1. เรื่อง ลำดับและอนุกรม
วิชำ คณิตศำสตร์3 (ค32101)
ครูประภัสศร เทียมทัศ

2. 1. ลำดับ (Sequences)
นิยำม ลำดับ คือ ฟังชันก์ที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจำก
น้อยไปมำก
1. ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตจำกัด
2. ลำดับอนันต์ คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตอนันต์
ตัวอย่ำง จงหำสำมพจน์แรกของลำดับ an= 3n + 1
ตัวอย่ำง จงหำสี่พจน์แรกของลำดับ an= 5 + (-1)n

3. ตัวอย่าง จงหาห้าพจน์แรกของลาดับ an = 2n -3
ตัวอย่าง จงหาพจน์ถัดไปของลาดับต่อไปนี้
1. 1,3,7,13,…………………………...
2. 100,99,97,94,……………………..
3. 16,8,4,2,…………………………...
4. 2,20,200,2000,……………………

4. แบบฝึกหัด
1. จงหำสี่พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้
1.1 an = 2n – 7 1.2 an = (-2)n + 1
1.3 an = (2n -1) / (n+3)
2. จงหำพจน์ถัดไปของลำดับต่อไปนี้
2.1 2,6,10,14,……… 2.2 200,195,190,185,………
2.3 1,4,16,64,……… 2.4 729,243,81,27,…………
2.5 2,7,17,32,…………………………………………..

5. 2. กำรหำพจน์ทั่วไปของลำดับ
กำรหำพจน์ทั่วไปของลำดับ คือ กำรเขียนแสดงพจน์ทั่วไป an ในรูปที่มี
n เป็นตัวแปร
ตัวอย่ำง จงหำพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดต่อไปนี้
1. กาหนดลาดับ 2,4,8,16,…
เปลี่ยนรูปแต่ละพจน์เพื่อหำควำมสัมพันธ์ an และ n ได้ดังนี้
a1= 2 =21 , a2= 2 =22
a3= 2 =23 , a4= 2 =24
จะได้ an = 2n

6. 2. กาหนดลาดับ 1,3,7,15,…
เปลี่ยนรูปแต่ละพจน์เพื่อหำควำมสัมพันธ์ an และ n ได้ดังนี้
a1= 1 = 2 - 1 = 21 - 1
a2= 3 = 4 - 1 = 22 - 1
a3= 7 = 8 - 1 = 23 - 1
a4= 15 = 16 – 1 = 24 - 1
จะได้ an = 2n -1

7. 3. กำหนดลำดับ ,...,,,
24
1
6
1
2
1
1
4321
1
24
1
a
321
1
6
1
a
21
1
2
1
a
1
1
1a
4
3
2
1







เปลี่ยนรูปแต่ละพจน์เพื่อหำควำมสัมพันธ์ an และ n ได้ดังนี้
จะได้
n4321
1
an


...

8. แบบฝึกหัด
5
4
4
3
3
2
2
1
21 ,,,).
1. จงหำพจน์ทั่วไปของลำดับต่อไปนี้
321011 ,,,).

9. 3. ลำดับเลขคณิต
นิยำม ลำดับเลขคณิตคือ ลำดับที่ผลต่ำงซึ่งเกิดจำกกำรเอำ
พจน์หลังลบด้วยพจน์หน้ำที่อยู่ติดกัน มีค่ำคงตัว (เท่ำกัน)
เสมอ แทนด้วย d จะได้ an =a1 + (n-1) d
ตัวอย่ำง
จงเขียนสำมพจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตต่อไปนี้ -2 , 2 , 6 , 10 , ….

10. ตัวอย่ำง
1. จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตต่อไปนี้ 3,7/2 , 4, 9/2 ,5 ,…
2. จงเขียนพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิตต่อไปนี้ -2 ,2,6,10,…
3. จงเขียนพจน์ที่ 17 และ 25 ของลำดับเลขคณิตถ้ำกำหนดให้พจน์แรกและ
พจน์ที่สองเท่ำกับ 3 และ 8 ตำมลำดับ
4. จงหำพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตเมื่อกำหนดให้พจน์ที่ 5 มีค่ำเท่ำกับ 30
และพจน์ที่ 11 มีค่ำเท่ำกับ 78

11. แบบฝึกหัด
1. จงหำพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต 2 , -1 , -4 , -7 ,…
2. จงหำพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต 3/2 , 2 , 5/2 , 3 , 7/2 ,…
3. จงหำพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิตที่มี a3 =20 , a7 = 32
4. จงหำ an และ d ของลำดับเลขคณิตที่มี a2 =16 , a12 =116
5. -176 เป็นพจน์ที่เท่ำใดของลำดับเลขคณิต -1 , -6 , -11 ,…

12. 4. ลำดับเรขำคณิต
นิยำม ลำดับเรขำคณิต คือ ลำดับที่ผลหำรซึ่งเกิดจำกกำรเอำพจน์
หลังหำรด้วยพจน์หน้ำที่อยู่ตดกัน มีค่ำคงตัว (เท่ำกัน) เสมอแทน
ด้วย r จะได้ an = a1rn-1
ตัวอย่ำง จงเขียนสำมพจน์ถัดไปของลำดับเรขำคณิตต่อไปนี้ 1,3,9,27,…
ตัวอย่ำง จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของลำดับเรขำคณิตต่อไปนี้ -1,4,-16,64,-256,…
ตัวอย่ำง จงหำพจน์ที่ 25 ของลำดับเรขำคณิตต่อไปนี้ 4 , 20 , 100 , …
ตัวอย่ำง จงหำพจน์ที่ n ของลำดับเรขำคณิต 8 , 16 , 32 , 64, …

13. แบบฝึกหัด
1. จงหำพจน์ที่ n ของลำดับเรขำคณิต 25 , 5 ,1,…
2. จงหำพจน์ที่ n ของลำดับเรขำคณิต ½ , 1/6 , 1/18 , 1/54 , …
3. 162 เป็นพจน์ที่เท่ำใดของลำดับเรขำคณิต 2,-6,18,…
4. จงหำอัตรำส่วนร่วมของลำดับเรขำคณิตที่มี an =12 , a6 =96
5. จงหำอัตรำส่วนร่วมของลำดับเรขำคณิตที่มี a2 =8/3 , a5 =64/81

14. 5. ลำดับฮำร์โมนิก
นิยำม ลำดับ a1, a2 ,a3,…an,…จะเรียกว่ำลำดับฮำร์โมนิก็ต่อเมื่อ 1/a1 ,
1/a2 ,1/a3 ,…,1/an ,… เป็นลำดับเลขคณิต เช่น
1. ลำดับ 1/2,1/4,1/6,… เป็นลำดับฮำร์โมนิก เพรำะ 2,4,6,… เป็นลำดับเลขคณิต
2. ลำดับ 1/3,1/5,1/7,… เป็นลำดับฮำร์โมนิก เพรำะ 3,5,7,… เป็นลำดับเลขคณิต
3. ลำดับ 1,3/4,3/5,… เป็นลำดับฮำร์โมนิก เพรำะ 1,4/3,5/3,… เป็นลำดับเลขคณิต

15. ตัวอย่ำง
1. จงหำพจน์ที่ 15 ของลำดับ ฮำร์โมนิก 1,4/3,5/3,…
2. จงหำพจน์ที่ 20 ของลำดับ ฮำร์โมนิก 1/3, 1/5,1/7,…
3. จงหำลำดับฮำร์โมนิกที่มีพจน์ที่ 3 และพจน์ที่ 7 เท่ำกับ 1/12 และ 1/32 ตำมลำดับ
4. จงหำลำดับฮำร์โมนิกที่มีพจน์ที่ 6 และ พจน์ที่ 21 เท่ำกับ 1/40 และ 1/100
ตำมลำดับ

16. 6.กำรหำลิมิตของลำดับอนันต์
2. ถ้ำ C เป็นจำนวนจริง (ค่ำคงที่) แล้ว an เป็นพจน์ที่ n
ของลำดับอนันต์แล้ว 0
a
c
n n


lim

สิ่งที่ต้องจาและนาไปใช้
1. ถ้ำ C เป็นจำนวนจริง (ค่ำคงที่) แล้ว
cc
n


lim

3. ถ้ำ และ C เป็นค่ำคงที่
แล้ว
L
n
a
n


lim

  cLc
n
ca
n n

 
limlim



17. n
n
n
n
nn
n
baba4 LimLimLim
 
 )(.
n
n
n
n
nn
n
baba5 LimLimLim
 
 )(.
n
n
n
n
nn
n
baba6 LimLimLim
 
 )(.
n
n
n
n
nn
n
baba7 LimLimLim
 
 )(.

18. ตัวอย่ำง จงหำค่ำของ

 n3
1
1 Lim
n 
. 
 5n2
3
2 Lim
n 
.


1n
n 5
4
3 Lim

. 
 1n9
10
4 2
n
Lim

.

19. ตัวอย่ำง จงหำค่ำของ


)(. 2
n n
3
n
4
51 im



)(. n22
n 4
2
n3
3
n2
4
52 im

ตัวอย่ำง จงหำ เมื่อn
n
aLim

7n5
1n4n3
a1 2
2
n


.
1n3
3n2
a2 n


.
4n5
3n10
a3
2
n


.

20. 5n12n18
7n4n5n9
a4 3
23
n


.
3n4
1n5
a5 2n


.
10n5n2n3
1n4n3
a6 234
2
n


.
4n5
1n4n2
a7 2
3
n


.
3n7n5
1n2n8n12
a8 2
345
n


.
  
5n12
1n3n4
a9 3
2
n


.
7n5
1n4n3
a10 2
2
n


.
9n8
3n5n4
a11
2
n


.

21. 
1n2
n
a13 n

 sin.
4n
n2
n 5a12 .

1n4
n4
a14 2
2
n


 cos.









7n5
3n5
a15 n log.

22. หมำยเหตุ
• ลำดับอนันต์ที่หำลิมิตได้เรียกว่ำลำดับคอนเวอร์เจนต์
• ลำดับอนันต์ที่หำลิมิตไม่ได้รียกว่ำลำดับไดเวอร์เจนต์

23. 7. อนุกรม (Series)
นิยำม
1. ถ้ำ a1, a2 ,a3,…an เป็นลำดับจำกัดแล้วเรำเรียก a1+ a2 +
a3+…+ an ว่ำอนุกรมจำกัด
2. ถ้ำ a1, a2 ,a3,…an,… เป็นลำดับอนันต์ แล้วเรำเรียก a1+ a2
+a3+…an+… เป็นอนุกรมอนันต์

24. 1. ถ้าให้ c เป็นค่าคงที่แล้ว k พจน์


k
1n
ccccc ...
2. ถ้า c เป็นค่าคงที่และ an เป็นพจน์ที่ n ของลาดับแล้ว  
  



k
1n
k
1n
nn acca
3. ถ้า an และ bn เป็นพจน์ที่ n ของลาดับแล้ว
   
 

k
1n
n
k
1n
k
1n
nnn baba
4. ถ้า an และ bn เป็นพจน์ที่ n ของลาดับแล้ว
   
 

k
1n
n
k
1n
k
1n
nnn baba

25. ตัวอย่ำง จงหำค่ำของ


12
1n
41. 

50
1n
92. 

25
1n 5
3
3.
ตัวอย่ำง กำหนด a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 65
จงหำค่ำของ 

5
1n
na4
ตัวอย่ำง กำหนด 50c72b35a
20
1n
n
20
1n
n
20
1n
n  

,,
 


20
1n
nnn c2b4a3
จงหาค่าของ

26. 9. สูตรกำรหำผลบวกย่อย n พจน์
   
2
1nn
Kหรือ
2
1nn
n43211
k
1n



 

....
  
  






k
1n
2
22222
6
1n21nn
Kหรือ
6
1n21nn
n43212 ....
 
 






k
1n
22
3
22
33333
4
1nn
Kหรือ
4
1nn
n43213 ....
4. เราเรียก Sn ว่าผลบวกย่อย n พจน์ นั่นคือ  


n
1i
nnn aaS

27. ตัวอย่ำง จงหำผลบวกของ
1. 1+ 2 + 3+…+ 25
2. 12+22+32+…+112
3. 13+23+33+…+153
4. 12+32+52+…+(2n-1)2

28. ตัวอย่ำง จงหำค่ำของ
 


17
1k
2
K34.


12
1k
K51.


12
5k
K2.


15
10k
K33.

11
1k
3
K55.
ตั้งใจคิด ตั้งใจทา จาได้นาน เพื่อความเบิกบานของชีวิต

29. 10. อนุกรมเลขคณิต
นิยำม ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตแทนด้วย
    d1na2
2
n
หรือSaa
2
n
S 1nn1n 
ตัวอย่ำง จงหำผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 7 +15+23+…
ตัวอย่ำง จงหำผลบวกทุกพจน์ของอนุกรมเลขคณิต 7 +10+13+…+157
ตัวอย่ำง จงหำผลบวกของจำนวนคู่ตั้งแต่ 18 ถึง 482

30. 11. อนุกรมเรขำคณิต
นิยำม ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิตแทนด้วย
  1r
r1
raa
หรือS1r
r1
r1a
S n1
n
n
1
n 





 ,,
ตัวอย่ำง
1. จงหำผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต 1+2+4+8+…
2. จงหำผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ...
18
1
16
1
2
1
3. จงหำผลบวกทุกพจน์ของอนุกรมเรขำคณิต 256
1
8
1
4
1
2
1
1  ...

31. 12. กำรหำผลบวกของอนุกรมอนันต์
วิธีกำรหำผลบวกของอนุกรมอนันต์
1. ต้องหำผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมอนันต์ให้ได้ก่อน (หำ Sn)
3. ถ้ำหำ ได้ ค่ำดังกล่ำวคือผลบวกของอนุกรมอนันต์n
n
Slim

4. ถ้ำหำ ไม่ได้ แสดงว่ำเรำไม่สำมำรถหำผลบวก
ของอนุกรมอนันต์ได้
n
n
Slim

n
n
Slim

2. นำข้อ 1 มำหำลิมิต นั่นคือหำ

32. ตัวอย่ำง
1. กำหนด
จงหำผลบวกของอนุกรมอนันต์ เมื่อ Sn คือผลบวก n พจน์
แรกของอนุกรม
7n2
3n4n5
S 2
2
n



2. กำหนด
จงหำผลบวกของอนุกรมอนันต์ เมื่อ Sn คือผลบวก n พจน์
แรกของอนุกรม
1n7n9
3n4n4
S 2
3
n




33. แบบฝึกหัด
จงหำผลบวกของอนุกรม
.... 
27
8
9
4
3
2
11
.... 
64
1
16
1
4
1
142
สายน้าไม่เคยคอยท่า กาลเวลาไม่เคยคอยใคร แต่มหาลัยยังคอย……