Makalah ini membahas tentang Riset Operasi dan beberapa metode yang digunakan dalam Riset Operasi seperti metode grafik, metode operasi baris elementer, metode simpleks, dan metode dual simpleks. Makalah ini bertujuan untuk menambah pengetahuan mahasiswa dalam mempelajari Riset Operasi."
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)hazhiyah
Seringkali terjadi dalam kenyataan dimana total permintaan tidak sama dengan total penawaran. Masalah ketidakseimbangan dalam ini dalam metode transportasi dapat diatasi dengan mempergunakan persediaan dan permintaan bayangan (dummy). Selain masalah permintaan dan penawaran, dalam metode transportasi juga dikenal masalah lain yaitu degenerasi dan redudansi yang terjadi dalam penyelesaian masalah dalam metode transportasi baik itu di solusi awal atau pada solusi optimal
Metode Transportasi (Masalah dalam Metode Transportasi)hazhiyah
Seringkali terjadi dalam kenyataan dimana total permintaan tidak sama dengan total penawaran. Masalah ketidakseimbangan dalam ini dalam metode transportasi dapat diatasi dengan mempergunakan persediaan dan permintaan bayangan (dummy). Selain masalah permintaan dan penawaran, dalam metode transportasi juga dikenal masalah lain yaitu degenerasi dan redudansi yang terjadi dalam penyelesaian masalah dalam metode transportasi baik itu di solusi awal atau pada solusi optimal
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum.
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Salah satu pendekatan yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah manajemen sains adalah pemrograman linear. Pemrograman linear merupakan kelompok teknik analisis kuantitatif yang mengandalkan model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Artinya, setiap masalah yang kita hadapi dalam suatu sistem permasalahan tertentu perlu dirumuskan dulu dalam simbol-simbol matematika tertentu, jika kita inginkan bantuan pemrograman linear sebagai alat analisisnya.
Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear yang melibatkan dua peubah keputusan. Membahas mengenai masalah meminimumkan fungsi kendala bertanda ≥, fungsi kendala bertanda = tidak ada penyelesaian layak, tidak ada penyelesaian optimal, beberapa alternatif optimal, dan wilayah kelayakan yang tidak terikat dapat terjadi saat menyelesaikan masalah pemrograman linear dengan menggunakan prosedur penyelesaian grafik. Kasus-kasus ini juga dapat terjadi saat menggunakan metode simpleks.
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai.
Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Bagaimana cara mencari nilai maksimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara menyelesaikan masalah/kendala (syarat) bertanda “=”?
Bagaimana cara mencari nilai minimum dengan menggunakan metode simpleks?
Bagaimana cara membedakan antara asalah primal dan dual dalam program linear?
Kapan pemrograman linear dikatakan mengalami degenerasi?
Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini antara lain :
Dapat menyelesaikan masalah maksimasi dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah / kendala (syarat) bertanda “=” pada program linear
Dapat menyelesaikan masalah minimasi dalam program linear
Dapat mengetahui dan membedakan antara masalah primal dan dual dalam program linear
Dapat menyelesaikan masalah degeneracy / kemerosotan dalam program linear
BAB II
PEMBAHASAN
Masalah Maksimasi
Untuk menyelesaikan masalah maksimasi maka programasi linear harus lebih dahulu ditulis dalam bentuk standar. Dengan bentuk standar dimaksudkan adalah permasalahan programasi linear yang berwujud permasalahan maksimasi dengan batasan-batasan (kendala) yang bertanda kurang dari
Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum.
ppt profesionalisasi pendidikan Pai 9.pdfNur afiyah
Pembelajaran landasan pendidikan yang membahas tentang profesionalisasi pendidikan. Semoga dengan adanya materi ini dapat memudahkan kita untuk memahami dengan baik serta menambah pengetahuan kita tentang profesionalisasi pendidikan.
1. KATA PENGANTAR
Segala puji saya panjatkan kehadirat
Allah SWT. Yang telah berkenan
memberi petunjuk dan kekuatan kepada saya membuat makalah, “Riset Operasi”.
Makalah ini disusun dan dibuat berdasarkan materi–materi yang ada. Materi–
materi bertujuan agar dapat menambah pengetahuan dan wawasan mahasiswa dalam
belajar Riset Operasi. Mudah-mudahan dengan mempelajari makalahini, para
mahasiswa akan mampu menghadapi masalah-masalah atau kesulitan-kesulitan yang
timbul dalam belajar Riset Operasi. Dan dengan harapan semoga mahasiswa mampu
berinovasi dan berkreasi dengan potensi yang dimiliki. Semoga Allah memberkahi
makalah ini sehingga benar-benar bermanfaat. Aamiin.
Batam, Juni 2013
Penulis
1
2. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................................. 1
DAFTAR ISI ................................................................................................................ 2
SOAL DAN JAWABAN ............................................................................................. 3
1.
Metode Grafik .................................................................................................. 3
2.
Metode Operasi Baris Elementer (OBE) ....................................................... 9
3.
Metode Simpleks ............................................................................................ 10
4.
Metode Dua Fase ( Two Phase methode ) ..................................................... 22
5.
Metode Primal Dual atau Metode Dual Simpleks ....................................... 24
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 28
2
3. SOAL DAN JAWABAN
1. Metode Grafik
Maksimisasidapatberupamemaksimalkankeuntunganatauhasil.
PT.TEKSTILMAJUmemiliki sebuahpabrikyangakanmemproduksi 2 jenis
produk, yaitu kain sutera dan kain wol.
Untuk memproduksi kedua
produk diperlukan bahan bakubenang sutera,bahanbakubenang woldan
tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60kg perhari,
benangwol30kg
perharidantenagakerja40jamperhari.Kebutuhansetiap
unitprodukakanbahanbakudanjamtenagakerjadapatdilihatdalamtabel
berikut:
Jenisbahanbaku
Kgbahanbaku&Jamtenagakerja
Maksimum
dantenagakerja
Kainsutera
penyediaan
Kainwol
Benangsutera
2
3
60kg
Benangwol
-
2
30kg
Tenagakerja
2
1
40jam
Keduajenisprodukmemberikan keuntungansebesarRp40jutauntukkain sutera dan
Rp
30
juta
untuk
kain
wol.
Masalahnya
adalah
bagaimana
menentukanjumlahunitsetiapjenisprodukyangakandiproduksisetiaphari
agarkeuntunganyangdiperolehbisamaksimal.
Langkah-langkah:
1) Tentukanvariabel
X1=kainsutera
X2=kainwol
2) Fungsitujuan
Zmax=40X1+30X2
3) Fungsikendala/batasan
1. 2X1+3X2≤60(benangsutera)
3
8. X1=0, X2=8
X2=0, X1=4
2) 2X1+3X2=12
X1=0, X2=4
X2=0, X1=6
3) X1=2
4) X2=1
Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat
dengan titik origin), yaitu
persilangangariskendala(1)dan(2).
2X1+ X2= 8
2X1+3X2=12
-2X2=-4X2=2
masukkanX2kekendala (1)
2X1+X2=8
2X1+2=8
2X1=6
X1=3
masukkannilaiX1danX2keZ
Zmin=100X1+80X2=100.3+80.2=300+ 160=460
8
9. Kesimpulan:
Untukmeminimumkanbiayaproduksi,makaX1=
3danX2=2denganbiaya
produksi460riburupiah.
2. Metode Operasi Baris Elementer (OBE)
Ibu Ratih menjual jajanan 3 macam, yaitu risoles, pisang goreng dan bakwan.
Untuk menjual jajanan, diperlukan proses pembungkusan, pengumpulan dan
penyajian. Dengan rincian sebagai berikut.
Proses
Risoles
Pisang
Bakwan
Kapasitas
Goreng
Pembungkusan
1
2
1
0
Pengumpulan
3
8
7
8
Penyajian
2
7
9
15
Penyelesaian:
x + 2y + z = 0
3x + 8y + 7z = 8
2x + 7y + 9z = 15
Dapat ditulis secara matriks A3x3 X3x1 = B3x1, dengan
Matriks lengkap dari atas adalah
Untuk menyelesaikannya, dilakukan dengan membuat koefisien x pada
persamaan-2 dan persamaan-3 menjadi nol atau unsur a21 dan a31 adalah nol.
Untuk dilakukan operasi baris berikut:
9
10. Matriks terakhir merupakan matriks lengkap dari atas adalah
x + 2y + z = 0
y + 2z = 4
z = 3.
Substitusi z=3 ke persamaan-2 didapat y + 2 . 3 = 4 sehingga y = -2.
Dengan mensubstitusikan z=3 dan y=-2 ke persamaan-1 diperoleh
x + 2 . (-2) + 3 = 0 sehingga x = 1.
HS = {(1,-2,3)}.
3. Metode Simpleks
1. Ibu Sari membuat 3 jenis kue. Harga jual kue tersebut yaitu 8, 9 dan 4
rupiah per kue. Sebut saja kuenya kue Lapis, Nagasari, dan Putu.
Kebutuhan proses produksiuntuk ketiga kue tersebut dapat ditabelkan
sebagai berikut:
KEPERLUAN
LAPIS
NAGASARI
PUTU
Bahan baku
1
1
2
Tenaga kerja
2
3
4
Lainnya
7
6
2
Kapasitas yang tersedia untuk bahan baku = 2 (satuan), tenaga kerja = 3 (satuan),
dan lainnya = 8 (satuan).
Tentukan formulasi dan solusinya?
10
11. Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3
Kendala :
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
Penyelesaian :
Bentuk bakunya adalah :
Maksimum Z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0S1 + 0S2 + 0S3
Kendala :
x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2
2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3
7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8
Solusi/table awal simpleks :
Var
Cj
X2
X3
S1
S2
S3
8
Dasar
X1
9
4
0
0
Kuantitas
0
S1
0
1
1
2
1
0
0
2
S2
0
2
3
4
0
1
0
3
S3
0
7
6
2
0
0
1
8
Zj
0
0
0
0
0
0
0
Zj -
-8
-9
-4
0
0
0
Cj
Karena nilai negative terkecil ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom
pivot dan X2 adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan kolom
pivot terkecil adalah 1 bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2 adalah baris
pivot dan s2 adalah varisbel keluar. Elemen pivot adalah 3.
Var
Dasar
Cj
X1
X2
X3
S1
S2
S3
8
9
4
0
0
Kuantitas Rasio
0
11
12. S1
0
1
1
2
1
0
0
2
2/1=2
S2
0
2
3
4
0
1
0
3
3/3=1
S3
0
7
6
2
0
0
1
8
8/6=4/3
Zj
0
0
0
0
0
0
0
Zj -
-8
-9
-4
0
0
0
Cj
Iterasi 1
Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai
pada baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).
Var
Cj
X1
S1
S3
S2
S3
9
4
0
0
0
2/3
9
S1
3/3
4/3
0/3
1/3
0/3
Kuantitas
0
X2
X3
8
Dasar
X2
0
3/3
Zj
Zj - Cj
Perhitungan nilai baris baru yang lainnya :
Baris s1 :
1
1
2
1
0
0
2
1 (2/3
1
4/3
0
1/3
0
1)-
1/3
0
2/3
1
-1/3
0
1
6
2
0
0
1
8
1
4/3
0
1/3
0
1)-
0
-6
0
-2
1
2
Baris s3 :
7
6 ( 2/3
3
Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa apakah
tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x 1 masih
negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel
di bawah ini :
12
14. X1
8
1
0
-2
0
-2/3
1/3
2/3
Zj
8
9
8
0
5/3
2/3
31/3
Zj -
0
0
4
0
5/3
2/3
2/3
Cj
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !
2. Perusahaan “Maju Terus” menghadapi fungsi tujuan : Z = 50x1 + 20x2 +
30x3, dengan kendala-kendala :
2x1 + 3x2 ≤ 1000
3x1 + 2x3 ≤ 2100
x2 + 5x3 ≤ 1500
x1, x2, x3 ≥ 0
Tentukan tingkat produksi yang harus dilakukan agar Z maksimum!
Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini :
1. Pada fungsi tujuan, pindahkan seluruh variabel ke ruas kiri.
Contoh :
Z = 50x1 + 20x2 + 30x3
Sehingga :
Z - 50x1 - 20x2 - 30x3 = 0
2. Untuk fungsi kendala, tambahkan variabel antara (slack variabel) disetiap
fungsi kendala secara berurutan dan ubah tanda ≥ dan ≤ menjadi = .
Contoh :
Kendala :
2x1 + 3x2 ≤ 1000
3x1 + 2x3 ≤ 2100
x2 + 5x3 ≤ 1500
sehingga :
2x1 + 3x2 + x4 = 1000
3x1 + 2x3 + x5 = 2100
x2 + 5x3 + x6 = 1500
14
15. 3. Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simplex.
Sehingga :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
Z
1
-50
-20
-30
0
0
0
0
x4
0
2
3
0
1
0
0
1000
x5
0
3
0
2
0
1
0
2100
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
4. Tentukan kolom kunci dengan mengidentifikasi nilai negatif yang terbesar
pada baris tujuan (baris Z).
Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -50 pada kolom x1.
Sehingga :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
Z
1
-50
-20
-30
0
0
0
0
x4
0
2
3
0
1
0
0
1000
x5
0
3
0
2
0
1
0
2100
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
↓
Kolom kunci
5. Tentukan baris kunci dengan membagi nilai kanan dengan setiap angka pada
kolom kunci. Carilah nilai positif yang terkecil.
Jadi nilai terkecil adalah 500, sehingga baris kuncinya ada pada x4.
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
15
16. Z
1
-50 -20 -30
0
0
0
0
x4
0
2
3
0
1
0
0
1000
x5
0
3
0
2
0
1
0
2100
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
→ baris kunci
↓
Kolom kunci
Angka kunci = 2
6. Karena nilai kunci berada pada kolom x1, maka baris x4 kita ubah namanya
menjadi x1, dan nilai-nilai pada baris x4 kita ubah pula dengan cara
membagi nilai baris dengan angka kunci.
Sehingga :
kolom x 1
kolom x 2
kolom x 3
kolom x 4
kolom x 5
kolom x 6
NK
2
1
2
3
1, 5
2
0
0
2
1
0 ,5
2
0
0
2
0
0
2
1000
50 0
2
Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x1) :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai
16
17. Kanan
Z
1
x1
0
x5
0
x6
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
7. Untuk mengisi nilai setiap sel, gunakan rumus :
Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci)
Misalnya :
Pada baris Z lama :
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Z
1
-50
-20
-30
0
0
0
Nilai
Kanan
0
x1
x5
x6
↓
Kolom kunci
Angka kolom kunci = -50
Sedangkan baris kunci yang baru :
Variabel Dasar
Z
Z
0
x5
0
x6
x2
x3
x4
x5
x6
1
1,5
0
0,5
0
0
Nilai
1
x1
x1
0
Kanan
500
Sehingga baris Z yang baru :
x1 = (-50) – ((-50) X 1) = -50 + 50 = 0
x2 = (-20) – ((-50) X 1,5) = 55
x3 = (-30) –((-50) X 0) = -30
17
18. x4 = 0 – ((-50) X 0,5) = 25
x5 = 0 – ((-50) X 0) = 0
x6 = 0 – ((-50) X 0) = 0
Nilai kanan baru = 0 – ((-50) X 500) = 25000
Untuk baris x5, angka kolom kuncinya adalah 3. Sehingga baris x5 baru :
x1 = 3 – (3 X 1) = 0
x2 = 0 – (3 X 1,5) = -4,5
x3 = 2 – (3 X 0) = 2
x4 = 0 – (3 X 0,5) = -1,5
x5 = 1 – (3 X 0) = 1
x6 = 0 – (3 X 0) = 0
Nilai kanan baru = 2100 – (3 X 500) = 600
Untuk baris x6, angka kolom kuncinya adalah 0. Sehingga baris x6 baru :
x1 = 0 – (0 X 1) = 0
x2 = 1 – (0 X 1,5) = 1
x3 = 5 – (0 X 0) = 5
x4 = 0 – (0 X 0,5) = 0
x5 = 0 – (0 X 0) = 0
x6 = 1 – (0 X 0) = 1
Nilai kanan baru = 1500 – (0 X 500) = 1500
8. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simplex yang baru.
Variabel Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai Kanan
Z
1
0
55
-30
25
0
0
25000
x1
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
x5
0
0
-4,5
2
-1,5
1
0
600
x6
0
0
1
5
0
0
1
1500
9. Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang
bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk
18
19. menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkah-langkah sebelumnya.
Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.
Variabel
Nilai
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Z
1
0
55
-30
25
0
0
25000
x1
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
x5
0
0
-4,5
2
1
0
600
x6
0
0
1
5
0
1
1500
Dasar
1,5
0
↓
Kanan
→ baris kunci
Kolom kunci
Angka kunci = 5
Menentukan baris kunci :
Nilai baris kunci yang baru (x3) dihitung dengan membagi semua angka baris
kunci dengan angka kunci.
Baris x3 baru :
19
20. kolom x 1
kolom x 2
kolom x 3
kolom x 4
kolom x 5
kolom x 6
1
0,2
5
1
5
1
5
0
0
5
0
0
5
1
0,2
5
1500
NK
0,2
5
30 0
5
kolom x 5
kolom x 6
1500
NK
0
0
5
1
0,2
5
30 0
5
Nilai baris kunci yang baru :
Variabel
Dasar
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Nilai
Kanan
Z
x1
x5
20
21. x3
0
0,2
0,2
1
0
0
0,2
300
Baris Z lama :
0
55
-30
25
0
0
25000
↓
Angka kolom kunci = -30
Baris Z baru :
6
61
0
25
0
6
34000
1
1,5
0
0,5
0
0
500
Baris x1 lama :
↓
Angka kolom kunci = 0
Baris x1 baru :
1
1,5
0
0,5
0
0
500
0
-4,5
2
-1,5
1
0
600
1
-0,4
0
Baris x5 lama :
↓
Angka kolom kunci = 2
Baris x5 baru :
-0,4 -4,9
0
-1,5
Sehingga tabel simplex yang baru :
Variabel
Nilai
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Z
1
6
61
0
25
0
6
34000
x1
0
1
1,5
0
0,5
0
0
500
Dasar
Kanan
21
22. x5
0
-0,4
-4,9
0
-1,5
1
-0,4
0
x3
0
0,2
0,2
1
0
0
0,2
300
Perhatikan tabel di atas! Karena seluruh variabel pada fungsi Z sudah bernilai
positif, maka fungsi kita sudah maksimal.
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa untuk memperoleh hasil maksimum,
perusahaan harus memproduksi :
x1 = 500 unit
x2 = 0
x3 = 300 unit
Z = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3
Z = 50(500) + 20(0) + 30(300)
Z = 34000
4. Metode Dua Fase ( Two Phase methode )
Sebuah butik Princess menjual berbagai macam busana muslim diantaranya,
yaitu kerudung, baju dan batik. Dengan harga 30 ribu, 40 ribu dan 60 ribu
rupiah per unit. Untuk menjual busana muslim, diperlukan proses
pembungkusan, pengumpulan dan pengiriman. Dengan rincian sebagai berikut.
Proses
Kerudung
Baju
Batik
Kapasitas
Pembungkusan
4
5
6
60000
Pengumpulan
4
6
8
75000
Pengiriman
2
5
5
45000
Penyelesaian:
Fungsi Tujuan : Maksimum : Z = 30x1 + 40x2+ 60x3
Fungsi Batasan :
4 x1
5 x2
6 x3
60 . 000
4 x1
6 x2
8x
3
75 . 000
2 x1
5 x2
5x
3
45 . 000
22
24. X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
2
0
1
-3/2
6/5
1500
X1
1
-5/2
0
0
5/4
-2
3750
X3
0
2
0
0
-1/2
1
7500
0
5
0
0
36/4
0
562500
Nilai pada tabel optimal , adalah :
X1= 3750 , X3= 7500, dengan Z maksimum = 562.500
5. Metode Primal Dualatau Metode Dual Simpleks
Metode dual simpleks digunakan jika tabel optimal tidak layak.
Jika
fungsi kendala ada yang menggunakan pertidaksamaan ≥ dan tidak ada =
dalam bentuk umum PL, maka metode dual simpleks dapat digunakan.
Sebuah toko buku Sinar Terang menjual berbagai macam buku diantaranya,
yaitu buku pelajaran, majalah dan novel. Dengan harga 21 ribu, 18 ribu dan 15
ribu rupiah per unit. Untuk menjual buku, diperlukan proses pembungkusan,
pengumpulan dan pengiriman. Dengan rincian sebagai berikut.
Proses
Buku
Majalah
Novel
Kapasitas
Pelajaran
Pembungkusan
90
20
40
200
Pengumpulan
30
80
60
180
Pengiriman
10
20
60
150
Penyelesaian:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
Terhadap
90x1 + 20x2 + 40x3 ≥ 200
30x1 + 80x2 + 60x3 ≥ 180
10x1 + 20x2 + 60x3 ≥ 150
x1, x2, x3 ≥ 0
24
25. Semua kendala
menggunakan
pertidaksamaan
≥.Kendala
dengan
pertidaksamaan ≥ dapat diubah ke pertidaksamaan ≤ dengan mengalikan
pertidaksamaan dengan -1. Bentuk umum PL di atas berubah menjadi:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
-90x1 - 20x2 - 40x3 ≤ -200
Terhadap
-30x1 - 80x2 - 60x3 ≤ -180
-10x1 - 20x2 - 60x3 ≤ -150
x1, x2, x3 ≥ 0
Semua fungsi kendala sudah dalam bentuk pertidaksamaan ≤, maka kita
kita hanya perlu menambahkan variabel slack untuk mengubah bentuk umum ke
bentuk baku/standar. Variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis awal.
Bentuk Baku/standar:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3
Terhadap
-90x1 - 20x2 - 40x3 + s1 = -200
-30x1 - 80x2 - 60x3 + s2 = -180
-10x1 - 20x2 - 60x3 + s3 = -150
x1, x2, x3, s1, s2, s3 ≥ 0
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
-21
-18
-15
0
0
0
0
1
0
0
-200
S1
-90
-20
-40
-180
S2
-30
-80
-60
0
1
0
-150
-20
0
0
1
STabel di-10
atas optimal -60 tidak layak (ingat, untuk fungsi tujuan
tapi
3
minimisasi, tabel sudah optimal jika semua koefisien baris tujuan sudah negatif
atau 0). Untuk membuat tabel tersebut layak, kita harus gunakan metode dual
simpleks.
Langkah-langkah penyelesaian simpleks menggunakan metode dual
adalah:
1. Tentukan baris pivot. Baris pivot adalah baris dengan nilai kanan negatif
25
26. terbesar. Jika negatif terbesar lebih dari satu, pilih salah satu sembarang.
2. Tentukan kolom pivot.
Kolom pivot diperoleh dengan terlebih dahulu
membagi nilai baris z dengan baris pivot. Dalam hal ini, semua nilai baris
pivot dapat menjadi pembagi kecuali nilai 0. Kolom pivot adalah kolom
dengan rasio pembagian mutlak terkecil.
Jika rasio pembagian mutlak
terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
3. Pembentukan tabel berikutnya sama dengan prosedur dalam primal
simpleks.
Gunakan tabel awal simpleks di atas.
¾ Baris pivot adalah baris S1, baris dengan nilai kanan negatif terbesar.
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
-21
-18
-15
0
0
0
0
1
0
0
-200
S1
-90
-20
-40
-180
-30
0
1
0
-10
-20
-60
S3 Kolom pivot adalah kolom X1 0
¾
0
1
S2
-80
-60
-150
VB
X1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
Z
-21
-18
-15
0
0
0
0
1
0
S1
-90
-20
-40
0
-200
-180
S
S3 2
Rasio
-10-30
21/90
-80
-20 -60 -60
18/20
0
0
15/40
1
0
0 1
0
0
0
-150
-
¾ Iterasi-1:
VB
X1
Z
0
X1
1
X2
X3
S1
S2
S3
NK
-40/9
-9
-7/30
0
0
140/3
2/9
4/9
-1/90
0
0
20/9
-340/3
S2
0
-220/3 -140/3 -1/3
1
0
-1150/9
26
S3
0
-160/9 -500/9 -1/9
0
1