1. สื่อการเรียนรู้ เรื่อง ลำดับ จัดทำโดย นางสาว กฤษณี แสงสว่าง เลขที่ 8 นางสาว ฑริกา ลิ้มสกุล เลขที่ 26

2. ลำดับคืออะไร ??? บทนิยาม “ลำดับคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมาก โดยเริ่มตั้งแต่ 1” กรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1,2,3,..., n} จะเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับจำกัด” กรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1,2,3,... } จะเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับอนันต์” ไปดูการเขียนลำดับกันต่อเลย

3. การเขียนลำดับ การเขียนลำดับ สามารถเขียนได้ 2 วิธี คือ - เขียนแบบแจกแจง เช่น 1,2,3,4,5,... 2,4,6,8,10,...,22 - เขียนในรูปพจน์ทั่วไป เช่น a n = 5n+4 เมื่อ n เป็นจำนวนจริงบวก

4. การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ เป็นการเขียนแสดงพจน์ทั่วไป a n ในรูปที่มี n เป็นตัวแปรเมื่อแทน n ด้วยสมาชิกในเซต { 1 , 2 , 3 , .. . , p } แล้วจะได้พจน์ที่ 1 , 2 , 3 , . .. , p ของลำดับที่กำหนด การหาพจน์ทั่วไปใช้การสังเกตความสัมพันธ์ของพจน์ต่างๆ และสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างพจน์กับลำดับที่ของพจน์ด้วย ตัวอย่าง 5 , 7 , 9 , 11 , … a 1 = 5 a 2 = 7 5 + 2 ( 2 - 1 ) a 3 = 9 5 + 2 ( 3 - 1 ) a 4 = 11 5 + 2 ( 4 - 1 ) จะได้ a n = 5 + 2 ( n – 1 ) = 2n + 3 พจน์ทั่วไป N = 1 , 2 , 3, ...

5. ลำดับเลขคณิต พิจารณา ลำดับ 1 , 3 , 5 , 7 … . จะเห็นว่าผลต่างของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้า ที่อยู่ติดกัน มีค่าคงตัวเท่ากับ 2 บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 และพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่าผลต่างรวม แทนด้วย d สูตร พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ a n = a 1 + ( n - 1 ) d

6. ตัวอย่างโจทย์ เรื่อง ลำดับเลขคณิต จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตต่อไปนี้ 6,2,-2,-6,-10,… จากสูตร a n =a 1 + ( n – 1 ) d a n = 6 + (n-1)(-4) = 10 - 4n

7. ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 10 และ พจน์ที่ 12 ของลำดับเลขคณิต 6,2,-2,-6,-10,... วิธีทำ จากสูตร a n = a 1 + ( n – 1 )d ได้ a n = 6 + ( n – 1 )( - 4 ) = 10 – 4 n ดังนั้น a 10 = 10 – 4(10) = 10 – 40 = -30 a 12 = 10 – 4(12) = 10 – 48 = - 38 ตอบ พจน์ที่ 10 ของลำดับนี้คือ – 30 และพจน์ที่ 12 คือ -38

8. ลำดับเรขาคณิต ลำดับเรขาคณิต หมายถึง ลำดับที่มีอัตราส่วน ร่วม ( common ratio ) หรือ เป็นค่าคงตัว

9. รูปแบบของลำดับเรขาคณิต ลำดับเรขาคณิต จะมีรูปแบบคือ ซึ่งทำให้ได้ว่า a n = a 1 x r n-1

10. ตัวอย่างโจทย์ เรื่อง ลำดับเรขาคณิต จงหาพจน์ที่ 5 และพจน์ 1 0 ของลำดับเรขาคณิต 2 , 4, 8,16 , … วิธีทำ r = 2 และจาก a n = a 1 r n-1 ดังนั้น พจน์ที่ 5 คือ a 5 = a 1 r 5-1 = 2( 2 ) 4 = 32 พจน์ที่ 10 คือ a 11 =a 1 r 10-1 =2( 2 ) 9 = 512 ตอบ พจน์ที่ 5 คือ 32 และพจน์ที่ 10 คือ 512

11. ผลบวกของจำนวนจริง 3 จำนวน ซึ่งเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิตเท่ากับ -3 และผลบวกของจำนวนทั้งสามนี้เป็น 8 จงหาเลข 3 จำนวนนั้น ถ้าจำนวนพจน์เป็นเลขคี่ สมมุติให้มีพจน์กลาง 1 พจน์ สมมุติให้ 3 พจน์ คือ

12. แทนค่า แทนค่า จะได้ลำดับเป็น -4,2,-1 แทนค่า จะได้ลำดับเป็น -1,2,-4

13. โจทย์เพิ่มเติม 1. ถ้ามีลำดับ a n = n + (-1) n+1 แล้ว พจน์ที่ 5 ของลำดับมีค่าเท่าใด 1. 6 2. 5 3. 4 4. 3 2. ถ้าลำดับที่มี 5 พจน์แรกเป็น 1,3,9,27,81 มีพจน์ที่ n เป็นเท่าใด a n = 3n 2. a n = n 3 3. a n = 3 n 4. a n = 3 n-1 3. ถ้า k , 3 k , 6 k+2 เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว -174 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับ 40 2. 42 3. 43 4. 44 4. พจน์ที่ 7 ของลำดับ -1 ,2 ,-4 , 8 , ... มีค่าเท่าใด 32 2. -32 3. 64 4. -64 162 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลำดับ 2 , -6 , 18 , ... 1. 7 2. 6 3. 5 4. 4

14. 6. ลำดับเลขคณิตในข้อใดมีค่าของผลต่างร่วมต่างจากข้ออื่น 1. 21, 17, 13, 9, 5 2. 10, 14, 18, 22, 26 3. 4, 8, 12, 16, 20 4. 5, 9, 13, 17, 21 7. ผลบวกของพจน์ที่ 4 และพจน์ ที่ 5 ของลำดับ -7, -4, -1,... มีค่าเท่าใด 1. 8 2. 7 3. 6 4. 5 8. พจน์แรกของลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 5 เท่ากับ 16 และมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 มีค่าเท่าใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 9. พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตที่มีพจน์ที่ 10 เท่ากับ 39 และพจน์ที่ 25 เท่ากับ 99 มีค่าเท่าใด 1. 3 n – 1 2. 3n+1 3. 4n - 1 4. 4n + 1 จากข้อ 9 ผลบวกของพจน์ที่ 8 และพจน์ที่ 20 มีค่าเท่าใด 1. 31 2. 48 3. 79 4. 110

15. เฉลย ข้อที่ 1 ตอบ 1 ข้อที่ 2 ตอบ 4 ข้อที่ 3 ตอบ 4 ข้อที่ 4 ตอบ 4 ข้อที่ 5 ตอบ 3 ข้อที่ 6 ตอบ 1 ข้อที่ 7 ตอบ 2 ข้อที่ 8 ตอบ 2 ข้อที่ 9 ตอบ 4 ข้อที่ 10 ตอบ 4