3
y −8 1
13) =………………………………………………………… 14) =…………………………………………………
x −2 (x+y)−2
เลขยกกาลังที่มีเลขชีกาลังเป็นจานวนเต็ม มีสมบัติตามทฤษฎีบทต่อไปนี้
้
ทฤษฎีบท 1 ถ้า a, b เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็น 0 และ m , n เป็นจานวนเต็ม จะได้
𝑎 𝑎 𝑛
1. 𝑎 𝑚 ∙ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚 +𝑛 4. ( 𝑏 ) 𝑛 = 𝑏 𝑛
𝑎 𝑚
2. (𝑎 𝑚 ) 𝑛 = 𝑎 𝑚 ×𝑛 5. 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚 −𝑛
3. (𝑎𝑏) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
ครูภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ / คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5

2. ร.ร.ศรีสวัสดิ์วทยาคาร จ.น่าน
ิ -2-
ตัวอย่าง 2 จงหาค่าต่อไปนี้
1) 35  33 =………………………………………………… 2) 4-2  44 =…………………………………………………….
3) 7-2  7-4 =……………………………………………… 4) (-3)2  (-3)4 =……………………………………………
5) (73)5 =………………………………………………………. 6) ((-2)-3)-6 =……………………………………………………
7) (154)-3 =……………………………………………………… 8) ((-23)-4)0 =…………………………………………………
9) (3  4)8 =………………………………………………… 10) 35  65 =……………………………………………………
11) [(-7)(-2)]4 =……………………………………………… 12) (-4)7(-3)7 =…………………………………………………
13) [(-6)(3)]2 =……………………………………………… 14) (2)9(-3)9 =…………………………………………………
3 74
15) ( )7 =………………………………………………….. 16) =…………………………………………………………..
8 64
35 (−3)4
17) 4 =………………………………………………………… 18)
=………………………………………………………
3 (−3)−2
5 −5 8−6
19) 3 =………………………………………………………… 20)
=……………………………………………………………..
5 8−4
y −8 1
21) −2 =………………………………………………………… 22) =…………………………………………………
x (x+y)−2
a 7 b4 a 3 a4
23) =……………………………………………………… 24) =…………………………………………………………
a 2 b3 b 6 b2
(x 3 y 5 )2 x3 y 5 2
25) =………………………………………………… 26 ( ) ) =………………………………………………
x2 y 0 x2 y 0
2 n +3 22n +3
27) =…………………………………………………… 28) =…………………………………………………
22 4n
ตัวอย่าง 3 ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงทาเป็นรูปอย่างง่ายและเลขชีกาลังทุกจานวนมีเลขชีกาลังเป็นบวก
้ ้
𝑥 𝑦2 𝑥 4 𝑥 −5 𝑦 4 2 𝑥 4 𝑦 −5 −3
1) ( )3 ( ) 2) [ ] [ 3 −7 ]
y z x 2 y −2 x y
ครูภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ / คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5

3. ร.ร.ศรีสวัสดิ์วทยาคาร จ.น่าน
ิ -3-
24 𝑥 0 𝑦 −4 −2 (𝑎 2 𝑏 −1 𝑐 −3 )3
3) ( ) 4)
(3𝑎 −1 𝑏 2 𝑐 −4 )−2
8 3 𝑥 −3 𝑦 −5
5∙3 𝑛 −9∙3 𝑛 −2 7 𝑛 +2 −35∙7 𝑛 −1
5) 6)
3 𝑛 −3 𝑛 −1 7 𝑛 ∙11
2 𝑛 +3 62−𝑛 (2 𝑛 +1 ) 𝑛 4 𝑛 +1 2𝑛
−𝑛 −1 ∙ 𝑛 −1 ÷ (
)
7) 8)
15 5 𝑛 +1 (2 𝑛 ) 22𝑛 +1
9) 𝑥 −3 − 𝑦 −3 (𝑥 − 𝑦)−1 10) 𝑥 −2 + 𝑦 (𝑥 −2 − 𝑦) (
𝑥2
)
1−𝑥 2 𝑦
ครูภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ / คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5

4. ร.ร.ศรีสวัสดิ์วทยาคาร จ.น่าน
ิ -4-
4𝑥 −2 −4𝑥 −1 +1 12)
1
+
1
+
1
11) 1+𝑥 𝑎 −𝑏 +𝑥 𝑎 −𝑐 1+𝑥 𝑏 −𝑐 +𝑥 𝑏 −𝑎 1+𝑥 𝑐−𝑎 +𝑥 𝑐−𝑏
2𝑥 −2 −𝑥 −1
ครูภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ / คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5

5. ร.ร.ศรีสวัสดิ์วทยาคาร จ.น่าน
ิ -5-
ครูภัชรณันติ์ ศรีประเสริฐ / คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5