Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)hazhiyah
Seringkali terjadi dalam kenyataan dimana total permintaan tidak sama dengan total penawaran. Masalah ketidakseimbangan dalam ini dalam metode transportasi dapat diatasi dengan mempergunakan persediaan dan permintaan bayangan (dummy). Selain masalah permintaan dan penawaran, dalam metode transportasi juga dikenal masalah lain yaitu degenerasi dan redudansi yang terjadi dalam penyelesaian masalah dalam metode transportasi baik itu di solusi awal atau pada solusi optimal
Materi kuliah Penelitian Operasional 1 untuk mahasiswa S1 Teknik Industri
Bab 1 Pendahuluan berisi motivasi, konsep, definisi, dan sejarah penelitian operasional
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)hazhiyah
Seringkali terjadi dalam kenyataan dimana total permintaan tidak sama dengan total penawaran. Masalah ketidakseimbangan dalam ini dalam metode transportasi dapat diatasi dengan mempergunakan persediaan dan permintaan bayangan (dummy). Selain masalah permintaan dan penawaran, dalam metode transportasi juga dikenal masalah lain yaitu degenerasi dan redudansi yang terjadi dalam penyelesaian masalah dalam metode transportasi baik itu di solusi awal atau pada solusi optimal
Materi kuliah Penelitian Operasional 1 untuk mahasiswa S1 Teknik Industri
Bab 1 Pendahuluan berisi motivasi, konsep, definisi, dan sejarah penelitian operasional
Berisi bab 2 Materi Kuliah Statistik Industri
Statistik Deskriptif :
- Tipe Variabel, Tipe Data
- Ukuran Kecenderungan Pusat
- Ukuran Sebaran (Variabilitas)
- Penggambaran Data secara Grafis
Materi kuliah Statistik Industri dengan topik Regresi Linear sederhana
Pembentukan model disertai pengujian terhadap model, koefisien, serta asumsi-asumsi
Video pembelajaran dapat dilihat di YouTube Channel: Auditya Sutarto
Topik kedua Metodologi Penelitian mencakup Kajian Pustaka dan Merumuskan Masalah
Materi meliputi bagaimana menemukan masalah, melakukan kajian pustaka, sitasi & reference manager (Mendeley, Zotero, dll), & perumusan masalah disertai contoh
Video pembelajaran dapat dilihat di YouTube Channel: Auditya Sutarto
Materi pendahuluan perkuliahan Metodologi Penelitian untuk Prodi Teknik Industri yang relevan untuk digunakan pula bagi jurusan atau prodi lain.
Topik meliputi konsep dan definisi pengetahuan, sains, pseudosains, penelitian, prosedur ilmiah, dan jenis-jenis penelitian
Aritkel ilmiah studi kasus pengukuran produktivitas dengan metode Objective Matrix (OMAX) dalam perkuliahan Analisis & Pengukuran Kerja di Program Studi Teknik Industri
Materi Evaluasi Pekerjaan (Job Evaluation) dan Penilaian Kinerja (Performance Appraisal) Part 1 dalam Kuliah Perancangan Sistem Kerja & Ergonomi Prodi Teknik Industri
Perkuliahan Psikologi Industri di Prodi Teknik Industri dengan topik Manajemen Stress Kerja mencakup pengertian, penyebab dan dampak, pengukuran stress, manajemen stress, dan penelitian terkait
Materi kuliah Perancangan Sistem Kerja & Ergonomi topi Perancangan Display & Kontrol berisi tentang Penginderaan, Display, Tipe, dan Perancangannya, Kontrol & Prinsip Perancangan Kontrol
Materi kuliah Psikologi Industri topik Kepuasan Kerja mencakup pengertian, definisi, teori kepuasan kerja, faktor yang mempengaruhi kepuasan kerja, cara pengukuran, dan contoh penelitian
Materi Perkuliahan Psikologi Industri di Program Studi Teknik Industri topik Motivasi Kerja mencakup tentang definisi, konsep, teori motivasi, dan cara meningkatkan motivasi
Materi kuliah Perancangan Sistem Kerja & Ergonomi di Program Studi Teknik Industri xmembahas topik Lingkungan Kerja Bagian 2 tentang Kebisingan (Noise), Temperatur (Heat & Cold Stress), dan Getaran
Materi perkuliahan Psikologi Industri di Program Studi Teknik Industri mencakup pembahasan singkat mengenai analisis jabatan, seleksi, rekrutmen, & staffinf (penempatan). Pembahasan lebih detil bisa merujuk pada Buku Ajar atau Buku Teks Psikologi Industri seperti Aaamodt, 2016, Munandar, 2010, dll
Materi kuliah Psikologi Industri di Prodi Teknik Industri dengan topik Riset dalam Psikologi Industri mencakup
- Pentingnya riset dalam Psikologi Industri
- Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam Riset keilmuan Psikologi Industri
Materi kuliah Analisis & Pengukuran Kerja Program Studi Teknik Industri membahas sekilas tentang berbagai tools untuk menganalisis postur kerja seperti RULA, REBA, OWAS, QEC
Materi Analisa & Pengukuran Kerja di Teknik Industri topik kedua bagian kedua tentang Sistem Manusia Mesin berisi tentang bagaimana konsep sistem manusia mesin, perbedaan manusia dan mesin
Materi kuliah Analisis dan Pengukuran Kerja Teknik Industri dengan topik Sistem Kerja & Produktivitas. Konsep produktivitas dalam materi ini masih terbatas pengenalan sederhana, pembahasan lanjut akan diberikan pada pertemuan berikutnya
Video pembelajaran bisa dilihat di channel YouTube audityasutarto
.
More from Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia (20)
Apakah program Sekolah Alkitab Liburan ada di gereja Anda? Perlukah diprogramkan? Jika sudah ada, apa-apa saja yang perlu dipertimbangkan lagi? Pak Igrea Siswanto dari organisasi Life Kids Indonesia membagikannya untuk kita semua.
Informasi lebih lanjut: 0821-3313-3315 (MLC)
#SABDAYLSA #SABDAEvent #ylsa #yayasanlembagasabda #SABDAAlkitab #Alkitab #SABDAMLC #ministrylearningcenter #digital #sekolahAlkitabliburan #gereja #SAL
Sebagai salah satu pertanggungjawab pembangunan manusia di Jawa Timur, dalam bentuk layanan pendidikan yang bermutu dan berkeadilan, Dinas Pendidikan Provinsi Jawa Timur terus berupaya untuk meningkatkan kualitas pendidikan masyarakat. Untuk mempercepat pencapaian sasaran pembangunan pendidikan, Dinas Pendidikan Provinsi Jawa Timur telah melakukan banyak terobosan yang dilaksanakan secara menyeluruh dan berkesinambungan. Salah satunya adalah Penerimaan Peserta Didik Baru (PPDB) jenjang Sekolah Menengah Atas, Sekolah Menengah Kejuruan, dan Sekolah Luar Biasa Provinsi Jawa Timur tahun ajaran 2024/2025 yang dilaksanakan secara objektif, transparan, akuntabel, dan tanpa diskriminasi.
Pelaksanaan PPDB Jawa Timur tahun 2024 berpedoman pada Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan RI Nomor 1 Tahun 2021 tentang Penerimaan Peserta Didik Baru, Keputusan Sekretaris Jenderal Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi nomor 47/M/2023 tentang Pedoman Pelaksanaan Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 1 Tahun 2021 tentang Penerimaan Peserta Didik Baru pada Taman Kanak-Kanak, Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama, Sekolah Menengah Atas, dan Sekolah Menengah Kejuruan, dan Peraturan Gubernur Jawa Timur Nomor 15 Tahun 2022 tentang Pedoman Pelaksanaan Penerimaan Peserta Didik Baru pada Sekolah Menengah Atas, Sekolah Menengah Kejuruan dan Sekolah Luar Biasa. Secara umum PPDB dilaksanakan secara online dan beberapa satuan pendidikan secara offline. Hal ini bertujuan untuk mempermudah peserta didik, orang tua, masyarakat untuk mendaftar dan memantau hasil PPDB.
3. DUAL PRIMAL
• Salah satu penemuan penting dalam awal pengembangan LP
adalah adanya konsep dualitas.
• Setiap masalah programa linier dapat dikaitkan dengan
masalah programa linier lain yang disebut DUAL.
•• SSuuaattuu ppeerrmmaassaallaahhaann mmaakkssiimmaassii ddaappaatt ddiikkaaiittkkaann ddeennggaann ssuuaattuu
masalah minimasi dan sebaliknya
• Masalah yang diberikan disebut dengan masalah primal, dan
masalah yang berkaitan disebut masalah dual.
• Hubungan antara masalah original (primal) dengan dual
terbukti sangat bermanfaat dalam aplikasi LP.
• Untuk memahami masalah dual primal tinjau kasus berikut
4. Masalah Nutrisi
Setiap buah
mengandung nutrien
berbeda
Setiap buah harganya
bbeerrbbeeddaa
An apple a day keeps
the doctor away – tapi
harga apel mahal!
Tujuan customer adalah
memenuhi kebutuhan
nutrisi dengan harga
termurah
5. • Ambil kasus sederhana antara apel dan pisang
Kalori Vitamin Harga
($)
2 3 5
4 3 7
Min C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2 100
3x1 + 3x2 90
x1, x2 0
• Konsumen harus mengkonsumsi minimal 100 unit
kalori & 90 unit vitamin untuk mendapatkan nutrisi
yang baik
• Tujuan konsumen adalah berapa banyak buah yang
harus dibeli dengan harga termurah namun
kebutuhan nutrisi terpenuhi
6. Jika dibawa ke dalam bentuk Matriks
Minimasi C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2 100
3x1 + 3x2 90
x1, x2 0
Cj
Mi,j X j
Xj Ni
7. Primal
Tujuan konsumen membeli sejumlah buah yang
mampu memenuhi kebutuhan nutrisi namun
biayanya minimal
Cj
Harga buah M N Kebutuhan
Xj Ni Mi,j X j
Koefisien dalam tiap
kolom yang menyatakan
banyaknya nutrisi dalam
jenis makanan tertentu
harian
Banyaknya tiap jenis
buah
8. Dualitas
• Permasalahan Primal di atas dapat
dipandang sebagai masalah dual.
•• MMiissaallkkaann ttiinnjjaauu ddaarrii ssuudduutt ppaannddaanngg sseeoorraanngg
salesman yang bermaksud menjual
suplemen untuk setiap jenis buah
9. Dualitas
Ni Yi M Cj j,i Nutrisi harian Yi Harga tiap jenis buah
???
Koefisien dalam
tiap baris
menyatakan
banyaknya nutrien
dalam jenis buah
tertentu
Apakah Yis dalam
masalah dual?
Harga setiap
nutrien!
10. • Masalah Primal : Tujuan konsumen adalah
membeli sejumlah buah tertentu dengan harga
minimum tetapi kebutuhan nutrisi terpenuhi
• Masalah Dual : Tujuan salesman adalah
menentukan harga setiap nutrien sehingga
keuntungannya maksimum namun harganya harus
lleebbiihh mmuurraahh ddaarriippaaddaa hhaarrggaa bbuuaahh
12. Masalah Primal
Maksimasi
s.t.
Masalah Dual
Minimasi
s.t.
Z
c x
j j n
j
1
,
W
b y
i i m
i
1
,
n
ij j i a x b
,
m
ij i j a y c
,
j
1
i
1
untuk i 1,2,,m. untuk j 1,2,, n.
untuk i 1,2,,m. 0, untuk j 1,2,, n. j x 0, i y
Masalah Dual menggunakan parameter yang tepat sama dengan parameter dalam
masalah primal, namun lokasinya berbeda
13. Dalam Notasi Matriks
Masalah Primal
Maksimasi
subject to
Masalah Dual
Z cx, W yb,
Minimasi
subject to
Ax b yA c
x0. y 0.
c m y y , y , , y 1 2 b
x
Dimana dan merupakan vektor baris tapi
dan merupakan vektor kolom.
14. CONTOH
Maks
s.t.
Masalah Primal Masalah Dual
Z 3 x 5 x , Min
W 4 y1 12 y2 18 y3
, 1 2 x
s.t.
1 4 y
3y 3
2 x
12 2 3 x 2 x
18 1 2 0, 0 1 2 x x
3 3 1 y 2 2 5 2 3 y y
0, 0, 0 1 2 3 y y y
15. Maks
s.t.
Masalah Primal
Dalam bentuk Matriks
Masalah Dual
Dalam bentuk Matriks
Min
s.t.
x
3,5 ,
1 2
x
Z
1
0
4
x
1
0
4
12
18
, , 1 2 3 W y y y
12
,
18
2
3
2
0
1
x
2
0
x
1
.
0
2
3,5
0
, , 1 2 3
2
3
2
y y y
x . , , 0,0,0 1 2 3 y y y
16. Primal-dual untuk Program linear
Masalah Primal
Koefisien dari: Sisi
Kanan
Masalah
Dual
Koefisien
dari
y
y
1
2
x1 x2 xn
11
a
21
a
12
a
22
a
1
n
a
n
a
2
1 b
2
b
untuk
Fungsi
Obyektif
Minimasi)
m y
Sisi
Kanan
mn a m2 a m1 a
VI VI VI
c1 c2 n c
Koefisien untuk Fungsi Obyektif
(Maksimasi)
m b
Koefisien (Minimasi
17. Hubungan antara Masalah Primal dan Dual
Satu Masalah Masalah Lain
i i
Konstrain Variabel
Fungsi Obyektif Sisi Kanan
MMiinniimmaassii MMaakkssiimmaassii
Variabel
Konstrain
Variabel
Unrestricted
Konstrain
0
0
0
0
Unrestricted
18. • Solusi layak untuk masalah dual adalah
kondisi yang menjadi solusi optimum pada
masalah primal
• Nilai maksimum Z pada masalah primal
merupakan masalah minimum W pada
masalah dual
• Setiap pasang masalah primal dan dual
dapat dikonversikan satu sama lain
• Dual dari suatu masalah dual selalu
meurpakan masalah primal
19. Dual Problem
Min W = yb,
s.t. yA c
y 0.
Converted to
Standard Form
Max (-W) = -yb,
s.t. -yA
-c
y 0.
Its Dual Problem
Min (-Z) = -cx,
s.t. -Ax -b
x 0.
Converted to
Standard Form
Max Z = cx,
s.t. Ax b
x 0.
21. Minimasi
s.t.
1 2 0.4x 0.5x
0.3 x 0.1 x
2.7
1 2
0.5 x 0.5 x
6
1 2
0.6 x 0.4 x
6
1 2
0, 0 1 2 x x
Minimasi
s.t.
1 2 0.4x 0.5x
0.3 x 0.1 x
2.7 [y ]
1 2 1
0.5 x 0.5 x
6 [y
]
1 2 2
-
0.5 x 0.5 x
6 [y ]
1 2 2
0.6 x 0.4 x
6 [y ]
1 2 3
0, 0 1 2 x x
22. Max
s.t.
2.7 6(
) 6
y y y y
1 2 2 3
0.3 y 0.5( y y
) 0.6 y
0.4
1 2 2 3
0.1 y 0.5( y y
) 0.4 y
0.5
1 2 2 3
0, 0,
0, 0.
y y y y
1 2 2 3
Max
s.t.
2.7 6 6
y y y
1 2 3
0.3 y 0.5 y 0.6 y
0.4
1 2 3
0.1 y 0.5 y 0.4 y
0.5
1 2 3
0, : unrestricted, 0.
y y y
1 2 3
23. Bawalah persamaan primal berikut ke
dalam bentuk dual dan pecahkan
menggunakan tabel simpleks
Maksimasi
Z 5x 12x 4x
1 2 3 s/t
x 2 2x x x
10
1 2 3
2 x x 3 x
8
1 2 3
, , 0
1 2 3
x x x
24. Bentuk baku
Maksimasi
S.t.
Z 5x 12x 4x 0S MA 1 2 3
2 10
x x x S
x x x A
1 2 3
2 3 8
1 2 3
[y1]
[ y2]
0
0
0
0
0
x
1
2
3
x
x
S
A
25. 1 2 W 10y 8y
2 5
y y
1 2
2 y y
12
1 2
2 y 3 y
4
1 2
0, unrestricted
y
y
1 2
Minimasi
s/t
Bentuk baku
Minimasi
s/t
1 2 1 2 3 1 2 3 W 10y 8y 0u 0u 0u MA MA MA
2 2 5
y y y u A
1 2 2 1 1
2 y y y u A
12
1 2 2 2 2
2 y 3 y 3 y u A
4
1 2 2 3 3
, , 0
1 2 2
y y y
[x1]
[ x2]
[ x3]
26. Tabel Simpleks awal dan akhir (optimum) untuk Bentuk
Primal
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -55 – 2M 1122 ++ MM -4 – 33MM 0 0 -88MM
s 1 2 1 1 0 10
AA 22 --11 33 00 11 88
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z 0 0 33//55 2299//55 -22//55 ++ MM 5544 44//55
x2 0 1 -11//55 2/5 -1/5 1122//55
x1 1 0 77//55 1/5 22//55 2266//55
28. Tinjau kembali tabel simpleks akhir untuk Bentuk
Primal
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z 0 0 3/5 2299//55 -22//55 ++ MM 5544 44//55
x2 0 1 -11//55 2/5 -11//55 1122//55
x1 1 0 7/5 1/5 2/5 2266//55
Variabel Awal (Basis pada tabel simpleks
s A
awal) Bentuk Primal Koefisien persamaan Z tabel optimum 29/5 -2/5 + M
Selisih koefisien sisi kiri dan sisi kanan
variabel dual yang berhubungan dengan
y1 - 0 y2 + M
variabel basis awal bentuk primal
• Oleh karena y1 - 0 = 29/5 dan y2 + M = -2/5 + M maka y1 =
29/5 dan y2 = -2/5 . Hal ini sama dengan hasil yang
diperoleh pada tabel simpleks akhir bentuk dual
29. Koefisien Fungsi Tujuan
Fungsi Tujuan Primal Z 5x 12x 4x 0s MA 1 2 3
2 5 1 2 Konstrain Dual y y [x1]
[ x2]
2 y y
12
1 2
2 3
4
0,
y
y M
unrestricted
1
2
2
1 2
y
y y
[ x3]
[ s]
[ A]
30. Tinjau kembali tabel simpleks akhir untuk Bentuk
Dual
Basis y1 y2’ y2” y3 y4 y5 A1 A2 A3 Sisi
Kanan
W 0 0 0 -26/5 -12/5 0 26/5-M 12/5-M -M 5544 44//55
y5 0 0 0 -7/5 1/5 1 7/5 -1/5 -1 3/5
y2” 0 -1 1 2/5 -1/5 0 -2/5 1/5 0 2/5
y1 1 0 0 -1/5 -2/5 0 1/5 2/5 0 29/5
Variabel Awal (Basis) pada tabel
simpleks awal Bentuk Dual
A1 A2 A3
Koefisien persamaan W tabel optimum 26/5 - M 12/5 - M - M
Variabel dual yang berhubungan dengan
variabel basis awal bentuk primal x1 x2 x3
• Dengan mengabaikan M maka diperoleh x1 = 26/5 dan x2
=12/5, dan x3 = 0.
35. Perhitungan Kolom Konstrain
• Untuk setiap iterasi simpleks (primal atau dual),
elemen di kolom sisi kiri atau kanan dari konstrain
tabel dapat dihitung sebagai:
Kolom
dalam model
original
Invers dalam
iterasi
Kolom
dalam
iterasi
i
xi
i
36. • Ambil contoh bentuk primal. Variabel basis awal
adalah s dan A. Untuk mencari koefisien x1 pada iterasi
1, lihat matriks invers pada tabel simpleks iterasi 1
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -7/3 -4400//33 0 0 44//33 ++MM 3322//33
ss 1111////3333 7777////3333 00 11 --11//33 22222222////3333
x3 22//33 -1/3 1 0 1/3 8/3
Kolom
dalam model
Invers dalam
1 1 3
1 3
2 3
1
2
0 1 3
original
iterasi 1
Kolom x1
dalam
iterasi 1
37. • Selanjutnya tinjau iterasi 2 dan kolom kanan yang
bersesuaian
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -3/7 0 0 4400//77 -44//77 ++ MM 336688//77
x2 1/7 1 0 33//77 -11//77 2222//77
x3 5/7 0 1 11//77 22//77 2266//77
Kolom
dalam model
Invers dalam
3 7 1 7
22 7
26 7
10
8
1 7 2 7
original
iterasi
Kolom kanan
dalam
iterasi
i
i
38. Perhitungan Baris Obyektif
• Untuk setiap iterasi simpleks primal, elemen variabel xj
dalam persamaan fungsi obyektif dapat dihitung:
Ruas kanan
dari konstrain
dual yang bersesuaian
Ruas kiri
dari konstrain
dual yang bersesuaian
Elemen j x
dalam
fungsi obyektif
• Dengan menerapkan rumus ini pada pasangan masalah
primal dual diatas, diperoleh persamaan berikut
• Koefisien z dari x1 = y1 + 2y2 – 5
• Koefisien z dari x2 = 2y1 - y2 - 2
• Koefisien z dari x3 = y1 + 3y2 - 4
• Koefisien z dari s = y1 - 0
• Koefisien z dari A = y2 – (-M) = y2 + M
Konstrain Dual
39. • Untuk menghitung koefisien diatas secara numerik, kita
memerlukan nilai numerik untuk variabel dual y1 dan y2 .
Karena koefisien fungsi obyektif berubah-ubah pada tiap
iterasi, kita mengharapkan nilai y1 dan y2 juga berubah
pada tiap iterasi
invers dalam
i
Koefisien obyektif original
variabel basis primal
Nilai variabel dual
i i
iterasi
dalam iterasi
dalam
iterasi
• Koefisien Obyektif Original (Awal) untuk variabel basis
bentuk primal diatur dalam bentuk vektor baris dimana
elemen-elemennya diambil dalam urutan yang sama
dengan variabel basis di kolom basis pada tabel simpleks.
Sebagai contoh, tinjau kembali tabel simpleks primal,
maka vektor baris yang berhubungan dengan formula
diatas (perhatikan urutan dalam setiap kasus)
40. Iterasi 1
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -7/3 -4400//33 0 0 44//33 ++MM 3322//33
s 11//33 77//33 0 1 -1/3 2222//33
x3 22//33 -1/3 1 0 1/3 8/3
Z 5x 12x 4x 0S MA 1 2 3 Fungsi Tujuan
• Iterasi 0 : (koefisien s, R) = (0, -M)
• Iterasi 1 (koefisien s, x3) = (0, 4)
• Iterasi 2 (koefisien x2, x3)= (12, 4)
• Iterasi 3 (koefisien x2, x1 )= (12, 5)
41. • Sebagai contoh untuk mencari nilai variabel dual pada
iterasi ke-i, tinjau koefisien persamaan fungsi obyekfit z
pada iterasi ke-3 (optimum) dari tabel simpleks primal
invers dalam
iterasi 3
Koefisien obyektif original
, , dalam iterasi 3
Nilai variabel dual
dalam
iterasi 3
x2 x1
2/5 -1/5
12,5 dual Nilai y y
29 / 5, 2 / 5 ,
1 2 1/ 5 2 / 5
Dalam iterasi ke-3
• Koefisien x1 dalam z = y1 + 2y2 - 5 = 29/5+2(-2.5) – 5 = 0
• Koefisien x2 dalam z = 2y1 - y2 – 12 = 2(29/5) – (- 2/5) – 12 = 0
• Koefisien x3 dalam z = y1 + 3y2 – 4 = 29/5+3(-2/5) – 4 = 3/5
• Koefisien s dalam z = y1 – 0 = 29/5 – 0 = 29/5
• Koefisien A dalam z = y2 - (-M) = -2/5 + M
43. Simpleks Dual
• Dalam metode simpleks dual, pemecahan
dimulai tidak layak (feasible) dan optimal
((bbaannddiinnggkkaann ddeennggaann ppeemmeeccaahhaann aawwaall
metode primal, yaitu layak tetapi tidak
optimal)
• Tinjau pemecahan secara grafis terlebih
dahulu dari kasus di atas
44. Tinjau masalah LP berikut
• Minimasi
Z 3x 2x
1 2 • S/t 3 x 2 x
3 1 2
4 x 3 x
6
1 2
3 3
x x
1 2
x , x
0
1 2
45. Bentuk baku
• Kalikan persamaan konstrain pertama dan
kedua dengan -1 untuk mengubah variabel
surplus menjadi variabel slack
• Minimasi 1 2
Z 3x 2x
• S/t
3 x 2 x s
3
1 2 1
4 x 3 x s
6
1 2 2
3 3
x x s
1 2 3
, , , , 0
1 2 1 2 3
x x s s s
46. • Pemecahan dasar awal menghasilkan s1 = -1,
s2 =- 6, dan s3=3. Pemecahan ini tidak layak
TAPI optimal (bahkan lebih baik dari
optimal!) karena nilai Z = 0
• Gagasan dari metode simpleks dual adalah
bbeerraannggkkaatt ddaarrii iinntteerraassii aawwaall yyaanngg ttiiddaakk llaayyaakk
dan (lebih baik daripada) optimal ke iterasi
berikutnya ke arah ruang layak (feasible
region) tanpa kehilangan sifat optimalitas
47. X2
A D C
A B C
3 Optimum
x1 = 3/5, x2 = 6/5,
X1
2
1
0
C
0 1 2
Z = 21/5
3
A D
B
48. Tabel awal simpleks
Basis x1 x2 s1 s2 s3 RRuuaass
KKaannaann
Z -3 -2 0 0 0 0
s1 -3 -1 1 0 0 -3
s2 -4 -3 0 1 0 -6
s3 1 1 0 0 1 3
• Baris tujuan telah memenuhi kondisi optimalitas namun tidak
layak (s1 dan s2 negatif)
49. Pemilihan Variabel Masuk dan
Variabel Keluar
Variabel Keluar
• Untuk menyingkirkan ketidaklayakan ini, variabel basis
yang negatif kita keluarkan, yaitu s1 atau s2 . Pilih variabel
yang paling negatif agar pemecahan yang layak tercapai
lebih cepat s2 = -6
Variabel Masuk
• Pemilihan variabel masuk dipilih dengan mengambil rasio
koefisien sisi kiri dari persamaan z dengan koefisien yang
bersesuaian dalam persamaan variabel keluar. Rasio
dengan penyebut positif atau nol disingkirkan agar kondisi
optimalitas terjaga. Variabel masuk dipilih dari yang
memiliki rasio terkecil
51. Tabel simpleks final
Basis x1 x2 s1 s2 s3 RRuuaass
KKaannaann
Z 0 0 -1/5 -33//55 0 2211//55
x1 1 0 -3/5 1/5 0 33//55
x 0 1 44//55 -33//55 0 66//55
x2 s3 0 0 -1/5 2/5 1 66//55
• Tabel simpleks final menghasilkan pemecahan
yang layak dan optimal yaitu x1 = 3/5, x2 =6/5, dan
Z = 21/5
52. • Kondisi Kelayakan
Leaving variable adalah variabel basis yang memiliki nilai
paling negatif (jika sama, tentukan secara sembarang). Jika
semua variabel basis adalah non negatif, proses berakhir
• Kondisi Optimalitas
Entering variable adalah variabel non basis yang berkaitan
dengan rasio terkecil jika meminimumkan atau nilai
absolut tteerrkkeecciill ddaarrii rraassiioo jjiikkaa mmeemmaakkssiimmuummkkaann ((jjiikkaa
sama, tentukan secara sembarang). Rasio ditentukan
dengan membagi sisi kiri dari persamaan z dengan
koefisien negatif yang bersesuaian dalam persamaan
dengan koefisien negatif yang bersangkutan dengan
variabel keluar. Jika semua penyebut adalah nol atau
positif, tidak terdapat pemecahan yang layak
53. QUIZ
PENELITIAN OPERASIONAL 1
1. Bawalah permasalahan primal berikut ke dalam
bentuk dual
2. Pecahkan masalah primal menggunakan Metode
ssiimmpplleekkss
2 x 3 x 5 x
2
1 2 3
3 x x 6 x
1
4
1 2 3
x x x
1 2 3
Maksimasi
s.t.
1 2 3 Z x 4x 3x
0, 0, unrestricted 1 2 3 x x x