พื้นที่ใต้โค้ง

1. 1
บทที่ 2 การแจกแจงปกติ
2.1 ค่ามาตรฐาน( standard value )
การเปรียบเทียบค่าของข้อมูลตั้งแต่สองค่าขึ้นไป ที่มาจากข้อมูลคนละชุดว่ามีความแตกต่างกันหรือไม่
อย่างไร บางครั้งไม่สามารถเปรียบเทียบได้โดยตรง ทั้งนี้เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลแต่ละชุด และส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานมักจะไม่เท่ากัน การเปรียบเทียบที่ถูกต้องมากขึ้น จึงมีความจาเป็นต้องแปลงคะแนนแต่ละวิชาให้
เป็นคะแนนมาตรฐาน (ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากันเสียก่อน)
ค่ามาตรฐานเป็นค่าที่บอกให้ทราบว่า ความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลนั้นๆกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล
ชุดนั้น เป็นกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่ามาตรฐานมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 0 และ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0
ถ้าให้ xi เป็นค่าที่ i ของตัวแปร ของตัวแปร X แล้ว ค่ามาตรฐานของ xi คือ
ค่ามาตรฐานของประชากร
Zi =

ix
เมื่อ i คือ 1 ,2 , 3 , … , N
โดยที่ xi แทน ค่าที่ i ของตัวแปร X
 แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
 แทนส่วนเบี่ยงเบนค่ามาตรฐานของประชากร
N แทนจานวนประชากร
ค่ามาตรฐานของตัวอย่าง
Zi =
s
Xxi 
เมื่อ i คือ 1 ,2 , 3 , … , n
โดยที่ xi แทน ค่าที่ i ของตัวแปร X
X แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง
s แทนส่วนเบี่ยงเบนค่ามาตรฐานของตัวอย่าง
n แทนจานวนตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่ามาตรฐานของคะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จานวน 5 คนดังนี้ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 จงหาค่ามาตรฐาน
วิธีทา  =
5
15
= 3
จาก สูตรที่ 2  = 21
2



N
x
N
i
i
= 9
5
55
 = 911 
= 2 = 1.414  1.41
ค่ามาตรฐานของตัวอย่าง จาก Zi =

ix
ค่ามาตรฐานของ 1 คะแนน Zi =
41.1
31 
 - 1.42
ค่ามาตรฐานของ 2 คะแนน Zi =
41.1
32 
 - 0.71
ค่ามาตรฐานของ 2 คะแนน Zi =
41.1
33 
 0
ค่ามาตรฐานของ 4 คะแนน Zi =
41.1
34 
 0.71
ค่ามาตรฐานของ 5 คะแนน Zi =
41.1
35 
 1.42
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบวิชาต่างๆของนักเรียนคนหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนน
แต่ละวิชาของนักเรียนทั้งหมดในชั้นเป็นดังนี้
วิชา คะแนนที่สอบได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คณิตศาสตร์ 80 85 10
วิทยาศาสตร์ 60 75 20
ภาษาอังกฤษ 70 65 5
จงหาว่าเขาเรียนวิชาไหนดีกว่ากัน

2. 2
วิธีทา จาก Zi =

ix
ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ =
10
8580 
= - 0.5
ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ =
20
7560 
= - 0.75
ค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ =
5
6570 
= 1
จะได้ว่า นักเรียนคนนี้เรียนวิชาภาษาอังกฤษได้ดีกว่าวิชาอื่น
ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเป็น 72 และ 15 คะแนน ตามลาดับ ถ้าค่ามาตรฐานของคะแนนสอบวิชานี้ของนักเรียนคนหนึ่ง
ในห้องนี้คือ 0.2 อยากทราบว่านักเรียนคนนี้สอบได้กี่คะแนน
วิธีทา จาก Zi =

ix
0.2 =
15
72x
x = (0.2 x 15) + 72
= 75
นั่นคือนักเรียนคนนี้สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้ 75 คะแนน
ตัวอย่างที่ 3 ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซึ่งมีวิชาที่ต้องสอบ 3 วิชา ถ้าผู้สมัครเข้า
สอบคัดเลือกสามารถสอบผ่านถึงรอบสุดท้ายจานวน 2 คน คือ นาย ก กับนางสาว ข โดยคะแนน
แต่ละวิชาดังนี้
วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 วิชาที่ 3
นาย ก สอบได้ 70 75 75
นางสาว ข สอบได้ 75 50 90
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 70 70 80
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 10 4
อยากทราบว่าในการสอบครั้งนี้ ใครเป็นผู้ได้รับการคัดเลือก
วิธีทา Zi =

ix
หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนาย ก ดังนี้
วิชาที่ 1 Z1 =
5
7070 
= 0
วิชาที่ 2 Z2 =
10
7075 
= 0.5
วิชาที่ 3 Z3 =
4
8075 
= - 1.25
ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของ 3 วิชาของนาย ก
Z =
3
25.15.00 
= - 0.25
หาค่ามาตรฐานในแต่ละวิชาของนางสาว ข ดังนี้
วิชาที่ 1 Z1 =
5
7075 
= 1
วิชาที่ 2 Z2 =
10
7050 
= - 2
วิชาที่ 3 Z3 =
4
8090 
= 2.5
ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของ 3 วิชาของนางสาว ข
Z =
3
5221 .
= 0.5
จะได้ว่า ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของนางสาว ข สูงกว่านาย ก
ดังนั้น นางสาว ข จึงสอบผ่านได้รับการคัดเลือก

3. 3
ตัวอย่างที่ 4 ในการสอบชิงทุนการศึกษา นายเอ สอบได้ที่หนึ่ง ได้คะแนน 830 คะแนน และนางสาวบี
สอบ ได้ที่สอง ได้คะแนน 800 คะแนน ถ้าค่ามาตรฐานของนายเอ และนางสาวบี เท่ากับ 4 และ 2.5
ตามลาดับ จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการสอบครั้งนี้
วิธีทา Zi =

ix
นายเอ 4 =

850
นางสาว บี 2.5 =

800
 + 4 = 830 ………….(1)
 + 2.5 = 800 ………….(2)
(1) – (2) ; 1.5  = 30 ;  = 20
จาก (1) แทนค่า  = 20
 + 4(20) = 830
 = 830 – 80 = 750
ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 20 และ 750 ตามลาดับ @@@
ตัวอย่างที่ 5 ในการสอบครั้งหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 45 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8
ถ้านายเอกับนางสาวบี สอบได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานรวมกันเป็น 2.5
จงหาผลรวมของคะแนนทั้งสองคน
วิธีทา ZA =

Ax
………………..(1)
ZB =

Bx
………………..(2)
ZA + ZB =

2 BA xx
2.5 =
8
)45(2 BA xx
20 = xA + xB - 90
110 = xA + xB
ดังนั้นผลรวมของคะแนน ของนายเอและนางสาวบีเท่ากับ 110 คะแนน
สมบัติของค่ามาตรฐาน
1. ค่ามาตรฐานของข้อมูลใดๆจะเป็นบวกหรือลบก็ได้ทั้งนี้ขั้นอยู่กับค่าของข้อมูลนั้นๆกับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้นว่าค่าใดจะมากกว่ากัน
2. ค่ามาตรฐานของข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติหรือใกล้เคียงปกติ โดยทั่วไปจะมีค่าตั้งแต่ - 3 ถึง +3
แต่อาจจะมีค่ามาตรฐานของข้อมูลบางค่าที่สูงกว่า + 3 หรือต่ากว่า – 3 ได้
3. เมื่อแปลงทุกๆค่าในข้อมูลชุดใดชุดหนึ่งที่เป็นข้อมูลระดับประชากรให้เป็นค่ามาตรฐานแล้วนาค่า
มาตรฐานเหล่านั้นมาคานวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
(Z ) เท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 เสมอ

4. 4
2.2 การแจงแจงปกติ
เส้นโค้งของความถี่ที่พบเสมอๆมักมีรูประฆัง ซึ่งเรียกว่า เส้นโค้งปกติ การแจกแจงความถี่ของข้อมูลซึ่งให้เส้นโค้ง
ที่มีลักษณะเป็นรูประฆังเรียกว่า การแจกแจงปกติที่ สมการของเส้นโค้งนี้ขั้นอยู่กับ 2 ค่าคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
สมบัติของเส้นโค้งปกติ
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม จะมีค่าเท่ากัน และจะอยู่ ณ จุดที่เส้นตรงลากผ่านจุดโด่งสุดของ
เส้นโค้งนั้นตั้งฉากกับแกนนอน
2. เส้นโค้งจะมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนที่ลากผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นแกนสมมาตร
3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกนนอน เมื่อต่อปลายเส้นโค้งทั้งสองข้างให้ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตออกไปแต่จะไม่
ตัดแกนนอน
4. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ
5. พื้นที่ที่อยู่เหนือค่าใดค่าหนึ่งของ X จะเป็น 0 เสมอ จะได้ว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
[ x1 , x2 ] มีค่าเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ( x1 , x2 )
ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล
ลักษณะของเส้นโค้งของความถี่ มี 3 แบบ
1.1 เส้นโค้งปกติ หรือรูประฆัง (normal or bell –shape curve)
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = มัธยฐาน = ฐานนิยม
1.2 ถ้าเส้นโค้งเบ้ทางขวา (positively skewed curve)
มี ฐานนิยม < มัธยฐาน < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1.3 ถ้าเส้นโค้งเบ้ทางซ้าย (negatively skewed curve)
มี ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม
เส้นโค้งปกติจะมีความโด่งมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูล ถ้าข้อมูลมีการกระจายมาก เส้นโค้งปกติจะมี
ความโด่งน้อยหรือ ค่อนข้างแบน แต่ถ้าข้อมูลมีการกระจายน้อยเส้นโค้งปกติ จะมีความโด่งมาก หรือค่อยข้างสูงดัง
ปรากฏในรูปต่อไปนี้

5. 5
0.3944
z
2.2 การแจกแจงปกติ และเส้นโค้งปกติ
จากเรื่องฮิทโทแกรมได้กล่าวไว้แล้วว่า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปในฮิสโทแกรมแทนความถี่ของ
แต่ละอัตรภาคชั้น ถ้าเขียนรูปหลายเหลี่ยมของความถี่และปรับรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ให้เป็นเส้นโค้งเรียบ จะได้
เส้นโค้งของความถี่ ซึ่งพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งของความถี่จะแทนความถี่ของค่าจากการสังเกตทั้งหมด
เส้นโค้งของความถี่ที่พบเสมอๆ มักมีรูปเป็นรูประฆัง ซึ่งเราเรียกว่า เส้นโค้งปกติ การแจกแจงความถี่ของ
ข้อมูลซึ่งให้เส้นโค้งที่มีลักษณะเป็นรูประฆัง เรียกว่า การแจกแจงปกติ สมการของเส้นโค้งนี้ขึ้นอยู่กับค่า 2 ค่า คือ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้ากาหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานให้จะสามารถหา
สมการของเส้นโค้งปกติได้ และเขียนรูปได้ดังตัวอย่างในรูปที่ 1
รูปที่ 1
จากรูปที่ 1 จะเห็นว่า ลักษณะของเส้นโค้งปกติเป็นรูประฆัง ซึ่งเป็นรูปสมมาตร โดยมีเส้นประเป็น
แกนสมมาตร จึงเรียกว่าการแจกแจงปกติ ขนาดของการแจกแจงปกติหรือรูประฆัง จะต่างกันเพียงไรขึ้นอยู่กับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต µ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  (ในกรณีข้อมูลประชากร) และสมการของเส้นโค้งปกติ คือ
y = f(x) =
2
2
1
2
1 }/)x{(
e


หรือ yi =
2
2
1
2
1 }/)ix{(
e


เมื่อ - < x < 
เมื่อ i คือ 1 , 2 , 3 , ... , N โดยที่   3.1416 , e  2.718  แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
 แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร N แทนจานวนประชากร
หมายเหตุ ถ้าสร้างรูปสมการของเส้นโค้งปกติ ใช้ GSP (The Geometer,
s .
Sketchpad ) f(x) = 22
2
22 s
earea )meanx(

 
สมบัติของเส้นโค้งปกติ
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม จะมีค่าเท่ากัน และจะอยู่ ณ จุดที่เส้นตรงลากผ่านจุดโด่งสุดของ
เส้นโค้งนั้นตั้งฉากกับแกนนอน
2. เส้นโค้งจะมีเส้นตั้งฉากกับแกนนอนที่ลากผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต เป็นแกนสมมาตร
3. เส้นโค้งจะเข้าใกล้แกนนอน เมื่อต่อปลายเส้นโค้งทั้งสองข้างให้ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตออกไป
แต่จะไม่ตัดแกนนอน
4. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ
5. พื้นที่ที่อยู่เหนือค่าใดค่าหนึ่งของ x จะเป็น 0 เสมอ จะได้วางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ [x1 , x2 ] มีค่าเท่ากับ
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ (x1 , x2 )
เส้นโค้งปกติซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 เรียกว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง ค่า z = 0 ถึง z ใดๆ เราใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งมาตรฐาน ซึ่ง
แสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่างค่า z = 0 และค่าอื่นๆของ z คือ 0.01, 0.02, …, 3.88, 3.89 เช่น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
ระหว่าง z = 0 และ z = 1.25 ที่อ่านได้จากตารางเท่ากับ 0.3944
0 1.25
รูปที่ 2 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ในช่วง 0 < z < 1.25


6. 6
z
z
z
z
ในตารางที่แสดงในภาคผนวกไม่มีค่า z ที่เป็นจานวนเต็มลบ แต่สามารถหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
ระหว่าง z ที่เป็นจานวนเต็มลบ และ z = 0 ได้เนื่องจากเส้นโค้งมีเส้นที่ตั้งฉากกับแกนนอนที่ลากผ่านค่า z ที่เท่ากับ 0
เป็นแกนสมมาตร เช่น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระหว่าง z = -1.25และ z = 0 หาได้จากการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
ระหว่าง z=0 ถึง z = 1.25 ซึ่งจะได้เท่ากับ 0.3944
เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเท่ากับ 1 ดังนั้น พื้นที่ทางขวามือของ z = 0 กับพื้นที่ทางซ้ายมือของ z = 0
มีค่าเท่ากันคือ 0.5 อาศัยความรู้ดังกล่าวจะหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางขวามือหรือซ้ายมือของ z ใดๆและ
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่างค่า z สองค่าใดๆ เช่น
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางซ้ายมือของ
z = 1.64 เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
เมื่อ z < 1.64 ซึ่งเท่ากับ 0.5 บวกกับพื้นที่
0 1.64 ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 1.64
รูปที่ 3 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ในช่วง z < 1.64 ได้เท่ากับ 0.5 + 0.4495 = 0.9495
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางขวามือของ
z = 1.64 เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
เมื่อ z > 1.64 ซึ่งเท่ากับ 0.5 ลบกับพื้นที่
0 1.64 ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 1.64
รูปที่ 4 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ในช่วง z < 1.64 ได้เท่ากับ 0.5 – 0.4495 = 0.0505
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางขวามือของ
z = -0.47 เท่ากับ 0.5 บวกกับพื้นที่ใต้
เส้นโค้งปกติระหว่าง z = -0.47 และ
-0.47 0 z = 0 ได้เท่ากับ 0.5 + 0.1808 = 0.6808
รูปที่ 5 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ในช่วง z > -0.47
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0.95
และ z = 1.36 คือ ผลต่างของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ปกติระหว่าง z = 0 และ z = 1.36 กับ
0 0.95 1.36 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 และ z = 0.95
รูปที่ 6 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน นั่นคือ พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0.95
ในช่วง 0.95 < z < 1.36 เท่ากับ 0.4131 – 0.3289 = 0.0842

7. 7
z
z
z
0.9545 0.9973
z
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = -0.45
และ z = 0.65 คือ ผลบวกของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ปกติระหว่าง z = -0.45 และ z = 0 บวกพื้นที่
-0.45 0 0.65 ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 และ z = 0.65
รูปที่ 7 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ได้เท่ากับ 0.1736 + 0.2422 = 0.4158
ในช่วง -0.45 < z < 0.65
ข้อสังเกต เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเท่ากับ 1 พิจารณาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง   ถึง   , ระหว่าง
 2 ถึง  2 และระหว่าง  3 ถึง  3
    
รูปที่ 8 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง   ถึง  
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากจุด   ถึง   เท่ากับ 0.6827 หรือ ประมาณ 68.27% ของพื้นที่ทั้งหมด
ใต้เส้นโค้ง ซึ่งหมายความว่าประมาณ 68.27% ของจานวนข้อมูลทั้งหมดตกอยู่ในช่วง   ถึง  
 2   2  3   3
รูปที่ 9 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง  2 ถึง  3
พื้นที่ใต้เส้นโค้งจากจุด  2 ถึง  2 คิดเป็นประมาณ 95.45% ของพื้นที่ทั้งหมด และพื้นที่จากจุด
 3 ถึง  3 คิดเป็นประมาณ 99.73% ของพื้นที่ทั้งหมด นั่นคือ ถ้าการแจกแจงข้อมูลเป็นเส้นโค้งปกติ
ค่าของข้อมูลเกือบทั้งหมดจะตกอยู่ในช่วง  3 ถึง  3
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เท่ากับ 50 และ 10 คะแนน ตามลาดับ จงหาว่า นักเรียนที่สอบได้60 คะแนน จะมีตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไร
วิธีทา ให้ x เป็นคะแนนสอบของนักเรียน
z =

x
=
10
5060 
= 1
จากตาราง พื้นที่ระหว่าง z = 0 ถึง z = 1 เท่ากับ 0.3413
ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งเมื่อ z < 1 เท่ากับ 0.5+0.3413 = 0.8413 หรือ 84.13%
ดังนั้น ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนน 60 คือ 84.13

8. 8
z
z
Z
ตัวอย่างที่ 2 อายุการใช้งานของถ่านไฟฉายชนิดหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ โดยค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 756 นาที
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 35 นาที จงหาเปอร์เซ็นต์ของถ่านไฟฉายที่ใช้ได้นาน
(1) ระหว่าง 721 ถึง 791 นาที (2) เกิน 798 นาที
วิธีทา (1) ให้ x เป็นอายุการใช้งานของถ่านไฟฉาย
จาก z =

x
-1 0 1
จะได้ z1 =
35
756721
= -1
และ z2 =
35
756791
= 1
จากตาราง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 1 เท่ากับ 0.3413 และ
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = -1 เท่ากับ 0.3413
ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = -1 และ z = 1 หรือ -1 < Z < 1 เท่ากับ 0.3413 + 0.3413 = 0.6826
นั่นคือ มีถ่านไฟฉาย 68.26% ที่ใช้ได้นานระหว่าง 721 นาที ถึง 791 นาที
(2) เมื่ออายุการใช้งานของถ่านไฟฉายเกิน 798 นาที
จะได้ z =
35
756798 
= 1.2
จะได้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ เมื่อ z >1.2 เท่ากับ 0.5 – 0.3849 = 0.1151
นั่นคือ มีถ่านไฟฉาย 11.51% ที่ใช้ได้นานเกิน 798 นาที
ตัวอย่างที่ 3 ครูคนหนึ่งให้ระดับคะแนนนักเรียนในการสอบดังนี้
ระดับคะแนน A ถ้านักเรียนได้คะแนนตั้งแต่  5.1 ขึ้นไป
ระดับคะแนน B ถ้านักเรียนได้คะแนนอยู่ในช่วง [  5.0 ,  5.1 ]
ระดับคะแนน C ถ้านักเรียนได้คะแนนอยู่ในช่วง [  5.0 ,  5.0 ]
ระดับคะแนน D ถ้านักเรียนได้คะแนนอยู่ในช่วง [  5.1 ,  5.0 ]
ระดับคะแนน F ถ้านักเรียนได้คะแนนอยู่ในช่วง  5.1
สมมติว่าคะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ จงหาว่าแต่ละระดับคะแนนมีนักเรียนสอบได้กี่เปอร์เซ็นต์
วิธีทา แปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนมาตรฐาน z ดังนี้ ถ้าคะแนนสอบคือ  5.0
z =

x
z =

  )5.1(
= 1.5
จากตาราง พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
ระหว่าง z = 0 ถึง z = 1.5 เท่ากับ 0.4332
ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเมื่อ
 5.1   5.0 z  1.5 เท่ากับ 0.5 – 0.4332 = 0.0668
หรือ 6.68% นั่นคือ มีนักเรียน 6.68%
ได้ระดับคะแนน B พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ปกติจาก z = 0 ถึง z = 0.5 คือ 0.1915
ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง
z = 0.5 ถึง z = 1.5 เท่ากับ 0.4332 – 0.1915
1.5 -0.5 0 0.5 1.5 หรือ 24.17% นั่นคือ มีนักเรียน 24.17% ที่ได้ระดับคะแนน B

9. 9
z = 0 z = 1
.3413
413
.3413
ระดับคะแนน C พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก z = -0.5 ถึง z = 0.5
เท่ากับ 0.1915 + 0.1915 = 0.3830 หรือ 38.30% นั่นคือ มีนักเรียน 38.30% ที่ได้ระดับคะแนน C
เนื่องจากเส้นโค้งปกติเป็นรูปสมมาตรโดยมีเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ z = 0 เป็นแกนสมมาตร
ระดับคะแนน D ดังนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = -1.5 ถึง z = -0.5 เท่ากับ 0.4332 – 0.1915 =
0.2417 หรือ 24.17% นั่นคือ มีนักเรียน 24.17% ที่ได้ระดับคะแนน D
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเมื่อ z < -1.5 เท่ากับ 0.5 – 0.4332 = 0.0668 หรือ 6.68% นั่นคือ
มีนักเรียน 6.68% ที่ได้ระดับคะแนน F
ตัวอย่างที่ 4 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีแจกแจงปกติ
โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน จงหาว่ามีกี่เปอร์เซ็นต์
ของนักเรียนทั้งหมดที่สอบได้คะแนน
1) ต่ากว่า 50 คะแนน (15.87%)
2) สูงกว่า 70 คะแนน (15.87%)
3) ต่ากว่า 65 คะแนน (69.15%
4) สูงกว่า 55 คะแนน (69.15%)
5) ระหว่างคะแนน 40 และ 55 คะแนน (28.58%)
6) ระหว่างคะแนน 50 และ 70 คะแนน (68.26%)
7) ระหว่างคะแนน 65 และ 75 คะแนน (24.17%)
8) ระหว่างคะแนน 75 และ 85 คะแนน (6.06%)
วิธีทา เปลี่ยนคะแนนเป็นค่ามาตรฐาน ซึ่ง Z =

X
,  = 60 คะแนน = 10 คะแนน
1) Z =

X
=
10
6050 
= -1
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z = -1 คือ 0.3413
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติซึ่ง z  -1 เท่ากับ 0.5-0.3413 = 0.1587
 มีนักเรียนจานวน 15.87% ของนักเรียนทั้งหมดที่ได้
คะแนนต่ากว่า 50 คะแนน
z = -1 z = 0
2) Z =
10
6070 
= 1
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z = 1 คือ 0.3413
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติซึ่ง z  -1 เท่ากับ 0.5-0.3413 = 0.1587
 มีนักเรียนจานวน 15.87% ที่ได้คะแนนสูงกว่า 70 คะแนน

10. 10
.1915
.1915
z = 0 z = 0.5
z = -0.5 z = 0
z = -2 z = -.5 z = 0
z = -1 z = 0 z = 1
.3413 .3413
3) Z =
10
6065 
= 0.5
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z = 0.5 คือ 0.1915
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติซึ่ง z  0.5 เท่ากับ 0.5 + 0.1915
= 0.6915
 มีนักเรียนจานวน 69.15% ที่ได้คะแนนต่ากว่า 65 คะแนน
4) Z =
10
6055 
= -0.5
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z = -0.5 คือ 0.1915
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติซึ่ง z  -0.5 เท่ากับ 0.5+0.1915 = 0.6915
 มีนักเรียนจานวน 69.15% ที่ได้คะแนนสูงกว่า 55 คะแนน
5) Z =
10
6040 
= -2
Z =
10
6055 
= -0.5
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z = -2 คือ 0.4773
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z = -0.5 คือ 0.1915
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเมื่อ z  - 0.5 เท่ากับ
0.4773-0.1915 = 0.2858
 มีนักเรียน 28.58% ที่ได้คะแนนระหว่าง
40 และ 55 คะแนน
6) Z1 =
10
6050 
= -1 Z2 =
10
6070 
= 1
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z =  1 คือ 0.3413
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติซึ่ง -1 < Z < 1 เท่ากับ
0.3413 + 0.3413 = 0.6826
 มีนักเรียน 68.26% ที่สอบได้คะแนนระหว่าง
50 และ 70 คะแนน
7) Z1 =
10
6065 
= 0.5
Z2 =
10
6075 
= 1.5
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตั้งแต่ Z = 0 ถึง Z = 0.5 คือ 0.1915
0.1915
0.1915

11. 11
z = 0.5 z = 1.5
z = -.44 z = 0
z = 0
z = 0z = 0
และ Z = 0 ถึง Z = 1.5 คือ 0.4332
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติซึ่ง 0.5 < Z < 1.5 เท่ากับ
0.4332 – 0.1915 = 0.2417
 มีนักเรียน 24.17% ที่สอบได้คะแนนระหว่าง
65 และ 75 คะแนน
ตัวอย่างที่ 5 การแจกแจงของคะแนนสอบครั้งหนึ่ง เป็นการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 50 คะแนน
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 2 คะแนน จงหาคะแนนสอบที่เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33
วิธีทา ให้คะแนนของการสอบเป็น X
 Z =

X
คะแนนสอบได้เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 หรือเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 0.3300
คิดเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ เท่ากับ 0.5 – 0.33 = 0.17 ทางซ้ายมือของ Z = 0
ซึ่งตรงกับ Z = -0.44
 -0.44 =
2
50X
X = 50 – 0.88 = 49.12
 คะแนนที่ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 คือ 49.12 คะแนน
ตัวอย่างที่ 6 การแจกแจงของคะแนนสอบครั้งหนึ่ง เป็นการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 72
คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน จงหาคะแนนที่เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75
วิธีทา การแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต  = 72 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 12
คะแนนที่เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 หรือ มีพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = 0.75
และมีพื้นที่ทางขวามือของ Z = 0 เท่ากับ 0.75 – 0.5 = 0.25
การประมาณค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ
วิธีที่ 1 เทียบบัญญัติไตรยางศ์
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติต่างกัน 0.2517 – 0.2486 = 0.0031 Z ต่างกัน 0.68 – 0.67 = 0.01
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติต่างกัน 0.25 – 0.2486 = 0.0014 Z ต่างกัน
00320
00140010
.
.. 
= 0.004
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 0.2500 ตรงกับ Z = 0.67 + 0.004 = 0.674
วิธีที่ 2 อัตราส่วน
ค่ามาตรฐาน พื้นที่
0.67 0.2486
Z 0.25
0.68 0.2517
670680
670
..
.Z


=
2486025170
24860250
..
..


Z = 010
00310
00140
.
.
.

Z- 0.67 = 0.004
Z = 0.674
 Z =

X
0.674 =
12
72X 
X = 8.088 + 72 = 80.09 0.5 0.25
 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 มีคะแนนเป็น 80.09 คะแนน

12. 12
z = -1.2 z = 0
.3849
Zก z = 0
0.0495
ตัวอย่างที่ 7 ในการสอบวิชาสถิติคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 12 คะแนน ถ้า
มีจานวนที่สอบได้คะแนน 11.88 คะแนน อยู่ 11.51% จงหาว่าความแปรปรวนของคะแนนสอบครั้งนี้
วิธีทา  Z =

X
จากโจทย์คะแนน 11.88 มีอยู่ 11.51% หรือพื้นที่ใต้เส้นโค้ง 0.1151 คิดเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางซ้าย
ของ Z = 0 เท่ากับ 0.5 – 0.1151 = 0.3849
 -1.2 =

128811.
 =
21
120
.
.


= 0.1
ความแปรปรวน = 2
= (0.1)2
= 0.01
 ความแปรปรวนคะแนน(2
) ในการสอบครั้งนี้เท่ากับ 0.01คะแนน2
ตัวอย่างที่ 8 ในการสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนชั้น ม.6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย
เลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้เป็น 60 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลาดับ
ถ้า ก. เป็นนักเรียนชั้น ม.6 คนหนึ่งสอบวิชานี้ ถ้า ก. สอบได้คะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่สอบได้
คะแนนต่าสุดซึ่งมีอยู่ 4.95% ของนักเรียน ม.6 ทั้งหมด ดังนั้น ก. จะสอบได้คะแนนเท่าใด
วิธีทา  จานวนนักเรียน 4.95% ของนักเรียนทั้งหมด หรือคิดเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = .0495
ซึ่งคิดเป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางซ้ายมือของ Z = 0 เท่ากับ 0.5 – 0.0495 = 0.4505 ตรงกับ Z = -1.65
 Z =

X
แทนค่าได้ -1.650 =
10
60X
-16.50 = X – 60
X = 60 – 16.50
= 43.50 คะแนน
 ก. สอบได้คะแนน 43.50 คะแนน
ตัวอย่างที่ 9 ในการผลิตแผ่นพลาสติกของบริษัทหนึ่ง ปรากฏว่าความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติ
โดยมีความหนาโดยเฉลี่ย 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 ตารางเซนติเมตร จงหาว่า
แผ่นพลาสติกที่ผลิตได้มีความหนาอยู่ระหว่าง 0.0595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร มีกี่เปอร์เซ็นต์
วิธีทา  Z =

X
Z1 =
00000625.0
0625.00595.0 
=
0025.0
003.0
= -1.2
Z2 =
00000625.0
0625.00659.0 
=
0025.0
0034.0
= 1.36
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ Z= 0 ถึง Z = -1.2 เท่ากับ 0.3849
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ Z= 0 ถึง Z = 1.36 เท่ากับ 0.4131
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = -1.2 และ Z = 1.36 เท่ากับ 0.3849 + 0.4131 = 0.7980
 พลาสติกมีความหนาระหว่าง 0.0595 ซม. และ 0.0625 ซม. ผลิตได้79.80

13. 13
.3673 1331
Z1 z = 0 Z2
ตัวอย่างที่ 10 ให้ X เป็นความคลาดเคลื่อนในรอบ 24 ชั่วโมงของนาฬิกาที่ผลิตโดยโรงงานแห่งหนึ่ง
ถ้าความคลาดเคลื่อนมีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 0.00 วินาที และความแปรปรวนเป็น 0.160 วินาที2
จงหา X ซึ่งทาให้ 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตได้จะมีความคลาดเคลื่อนระหว่าง X กับ 0.136 วินาที
วิธีทา  Z =

X
Z1 =
160.0
0X
=
4.0
X
Z2 =
160.0
0136.0 
= 0.34
ค่ามาตรฐานระหว่าง Z1 และ Z2 จะมีพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 50.04% = 0.5004
จากตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ Z = 0 ถึง Z=0.34 เท่ากับ 0.1331
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจาก Z = 0 ถึง Z =
4.0
X
เท่ากับ 0.5004 - 0.1331 = 0.3673
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 0.3686 – 0.3665 = 0.0021 Z ต่างกัน 1.12 - 1.11 = 0.01
พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 0.3673 – 0.3665 = 0.0008 Z ต่างกัน
0021.0
0008.001.0 
= 0.0038
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ 0.3673 ตรงกับ Z = 1.11 + 0.0038 = 1.1138

4.0
X
= -1.1138
= -0.446
 50.04% ของนาฬิกาทั้งหมดที่ผลิตได้มีความคลาดเคลื่อนระหว่าง -0.446 กับ 0.136 วินาที
ตัวอย่างที่ 11 ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง Z
Z 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38
A 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1408
Z 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44
A 0.1517 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700
ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ที่ใช้ข้อสอบเดียวกันของโรงเรียนประจาจังหวัด และโรงเรียนประจา
อาเภอ พบว่าคะแนนสอบของทั้ง 2 แห่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน แต่ส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของโรงเรียนประจาจังหวัดมากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ โรงเรียน
ประจาอาเภอ 20 คะแนน ถ้าในการสอบครั้งนี้เด็กชายแดงซึ่งอยู่โรงเรียนประจาจังหวัดและเด็กชายน้อยซึ่งอยู่โรงเรียน
ประจาอาเภอ ทาคะแนนได้ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 ทั้งคู่ ข้อ ใดต่อไปนี้ถูก
1) เด็กชายแดงได้คะแนนมากกว่าเด็กชายน้อย
2) เด็กชายน้อยได้คะแนนมากกว่าเด็กชายแดง 8.8 คะแนน
3) เด็กชายน้อยได้คะแนนมากกว่าเด็กชายแดง 2.6 คะแนน
4) ข้อ 1,2 และ3 ไม่มีข้อถูก
วิธีทา  Z =

X

14. 14
33% 17%
Z = -.44 Z = 0
2
95 %
= .4750 = .4750
2
95 %
Z1 Z = 0 Z2
คะแนนที่เป็น P33 ตรงกับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = 50-33 = 17% = .1700 ซึ่งตรงกับ Z = -.44
หาคะแนนของ ด.ช. แดง ดังนี้
-0.44 =
20
1

X
X1 = -0.44  – 8.8 + 
หาคะแนนของ ด.ช. น้อย ดังนี้
-0.44 =

2X
X2 = -0.44 + 
 X1 - X2 = 8.8
นั่นคือ ด.ช. น้อย ได้มากกว่าคะแนนของแดง 8.8 คะแนน
ตัวอย่างที่ 12 กาหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง Z ดังนี้
Z 1.63 1.64 1.65 1.66 1.94 1.95 1.96 1.97
A .4484 .4495 .4505 .4515 .4738 .4744 .4750 .4756
ในการบรรจุผงซักฟอกยี่ห้อหนึ่งลงกล่องขนาดครอบครัวที่มีน้าหนักสุทธิโดยเฉลี่ย 3,000 กรัม มีส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน 100 กรัม บริษัทกาหนดไว้ว่ากล่องที่ได้มาตรฐานจะต้องมีน้าหนักสุทธิอยู่ระหว่าง 3,000
 k กรัม และในการผลิตแต่ละครั้งจะต้องได้ของที่ได้มาตรฐาน 95% (สมมติว่าการแจกแจงของน้าหนักของ
ผงซักฟอกเป็นการแจกแจงปกติ) k มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1) 1.645 2) 1.96 3) 164.5 4) 196
วิธีทา
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่างน้าหนัก 3000 - k กรัม ถึง 3000 + k กรัม เท่ากับ 95% = 0.95
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่างน้าหนัก 3000 ถึง 3000 - k เท่ากับ 0.4750 ซึ่งตรงกับ Z = -1.96
ให้ X1 = น้าหนัก 3000 - k กรัม และ X2 = น้าหนัก 3000 + k กรัม
 X = 3000 กรัม และ S.D. = 100 กรัม
 Z1 =

X
-1.96 =
100
3000)3000(  k
-1.96 =
100
k
k = 196

15. 15
40 45 50 60
70 80 85
คะแนน
0.0165
0.3413
0.0919
0.0227
0.0165
0.1360
ตัวอย่างที่ 13 ถ้าคะแนนสอบความถนัดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่หกในเขตกรุงเทพมหานครมี
การแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน
และทราบพื้นที่ใต้โค้งปกติดังรูปข้างล่างนี้ แล้วจะมีนักเรียนสอบได้คะแนนระหว่าง 75 ถึง 85 คะแนน
คิดเป็นร้อยละเท่ากับเท่าใด
วิธีทา
Z =
..
1
DS
XX 
 Z1 =
.10
6075 
= 10
0 Z2 =
.10
6085 
= 2.5
จากคะแนน 50  X  60 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = 0.3413
 คะแนน 45  X  60 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = 0.3413+0.0919 = 0.4322
 คะแนน 60  X  75 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ = 0.4332
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของคะแนน 40  X  45 เท่ากับ 0.5-0.0227-0.4332=0.0441
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของคะแนน 75  X  80 เท่ากับ 0.0441
 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของคะแนน 75  X  85 เท่ากับ 0.0441+0.0165 = 0.0606
 มีจานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง 75  X  85 เท่ากับ 6.06 %
ตัวอย่างที่ 14 กาหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง Z เป็น
Z .20 .40 .50 1.00 1.19
A .0793 .1554 .1915 .3413 .3830
คะแนนไอคิวของนักเรียน 2 กลุ่ม มีการแจกแจงปกติดังนี้
กลุ่มนักเรียนหญิง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 100 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน
กลุ่มนักเรียนชาย มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 90 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 คะแนน
กาหนดให้ X เป็นคะแนนของนักเรียนชายคนหนึ่ง ถ้าเปอร์เซ็นต์ของคะแนนระหว่าง X ถึงฐานนิยม
เท่ากับเปอร์เซ็นต์ของคะแนนระหว่าง 95 ถึง 105 คะแนน ของกลุ่มนักเรียนหญิง แล้ว X มีค่าเท่าใด
วิธีทา  Zญ =
ญ
ญX


Z1 =
10
10095 
= -0.5
Z2 =
10
100105 
= 0.5
-5  Z  .5 พื้นที่ใต้โค้งปกติ = 0.1915+0.1915 = 0.3830 = 38.30%
0.3413
0.3413
0.0919
.0441
0.0227

16. 16
 คะแนน X ถึงฐานนิยม หรือ Z = 0 มี 38.30%
 คะแนน X ตรงกับ Z = -1.19
 Zช =
ช
ชX


-1.19=
20
90X
-1.1920 = X – 90
-23.8 = X – 90
X = 90-23.8
= 66.2 คะแนน
การสร้างเส้นโค้งปกติมาตรฐานด้วยโปรแกรม GSP
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
การสร้างเส้นโค้งปกติ
1.สร้างพารามิเตอร์ใหม่ mean=0 ,s =1,area =15
2.สร้างฟังก์ชันใหม่f(x) = (
area
22
)(
e-(x-mean)
2s2
2
) เขียนกราฟ
3.กาหนดจุดบนแกนX2จุดสร้างส่วนของเส้นตรงสร้างxAหาพิกัด
4.สร้าง คานวณเลือกf(x)และจุดxA ลงจุดแบบ(x,y)
5.กาหนดจุดบนกราฟAB สร้างส่วนของเส้นตรง
6.สร้างโลคัส วาด600
f x  =
areae- x-mean 2
22  2s2
area = 15.00
s = 1.00
mean = 0.00
.3830
x z=0 X = Med = Mode

17. 17
ใบงานที่ 1
ชื่อ………………………………………ชั้น…………………เลขที่……………
ผลการเรียนรู้ที่ 5 หาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานได้
1. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = 1.32
ตอบ ……………………………………………………………..
2. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = - 1.84
ตอบ ……………………………………………………………..
3. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = 2.27
ตอบ ……………………………………………………………..
4. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = - 0.76
ตอบ ……………………………………………………………..
5. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = 0.72 และ Z = 2.13
ตอบ ……………………………………………………………..
6. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.95 และ Z = 1.36
ตอบ ……………………………………………………………..
7. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.75 และ Z = - 1.28
ตอบ ……………………………………………………………..
8. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.64 และ Z = 0.64
ตอบ ……………………………………………………………..
9. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.47 และ Z = - 1.28
ตอบ ……………………………………………………………..
10. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.62 และ Z = 2.74
ตอบ ……………………………………………………………..

18. 18
ใบงานที่ 2
ชื่อ………………………………………ชั้น…………………เลขที่……………
ผลการเรียนรู้ที่ 5 หาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานได้
1. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = 1.54
ตอบ ……………………………………………………………..
2. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = - 1.16
ตอบ ……………………………………………………………..
3. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = 2.07
ตอบ ……………………………………………………………..
4. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = - 0.85
ตอบ ……………………………………………………………..
5. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = 0.92 และ Z = 2.42
ตอบ ……………………………………………………………..
6. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.75 และ Z = 1.88
ตอบ ……………………………………………………………..
7. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.83 และ Z = - 1.35
ตอบ ……………………………………………………………..
8. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 1.64 และ Z = 1.64
ตอบ ……………………………………………………………..
9. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.57 และ Z = - 1.48
ตอบ ……………………………………………………………..
10. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.92 และ Z = 2.45
ตอบ ……………………………………………………………..

19. 19
แบบฝึกทักษะ 4.1
1. ในการสอบปลายปีของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 450 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน 75 คะแนน ในการตัดสินถือเกณฑ์ว่าต้องได้ 500 คะแนน จึงจะสอบได้ถามว่าคนที่สอบได้นั้น
จะต้องได้ค่ามาตรฐานอย่างต่าที่สุดเท่าใด
2. กรรมกรกลุ่มหนึ่งมีความสูงเฉลี่ยเป็น 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกรรมกรกลุ่มนี้มี
ค่าเป็น 10 ซม. ถ้ากาหนดการคัดเลือกให้ทางานอย่างหนึ่งโดยถือเกณฑ์ว่า จะต้องได้ค่ามาตรฐานความสูงเป็น
2.5 กรรมกรที่มีความสูงตั้งแต่เท่าไรขึ้นไปจึงจะได้รับการคัดเลือก
3. ในการสอบวิชาหนึ่งปรากฏว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มนี้เป็น 18 คะแนน
เกณฑ์การตัดสินต้องได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานไม่ต่ากว่า 1.5 ปรากฏว่าผู้ที่ได้คะแนนต่ากว่า 117 คะแนน
ถือว่าสอบตก ถามว่าในการสอบคราวนี้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด
4. ในการสอบคราวหนึ่งของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 575 คะแนน ถ้า นาย ก. เป็น
นักเรียนห้องนี้ และสอบได้คะแนน 705 คะแนน ซึ่งคิดเป็นค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 2 ถามว่า ในการสอบคราว
นี้ ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเท่าใด
5. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนที่นายฉลาดทาได้เท่ากับ 30 คะแนน
คิดเป็นค่ามาตรฐาน 1 ส่วนคะแนนที่นายขยันทาได้เท่ากับ 15 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐาน -2 จงคานวณว่า
ในการสอบคราวนี้นักเรียนห้องนั้นทาคะแนนเฉลี่ยได้เป็นเท่าใด และค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น
เท่าใด
6. ก. และ ข. สอบวิชาเดียวกัน แต่ข้อสอบต่างกัน ก. สอบได้คะแนน 85 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตห้องที่ ก. สอบเป็น
90 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 8 ส่วน ข. สอบได้คะแนน 50 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้องที่ ข.
สอบเป็น 75 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 50 จงพิจารณาผลการสอบว่าของใครดีกว่ากัน
7. โรงเรียนมาล่าวิทยา มีการประเมินผลโดยใช้คะแนนมาตรฐานในการสอบ ปรากฏว่า น.ส.ใจดี ขยันจริง สอบ
ได้คะแนนมาตรฐานเป็น 2.00 ในการสอบครั้งนั้น ค้าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเป็น 300 คะแนน ส่วน
เบี่ยงเบนมารตฐานเป็น 33 คะแนน ถ้าคะแนนเต็มในการสอบเท่ากับ 600 คะแนน จงหาว่า น.ส.ใจดี ขยัน
จริง สอบได้กี่เปอร์เซ็นต์
8. ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานแห่งหนึ่ง มีวิชาที่ต้องสอบ 2 วิชา ปรากฏว่าจากผู้สมัครทั้งหมดมีผู้ที่ได้คะแนน
กันสูงสุด 3 คน คือ นายสมศักดิ์ น.ส. ฉวีวรรณ และนายนิพนธ์ ซึ่งได้คะแนนในแต่ละวิชา ดังนี้
วิชาที่ 1 วิชาที่2
นายสมศักดิ์ 70 72
น.ส. ฉวีวรรณ 80 65
นายนิพนธ์ 72 73
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 75 70
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 10
ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ต้องการรับเพียงคนเดียวและสารองหนึ่งคน ผู้ที่จะได้รับการคัดเลือกไว้เป็นตัวจริงและ
ตัวสารองคือใคร

20. 20
9. ตารางต่อไปนี้ เป็นผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ และภาษาฝรั่งเศสของนักเรียนโรงเรียนแห่งหนึ่ง
จานวนผู้สมัคร คะแนนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คณิตศาสตร์
ฝรั่งเศส
200
100
76
80
10
20
ถ้านายขยันสอบ วิชา คณิตศาสตร์ได้ 82 คะแนน และวิชาฝรั่งเศสได้ 90 คะแนน นายขยันเรียนวิชาอะไร
ดีกว่ากัน
10. ในการสอบคราวหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 20 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2 ถ้านาย ก. สอบได้คะแนน
คิดเป็นค่ามาตรฐานต่างกับนาย ข. อยู่ 1 อยากทราบว่าคะแนนดิบที่แต่ละคนสอบได้คะแนนต่างกันเท่าใด
และถ้าทั้งสองคนสอบได้คะแนนดิบต่างกัน 5 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนนทั้งสองต่างกันเท่าไร
11. ในการสอบคราวหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 10 ถ้านายดา และนายแดง
สอบได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานแล้วรวมกันเป็น 3 จงหาผลรวมของคะแนนทั้งสองคนสอบได้รวมกัน
12. จงตัดสินว่าผลการสอบของนักเรียน 3 คน ได้คะแนนตามตารางข้างล่างนี้ ใครดีกว่ากัน
วิชาภาษาไทย วิชาภาษาอังกฤษ วิชาคณิตศาสตร์ วิชาวิทยาศาสตร์
นายเอกชัย
นายสุรินทร์
นายนิพนธ์
คะแนนเฉลี่ยทั้งสองห้อง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
70
75
68
70
5
60
55
72
65
10
83
79
67
75
8
85
88
75
70
15
แบบฝึกทักษะที่ 4.2
1. ด.ช. วิชัย สอบได้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์ในชั้น ม. 3 และ ม.4 เป็น 75 คะแนน และ 80 คะแนน
ตามลาดับ ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทุกคนใน
ชั้น ม.3 ที่ ด.ช. วิชัย เรียนอยู่เท่ากับ 70 และ 15 คะแนน และของนักเรียนทุกคนในชั้น ม. 4 เท่ากับ 80 และ 20
คะแนน ตามลาดับ ด.ช.วิชัย เรียนวิชาคณิตศาสตร์ในชั้นไหนได้ดีกว่ากัน
2. ในการทดสอบเวลาที่ใช้วิ่งแข่งระยะทาง 100 เมตร ของนักกีฬาในโรงเรียนแห่งหนึ่ง เพื่อคัดเลือก
ตัวแทนไปทาการแข่งขันกับโรงเรียนอื่นจะถือว่าผู้ที่ผ่านการทดสอบจะต้องได้ค่ามาตรฐานของเวลาที่ใช้ไม่
สูงกว่า 1.0 ถ้าจากผลการทดสอบ ปรากฏว่านักกีฬาที่ใช้เวลามากกว่า 12 วินาที ไม่ผ่านการทดสอบ ถามว่าใน
การทดสอบคราวนี้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใช้ในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเป็นเท่าไร ถ้าส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของเวลาที่ใช้ในการวิ่งของนักกีฬาเป็น 1.1 วินาที
3. ถ้าคะแนนสอบวิชาต่างๆ ของ ด.ญ.จิตรา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนแต่ละ
วิชาของนักเรียนทั้งหมดในชั้นที่ ด.ญ.จิตรา เรียนอยู่เป็นดังนี้
วิชา คะแนนที่สอบได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ภาษาไทย
ภาษาอังกฤษ
วิทยาศาสตร์
80
60
70
85
75
65
15
20
5
ด.ญ. จิตรา เรียนวิชาไหนดีกว่ากัน

21. 21
4. ในโรงงานอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งต้องการรับสมัครคนงานที่เป็นชาย โดยมีข้อแม้ว่าคนงานที่บริษัท
จะรับเข้าทางานจะต้องมีค่ามาตรฐานของอายุตั้งแต่ 2.0 ขึ้นไป ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของอายุคนงานทั้งหมดที่มาสมัครเข้าทางาน เป็น 25 ปีและ 2 ปี ตามลาดับ คนงานที่มีอายุตั้งแต่
เท่าไรขึ้นไป จึงมีโอกาสได้รับเลือกเข้าเป็นคนงานของโรงงานอุตสาหกรรมนั้น
5. ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซึ่งมีวิชาที่จะต้องสอบ 3 วิชา ถ้าผู้สมัคร
เข้าสอบคัดเลือกจานวน 2 คน คือ นาย ก และนางสาว ข ได้คะแนนในแต่ละวิชาดังนี้
วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 วิชาที่ 3
นาย ก
นางสาว ข
70
75
75
50
75
95
จงหาว่า นาย ก หรือนางสาว ข จะได้ตาแหน่งที่ในการสอบคัดเลือกดีกว่ากัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 และวิชาที่ 3 ของคะแนนผู้สมัครสอบทั้งหมดเป็น 70,70 และ 80 คะแนนและส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 5 , 10 และ 15 คะแนนตามลาดับ ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ตั้งหลักเกณฑ์ไว้ว่า ผู้ที่จะ
สอบคัดเลือกได้ต้องได้ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา ไม่ต่ากว่า 0 ถามว่า นาย ก และนางสาว ข
จะสอบคัดเลือกได้หรือไม่
6. ในการสอบแข่งขันชิงทุนการศึกษา นายประพันธ์ ซึ่งสอบได้ที่ 1 ได้คะแนน 650 คะแนน และ
น.ส. มะลิวัลย์ซึ่งสอบได้ที่ 10 ได้คะแนน 540 ถ้าคะแนนมาตรฐานของนายประพันธ์ และ น.ส. มะลิวัลย์
เป็น 3 และ 1.9 ตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้
7. ในการตรวจผู้ป่วยโรคหัวใจและมะเร็งในประเทศสหรัฐอเมริกาให้ข้อมูลประชากร 100,000 คนต่อปี
ของ 50 รัฐ พบว่ามีผู้ป่วยเสียชีวิตด้วยโรคดังกล่าว โดยแสดงเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ดังนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
โรคหัวใจ
โรคมะเร็ง
289
200
54
31
(1) ถ้าในรัฐอลาสกา (Alaska) มีผู้ป่วยโรคหัวใจเสียชีวิตจานวน 90 คน ต่อประชากร 100,000 คน
โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงมากหรือน้อยกว่ารัฐอื่นๆหรือไม่
(2) ถ้าในรัฐแคลิเฟอร์เนีย (California) มีผู้ป่วยเสียชีวิตด้วยโรคหัวใจ 240 คน และโรคมะเร็ง 166
คน ต่อประชากร 100,000
8. จงหาค่า x จากสูตรของค่ามาตรฐาน โดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้
(1) Z = 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 20 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5
(2) Z = -1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 25 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3
(3) Z = -1.5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 100 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1
(4) Z = 2.5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต -10 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0

22. 22
แบบฝึกทักษะ 4.3
1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 400 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 100
จงหา เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลซึ่งมีค่า
(1) มากกว่า 538 (5) ระหว่าง 318 และ 671
(2) มากกว่า 179 (6) ระหว่าง 484 และ 565
(3) น้อยกว่า 356 (7) ระหว่าง 249 และ 297
(4) น้อยกว่า 621
2. ในการบรรจุกาแฟชนิดหนึ่งลงขวดให้มีน้าหนักสุทธิ 115 กรัม ถ้าน้าหนักของกาแฟที่บรรจุมีการแจกแจงปกติโดย
มีน้าหนักโดยเฉลี่ยเท่ากับ 115.5 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.3 กรัม จงหาว่ามีกี่เปอร์เซ็นต์ที่
กาแฟในแต่ละขวดมีน้าหนัก
(1) ระหว่าง 115 กรัม และ 115.5 กรัม
(2) ระหว่าง 114.9 กรัม และ 115.5 กรัม
(3) ระหว่าง 115.2 กรัม และ 115.9 กรัม
(4) ระหว่าง 114.7 กรัม และ 115 กรัม
(5) ระหว่าง 115.5 กรัม
(6) ระหว่าง 115 กรัม
3. คะแนนทดสอบความถนัดทางคณิตศาสตร์ (Mathematics Attitude Test) สาหรับกลุ่มนักเรียนหญิง
มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน และกลุ่มนักเรียนชาย มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 64
คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน ถ้าคะแนนของแต่ละกลุ่มมีการแจกแจงปกติ จงหาว่า
(1) ถ้านายไทสอบได้62 คะแนน คะแนนของเค้าเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรของคะแนน
ในกลุ่มนักเรียนชาย
(2) ถ้านางสาวอาภัสราสอบได้ 73 คะแนน คะแนนของเขาเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรใน กลุ่มนักเรียน
หญิง และตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรในกลุ่มนักเรียนชาย
4. การแจกแจงของคะแนนสอบครั้งหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 72 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน 12 คะแนน จงหา
(1) คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25
(2) คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90
5. ในการผลิตแผ่นพลาสติกของบริษัทแห่งหนึ่ง ปรากฏว่า ความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติโดย
มีความหนาโดยเฉลี่ย 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 เซนติเมตร2
จงหาว่าแผ่นพลาสติกที่
ผลิตได้มีความหนาอยู่ระหว่าง 0.0595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร มีกี่เปอร์เซ็นต์
6. ให้ x เป็นความคาดเคลื่อนในรอบ 24 ชั่วโมงของนาฬิกาที่ผลิตโดยโรงงานแห่งหนึ่ง ถ้าความ คาดเคลื่อนมีการ
แจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 0.00 วินาที และความแปรปรวน 0.160 วินาที2
จงหา x ซึ่งทาให้ 50.04%
ของนาฬิกาทั้งหมด ที่ผลิตได้จะมีความคาดเคลื่อนระหว่าง x กับ 0.136 วินาที
7. น้าหนักสุทธิของกระป๋ องบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทแห่งหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีน้าหนักสุทธิเฉลี่ยเป็น
12.00 กรัม ถ้ากระป๋ องที่มีน้าหนักสุทธิน้อยกว่า 11.88 กรัม มีอยู่ 11.51% จงหาความแปรปรวนของน้าหนักสุทธิ
ของกระป๋ องบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้

23. 23
8. ถ้า x แทนคะแนนที่สนใจศึกษาและ p แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของคะแนนที่ต่ากว่า x จงหาว่า a , b , c และ d
จากข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน X พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ(P)
3
10
a
10
1
2
3
b
2
c
6
12
d
0.18
0.09
0.60
9. คะแนนสอบ SAT (SAT Scores) มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 505 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 111
จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในข้อต่อไปนี้
(1) คะแนน SAT อยู่ระหว่าง 400 และ 600 (2) คะแนน SAT มากกว่า 700
(3) คะแนน SAT น้อยกว่า 450
แบบฝึกทักษะ 4.4
1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม. 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีการแจกแจกปกติ
โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน
จงหาตาแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ของนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่อไปนี้
1) ต่ากว่า 45 คะแนน
2) ต่ากว่า 70 คะแนน
3) สูงกว่า 75 คะแนน
4) สูงกว่า 50 คะแนน
5) ระหว่าง คะแนน45 และ 65 คะแนน
6) ระหว่างคะแนน 40 และ 50 คะแนน
7) ระหว่าง คะแนน 65 และ 80 คะแนน
8) ระหว่างคะแนน 60 และ 75 คะแนน
2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 60 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลาดับ จงหาคะแนนที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 11.51
ของการสอบครั้งนี้
3. คะแนนทดสอบความสามารถทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ
โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 64 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8 คะแนน นาย ก เป็นนักเรียนคนหนึ่งในชั้น
นี้สอบได้ 62 คะแนน จงหาคะแนนที่ นาย ก สอบได้ตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร
4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 200 คน มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลข
คณิตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้าในการสอบครั้งนี้ สมศรีสอบได้ 70 คะแนน
และสมบัติสอบได้85 คะแนน จงหาว่ามีนักเรียนประมาณกี่คนที่สอบได้คะแนนต่ากว่าสมศรี
5. คะแนนทดสอบไอคิวของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 90 คะแนน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 20 คะแนน ถ้าให้ x เป็นคะแนนของนักเรียนคนหนึ่ง ถ้าเปอร์เซ็นต์ของคะแนน
ระหว่าง x ถึง 90 คะแนน เท่ากับ 38.30 % แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าไร
6. ในการบรรจุกาแฟลงในขวดที่มีขนาดน้าหนักสุทธิโดยเฉลี่ย 300 กรัม มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 กรัม
บริษัทกาหนดไว้ว่ากล่องที่มีมาตรฐาน จะต้องมีน้าหนักเฉลี่ยสุทธิอยู่ระหว่าง 300 m กรัม ในการผลิตแต่ละครั้ง
จะต้องได้ของที่มาตรฐาน 95 % จงหาค่า m (ให้การแจกแจงของน้าหนักกาแฟเป็นการแจกแจงปกติ)
7. จากคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง x และ65 คะแนน เท่ากับ 77.45 %
จงหาคะแนน x
8. จากคะแนนสอบครั้งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง x และ45 คะแนน เท่ากับ 13.59 %
จงหาคะแนน x

24. 24
บรรณานุกรม
กานดา ลือสุทธิวิบูลย์อาจารย์ยุพิน จิรสุขานนท์ , ( ……..)SHORT CUT TO MATHEMATICS .
กรุงเทพมานคร : สานักพิมพ์เดอะบุคส์
กมล เอกไทยเจริญ , ( 2533) , คณิตศาสตร์ ม. 5 เล่ม 4 ค014 .กรุงเทพ : สานักพิมพ์ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง
กรมวิชาการ. (2544 ). หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2544 . กรุงเทพมหานคร :
คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2545 ). คู่มือการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระคณิตศาสตร์ . กรุงเทพมหานคร :
คุรุสภาลาดพร้าว.
จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). คัมภีร์คณิตศาสตร์ ENTRANCE ม.4 - ม.6 ฉบับสมบูรณ์.
นนทบุรี: โรงพิมพ์เพิ่มทรัพย์การพิมพ์.
ฉวีวรรณ เศวตมาลย์, ( 2546 ) , คณิตศาสตร์ ช่วงชั้นที่ 4 .กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์ประสานมิตร
ประกายรัตน์ สุวรรณ. (2548). คู่มือการใช้โปรแกรมSPSS เวอร์ชัน12 สาหรับ Window.
กรุงเทพมหานคร: บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่นจากัด มหาชน.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2553). คู่มือครูสาระการเรียนรู้
เพิ่มเติมคณิตศาสตร์เล่ม 5 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร:
โรงพิมพ์สกสค ลาดพร้าว.
. (2553). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 5 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร :
โรงพิมพ์สกสค ลาดพร้าว.
สมัย เหล่าวานิชย์และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. (2547). คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5. กรุงเทพมหานคร:
บริษัทไฮเอ็ดพับลิชชิ่งจากัด.

25. 25

26. 26
แบบฝึกทักษะ 2.1
1. ในการสอบปลายปีของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 450 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน 75 คะแนน ในการตัดสินถือเกณฑ์ว่าต้องได้ 500 คะแนน จึงจะสอบได้ถามว่าคนที่สอบได้นั้นจะต้อง
ได้ค่ามาตรฐานอย่างต่าที่สุดเท่าใด ตอบ จะต้องได้ค่ามาตรฐานอย่างต่าที่สุด 0.67
2. กรรมกรกลุ่มหนึ่งมีความสูงเฉลี่ยเป็น 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกรรมกรกลุ่มนี้มีค่า
เป็น 10 ซม. ถ้ากาหนดการคัดเลือกให้ทางานอย่างหนึ่งโดยถือเกณฑ์ว่า จะต้องได้ค่ามาตรฐานความสูงเป็น 2.5
กรรมกรที่มีความสูงตั้งแต่เท่าไรขึ้นไปจึงจะได้รับการคัดเลือก ตอบ มีความสูงตั้งแต่ 175 เซนติเมตรขึ้นไป
3.ในการสอบวิชาหนึ่งปรากฏว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มนี้เป็น 18 คะแนน เกณฑ์
การตัดสินต้องได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานไม่ต่ากว่า 1.5 ปรากฏว่าผู้ที่ได้คะแนนต่ากว่า 117 คะแนนถือว่า
สอบตก ถามว่าในการสอบคราวนี้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด
ตอบ X = 90 คะแนน
4.ในการสอบคราวหนึ่งของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 575 คะแนน ถ้า นาย ก. เป็นนักเรียนห้อง
นี้ และสอบได้คะแนน 705 คะแนน ซึ่งคิดเป็นค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 2 ถามว่า ในการสอบคราวนี้ ค่าส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับเท่าใด ตอบ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 65 คะแนน
5.ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนที่นายฉลาดทาได้เท่ากับ 30 คะแนน คิดเป็น
ค่ามาตรฐาน 1 ส่วนคะแนนที่นายขยันทาได้เท่ากับ 15 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐาน -2 จงคานวณว่า ในการสอบคราว
นี้นักเรียนห้องนั้นทาคะแนนเฉลี่ยได้เป็นเท่าใด และค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นเท่าใด
ตอบ S = 5 , X = 25
6.ก. และ ข. สอบวิชาเดียวกัน แต่ข้อสอบต่างกัน ก. สอบได้คะแนน 85 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตห้องที่ ก. สอบเป็น 90
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 8 ส่วน ข. สอบได้คะแนน 50 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้องที่ ข. สอบเป็น 75
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 50 จงพิจารณาผลการสอบว่าของใครดีกว่ากัน
ตอบ Zก = - 0.60 , Zข = - 0.50 จะได้ว่า ข เรียนดีกว่า ก
7.โรงเรียนมาลาวิทยา มีการประเมินผลโดยใช้คะแนนมาตรฐานในการสอบ ปรากฏว่า น.ส.ใจดี ขยันจริง สอบได้
คะแนนมาตรฐานเป็น 2.00 ในการสอบครั้งนั้น ค้าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเป็น 300 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบน
มารตฐานเป็น 33 คะแนน ถ้าคะแนนเต็มในการสอบเท่ากับ 600 คะแนน จงหาว่า น.ส.ใจดี ขยันจริง สอบได้กี่
เปอร์เซ็นต์ ตอบ น.ส.ใจดี สอบได้ 61 %
8.ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานแห่งหนึ่ง มีวิชาที่ต้องสอบ 2 วิชา ปรากฏว่าจากผู้สมัครทั้งหมดมีผู้ที่ได้คะแนนกัน
สูงสุด 3 คน คือ นายสมศักดิ์ น.ส. ฉวีวรรณ และนายนิพนธ์ ซึ่งได้คะแนนในแต่ละวิชา ดังนี้
วิชาที่ 1 วิชาที่2
นายสมศักดิ์ 70 72
น.ส. ฉวีวรรณ 80 65
นายนิพนธ์ 72 73
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 75 70
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 10

27. 27
ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ต้องการรับเพียงคนเดียวและสารองหนึ่งคน ผู้ที่จะได้รับการคัดเลือกไว้เป็นตัวจริงและ
ตัวสารองคือใคร ตอบ Z สมศักดิ์ = - 0.4 , Z ฉวีวรรณ = - 0.5 , Z นิพนธ์ = - 0.15
Z ของฉวีวรรณมากที่สุด และรองลงมาคือนิพนธ์ ตัวจริงคือ ฉวีวรรณ สารองคือ นิพนธ์
9.ตารางต่อไปนี้ เป็นผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ และภาษาฝรั่งเศสของนักเรียนโรงเรียนแห่งหนึ่ง
จานวนผู้สมัคร คะแนนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คณิตศาสตร์
ฝรั่งเศส
200
100
76
80
10
20
ถ้านายขยันสอบ วิชา คณิตศาสตร์ได้ 82 คะแนน และวิชาฝรั่งเศสได้ 90 คะแนน นายขยันเรียนวิชาอะไรดีกว่ากัน
ตอบ Zคณิต = 0.6 , Zฝรั่งเศส = 0.5 ดังนั้น นายขยันเรียนวิชาคณิตศาสตร์ดีกว่าฝรั่งเศส
10.ในการสอบคราวหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 20 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2 ถ้านาย ก. สอบได้คะแนนคิด
เป็นค่ามาตรฐานต่างกับนาย ข. อยู่ 1 อยากทราบว่าคะแนนดิบที่แต่ละคนสอบได้คะแนนต่างกันเท่าใด และถ้าทั้งสอง
คนสอบได้คะแนนดิบต่างกัน 5 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนนทั้งสองต่างกันเท่าไร ตอบ Zก – Zข = 2.5
11.ในการสอบคราวหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 10 ถ้านายดา และนายแดง สอบได้
คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานแล้วรวมกันเป็น 3 จงหาผลรวมของคะแนนทั้งสองคนสอบได้รวมกัน
ตอบ Xดา + Xแดง = 130
12.จงตัดสินว่าผลการสอบของนักเรียน 3 คน ได้คะแนนตามตารางข้างล่างนี้ ใครดีกว่ากัน
วิชาภาษาไทย วิชาภาษาอังกฤษ วิชาคณิตศาสตร์ วิชาวิทยาศาสตร์
นายเอกชัย
นายสุรินทร์
นายนิพนธ์
คะแนนเฉลี่ยทั้งสองห้อง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
70
75
68
70
5
60
55
72
65
10
83
79
67
75
8
85
88
75
70
15
ตอบ เอกชัยZ = 0.375 สุรินทร์
Z = 0.425 นิพนธ์
Z = - 0.1
สุรินทร์
Z มีค่ามากที่สุด ดังนั้น สรินทร์เก่งที่สุดรองลงมาคือ เอกชัยและนิพนธ์ ตามลาดับ
แบบฝึกทักษะที่ 2.2
1. ด.ช. วิชัย สอบได้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์ในชั้น ม. 3 และ ม.4 เป็น 75 คะแนน และ 80 คะแนน
ตามลาดับ ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทุกคนใน
ชั้น ม.3 ที่ ด.ช. วิชัย เรียนอยู่เท่ากับ 70 และ 15 คะแนน และของนักเรียนทุกคนในชั้น ม. 4 เท่ากับ 80 และ 20
คะแนน ตามลาดับ ด.ช.วิชัย เรียนวิชาคณิตศาสตร์ในชั้นไหนได้ดีกว่ากัน
ตอบ 3mZ =
15
7075
=
15
5
= 0.33
4mZ =
20
8080
= 0

28. 28
2. ในการทดสอบเวลาที่ใช้วิ่งแข่งระยะทาง 100 เมตร ของนักกีฬาในโรงเรียนแห่งหนึ่ง เพื่อคัดเลือก
ตัวแทนไปทาการแข่งขันกับโรงเรียนอื่นจะถือว่าผู้ที่ผ่านการทดสอบจะต้องได้ค่ามาตรฐานของเวลาที่ใช้
ไม่สูงกว่า 1.0 ถ้าจากผลการทดสอบ ปรากฏว่านักกีฬาที่ใช้เวลามากกว่า 12 วินาที ไม่ผ่านการทดสอบ ถามว่า
ในการทดสอบคราวนี้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใช้ในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเป็นเท่าไร ถ้าส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของเวลาที่ใช้ในการวิ่งของนักกีฬาเป็น 1.1 วินาที
ตอบ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาเท่ากับ 13.1 วินาที
3. ถ้าคะแนนสอบวิชาต่างๆ ของ ด.ญ.จิตรา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนแต่ละ
วิชาของนักเรียนทั้งหมดในชั้นที่ ด.ญ.จิตรา เรียนอยู่เป็นดังนี้
วิชา คะแนนที่สอบได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ภาษาไทย
ภาษาอังกฤษ
วิทยาศาสตร์
80
60
70
85
75
65
15
20
5
ด.ญ. จิตรา เรียนวิชาไหนดีกว่ากัน
ตอบ Zไทย =
15
8580
= -
15
5
= -0.33
Zอังกฤษ =
20
7560
=
20
15
 = - 0.75
Zวิทย์ =
5
6570
=
5
5
= 1
ด.ญ. จิตรา เรียนวิชาวิทยาศาสตร์ได้ดีกว่าวิชาอื่น
4. ในโรงงานอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งต้องการรับสมัครคนงานที่เป็นชาย โดยมีข้อแม้ว่าคนงานที่บริษัท
จะรับเข้าทางานจะต้องมีค่ามาตรฐานของอายุตั้งแต่ 2.0 ขึ้นไป ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของอายุคนงานทั้งหมดที่มาสมัครเข้าทางาน เป็น 25 ปีและ 2 ปี ตามลาดับ คนงานที่มีอายุตั้งแต่
เท่าไรขึ้นไป จึงมีโอกาสได้รับเลือกเข้าเป็นคนงานของโรงงานอุตสาหกรรมนั้น
ตอบ กZ =
3
330500 .. 
=
3
170.
= 0.057
ขZ =
3
121 
= 0
5.ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซึ่งมีวิชาที่จะต้องสอบ 3 วิชา ถ้าผู้สมัคร
เข้าสอบคัดเลือกจานวน 2 คน คือ นาย ก และนางสาว ข ได้คะแนนในแต่ละวิชาดังนี้
วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 วิชาที่ 3
นาย ก
นางสาว ข
70
75
75
50
75
95
จงหาว่า นาย ก หรือนางสาว ข จะได้ตาแหน่งที่ในการสอบคัดเลือกดีกว่ากัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 และวิชาที่ 3 ของคะแนนผู้สมัครสอบทั้งหมดเป็น 70,70 และ 80 คะแนนและส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 5 , 10 และ 15 คะแนนตามลาดับ ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ตั้งหลักเกณฑ์ไว้ว่า ผู้ที่จะ
สอบคัดเลือกได้ต้องได้ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา ไม่ต่ากว่า 0 ถามว่า นาย ก และนางสาว ข
จะสอบคัดเลือกได้หรือไม่
ตอบ กZ =
3
330500 .. 
=
3
170.
= 0.057

29. 29
ขZ =
3
121 
= 0
นาย ก และนางสาว ข ผ่านการสอบคัดเลือก นาย กได้คะแนนดีกว่า นางสาว ข
6. ในการสอบแข่งขันชิงทุนการศึกษา นายประพันธ์ ซึ่งสอบได้ที่ 1 ได้คะแนน 650 คะแนน และ
น.ส. มะลิวัลย์ซึ่งสอบได้ที่ 10 ได้คะแนน 540 ถ้าคะแนนมาตรฐานของนายประพันธ์ และ น.ส. มะลิวัลย์
เป็น 3 และ 1.9 ตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้
ตอบ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 620 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน
7. ในการตรวจผู้ป่วยโรคหัวใจและมะเร็งในประเทศสหรัฐอเมริกาให้ข้อมูลประชากร 100,000 คนต่อปี
ของ 50 รัฐ พบว่ามีผู้ป่วยเสียชีวิตด้วยโรคดังกล่าว โดยแสดงเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ดังนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
โรคหัวใจ
โรคมะเร็ง
289
200
54
31
(3) ถ้าในรัฐอลาสกา (Alaska) มีผู้ป่วยโรคหัวใจเสียชีวิตจานวน 90 คน ต่อประชากร 100,000 คน
โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงมากหรือน้อยกว่ารัฐอื่นๆหรือไม่
(4) ถ้าในรัฐแคลิเฟอร์เนีย (California) มีผู้ป่วยเสียชีวิตด้วยโรคหัวใจ 240 คน และโรคมะเร็ง 166
คน ต่อประชากร 100,000
8. จงหาค่า x จากสูตรของค่ามาตรฐาน โดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้
Z =
S
XX 
จะได้ว่า ZS + X = X
1) Z = 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 20 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 ตอบ 30
2) Z = -1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 25 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 ตอบ 22
3) Z = -1.5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 100 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ตอบ 88.5
4) Z = 2.5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต -10 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0 ตอบ - 10
แบบฝึกทักษะ 2.3
1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 400 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 100
จงหา เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลซึ่งมีค่า
(1) มากกว่า 538
ตอบ Z > 1.38 พื้นที่ = 0.5 – 0.4162 = 0.0838 หรือ 8.38 เปอร์เซ็นต์
(2) มากกว่า 179
ตอบ Z > - 2.21 พื้นที่ = 0.5 + 0.4864 = 0.9864 หรือ 98.64 เปอร์เซ็นต์
(3) น้อยกว่า 356
ตอบ Z < - 0.44 พื้นที่ = 0.5 – 0.1700 = 0.33 หรือ 33 เปอร์เซ็นต์
(4) น้อยกว่า 621
ตอบ Z < - 2.21 พื้นที่ = 0.5 - 0.4864 = 0.0136 หรือ 1.36 เปอร์เซ็นต์
(5) ระหว่าง 318 และ 671

30. 30
ตอบ - 0.82 < Z < 2.71 พื้นที่ = 0.2939 + 0.4966 = 0.7905 หรือ 79.05 เปอร์เซ็นต์
(6) ระหว่าง 484 และ 565
ตอบ 0.84 < Z < 1.65 พื้นที่ = 0.4505 + 0.2995 = 0.75 หรือ 75 เปอร์เซ็นต์
(7) ระหว่าง 249 และ 297
ตอบ - 1.51 < Z < - 1.03 พื้นที่ = 0.4345 - 0.3485 = 0.086 หรือ 8.6 เปอร์เซ็นต์
2. ในการบรรจุกาแฟชนิดหนึ่งลงขวดให้มีน้าหนักสุทธิ 115 กรัม ถ้าน้าหนักของกาแฟที่บรรจุมีการแจกแจงปกติโดย
มีน้าหนักโดยเฉลี่ยเท่ากับ 115.5 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.3 กรัม จงหาว่ามีกี่เปอร์เซ็นต์ที่
กาแฟในแต่ละขวดมีน้าหนัก
(1) ระหว่าง 115 กรัม และ 115.5 กรัม
(2) ระหว่าง 114.9 กรัม และ 115.5 กรัม
(3) ระหว่าง 115.2 กรัม และ 115.9 กรัม
(4) ระหว่าง 114.7 กรัม และ 115 กรัม
(5) ระหว่าง 115.5 กรัม
(6) ระหว่าง 115 กรัม
3. คะแนนทดสอบความถนัดทางคณิตศาสตร์ (Mathematics Attitude Test) สาหรับกลุ่มนักเรียนหญิง
มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน และกลุ่มนักเรียนชาย มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต
64 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน ถ้าคะแนนของแต่ละกลุ่มมีการแจกแจงปกติ จงหาว่า
(1) ถ้านายไทสอบได้62 คะแนน คะแนนของเค้าเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรของคะแนนในกลุ่ม
นักเรียนชาย
วิธีทา Zช =

X
=
8
6462
= - 0.25
ตอบ Z < - 0.25 พื้นที่ = 0.5 – 0.0987 = 0.4013 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 40.13
(2) ถ้านางสาวอาภัสราสอบได้ 73 คะแนน คะแนนของเขาเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรใน
กลุ่มนักเรียนหญิง และตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรในกลุ่มนักเรียนชาย
วิธีทา 2.1 ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรในกลุ่มนักเรียนหญิง
Zญ =

X
=
10
6073
= 1.3
ตอบ Z < 1.3 พื้นที่ = 0.5+ 0.4032 = 0.9032 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90.32
2.2 ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรในกลุ่มนักเรียนชาย
Zช =

X
=
8
6473
= 1.125  1.13
ตอบ Z < 1.13 พื้นที่ = 0.5+ 0.3708 = 0.8708 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 87.08
4. การแจกแจงของคะแนนสอบครั้งหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 72 คะแนน และ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน จงหา
(1) คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ตอบ 63.9 คะแนน
(2) คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90 ตอบ 87.39 คะแนน

31. 31
5. ในการผลิตแผ่นพลาสติกของบริษัทแห่งหนึ่ง ปรากฏว่า ความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติโดย
มีความหนาโดยเฉลี่ย 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 เซนติเมตร2
จงหาว่าแผ่นพลาสติกที่
ผลิตได้มีความหนาอยู่ระหว่าง 0.0595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร มีกี่เปอร์เซ็นต์
6. ให้ x เป็นความคาดเคลื่อนในรอบ 24 ชั่วโมงของนาฬิกาที่ผลิตโดยโรงงานแห่งหนึ่ง ถ้าความ คาดเคลื่อนมีการ
แจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 0.00 วินาที และความแปรปรวน 0.160 วินาที2
จงหา x ซึ่งทาให้ 50.04%
ของนาฬิกาทั้งหมด ที่ผลิตได้จะมีความคาดเคลื่อนระหว่าง x กับ 0.136 วินาที
7. น้าหนักสุทธิของกระป๋ องบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทแห่งหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีน้าหนักสุทธิเฉลี่ยเป็น
12.00 กรัม ถ้ากระป๋ องที่มีน้าหนักสุทธิน้อยกว่า 11.88 กรัม มีอยู่ 11.51% จงหาความแปรปรวนของน้าหนักสุทธิ
ของกระป๋ องบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้
8. ถ้า x แทนคะแนนที่สนใจศึกษาและ p แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของคะแนนที่ต่ากว่า x จงหาว่า a , b , c และ d
จากข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน X พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ(P)
3
10
a
10
1
2
3
b
2
c
6
12
d
0.18
0.09
0.60
9. คะแนนสอบ SAT (SAT Scores) มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 505 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 111
จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในข้อต่อไปนี้
(1) คะแนน SAT อยู่ระหว่าง 400 และ 600 (2) คะแนน SAT มากกว่า 700
(3) คะแนน SAT น้อยกว่า 450
แบบฝึกทักษะ 2.4
1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม. 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีการแจกแจกปกติ
โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน
จงหาตาแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ของนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่อไปนี้
1) ต่ากว่า 45 คะแนน
ตอบ Z < -1.5 พื้นที่ = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 6.68
2) ต่ากว่า 70 คะแนน
ตอบ Z < 1 พื้นที่ = 0.5 + 0.3413 = 0.8413 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 84.13
3) สูงกว่า 75 คะแนน
ตอบ Z > 1.5 พื้นที่ = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 6.68
4) สูงกว่า 50 คะแนน
ตอบ Z > -1 พื้นที่ = 0.5 + 0.3413 = 0.8413 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 84.13
5) ระหว่าง คะแนน45 และ 65 คะแนน
ตอบ -1.5 < Z < 0.5 พื้นที่ = 0.4332 + 0.1915 = 0.6247 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 62.47
6) ระหว่างคะแนน 40 และ 50 คะแนน
ตอบ -2 < Z < -1 พื้นที่ = 0.4773 - 0.3413 = 0.1360 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 13.60

32. 32
7) ระหว่าง คะแนน 65 และ 80 คะแนน
ตอบ 0.5 < Z < 2 พื้นที่ = 0.4773 - 0.1915 = 0.2858 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 28.58
8) ระหว่างคะแนน 70 และ 85 คะแนน
ตอบ 1 < Z < 2.5 พื้นที่ = 0.4938 - 0.3413 = 0.1525 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 15.25
2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 60 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลาดับ จงหาคะแนนที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 11.51
ของการสอบครั้งนี้
ตอบ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 11.51 ตรงกับ 48 คะแนน
3. คะแนนทดสอบความสามารถทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ
โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 64 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8 คะแนน นาย ก เป็นนักเรียนคนหนึ่งในชั้น
นี้สอบได้ 62 คะแนน จงหาคะแนนที่ นาย ก สอบได้ตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร
ตอบ
4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 200 คน มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลข
คณิตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้าในการสอบครั้งนี้ สมศรีสอบได้ 70 คะแนน
และสมบัติสอบได้85 คะแนน จงหาว่ามีนักเรียนประมาณกี่คนที่สอบได้คะแนนต่ากว่าสมศรี
ตอบ
5. คะแนนทดสอบไอคิวของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 90 คะแนน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 20 คะแนน ถ้าให้ x เป็นคะแนนของนักเรียนคนหนึ่ง ถ้าเปอร์เซ็นต์ของคะแนน
ระหว่าง x ถึง 90 คะแนน เท่ากับ 38.30 % แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าไร
ตอบ
6. ในการบรรจุกาแฟลงในขวดที่มีขนาดน้าหนักสุทธิโดยเฉลี่ย 300 กรัม มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 กรัม
บริษัทกาหนดไว้ว่ากล่องที่มีมาตรฐาน จะต้องมีน้าหนักเฉลี่ยสุทธิอยู่ระหว่าง 300 m กรัม ในการผลิตแต่ละครั้ง
จะต้องได้ของที่มาตรฐาน 95 % จงหาค่า m (ให้การแจกแจงของน้าหนักกาแฟเป็นการแจกแจงปกติ)
ตอบ
7. จากคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง x และ65 คะแนน เท่ากับ 77.45 %
จงหาคะแนน x
ตอบ
8. จากคะแนนสอบครั้งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง x และ40 คะแนน เท่ากับ 13.59 %
จงหาคะแนน x
ตอบ
เฉลยใบงานที่ 2.1
ชื่อ………………………………………ชั้น…………………เลขที่……………
ผลการเรียนรู้ที่ 5 หาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานได้
1. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = 1.32
ตอบ 0.5 + 0.4066 = 0.9066
2. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = - 1.84

33. 33
ตอบ 0.5 - 0.4671 = 0.0329
3. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = 2.27
ตอบ 0.5 - 0.4884 = 0.0116
4. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = - 0.76
ตอบ 0.5 + 0.2764 = 0.7764
5. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = 0.72 และ Z = 2.13
ตอบ 0.4834 – 0.2642 = 0.2192
6. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.95 และ Z = 1.36
ตอบ 0.3829 + 0.4131 = 0.7420
7. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.75 และ Z = - 1.28
ตอบ 0.3997 – 0.2734 = 0.1263
8. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.64 และ Z = 0.64
ตอบ 0.2389 + 0.2389 = 0.4778
9. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.47 และ Z = - 1.28
ตอบ 0.3997 - 0.1808 = 0.2189
10. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.62 และ Z = 2.74
ตอบ 0.2324 + 0.4969 = 0.7293