8.primaldan dual

8. PRIMAL, DUAL, DAN KEMEROSOTAN

Untuk memperoleh gambaran yang jelas tentang masalah “PRIMAL” dan
“DUAL”, kita definisikan masalah-masalah berikut sebagai masalah primal dan
dual nya masing-masing.

(*) Masalah maksimum :
Maksimumkan: f = c1 x1 + c 2 x 2 + ........... + c m x m
Syarat:
a11 x1 + 12 x 2 + 13 x3 +
a a .......... + 1m x m ≤b1
a
a 21 x1 + 22 x 2 + 23 x 3 +
a a .......... + 2 m x m ≤b2
a
a 31 x1 + 32 x 2 + 33 x 3 +
a a .......... + 3m x m ≤b3
a
.................................................................
.................................................................
..................................................................
a k 1 x1 + k 2 x 2 + k 3 x3 +
a a .......... + km x m ≤bk
a
xi ≥ 0, i = 1, 2, .........., m

(**) Masalah minimum :
Minimumkan: g = b1 y1 + b2 y 2 + ........... + bk y k
Syarat:
a11 y1 +a 21 y 2 +a 31 y 3 +.......... +a k 1 y k ≥c1
a12 y1 +a 22 y 2 +a 32 y 3 +.......... +a k 2 y k ≥c 2
a13 y1 +a 23 y 2 +a 33 y 3 +.......... +a k 3 y k ≥c 3
.................................................................
.................................................................
..................................................................
a1m y1 +a 2 m y 2 +a 3 m y 3 + .......... +a km y k ≥c m

yi ≥ 0, i = 1, 2, .........., k

Masalah (*) dan (**) saling berperan sebagai primal dan dualnya. Akan kita tulis
kembali koefisien dari sekelompok persamaan (*) dan (**) dalam bentuk
matriks, dengan koefisien dari fungsi obyektif sebagai baris paling bawah.

(*) Masalah Maksimum

a11 a12 a13 . . . . . . . . . a1m b1

1

a21 a22 a23 . . . . . . . . . a2m b2
.......................... .... ...........

.......................... .... ...........

ak1 ak2 ak3 . . . . . . . . . akm bk
c1 c2 c3 . . . . . . . . . . c k *

(**) Masalah Minimum

a11 a21 a31 . . . . . . . . . ak1 c1
a12 a22 a32 . . . . . . . . . ak2 c2
.......................... .... ...........

.......................... .... ...........

a1m a2m a3m . . . . . . . . akm cm
b1 b2 b3 . . . . . . . . . . b k *

Dalam setiap kasus, koefisien dari matriks DUAL dapat ditentukan sebagai
transpose dari koefisien matriks PRIMALnya.

8.1. PRIMAL DAN DUAL

Berkaitan dengan setiap masalah program linear selalu ada dualnya. Arti dari
DUAL akan menjadi lebih jelas setelah Anda mempelajari masalah vitamin yang
telah dibahas di muka. Untuk lengkapnya kita tuliskan kembali data masalah
tersebut.

Makanan Keperluan
Vitamin
F1 F2 sehari-hari
A 2 4 40
B 3 2 50
Harga Makanan/Unit 3 2,5

Marilah kita pertimbangkan makanan F 1 dan F2 yang dijual disebuah
toko. Pemilik toko menyadari bahwa makanan F 1 dan F2 memiliki nilai jual
karena mengandung vitamin A dan B yang diperlukan untuk kesehatan.
Masalah yang ia hadapi adalah menentukan harga jual, misal x sen dolar
per unit vitamin A dan y sen dolar per unit vitamin B. Ia menyadari bahwa harga
per unit vitaminnya harus diatur sedemikian rupa sehingga harga jual yang

2

ditetapkannya untuk kedua jenis makanan kurang dari atau sama dengan harga
pasaraan.
Dengan perkataan lain terhadap x dan y harus ditentukan harga, sehingga
biaya yang dihitung untuk makanan F1 dan F2 kurang dari atau sama dengan 3
sen dan 2,5 sen dolar perunit, masing-masing. Kalau pemilik toko menentukan
harga di atas harga 3 dan 2,5 sen dolar, ia akan kehilangan pelanggan.
Pada saat yang sama, ia ingin memaksimumkan penghasilannya, yang
diberikan oleh f = 40 x + 50 y, karena keperluan vitamin sehari-harinya adalah 40
unit dan 50 unit untuk masing-masing vitamin.
Masalah yang dihadapi oleh pemilik toko dapat dirangkum sebagai berikut :

(**) Maksimumkan : f = 40 x + 50 y
Syarat : 2x+3y≤ 3
4 x + 2 y ≤ 2,5
dan x ≥ 0, y ≥ 0
Sekelompok pertidaksamaan (**) ini merupakan DUAL dari masalah
aslinya. Untuk mengenalinya, masalah aslinya disebut PRIMAL. Jika (**) kita
sebut PRIMAL, maka masalah asli disebut DUAL nya, dan sebaliknya.
Kesimpulan yang perlu diperhatikan ialah bahwa setiap masalah program
linear memiliki DUAL yang unik (hanya satu-satunya). Masalah (**) dengan
mudah dapat diselesaikan dengan Metode SimpleksI.

Tabel Program 1
Program Koefisen Besar 40 50 0 0
fungsi peubah X Y S1 S2
obyek
S1 0 3 2 3 1 0 3
=1
3
S2 0 2,5 4 2 0 1 2,5
= 1,25
2
Baris penilaian 40 50 0 0
Peubah keluar peubah masuk
Selama dalam barisan penilaian masih terdapat nilai yang positif, berarti program
belum optimal, dan masih memerlukan perbaikan.

Tabel Program 2
Program Koefisien Besar 40 50 0 0
obyek

3

Y 50 1 2 1 1 0 1 3
=
3 3 2 2
3
S2 0 1 8 0 2 1 1
−
2 3 3 2= 3
8 16
3
20 20
Baris penilaian 0 − 0
3 3
Peubah keluar peubah masuk
Baris penilaian masih mempunyai nilai positif di bawah kolom peubah x. Peubah
x harus masuk dalam program perbaikan, mengeluarkan S2

Tabel Program 3
obyek
Y 50 7 0 1 1 1
−
8 2 4
X 40 3 1 0 1 3
−
16 4 8
Baris penilaian 0 0 -15 -2,5

Program 3 ini sudah optimal karena Baris penilaian tidak memiliki nilai positif
3
lagi. Pemilik toko harus menetapkan harga sen dolar untuk vitamin A dan
16
7
sen dolar untuk vitamin B perunitnya. Nilai dari fungsi obyektif adalah :
8
3 7
f = 40 ( ) + 50 ( ) = 51,25 sen dolar
16 8
yang memang persis sama dengan jawaban yang diperoleh pada masalah mencari
nilai minimum dengan membeli makanan F1 dan F2.
MEMBANDINGKAN TABEL PRIMAL DAN DUAL NYA

Sekarang kita perhatikan tabel optimal dari masalah primal yang melibatkan
pembelian makanan F1 dan F2 (tabel*), kemudian tabel optimal dari dual nya
(tabel **). Tabel dari dua tabel optimal tersebut akan memberikan nilai yang
sama.

Tabel optimal dari PRIMAL
Program Biaya Kuantitas 3 2,5 0 0 M M

4

perunit X* Y* S1 S2 A1 A2
Y* 2,5 2,5 0 1 3 1 3 1
- -
8 4 8 4
X* 3 15 1 0 1 1 1 1
- -
4 2 4 2
3 7 3
Baris penilaian 0 0 M- M-
16 8 16

7
8

Tabel optimal dari DUAL nya
obyek
Y 50 7 0 1 1 1
−
8 2 4
X 40 3 1 0 1 3
−
16 4 8
Baris penilaian 0 0 -15 -2,5
Maka dapat dikatakan bahwa penyelesaian masalah PRIMAL dalam program
linear selalu dapat memberikan suatu penyelesaian untuk DUAL nya.

SIMETRI ANTARA PRIMAL DAN DUAL-NYA
Simetri antara masalah PRIMAL dan DUAL-nya dapat dirangkum
sebagai berikut:

Maksimumkan:
2 X* + 4 Y* ≥ 40
X X X
+ + +
3 X* + 2 Y* ≥ 50
Y Y Y

Minimumkan: 3 X* + 2,5Y*

5

Dibaca horizontal, kita memiliki masalah mencari nilai minimum
sebagai PRIMAL. Sedangkan membaca secara vertikal, kita memiliki
DUAL yang meruapakan penentuan nilai maksimum.
Sekarang akan kita perhatikan masalah menentukan nilai maksimum
sebagai PRIMAL. Masalah ini mempunyai DUAL juga.

Minimumkan:
10,7 X + 5 Y + 2 Z ≤ 2705
X* X* X* X*
+ + + +
5,4 X + 10 Y + 4 Z ≤ 2210
Y* Y* Y* Y*
+ + + +
0,7 X + 1 Y + 2 Z ≤ 445
Z* Z* + Z* Z*

Maksimumkan: 10 X + 15Y + 20 Z

Membaca secara horizontal kita peroleh masalah menentukan nilai
maksimum sebagai PRIMAL. Sedangkan membaca dengan arah vertikal
kita dapatkan DUAL-nya yang dapat dinyatakan sebagai berikut :

10,7 a + 5,4 b + 0,7 c ≥ 10
5 a + 10 b + 1 c ≥ 15
2 a + 4 b + 2 c ≥ 20

Dengan fungsi obyektif : f = 2705 a + 2210 b + 445 c

Latihan Soal

1. Untuk membuat dua model baju, sebuah perusahaan pakaian memiliki
data sebagai berikut :

Bahan baju Baju I Baju II Persediaan
Katun 2 1 16

Sutera 1 2 11

Tetoron 1 2 15
Harga $ 30 $ 50

6

Berapa banyak baju I dan baju II masing-masing harus dibuat agar
penghasilan maksimum ?

a. Tuliskanlah matriks koefisiennya.
b. Tentukan fungsi obyektif dari masalah DUAL-nya.
c. Tentukanlah matriks koefisien dari masalah DUAL-nya.
d. Tuliskanlah masalah DUAL-nya.

2. Diberikan masalah PRIMAL sebagai berikut :

Maksimumkan : f = 3 x + 5 y + 2z
Syarat : 2 x – y + 3z ≤ 6
x + 2y + 4z ≤ 8
dan x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

a. Tentukanlah matriks koefisien dari PRIMAL ini
b. Tentukan matriks koefisien dari DUAL-nya.
c. Tentukanlah masalah DUAL-nya.

3. Diberikan masalah PRIMAL sebagai berikut

Maksimumkan : f = 2 x + 6 y + 7z
Syarat : x + 2y + 5z ≤ 4
2x – y + 2z ≤ 6
3x + 5y + z ≤ 1
dan x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

d. Tentukanlah matriks koefisien dari PRIMAL ini
e. Tentukan matriks koefisien dari DUAL-nya.
f. Tentukanlah masalah DUAL-nya.

7

8.primaldan dual

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 8.primaldan dual

Similar to 8.primaldan dual (20)

8.primaldan dual