1. หน้า 1
ค30205 คณิตศาสตร์ 5 หน่วยที่ 1 ลำดับและอนุกรม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ครูผู้สอน ว่าที่ร.ต.สุภมิต จันดีวงษ์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาน้อมเกล้า นนทบุรี
ค3310 คณิตศาสตร์5 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาน้อมเกล้า นนทบุรี
หน่วยที่ 1
ลำดับและอนุกรม
ครูผู้สอน
ว่าที่ร.ต.สุภมิต จันดีวงษ์
เรื่อง อนุกรม (Series)
กำหนด n
a เป็นลำดับของจำนวนจริง และนิพจน์ที่แสดงในรูป 1 2 3 ... ...
n
a a a a
+ + + + + เรียนว่า อนุกรม
ถ้า 1 2 3
, , ,..., n
a a a a เป็นลำดับจำกัด แล้ว 1 2 3 ... n
a a a a
+ + + + เรียกว่า อนุกรมจำกัด (finite series)
ถ้า 1 2 3
, , ,..., ,...
n
a a a a เป็นลำดับอนันต์ แล้ว 1 2 3 ... ...
n
a a a a
+ + + + + เรียกว่า อนุกรมอนันต์ (infinite
series)
1.สัญลักษณ์แทนการบวก
กำหนด 1 2 3 ... ...
n
a a a a
+ + + + + เป็นอนุกรมอนันต์
ให้ 1 1
S a
=
2 1 2
S a a
= +
3 1 2 3
S a a a
= + +
1 2 3 ...
n n
S a a a a
= + + + +
เรียก n
S ว่า ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
การหาผลบวก n พจน์แรกในรูป 2
1 1
,
n n
i i
i i
= =
และ 3
1
n
i
i
=
1.
1
( 1)
2
n
i
n n
i
=
+
=
2. 2
1
( 1)(2 1)
6
n
i
n n n
i
=
+ +
=
3.
2
2
3
1 1
( 1)
2
n n
i i
n n
i i
= =
+
= =
สมบัติของสัญลักษณ์แทนการบวก
1.
1
n
i
c nc
=
=
เมื่อ c เป็นค่าคงที่
2.
1 1
n n
i i
i i
ca c a
= =
=
เมื่อ c เป็นค่าคงที่
3.
1 1 1
( )
n n n
i i i i
i i i
a b a b
= = =
+ = +
4.
1 1 1
( )
n n n
i i i i
i i i
a b a b
= = =
− = −
ชื่อ-สกุล........................................................................................ ชั้น ม.6/........... เลขที่..............
3. หน้า 3
ค30205 คณิตศาสตร์ 5 หน่วยที่ 1 ลำดับและอนุกรม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ครูผู้สอน ว่าที่ร.ต.สุภมิต จันดีวงษ์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาน้อมเกล้า นนทบุรี
3. ให้หาผลบวกในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2
1
(2 5 8)
n
i
i i
=
− +
2) 2
1
( 6)
n
k
k
=
+
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
3)
20
1
( 1)( 4)
k
k k
=
+ −
4)
10
1
( 3)( 5)
k
k k k
=
+ −
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
5) กำหนดให้
24
3
1
( ) 30,000
n
a n
=
+ =
เมื่อ a เป็นค่าคงตัว 6) ถ้า
15
3
1 1
( )
2 1
n
a
n n b
=
− =
− +
โดยที่ a และ b
ให้หาค่าของ a เป็นจำนวนเต็มบวก และมี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 ให้หาค่าของ a b
−
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..
4. หน้า 4
ค30205 คณิตศาสตร์ 5 หน่วยที่ 1 ลำดับและอนุกรม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ครูผู้สอน ว่าที่ร.ต.สุภมิต จันดีวงษ์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาน้อมเกล้า นนทบุรี
2.อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต (Arithmetic Series and Geometric Series)
1) การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต สามารถหาได้จากสูตร
1
( )
2
n n
n
S a a
= + เมื่อทราบ n, a1 และ an
หรือ
1
2 ( 1)
2
n
n
S a n d
= + − เมื่อทราบ n, a1 และ d
กรณีที่ไม่ทราบค่า n ของอนุกรมเลขคณิต สามารถหาค่า n ได้จากสูตร
1 ( 1)
n
a a n d
= + −
เมื่อ a1 คือ พจน์ที่ 1 ของอนุกรมเลขคณิต
an คือ พจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิต
d คือ ผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต
n คือ จำนวนพจน์ของอนุกรมเลขคณิต
และ Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
2. การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต สามารถหาได้จากสูตร
1(1 )
1
n
n
a r
S
r
−
=
−
หรือ 1
1
n
n
a a r
S
r
−
=
−
โดยที่ 1
r
เมื่อ a1 คือ พจน์ที่ 1 ของอนุกรมเรขาคณิต
an คือ พจน์ที่ n ของอนุกรมเรขาคณิต
r คือ อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิต
n คือ จำนวนพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต
และ Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
