TUGAS UJIAN AKHIR SEMESTER
RISET OPERASI DAN TEKNIK PENGAMBILAN
KEPUTUSAN
Rangkuman Buku:
“Operation Research (Model-model Pengambilan Keputusan)”
Penulis: Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati
KEVIN SURYA (1534021022)
SEMESTER V
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Laporan Praktikum Operation Research mengenai Linier Programing, Antrian dan Transportasi.
NB : Bagi yang menginginkan file ini silakan kontak email saya {Rohmad_putra32@yahoo.co.id}. untuk selanjutnya akan saya kirim file ini.
Good Luck.
Semoga Bermanfaat...!!!!
Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial.
Perbedaan yang utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.
Dari penjelasan di atas, bisa disimpulkan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok objek atau populasi yang dipilih tanpa pengembalian.
TUGAS UJIAN AKHIR SEMESTER
RISET OPERASI DAN TEKNIK PENGAMBILAN
KEPUTUSAN
Rangkuman Buku:
“Operation Research (Model-model Pengambilan Keputusan)”
Penulis: Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati
KEVIN SURYA (1534021022)
SEMESTER V
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Laporan Praktikum Operation Research mengenai Linier Programing, Antrian dan Transportasi.
NB : Bagi yang menginginkan file ini silakan kontak email saya {Rohmad_putra32@yahoo.co.id}. untuk selanjutnya akan saya kirim file ini.
Good Luck.
Semoga Bermanfaat...!!!!
Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial.
Perbedaan yang utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.
Dari penjelasan di atas, bisa disimpulkan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok objek atau populasi yang dipilih tanpa pengembalian.
RANGKUMAN DASAR – DASAR OPERATIONS RESEARCH EDISI 2 SEBAGAI TUGAS MATA KULIAH...eddy sanusi silitonga
RANGKUMAN DASAR – DASAR OPERATIONS RESEARCH
EDISI 2
SEBAGAI TUGAS MATA KULIAH RISET OPERASI
NAMA : PENDI HASYIM
NIM : 1534021033
KELAS : MANAJEMEN (P2K)
SEMESTER : V (LIMA)
RUANG : 203
MATA KULIAH : RISET OPERASI
Pertumbuhan adalah proses pertambahan jumlah dan atau ukuran sel dan tidak dapat kembali kebentuk semula (irreversible), dapat diukur (dinyatakan dengan angka, grafik dsb).
Perkembangan adalah proses menuju ke tingkat kedewasaan / pematangan tidak dapat diukur tetapi hanya dapat di amati.
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
Pi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagja
Bahan ajarr.o volume1
1. IKIP PGRI MADIUN
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
MATA KULIAH
RISET OPERASI (OPERATION RESEARCH)
BAHAN AJAR MAHASISWA
REZA KUSUMA SETYANSAH, S. Pd.
3/23/2011
VOLUME I
Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset operasi
sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah ada yang
berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 1
2. Bahan Ajar Mahasiswa
OPERATION RESEARCH
(Riset Operasi)
Kritik dan Saran :
Rezaworkaholic@gmail.com
Blog : http://rezamath2011.blogspot.com
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 2
3. 1. Bacalah terlebih dahulu standard kompetensi dan kompetensi dasar yang tertera di setiap awal
setiap bab.
2. Pelajarilah dengan seksama materi kuliah dan buku acuan dari tiap bab sampai anda
memahami betul.
3. Kerjakan pertanyaan-pertanyaan dan tugas-tugas yang terletak di dalam latihan setiap akhir
sub-bab, termasuk tugas mandiri dan pembuatan laporan.
4. Bila menjumpai kesulitan, diskusikan dengan teman dan/atau dosen pada saat kuliah atau
tatap muka.
5. Bila tidak mendapatkan kesulitan, anda dapat mempelajari materi kuliah baru, rangkuman
dan buku acuan dari bab-bab berikutnya.
6. Pelajari sekali lagi materi kuliah tersebut, kemudian anda harus menempuh Ujian Tengah
Semester (UTS) dan Ujian Akhir Semester (UAS) yang telah direncanakan.
7. Bila anda tidak berhasil, adakan remidi dengan jalan pelajari sekali lagi bagian materi kuliah
yang tidak berhasil tersebut dari materi, rangkuman, buku acuan atau diskusikan dengan
teman atau tanyakan kepada dosen pada saat kuliah/tatap muka. Selanjutnya anda dapat
mempelajari materi kuliah baru.
8. Bila anda berhasil, anda dapat mempelajari materi baru/berikutnya.
Kegiatan belajar dengan Bahan Ajar (BA) seperti tersebut di atas dapat digambarkan seperti bagan
di bawah ini.
Baca Pelajari Kerjakan ada Diskusikan
Standard Kompetensi Materi Kuliah Latihan di setiap dengan
dan dan akhir bab Kesulitan Teman/Dosen
Kompetensi Dasar Buku Acuan
Tidak ada kesulitan
Kerjakan Tidak Kerjakan Pelajari
Remidi UTS dan UAS Materi bab
baru/berikutnya
Berhasil
Berhasil
Pelajari
Materi
Baru/berikutnya
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 3
4. Dengan mengucapkan syukur alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah
memberikan rahmat dan hikayahnya sehingga bahan ajar pendamping mata kuliah
Riset Operasi (R.O) dapat terselesaikan tepat waktu.
Penyusunan Bahan Ajar pendamping ini masih jauh dari sempurna baik isi
maupun kata-katanya serta tata tulisannya. Oleh karena itu sangat diharapkan saran-
saran serta kritik yang sifatnya membangun demi sempurnanya penulisan ini untuk
selanjutnya.
Semoga terselesainya Bahan Ajar ini, banyak mendapat sumbangan baik yang
berupa moril maupun materiil dari berbagai pihak, Oleh karena itu, bahan ajar ini
mencoba menyajikan materi dalam bentuk sederhana, setahap demi setahap untuk
menghilangkan kesan bahwa ilmu itu sulit. Harapan dari penulis, pembaca menjadi
menyukai, memahami dan akhirnya bisa menerapkan ilmu ini dalam kehidupan atau
pekerjaan masing-masing.
Akhirnya, mudah-mudah karya kecil yang hanya setetes air di tengah
hamparan ilmu dan wacana di Indonesia. Semoga amal baik yang telah diberikan
kepada penulis mendapatkan balasan yang setimpal dari Allah SWT.
Madiun, Maret 2011
Penulis
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 4
5. MATERI BAHAN AJAR
PERTEMUAN 1 - 8
No. Materi
1. PENDAHULUAN
Perkembangan Riset Operasi
Definisi Riset Operasi
2. Analisis Keputusan
3. Pengertian Program Linear
4. Program Linear : Metode Grafik
Diunduh pada Bahan Ajar Riset Operasi Volume 1
PERTEMUAN 9 – 16
No. Materi
5. Program Linear : Metode Simpleks
6. DUALITAS DAN ANALISA SENSITIVITAS
7. PERSOALAN PENUGASAN (ASSIGNMENT)
8. PERSOALAN TRANSPORTASI
Diunduh pada Bahan Ajar Riset Operasi Volume 2
SILABUS
Deskripsi Mata Kuliah :
(1) Gambaran Umum Penelitian Operasional
(2) Progama Linier
(3) Teknik Pemecahan Model Programa Linier
(4) Teori Dualitas dan Analisis Kepekaan
(5) Tipe-Tipe Khusus Persoalan Programa Linier
STANDAR KOMPETENSI :
Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset
operasi sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah
ada yang berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.
KOMPETENSI DASAR :
Mahasiswa membaca gambaran umum penelitian operasional
Mahasiswa menghitung programa linier
Mahasiswa menggambarkan Teknik pemecahan model progama linier
Mahasiswa mengevaluasi teori dualitas dan analisis kepekaan
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 5
6. Halaman
Cover Bahan Ajar ..................................................................................... 1
Sampul halaman ........................................................................................ 2
Petunjuk Pembelajaran ............................................................................ 3
Kata Pengantar.......................................................................................... 4
Materi Bahan Ajar .................................................................................... 5
Daftar Isi .................................................................................................... 6
BAB I RISET OPERASI (RO) .................................................... 7
A. Definisi .......................................................................... 7
B. Latar Belakang RO ........................................................ 8
C. Komputer & RO ............................................................ 9
D. Proses pengambilan keputusan ..................................... 9
E. Model Matematik dan pengambilan keputusan ............ 10
BAB II ANALISIS KEPUTUSAN ................................................ 12
BAB III LINEAR PROGRAMMING (LP) ................................... 14
A. Pengertian LP ................................................................ 14
B. Model LP dalam RO ..................................................... 15
C. Alasan Pembentukan Model ......................................... 15
D. Jenis-jenis Model LP dalam RO ................................... 16
E. Penyederhanaan Model ................................................. 17
F. Karakteristik Persoalan LP ............................................ 20
G. Metode Penyelesaian Masalah LP ................................ 20
H. Beberapa Konsep penting dalam penyelesaian LP ....... 20
BAB IV TEKNIK PEMECAHAN MODEL LP ........................... 29
A. Metode Grafik untuk Minimasi..................................... 30
B. Masalah-Masalah Khusus dalam LP metode grafik..... 32
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 40
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 6
7. BAB I
STANDAR KOMPETENSI
Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset
operasi sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah
ada yang berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.
KOMPETENSI DASAR
Mahasiswa membaca gambaran umum penelitian operasional.
RISET OPERASI
(Operation Research)
A. Definisi
Riset Operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan
permasalahan sehari-hari baik mengenai bisnis, ekonomi, sosial maupun bidang
lainnya ke dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.
Riset Operasi mememiliki beberapa arti yang berbeda dengan namanya. Istilah
atau judul mata kuliah ini tidak sepenuhnya berhubungan dengan “riset”
(penelitian) apalagi dengan “operasi” (operasional). Riset operasi (lebih dikenal
dengan operation research atau quantitative analysis) merupakan serangkaian
kegiatan analysis dan pemodelan matematik untuk keperluan pengambilan
keputusan. Banyak persoalan manajerial di suatu organisasi/perusahaan yang
senantiasa dikaitkan dengan proses pengambilan keputusan (decision making).
Ada beberapa definisi mengenai Riset Operasi (RO). Dasar pertimbangan dari
berbagai macam definisi dilatarbelakangi bahwa ahli Riset Operasi (RO) dari
berbagai disiplin ilmu seperti teknik, bisnis, matematik, dan lain-lain.
Operational Research Society of Great Britain mendefinisikan RO adalah
aplikasi metode ilmiah dalam masalah kompleks dan sistem manajemen yang
besar atas manusia, mesin, material, dan dana dalam industri, bisnis, pemerintah
dan militer.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 7
8. Operational Research Society of Great Britain mendefinisikan RO adalah
berkenaan dengan pengambilan keputusan secara ilmiah, bagaimana membuat
model terbaik dan membutuhkan alokasi sumber daya yang terbatas.
Secara lebih generalisasi RO dapat didefinisikan sebagai model kuantitatif atau
matematik yang digunakan dalam pengambilan keputusan.
B. Latar Belakang Sejarah Riset Operasi (RO)
Sejak revolusi industri, perusahaan-perusahaan di dunia telah mengalami
perkembangan yang pesat, baik dalam ukuran ataupun kompleksitas organisasi.
Banyak perusahaan baru bermunculan, sementara perusahaan-perusahaan kecil
berkembang menjadi perusahaan besar. Hal ini membawa perubahan dalam
pembagian kerja (Division of Labor) dan segmentasi dari tanggung jawab
manajemen dalam organisasi perusahaan yang mengarah kepada spesialisasi.
Timbulnya riset operasional dimulai pada tahun 1939 awal perang dunia II RO
benar-benar mutlak keefektifannya sebagai metode penyelesaian masalah.
Kegiatan RO atau Operation Research di Inggris dan Amerika secara terus
menerus. Dalam bidang non-militer teutama dalam kelompok industri, sehingga
aktifitas operation research (RO) tidak hanya mengenai aktivitas ilmu tetapi juga
menyangkut berbagai macam disiplin dan bisnis. Apabila diperhatikan
penggunaan riset operasi pada berbagai bidang kegiatan tersebut di atas, selalu
menyiratkan tujuan untuk mengoptimumkan sesuatu, seperti memaksimumkan
keuntungan, meminimumkan biaya, waktu pengerjaan, dan meminimumkan
resiko.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 8
9. C. Komputer dan Riset Operasi (RO)
Penggunaan komputer dalam RO continuous mengalami upgrading terutama
dalam menghadapi International rivalry dan productivity problem. Tanpa
bantuan komputer terutama dalam software khusus untuk RO sangat impossible
untuk finishing problem yang cukup besar dan complicated. Program aplikasi
software yang support menganalisa dan biasa digunakan antara lain adalah QM,
QSB+, Tora, Mathematicha, LINDO (Linear, Interactive and Discrete
Optimizer), POM ForWindows dan sebagainya.
D. Proses Pengambilan keputusan dan Analisis Kuantitatif
Proses analisa dalam kegiatan Riset Operasi (RO) dapat dilakukan dengan dua
cara, yaitu analisa kualitatif dan analisa kuantitatif.
Analisa Kualitatif, dilakukan berdasarkan pengalaman dan pertimbangan
pemikiran pribadi seorang peneliti. Analisis ini lebih melibatkan rasa intuisi
daripada pengetahuan, sehingga lebih mengarah kepada seni dalam pengetahuan.
Analisa Kuantitaif, dilakukan berdasarkan fakta-fakta atau data kuantitatif yang
berkaitan dengan masalah yang dihadapi. Kemudian dengan menggunakan
metode kuantitatif tertentu akan diperoleh hasil analisis yang akan dapat
mendukung pengambilan keputusan.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 9
10. Masalah manajerial
/ Penelitian
Analisis Kualitatif Analisis Kuantitatif
(yang berdasarkan pada pengalaman (yang didasarkan pada teknik
dan pertimbangan manajer / peneliti) matematika)
Kesimpulan dan
Evaluasi
(Conclusion and
Evaluation)
Keputusan
(Decision)
Tabel (1)
Proses pengambilan keputusan
E. Model Matematik dan Pengambilan Keputusan
Responsibility (Tanggung jawab) dalam pengambilan keputusan berada pada
manajemen RO. Langkah-langkah berikut merupakan tahapan dalam proses
pengambilan keputusan oleh manajer (peneliti).
Tabel (2)
Proses langkah pembuatan keputusan
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 10
11. Proses pembuatan model Riset Operasi
Langkah-langkah dalam pembuatan matematik sebagai berikut :
1. Mendefinisikan masalah. Definisi masalah harus jelas dan menggambarkan
masalah yang sedang dihadapi. Langkah ini penting dan dapat melibatkan
manajemen maupun anggota organisasi lainnya.
2. Memformulasikan model. Model adalah gambaran abstark dari masalah
yang sedang dihadapi. Ketepatan dalam memformulasikan model sangat
ditentukan oleh asumsi yang digunakan. Asumsi harus realistis dan ini
merupakan faktor kesulitan dalam membuat model.
Komponen utama dalam memformulasikan model sebagai berikut :
Variabel Keputusan (decision variable)
Tujuan (objective)
Kendala (constraint)
3. Mengukur validitas
4. Implementasi keputusan
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 11
12. BAB II
STANDAR KOMPETENSI
Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset
operasi sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah
ada yang berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.
KOMPETENSI DASAR
Mahasiswa membaca gambaran umum penelitian operasional.
ANALISIS KEPUTUSAN
Persoalan keputusan senantiasa dihadapi oleh manusia. Saat pagi atau subuh, dia
sudah harus mengambil keputusan untuk segera bangun memulai aktivitas atau terus
tidur. Saat pergi ke kampus, dia pun harus memutuskan naik apa, dengan siapa, cepat
atau lambat, dan seterusnya. Bahkan saat menjelang tidur pun, dia harus memutuskan
untuk pakai piyama atau celana pendek, di kasur atau di lantai, lampu menyala atau
gelap.
Ada banyak keputusan yang diambil secara ada yang dipikirkan atau tidak, setiap saat
harus membuat keputusan yang sangat menentukan kelangsungan proses yang
kadang diperlukan seketika atau sesaat atau penuh dengan perhitungan yang matang.
Hal yang lebih baik adalah dengan membuat suatu keputusan, walaupun salah.
Keputusan yang diambil pertama kali akan berdampak pada keputusan berikutnya.
Demikian hal ini terus berlangsung dalam kehidupan manusia.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 12
13. Secara sederhana, persoalan keputusan dapat digambarkan dalam bentuk matriks dua
dimensi (berisi 3 kriteria keputusan dan 2 alternatif) dengan hasil (gain) pada setiap
sel berikut :
Kriteria Keputusan
Alternatif
K1 K2 K3
A1 H11 H12 H13
A2 H21 H22 H23
Contoh :
Kriteria Keputusan
Alternatif Harga Luas Jarak
(Juta Rupiah) (m2) (km)
Plaza Madiun 560 2.500 30
Carrefour 490 3.000 50
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 13
14. BAB III
STANDAR KOMPETENSI
Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset
operasi sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah
ada yang berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.
KOMPETENSI DASAR
Mahasiswa menghitung programa linier
LINEAR PROGRAMMING
Pemodelan dalam Riset Operasi dalam Linear Programing (LP) :
Pengertian
Alasan pembentukan model
Jenis-jenis model
Penyederhanaan model
Tahap-tahap pemodelan
A. Pengertian LP
Linear Programming (LP) merupakan suatu model umum yang dapat digunakan
dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara
optimal. Sumber-sumber yang dimaksud dapat berupa bahan baku, peralatan &
mesin, ruang, waktu, dana dan orang. Semua ini dapat dipergunakan untuk
menghasilkan komoditi tertentu. Atau dengan kata lain LP adalah metode atau
teknik matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan
keputusan.
Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan LP ialah merumuskan masalah
dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia, kemudian
menerjemahkan masalah ini kedalam bentuk model matematika guna
menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 14
15. LP atau Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau
meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.
Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan
masalah
Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan
atas sumber daya tersebut.
B. Model LP dalam RO
Model adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas dari suatu sistem yang
kompleks
Model menunjukkan hubungan-hubungan (langsung atau tidak langsung)
dari aksi dan reaksi dalam pengertian sebab dan akibat.
Model harus mencerminkan semua aspek realitas yg sedang diteliti.
Model adalah suatu fungsi tujuan dgn seperangkat kendala yang
diekspresikan dalam bentuk variabel keputusan.
C. Alasan pembentukan model :
Menemukan variabel-variabel yang penting atau menonjol dalam suatu
permasalahan
Penyelidikan hubungan yg ada diantara variabel-variabel
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 15
16. D. Jenis-jenis model :
1. Iconic (physical) Model.
Penyajian phisik yang tampak seperti aslinya dari suatu sistem nyata
dengan skala yang berbeda.
Model ini mudah untuk mengamati, membangun dan menjelaskan tetapi
sulit untuk memanipulasi dan tidak dapat digunakan untuk tujuan
peramalan (Hipotesis/Dugaan Sementara)
Biasanya menunjukkan peristiwa statik.
2. Analogue Model.
Lebih abstrak dari model iconic, karena tidak kelihatan sama antara
model dengan sistem nyata.
Lebih mudah untuk memanipulasi dan dapat menunjukkan situasi
dinamis.
Umumnya lebih berguna dari pada model iconic karena kapasitasnya
yang besar untuk menunjukkan ciri-ciri sistem nyata yang dipelajari.
3. Mathematical (Simbolic) Model.
Sifatnya paling abstrak.
Menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukkan
komponen-komponen (dan hubungan antar mereka) dari sistem nyata.
Dibedakan menjadi:
Model deterministik :
Dibentuk dalam situasi penuh kepastian (certainty)
Memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karena
kepastian jarang terjadi.
Keuntungannya: dapat dimanipulasi dan diselesaikan lebih mudah.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 16
17. Model probabilistik :
Dalam kondisi ketidak-pastian (uncertainty).
Lebih sulit di analisis, meskipun representasi ketidakpastian dalam
model dapat menghasilkan suatu penyajian sistem nyata yang lebih
realistis.
E. Penyederhanaan model:
1. Melinierkan hubungan yang tidak linier.
2. Mengurangi banyaknya variabel atau kendala.
3. Merubah sifat variabel, misalnya dari diskrit menjadi kontinyu.
4. Mengganti tujuan ganda menjadi tujuan tunggal.
5. Mengeluarkan unsur dinamik (membuat model menjadi statik).
6. Mengasumsikan variabel random menjadi suatu nilai tunggal (deterministik).
Pembentukan model sangat esensial dalam Riset Operasi karena solusi dari
pendekatan ini tergantung pada ketepatan model yang dibuat.
Tahap-tahap Pemodelan dalam RO yang telah disampaikan pada bab sebelum, dalam
LP menyusun memperhatikan urutan sebagai berikut:
1. Merumuskan masalah.
Merumuskan definisi persoalan secara tepat, dalam perumusan masalah ada tiga
hal yang penting diperhatikan:
Variabel keputusan
yaitu unsur-unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan oleh pengambil
keputusan, sering disebut sebagai instrumen.
Tujuan (objective)
Penetapan tujuan membantupengambil keputusan memusatkan perhatian
pada persoalan dan pengaruhnya terhadap organisasi. Tujuan ini
diekspresikan dalam variabel keputusan.
Kendala (constraint)
adalah pembatas-pembatas terhadap alternatif tindakan yang tersedia.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 17
18. 2. Pembentukan Model
Sesuai dengan definisi persoalannya, pengambil keputusan menentukan
model yang paling cocok untuk mewakili sistem.
Model merupakan ekspresi kuantitatif dari tujuan dan kendala-kendala
persoalan dalam variabel keputusan.
Jika model yang dihasilkan cocok dengan salah satu model matematik yang
biasa (misalnya linier), maka solusinya dapat dengan mudah diperoleh
dengan program linier.
3. Mencari penyelesaian masalah
Aplikasi bermacam-macam teknik dan metode solusi kuntitatif yang
merupakan bagian utama dari OR
Disamping solusi terhadap model, perlu juga informasi tambahan: Analisa
Sensitivitas.
4. Validasi Model
Model harus diperiksa apakah dpt merepresentasikan berjalannya sistem
yang diwakili.
Validitas model dilakukan dgn cara membandingkan performance solusi
dengan data aktual.
Model dikatakan valid jika dengan kondisi input yang serupa, dapat
menghasilkan kembali performance seperti kondisi aktual.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 18
19. Di bawah ini Model Linear Progamming dibentuk dalam matematis perumusan
masalah umum, agar mempermudah pembahasan model LP ini, digunakan simbol
sebagai berikut :
m = Macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
n = Macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas
tersebut.
i = Nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia ( i = 1,2, .., m )
j = Nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas
yang tersedia ( j = 1,2,…, n )
Xj = Tingkat kegiatan ke, j ( j = 1,2,…, n )
aij = Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit
keluaran (output) kegiatan j . ( i = 1,2, .., m ) dan ( j = 1,2,…, n )
bi = Banyaknya sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan ke
setiap unit kegiatan ( i = 1,2, .., m )
Z = Nilai yang dioptimalkan (maksimum dan minimum)
Cj = Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan Xj dengan
satu satuan (unit); atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran
kegiatan j terhadap nilai Z.
Tabel (3)
Data untuk model linear progamming
Kegiatan Pemakaian Sumber per Unit
Kapasistas
kegiatan (keluaran)
sumber
Sumber 1 2 3 … n
1 a11 a12 a13 a1n b1
2 a21 a22 a23 a2n b2
3 a31 a32 a33 a3n b3
….
….
….
….
….
….
….
m am1 am2 am3 … amn bm
∆Z pertambahan C1 C2 C3 … Cn
tiap unit
Tingkat kegiatan X1 X2 X3 … Xn
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 19
20. Berdasarkan tabel di atas kemudian disusun suatu model matematis yang digunakan
untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut :
Fungsi Tujuan :
Memaksimumkan Z = C1X1 + C2X2+ C3X3+ … + CnXn
Batasan-batasan :
1. a11X1 + a12X2 + a13X3+ … + a1nXn ≤ b1
2. a21X1 + a22X2 + a23X3+ … + a2nXn ≤ b1
…
m. am1X1 + am2X2 + am3X3+ … + amnXn ≤ b1
dan
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, …. Xn ≥ 0
F. Karakteristik Persoalan LP:
Ada tujuan yang ingin dicapai
Tersedia beberapa alternatif untuk mencapai tujuan
Sumberdaya dalam keadaan terbatas
Dapat dirumuskan dalam bentuk matematika (persamaan/ketidaksamaan)
Contoh pernyataan ketidaksamaan:
Untuk menghasilkan sejumlah meja dan kursi secara optimal, total biaya yang
dikeluarkan tidak boleh lebih dari dana yang tersedia.
(Pernyataan bersifat normatif)
G. Metode penyelesaian masalah:
Grafis (2 variabel)
Matematis (Simplex method)
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 20
21. Contoh Persoalan LP_1 :
Perusahaan industri PT MULIA menghasilkan dua jenis produk yaitu P1 dan P2
masing-masing memerlukan dua macam bahan baku, A dan B. Harga jual tiap satuan
P1 sebesar Rp.150,- dan P2 sebesar Rp. 100,-. Bahan baku A yang tersedia sebanyak
600 satuan dan B
sebanyak 1.000 satuan. Satu satuan P1 memerlukan satu satuan A dan dua satuan B,
sedangkan P2 memerlukan satu satuan A dan satu satuan B. Semua informasi yang
tersedia dapat disajikan dalam tabel sebagai berikut :
Masalahnya adalah menentukan alokasi bahan A dan B sebaik mungkin, atau dengan
kata lain menentukan jumlah produksi P1 dan P2 sehingga tercapai tujuan perusahaan
yaitu meraih keuntungan semaksimal mungkin. Meskipun tabel diatas sudah dapat
menggambarkan situasi produksi dan masalah yang dihadapi akan tetapi penentuan
jumlah produksi P1 dan P2 masih sulit. Oleh karena itu kita akan menerjemahkan
masalah ini ke dalam model matematika dengan rumusan yang sederhana sehingga
mudah dicari penyelesaiannya.
Misalkan jumlah jenis produk P1 dan P2 adalah X1 dan X2 satuan. Maka jumlah
hasil penjualan tentu sama dengan : f = 150X1 + 100X2.
Tujuan PT MULIA ialah mengusahakan f sebesar-besarnya sehingga keuntungan
juga akan maksimal, karena untuk menghasilkan satu satuan P1 diperlukan satu
satuan bahan A dan dua satuan bahan B, maka untuk sejumlah X1 satuan jenis P1
diperlukan sejumlah X1 satuan bahan A dan sejumlah 2X1 satuan bahan B. Dengan
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 21
22. cara yang sama untuk menghasilkan sejumlah X2 satuan jenis P2 diperlukan
sejumlah X2 satuan bahan A dan sejumlah X2 satuan bahan B. Dengan demikian
jumlah bahan A yang diperlukan untuk menghasilkan sejumlah X1 satuan P1 dan
sejumlah X2 satuan P2 adalah (X1 + X2) satuan. Bahan B yang diperlukan ialah
(2X1 + X2) satuan.
Karena bahan A dan B masing-masing hanya tersedia 600 dan 1.000 satuan, maka
(X1+X2) dan (2X1+X2) masing-masing tidak mungkin melebihi 600 dan 1.000
satuan. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
( X1 + X2 ) < 600 dan ( 2X1 + X2 ) < 1000
atau
X1 + X2 - 600 < 0
2X1 + X2 - 1.000 < 0
kalau semua keterangan ini dikumpulkan, maka akan sampai kepada satu bentuk
model matematika yang menggambarkan masalah produksi yang sedang dihadapi PT
MULIA, yaitu :
f = 150X1 + 100X2
g = X1 + X2 - 600
h = 2X1 + X2 - 1.000
Tujuan dari model ini yaitu menentukan jumlah produksi P1 (=X1) dan jumlah
produksi P2
(=X2) sehingga jumlah hasil penjualan f = 150X1 + 100X2 maksimal sesuai dengan
keterbatasan yang ada.
Secara singkat dapat ditulis : tentukan X1 dan X2 yang memenuhi batasan :
Max. f = 150X1 + 100X2
X1 + X2 < 600
2X1 + X2 < 1.000
X1 > 0
X2 > 0
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 22
23. Langkah-langkah penggunaan metode grafik dapat ditunjukkan secara ringkas
sebagai berikut :
1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikan dalam bentuk matematis.
2. Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikan dalam
bentuk
matematis.
3. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem cross
sumbu.
4. Mencari titik yang paling menguntungkan ( optimal ) dihubungkan dengan
fungsi tujuan.
Contoh Persoalan LP_2:
Suatu perusahaan (Perusahaan Meubel) menghasilkan dua produk, meja dan kursi
yang diproses melalui dua bagian fungsi: perakitan dan pemolesan. Pada bagian
perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam
kerja. Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja
pemolesan, sedangkan utk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan
4 jam kerja pemolesan, Laba utk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing2 Rp.
80.000 dan Rp. 60.000,-. Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan?
Perumusan persoalan dalam bentuk tabel :
Waktu yang dibutuhkan per unit Total jam
Proses
Meja Kursi tersedia
Perakitan 4 2 60
Pemolesan 2 4 48
Laba/unit 80.000 60.000
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 23
24. Perumusan persoalan dlm bentuk matematika:
Maks : Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000)
Dengan kendala :
4M + 2K≤ 60
2M + 4K ≤ 48
M≥0
K≥0
Penjabaran Langkah-langkah dalam perumusan model LP :
1. Definisikan Variabel Keputusan (Decision Variable)
Variabel yang nilainya akan dicari
2. Rumuskan Fungsi Tujuan:
Maksimisasi atau Minimisasi
Tentukan koefisien dari variabel keputusan
3. Rumuskan Fungsi Kendala Sumber daya:
Tentukan kebutuhan sumberdaya untuk masing-masing peubah keputusan.
Tentukan jumlah ketersediaan sumber daya sebagai pembatas.
4. Tetapkan kendala non-negatif
Setiap keputusan (kuantitatif) yang diambil tidak boleh mempunyai nilai
negatif.
Perumusan persoalan dalam model LP.
Definisi variabel keputusan:
Keputusan yang akan diambil adalah berapakah meja dan kursi yang akan
dihasilkan. Jika meja disimbolkan dgn M dan kursi dengan K, maka definisi
variabel keputusan:
M = jumlah meja yang akan dihasilkan (dalam satuan unit)
K = jumlah kursi yang akan dihasilkan (dalam satuan unit)
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 24
25. Perumusan fungsi tujuan:
Laba utk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp.
60.000. Tujuan perusahaan adlh utk memaksimumkan laba dari sejumlah meja
dan kursi yang dihasilkan. Dengan demikian, fungsi tujuan dapat ditulis:
Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp.10. 000)
Perumusan Fungsi Kendala:
Kendala pada proses perakitan:
Utk menghasilkan 1 bh meja diperlukan waktu 4 jam dan utk menghasilkan 1 bh
kursi diperlukan waktu 2 jam pd proses perakitan. Waktu yg tersedia adalah 60
jam.
4M + 2K ≤ 60
Kendala pada proses pemolesan:
Utk menghasilkan 1 bh meja diperlukan waktu 2 jam dan utk menghasilkan 1 bh
kursi diperlukan waktu 4 jam pd proses pemolesan. Waktu yang tersedia adalah
48 jam.
2M + 4K ≤ 48
Kendala non-negatif:
Meja dan kursi yg dihasilkan tdk memiliki nilai negatif.
M≥0
K≥0
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 25
26. Penyelesaian secara grafik:
(Hanya dapat dilakukan untuk model dg 2 decision variables)
Gambaran masing-masing fungsi kendala pada grafik yang sama.
O M
Laba = 8M + 6K
Pada A: M = 0, K = 12
Laba = 6 (12) = 72
Pada B: M = 12, K = 6
Laba = 8(12) + 6(6) = 132
Pada A: M = 15, K = 0
Laba = 8 (15) = 120
Keputusan:
M = 12 dan K = 6
Laba yg diperoleh = 132.000
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 26
27. H. Beberapa konsep penting dalam penyelesaian persoalan LP
Extrem points:
Titik-titik sudut daerah kelayakan (feasbile region)
Infeasible Solution:
Tidak ada solusi karena tidak semua kendala terpenuhi.
Unbounded Solution:
Solusi yang disebabkan karena fungsi tujuan dibuat tanpa batas dan tidak
melanggar fungsi kendala.
Redundancy:
Redundancy terjadi karena adanya kendala yang tidak mempengaruhi daerah
kelayakan.
Alternative optima:
Solusi yang tidak memberikan nilai yang unik, terjadi bila garis fungsi
tujuan berimpit dengan garis salah satu kendala.
SOAL
1. Perusahaan sepatu “IDEAL“ membuat dua macam sepatu. Merk pertama (I-1)
dengan sol dai karet, dan merk kedua (I-2) dengan sol dari kulit. Untuk membuat
sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus
membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3
membuat bagian atas sepatu dan melakukan perakitan bagian atas dengan sol.
Setiap lusin sepatu merk I-1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam,
kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam.
Sedang sepatu merk I-2 tidak diproses di mesin 1 tetapi langsung di mesin 2
selam 3 jam kemudian mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari
untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan
terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merk I-1 = Rp. 30.000,- sedangkan merk
I-2 = Rp. 50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya
sepatu merk I-1 dan merk I-2 yang dibuat agar bisa memaksimalkan laba.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 27
28. 2. PT. “Umsini” memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk
yaitu, astro dan cosmos. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan
baku A, bahan baku B, dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku
A adalah 60 kg perhari, bahan baku B 30 kg perhari dan tenaga kerja 40 jam
perhari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja,
dapat dilihat dalam tabel berikut ini:
Kedua jenis produk memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp 40,- untuk
astro dan Rp 30,- untuk cosmos. Masalahnya adalah bagaimana menentukan
jumlah unit setiap produk yang akan diproduksi dalam setiap hari.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 28
29. BAB IV
STANDAR KOMPETENSI
Mahasiswa mampu mendeskripsikan dan menerapkan setiap programa linear riset
operasi sehingga mempunyai kemampuan untuk memodifikasi persoalan yang telah
ada yang berasal dari kehidupan sehari-hari dan menyelesaikannya.
KOMPETENSI DASAR
Mahasiswa menggambarkan Teknik pemecahan model progama linier
TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAM LINEAR
METODE GRAFIK UNTUK MASALAH MINIMASI
Pada prinsipnya sama dengan masalah maksimasi seperti diatas. Perbedaan terletak
pada langkah 3 dalam hal menentukan solusi optimum. Solusi optimum masalah
maksimasi tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible yang
terjauh dari titik origin. Sedang masalah minimasi solusi optimum tercapai pada saat
garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible yang terdekat dengan titik origin.
Penyelesaian masalah Minimasi
Langkah 1.
Gambarkan semua kendala ( sama dg maksimasi )
Langkah 2.
Gambarkan garis fungsi tujuan ( sama dg maksimasi )
Langkah 3.
Dapatkan solusi optimum, dengan cara mencari nilai variabel keputusan yang dapat
meninimumkan fungsi tujuan.
Contoh :
Seorang ahli penata diet merencanakan untuk membuat 2 jenis makanan yaitu
makanan A dan makanan B. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan
protein. Jenis makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan jenis makanan B paling
sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein
dalam setiap jenis makanan.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 29
30. Masalah ahli penata diet adalah bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis
makanan, agar meninimumkan biaya produksi.
Formulasi dalam bentuk LP
Z(Min) = 100X1 + 80X2
Kendala 2X1 + X2 > 8 ( Vitamin )
2X1 + 3X2 > 12 ( Protein )
X1 > 2 ( Manakan A )
X2 > 1 ( Makanan B )
X1 > 0, X2 > 0 ( Non negative )
Buatlah grafik, dan cari solusi optimumnya!. (latihan buat pembaca)
MASALAH-MASALAH KHUSUS DALAM LP METODE GRAFIK
Multiple Optimum Solution
Dalam LP sangat dimungkinkan terjadi multiple optimum solution atau sering
disebut dengan solusi optimum lebih dari satu.
Contoh : Z (Mak) = 20X1 + 40X2
Kendala 3X1 + 6X2 < 30
X1 < 8
X2 < 3
X1, X2 > 0
No Feasible Solutions
Tidak adanya feasible solution dapat terjadi karena kesalahan dalam membuat
formulasi LP
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 30
31. atau kesalahan dalam menggambar garis kendala, sehingga kita tidak dapat
menemukan feasible solution space
Contoh : Z (Mak) = 20X1 + 50X2
Kendala X1 + X2 < 5
2X1 + 3X2 > 24
X1, X2 > 0
Contoh Persoalan LP :
Masalah Maksimisasi
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis
produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan
bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum
penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan
tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam
tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:
Jenis bahan baku Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum
dan tenaga kerja Kain Sutera Kain Wol penyediaan
Benang sutera 2 3 60
Benang wol - 2 30
Tenaga kerja 2 1 40
Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera
dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah
unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang
diperoleh bisa maksimal.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 31
32. Penyelesaian :
Langkah-langkah:
1) Tentukan variabel
X1=kain sutera
X2=kain wol
2) Fungsi tujuan
Zmax = 40X1 + 30X2
3) Fungsi kendala / batasan
a. 2X1 + 3X2 ≤ 60 (benang sutera)
b. 2X2 ≤ 30 (benang wol)
c. 2X1 + X2 ≤ 40 (tenaga kerja)
4) Membuat grafik
a. 2X1 + 3 X2 = 60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
b. 2X2 ≤ 30
X2=15
c. 2X1 + X2 ≤ 40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 32
33. Gambar Grafik :
Cara mendapatkan solusi optimal:
5. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20 ↔ X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 33
34. 2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 ↔ X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15 ↔ X1 = 7,5
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan :
untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan
keuntungan sebesar Rp 900 juta.
6. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah
feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin.
Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1)
dan (3).
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 34
35. 2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20
X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 ↔ X1 = 15
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 35
36. Contoh Persoalan LP :
Masalah Minimisasi
Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai
pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik
origin.
Contoh :
Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan
yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin
dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit
diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam
setiap jenis makanan:
Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya
produksi.
Langkah – langkah:
1. Tentukan variabel
X1 = Royal Bee
X2 = Royal Jelly
2. Fungsi tujuan
Zmin = 100X1 + 80X2
3. Fungsi kendala
a) 2X1 + X2 ≥ 8 (vitamin)
b) 2X1 + 3X2 ≥ 12 (protein)
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 36
37. c) X1 ≥ 2
d) X2 ≥1
4. Membuat grafik
a) 2X1 + X2 = 8
X1 = 0, X2 = 8
X2 = 0, X1 = 4
b) 2X1 + 3X2 = 12
X1 = 0, X2 = 4
X2 = 0, X1 = 6
c) X1 = 2
d) X2 = 1
Gambar Grafik :
Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan
garis kendala (1) dan (2).
2X1 + X2 = 8
2X1 + 3X2 = 12
-2X2 = -4 ↔ X2 = 2
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 37
38. masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + X2 = 8
2X1 + 2 = 8
2 X1 = 6 ↔ X1 = 3
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460
Kesimpulan :
Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya
produksi 460 ribu rupiah.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 38
39. SOAL LATIHAN LP_METODE GRAFIK
SOAL 1
Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Kendala : 1) 2X1 ≤ 8
2) 3X2 ≤ 15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30
X1 ≥ 0 , X 2 ≥ 0
SOAL 2
Minimumkan Z = 5 X1 + 2X2
Kendala: 1) 6X1 + X2 ≥ 6
2) 4X1 + 3X2 ≥ 2
3) X1 + 2X2 ≥ 4 , X1 ≥ 0
SOAL 3
PT BAKERY memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dan coklatkeju
dengan keuntungan tiap jenis produk masing-masing Rp 150, Rp 400 dan Rp 600. Setiap
minggu ditetapkan minimum produksi roti pia 25 unit, bolukismis 130 unit dan
coklatkeju 55 unit. Ketiga jenis roti memerlukan pemrosesan tiga kali yaitu penyiapan
bahan, peracikan dan pengovenan seperti terlihat pada tabel berikut:
Bagaimana formulasi program linear masalah PT Bakery tersebut dan hitung solusi
optimalnya!
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 39
40. Daftar Pustaka
Aminudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi, Erlangga, 2005
Bustanul Arifin Noer, Belajar Riset Operasional. 2010. Yogyakarta. Penerbit : CV.
ANDI OFFSET
Bambang Yuwono, Materi Ringkasan Riset Operasional. 2007. Yogyakarta. Penerbit
: UPN press
Daniel Mohammad Rosyid, OPTIMASI: Teknik Pengambilan Keputusan Secara
Kuantitatif. 2009. Surabaya. Penerbit : ITS Press
Dwi Hayu Agustini dan Yus Endra Rahmadi, Riset Operasional "Konsep-konsep
dasar", 2004. Jakarta : Rineka Cipta
Hillier and Lieberman, Introduction to Operations Research, 1990. New York : Mc
Graw Hill, Inc.
Subagyo Pangestu, Marwan Asri, dan T. Hani Handoko, Dasar-Dasar Operation
Research, 2000. Yogyakarta : BPFE
Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati, Operation Research “Model-Model
Pengambilan Keputusan”, 2006. Bandung : Sinar Baru Algensindo.
Winston L. Wayne, Introduction to Operation Research: Applications and
Algorithms. 1994. Duxbury Press.
Bahan Ajar Kuliah Riset Operasi (RO) by RKS Page 40