ขอขอบคุณ http://www.tewlek.com/ ที่เอื้อเฟื้อข้อมูลในการทำบล็อกส่งคุณครูในครั้งนี้

1. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
ลำดับและอนุกรมอนันต์
ม.6 เทอมปลาย สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม
ลำดับและอนุกรม
ลำดับ
อนุกรม
เลขคณิต
เรขาคณิต
เลขคณิต
เรขาคณิต
ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์
การหาค่า lim(
n→∞ รูปของn )
ลำดับอนันต์
อนุกรมอนันต์
1
(
n
i= Σ
ของค่าต่างๆที่ต้องรู้)

2. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
2
ลำดับและอนุกรม
ลำดับ
เลขคณิต
1 2 3 4 1 , , , ,..., , n n a a a a a a −
2 1 3 2 4 3 1 ... n n d a a a a a a a a − = − = − = − = = −
(ผลต่างร่วม d คงที่)
จะได้ว่า
1 ( 1) n a = a + n − d
เรขาคณิต
1 2 3 4 1 , , , ,..., , n n a a a a a a −
a a a a
a
... n
= = = = =
(อัตราส่วนร่วม r คงที่)
จะได้ว่า
2 3 4
1 2 3 n
1
r
a a a−
1
. n 1
n a = a r −

3. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
3
อนุกรม
เลขคณิต
1 2 3 4 1 ... n n a a a a a a − + + + + + +
2 1 3 2 4 3 1 ... n n d a a a a a a a a − = − = − = − = = −
(ผลต่างร่วม d คงที่)
1 2 3 4 1 ... n n n S a a a a a a − = + + + + + +
จะได้ว่า
1 ( )
n 2 n S = n a + a โดยที่ 1 ( 1) n a = a + n − d
เรขาคณิต
1 2 3 4 1 ... n n a a a a a a − + + + + + +
a a a a
a
... n
= = = = =
(อัตราส่วนร่วม r คงที่)
2 3 4
1 2 3 n
1
r
a a a−
1 2 3 4 1 ... n n n S a a a a a a − = + + + + + +
จะได้ว่า
n
1.(1 )
1
n
a r
r
S
−
=
− โดยที่ r ≠ 1

4. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
4
ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์
การหาค่า lim(
n→∞ รูปของn )
ให้ c เป็นค่าคงตัว, lim
a A
n →∞
n= และ lim
b =
B
n →∞
nจะได้ว่า
1) lim
n
c c
→∞
= (ลิมิตเจอค่าคงตัวได้ค่าคงตัว)
2) lim . lim .
c a = c a =
c A
n →∞ n n →∞
n 3) lim( ) lim lim
a ± b = a ± b = A ±
B
nn n n n n
→∞ →∞ →∞
n
4) lim( . ) lim . lim .
a b = a b =
A B
nn n n n n
→∞ →∞ →∞
n
5) lim
lim
⎛ a ⎞
⎜ n ⎟ = n
→∞
n
=
โดยที่ b ≠ 0 n ทุกจำนวนเต็มบวก n และ B ≠ 0
⎝ ⎠ lim
n
n n
n
a A
b b B
→∞
→∞
c c
6) lim( ) (lim )
a = a =
A c
n →∞ n n →∞
n Note
ให้ M เป็นเลขชี้กำลังสูงสุดของเศษ
N เป็นเลขชี้กำลังสูงสุดของส่วน
nM c
bn
a a
เมื่อ M = N จะได้ lim ...
+ +
n N ...
=
→∞ + +
d b
M
b
an c
เมื่อ M > N จะได้ lim ...
+ +
n N ...
→∞ n d
= ∞
+ +
M
เมื่อ M < N จะได้ + +
lim ... 0
N ...
n
a
n c
bn
→∞ d
=
+ +

5. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
=Σ = + + + + + = หาค่าได้
เช่น อนุกรมเลขคณิต ที่มีผลต่างร่วม d = 0 และ 1 a = 0 (อนุกรมค่าคงตัว 0)
5
ลำดับอนันต์
ลำดับลู่เข้า (Convergent)
lim( a ) = a=n →∞ n
∞
หาค่าได้
เช่น ลำดับเลขคณิต ที่มีผลต่างร่วม d = 0
ลำดับเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r =1 หรือ r <1
ลำดับอะไรก็ตาม ที่ lim( a
) = n
หาค่าได้
n →∞
ลำดับลู่ออก (Divergent)
lim( ) n n
= =หาค่าไม่ได้
a a→∞ ∞
เช่น ลำดับเลขคณิต ที่มีผลต่างร่วม d ≠ 0
ลำดับเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r = −1 หรือ r >1
ลำดับอะไรก็ตาม ที่ lim( a
) = n
หาค่าไม่ได้
n →∞
อนุกรมอนันต์
อนุกรมลู่เข้า (Convergent)
∞
S a a a a a a
lim( ) ... n n n 1 2 3 4
n
→∞ ∞
1
=
อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r <1
***** จะได้ว่า 1
− Σ *****
1 1 n
n
a a
r
∞
=
=
อนุกรมอะไรก็ตาม ที่ lim( S
) n →∞
n
= หาค่าได้
อนุกรมลู่ออก (Divergent)
∞
=Σ = + + + + + = หาค่าไม่ได้
เช่น อนุกรมเลขคณิต ทั้งหมด ยกเว้นอนุกรมค่าคงตัว 0
S a a a a a a
lim( ) ... n n n 1 2 3 4
n
→∞ ∞
1
=
อนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราส่วนร่วม r ≥1
อนุกรมอะไรก็ตาม ที่ lim( S
) n →∞
n
= หาค่าไม่ได้

6. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
6
Note
S
1) ถ้าอนุกรมอนันต์เป็นอนุกรมลู่เข้า จะได้ว่า lim( a
) =
0 n →∞
n
2) ถ้า lim( a
) 0 n →∞
n
a
= จะได้ว่า อนุกรมอนันต์อาจเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้
3) ถ้า lim( a
) 0 n →∞
n
≠ จะได้ว่า อนุกรมอนันต์เป็นอนุกรมลู่ออก
1
(
n
i= Σ
ของค่าต่างๆที่ต้องรู้)
1)
1
1 2 3 4 ... ( 1)
2
n
i
i n n n
=
+
Σ = + + + + + =
2) 2 2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 ... ( 1)(2 1)
6
n
i
i n n n n
=
+ +
Σ = + + + + + =
3)
2 2
i n i n n
1 2 3 4 ... ( 1)
⎛ ⎞ ⎛ + ⎞ = + + + + + = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Σ 3 3 3 3 3 3
Σ
n
n
i i
2
1 1
= =
lim( ) =
0 n →∞
n
lim( ) n →∞
n
= หาค่าได้
อนุกรมลู่เข้า