1. INTEGER
PROGRAMMING
(Pemrograman Bilangan Bulat )
Oleh :
ASRI NURSIWI, S.T.P., M.Sc.
27 Maret 2013

2. Contoh soal
Sebuah perusahaan mie kering memproduksi 2 jenis produk,
yaitu jenis A dan jenis B. Masing-masing jenis produk
melalui tahapan proses yaitu pembuatan adonan dan
pengeringan. Waktu yang diperlukan untuk pembuatan
adonan mi jenis A adalah 6 jam, sedangkan untuk mi jenis B
adalah 5 jam. Sedangkan waktu yang diperlukan untuk
pengeringan mi jenis A adalah 2 jam dan untuk mi jenis B
adalah 3 jam. Perusahaan tersebut hanya mempunyai waktu
untuk pembuatan adonan selama 30 jam dan waktu
pengeringan 12 jam per minggu. Mi jenis A menghasilkan
keuntungan Rp8.000,00 per kg sedangkan mi jenis B
menghasilkan keuntungan Rp7.000,00 per kg. Berapa
banyak mi jenis A dan mi jenis B yang harus diproduksi agar
diperoleh keuntungan maksimal?

3. Penyelesaian
Misal : x1 = mi jenis A
x2 = mi jenis B
Keuntungan max. : Z = 8 x1 + 7 x2
Kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
x1, x2 ≥ 0
Model matematis

4. Dengan metode grafik
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
X2
X1
6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
Solusi optimal

5. Solusi optimal :
X1 = 3,75
X2 = 1,5
Keuntungan max :
Z = 8x1 + 7 x2
= 8(3,75) + 7(1,5)
= 40,5
Jadi...

6. Jadi untuk mendapat keuntungan yang
maksimal pabrik harus menghasilkan mi
kering jenis A sebesar 3,75 kg dan mi
kering jenis B 1,5 kg.
Tidak masalah, karena produk bisa
dijual dalam bentuk pecahan.
Untuk jenis
produk
lain??

7. Contoh soal untuk produk lain
Sebuah perusahaan alat pengolahan pangan memproduksi 2
jenis alat, yaitu kabinet dryer dan oven dryer. Masing-
masing jenis produk melalui tahapan proses yaitu bagian
kelistrikan dan perakitan. Waktu yang diperlukan untuk
kelistrikan untuk kabinet dryer adalah 6 jam, sedangkan
untuk oven dryer adalah 5 jam. Sedangkan waktu yang
diperlukan untuk perakitan untuk kabinet dryer adalah 2
jam dan untuk oven dryer adalah 3 jam. Perusahaan tersebut
hanya mempunyai waktu untuk bagian kelistrikan selama 30
jam dan waktu perakitan 12 jam per minggu. Kabinet dryer
menghasilkan keuntungan Rp8.000.000,00 per unit
sedangkan oven dryer menghasilkan keuntungan
Rp7.000.000,00 per unit. Berapa banyak kabinet dryer dan
oven dryer yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan
maksimal?

8. Penyelesaian
Dengan menggunakan cara penyelesaian yang sama dengan
soal sebelumnya diperoleh :
Untuk menghasilkan keuntungan maksimal, pabrik harus
memproduksi kabinet dryer sebanyak 3,75 unit dan
oven dryer sebanyak 1,5 unit .
Siapa yang
mau beli alat
tidak utuh?!?

9. INTEGER PROGRAMMING
Integer Programming ( Pemrograman bilangan bulat)
adalah sebuah program linier dengan persyaratan
tambahan bahwa semua variabelnya merupakan bilangan-
bilangan bulat.
Cara Penyelesaian :
-Metode Round off
-Metode Branch and Bound (Algoritma pencabangan)
-Metode Gomory (Algoritma pemotongan)

10. METODE ROUND OFF
Dengan metode pembulatan ( Round off) dari
solusi optimal (x1=3,75 ; x2=1,5) diperoleh hasil :
X1 = kabinet dryer = 4 unit
X2 = oven dryer = 2 unit
Tidak mungkin, di luar area
Paling memungkinkan :
X1 = kabinet dryer = 4 unit
X2 = oven dryer = 1 unit

11. METODE BRANCH AND BOUND
(PENCABANGAN)
Jika hasil yang diperoleh mengandung variabel
yang tidak bulat maka dilakukan pencabangan
(branching).
Jika terdapat variabel yang tidak bulat (misal : xj* )
maka dibentuk dua program bilangan bulat yang
baru dengan kendala xj ≤ i1 atau kendala xj ≥ i2
i1 dan i2 adalah dua bilangan bulat tak negatif yang
berurutan .

12.  Dari soal di atas diperoleh hasil solusi optimal dengan : x1 =
3,75 ; x2 = 1,5 ; dan Z = 40,5
 Karena x1 = 3,75, ; tidak bulat, maka dicabangkan menjadi
2, yaitu :
Cabang A :
Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2
kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
x1 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0 , dan bulat
Dengan LP sederhana 
X1 = 3 ; x2 = 2 ; Z = 38
Cabang B :
Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2
kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
x1 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0 , dan bulat
Dengan LP sederhana 
X1 = 4 ; x2 = 1,2 ; Z = 40,4
Sudah feasible Belum feasible

13.  Dari Percabangan B diperoleh hasil x1 = 4 ; x2 = 1,2 ; dan Z =
40,4
 Karena x2 = 1,2 ; tidak bulat, maka dicabangkan menjadi
2, yaitu :
Cabang C :
Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2
kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
x1 ≥ 4
x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0 , dan bulat
Dengan LP sederhana 
X2 = 1 ; x1 = 4,16 ; Z = 40,33
Cabang D :
Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2
kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
x1 ≥ 4
x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0 , dan bulat
Syarat x1 ≥ 4 dan x2 ≥ 2, di
luar area
Belum feasible Tidak layak

14.  Dari Percabangan C diperoleh hasil x2 = 1 ; x1 = 4,16 ; dan Z =
41
 Karena x1 = 4,16 ; tidak bulat, maka dicabangkan menjadi
2, yaitu :
Cabang E :
Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2
kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
x1 ≥ 4
x2 ≤ 1
x1 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0 , dan bulat
Dengan LP sederhana 
X1 = 4 ; x2 = 1 ; Z = 39
Sudah feasible Sudah feasible
Cabang E :
Maksimumkan : Z = 8x1 + 7x2
kendala : 6x1 + 5x2 ≤ 30
2x1 + 3x2 ≤ 12
x1 ≥ 4
x2 ≤ 1
x1 ≥ 5
x1, x2 ≥ 0 , dan bulat
Dengan LP sederhana 
X1 = 5 ; x2 = 0 ; Z = 40

15. x1= 3,75
x2= 1,5
Z = 40,5
x1= 3
x2= 2
Z = 38
x1= 4
x2= 1,2
Z = 40,4
x1= 4,16
x2= 1
Z = 40,33
Tidak
layak
x1= 4
x2= 1
Z = 39
x1= 5
x2= 0
Z = 40
A
B
C
D
E
F
x1≤ 3
x2≤ 1
x1≤ 4
x1≥4
x2≥2
x1≥5
Feasible integer
solution
Feasible integer
solution
Feasible integer
solution
Optimal solution

16. Jadiiiii...
keuntungan maksimal dari soal di atas dengan
metode linier programming adalah 40,5 dan dengan
integer programming adalah 40.

17. LATIHAN SOAL
 Maksimumkan : Z = 10 x1 + x2
dengan kendala : 2x1 + 5x2 ≤ 11
x1, x2 ≥ 0 dan bulat