Dokumen tersebut membahas dua metode untuk menyelesaikan masalah linear programming (LP) dengan fungsi tujuan minimisasi, yaitu metode perubahan fungsi tujuan menjadi maksimum dan metode langsung menggunakan fungsi tujuan minimisasi. Dokumen tersebut juga membahas penyelesaian masalah LP yang memiliki kendala lebih besar sama dengan dan sama dengan dengan menambahkan variabel buatan."

1. BAB II
PEMBAHASAN
Metode Simplek – Minimum
Masalah minimisasi sangat mungkin ditemui di dalam formulasi LP (Linear Program).
Bagaimana menyelesaikan masalah LP jika fungsi tujuannya berbentuk minimisasi? Misalkan
fungsi tujuannya adalah : Z Min. = 40x1 + 30x2
Untuk menangani masalah ini, ada dua metode yang dapat dilakukan, yaitu:
Meode 1
Mengubah fungsi tujuan minimum menjadi maksimum. Caranya adalah mengalikan fungsi tujuan
minimum dengan minus satu. Misalkan, fungsi tujuan Z min. = 40x1 + 25x2, diubah maksimum
menjadi: - Z* mak. = Z = - 40x1 + 25x2.
Jika cara ini dilakukan , maka berlaku ketentuan sebagai berikut ini.
1) Tabel simpleks berakhir (optimal) apabila nilai yang terdapat pada baris Zj – Cj ≤ 0.
2) Pada table awal, nilai pada baris Zj – Cj yang berkorespondensi dengan variabel keputusan
bertanda positif.
3) Kolom kunci dipilih dari nilai positif terbesar.
4) Baris kunci tetap mengikuti aturan perbandingan minimum dan bukan negatif.
5) Proses iterasi selanjutnya sama dengan cara terdahulu.
Contoh 1. Masalah Minimisasi Produk Mix
Sebuah masalah LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut :
Minimum Z = 40x1 + 25x2
d.k 1. 3x1 + 2x2 ≤ 150
2. 8x1 + 2x2 ≤ 200
≥ 0
3. x1
x2 ≥ 0
4.
Formulasi LP di atas dapat diubah menjadi bentuk standar dengan fungsi tujuan diubah menjadi
bentuk maksimum.
Maksimum – Z* = Z = - 40x1 - 25x2 + 0S1 + 0S2
d.k
= 150
2. 8x1 + 2x2 + 0S1 + S2
u.h
1. 3x1 + 2x2 + S1 + 0S2
= 200
,
,
x1 x2 S1, S2
≥0
Dengan mengikuti langkah-langkah metode simpleks, penyelesaian masalah minimisasi produk mix
adalah sebagai berikut.

2. Tabel awal Simpleks Masalah Minimisasi
CB
Vrb.
basis
Cj
-25
X1
bj
-40
0
0
x2
s1
s2
Indeks
0
S1
150
3
2
1
0
150/3 = 50
0
S2
200
8
2
0
1
200/8 = 25
Zj - Cj
0
40
25
0
0
Tabel Iterasi 1
CB
Vrb.
Cj
-40
-25
0
0
Indeks
basis
bj
X1
x2
s1
s2
0
S1
75
0
1,25
1
-3/8
75/1,25 = 60
-40
X1
25
1
0,25
0
1/8
25/0,25 = 100
Zj - Cj
-1000
0
15
0
-5
-25
0
0
x2
s1
s2
Tabel Iterasi 2 (Optimum)
CB
Vrb.
basis
Cj
-40
bj
X1
-25
X2
60
0
-40
X1
10
0,3
Zj - Cj
-1.900
1
1
0
0
0,8
Indeks
-0,2
0
-12
-
0,2
-
0,5
Hasil tabel iterasi ke-2, menunjukkan bahwa solusi optimum adalah: x1 = 10, dan x2 = 60.
Minimun Z = -Z* = -40(10) – 25(60)
= -(-1.900) = 1.900
Metode 2
Dalam metode ini, kita tidak melakukan perubahan bentuk fungsi tujuan, tetapi secara
langsung fungsi tujuan minimum dimasukkan dalam table (tetap seperti aslinya).
Jika cara ini dilakukan, maka berlaku ketentuan sebagai berikut:
1. Tabel simpleks berakhir (optimal) apabila nilai yang terdapat pada baris Zj - Cj ≥ 0
2. Oleh karena fungsi tujuan berbentuk minimum, maka kolom kunci dipilih nilai negatif terkecil
yang terdapat pada baris Zj - Cj
3. Baris kunci tetap mengikuti aturan perbandingan minimum dan bukan negatif.
4. Proses iterasi selanjutnya sama dengan cara terdahulu.

3. Lihat kembali contoh 1 di atas. Bentuk standar masalah minimisasi produk mix adalah sebagai
berikut:
Minimum Z = 40x1 + 25x2 + 0S1 + 0S2
d.k
= 150
2. 8x1 + 2x2 + 0S1 + S2
u.h
1. 3x1 + 2x2 + S1 + 0S2
= 200
x1, x2, S1, S2
≥ 0
Jika bentuk standar tersebut diselesaikan menurut metode 2, hasilnya adalah sebagai berikut:
Tabel awal Simpleks Masalah Minimisasi
CB
Cj
-40
-25
bj
Vrb. basis
0
0
X1
x2
s1
s2
Indeks
0
S1
150
3
2
1
0
150/2 = 75
0
S2
200
8
2
0
1
200/2 = 100
Zj - Cj
0
-40 -25
0
0
Tabel Iterasi 1
CB
Vrb. basis
Cj
-40
-25
0
0
bj
X1
x2
s1
s2
Indeks
0
X2
75
1,5
1
0.5
0
75/1,5 = 50
0
S2
50
5
0
-1
1
50/5 = 10
Zj - Cj
1.875
12,5
0
-5/2 0
Tabel Iterasi 2 (optimum)
CB
Vrb. basis
Cj
-40
-25
bj
X1
x2
25
X2
60
0
40
X1
10
1.900
1
0
s1
Indeks
s2
0,3
Zj - Cj
0
1
0
0
0
0,8
-
-0,2
0,2
12
0,5
Tabel optimum kedua metode tersebut menunjukkan hasil yang sama, yaitu x1 = 10 unit dan x2 = 60
unit dengan total nilai Z =Rp 1.900,00.
Kendala Berbentuk Lebih Besar Sama Dengan (≥)
Penyelesaian masalah LP dengan metode simpleks, menghendaki adanya pemecahan awal yang
fisibel (anatial basic feasible solution) yaitu setiap kendala memiliki variabel basis. Jika kita
memiliki LP yang mempunyai kendala kebih besar sama dengan (≥), misalnya 2x1 + 3x2 ≥ 30, dapa

4. diubah menjadi persamaan dengan mengurangkan surplus variabel sebelah kanan kendala sebagai
berikut:
2x1 + 3x2 – S = 30, dimana S ≥ 0. Persamaan kendala tersebut tidak memiliki variabel basis. Oleh
karena itu table awal simpleks belum dapat dibuat.
Untuk
tabel awal simpleks yang fisibel, dapat ditambahkan satu variabel basis semu
(artificial variabel) yaitu Q, yang bertindak sebagai variabel basis. Sehingga kendala berubah
menjadi: 2x1 + 3x2 – S + Q = 30, dimana Q adalah variabel semu. Penggunaan variabel semu
merupakan cara yang sangat sistematis untuk membentuk tabel awal simpleks.
Kendala Berbentuk Sama Dengan (=)
Kendala berbentuk sama dengan (=) juga tidak memiliki variabel basis. Oleh karena itu
tambahkan satu variabel basis semu, agar table awal simpleks dapa dibentuk.
Misalkan, 2x1 + 4x2 = 20, dapat diubah menjadi 2x1 + 4x2 + Q = 20, dimana Q adalah variabel basis
semu.
Meskipun semua kendala telah memiliki variabel basis, tetapi penambahan variabel semu
tersebut bukan penyelesaian yang fisibel bagi masalah aslinya. Variabel semu harus dikurangi
nilainya hingga menjadi nol. Ada dua metode yang dapat dilakukan untuk mengnolkan variabel
semu yaitu :
1. Metode M besar
2. Metode dua fase (dua tahapan)
Metode M Besar
Dalam metode ini, koefisien fungsi rujuan untuk variabel semu diberi nilai yang sangat besar yaitu
negatif M atau – M untuk fungsi tujuan maksimum dan positif M atau + M untuk fungsi tujuan
minimum.
Contoh 2 Masalah variabel semu
Model LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut :
Maksimum Z = 50x1 + 80x2
d.k
1. x1
2.
≤ 40
x2 ≥ 20
3. x1 + x2 = 50
4. x1, x2 ≥ 0
Model LP yang telah diformulasikan berbentuk sebagai berikut:
Maksimum Z =50x1 + 80x2 + 0S1 - 0S2 - MQ1 – MQ2
d.k
1. x1
2.
+ S1 + 0S2 + 0Q1 + 0Q2 = 40
x2 + 0S1 - S2 + Q1 + 0Q2
= 20
3. x1 + x2 + 0S1 + 0S2 + 0Q1 + Q2 = 50

5. 4. x1, x2,
S1,
S2,
Q1,
≥ 0
Q2
Tabel awal simpleks dapat dibuat seperti berikut ini:
Tabel awal simpleks Metode M besar
CB
Vrb. basis
Cj
50
80
0
0
-M
-M
bj
X1
x2
s1
s2
Q1
Q2
1
0
0
0
40/0 = ~
0
20/1 = 20
1
50/1 = 50
0
S1
40
1
0
-M
Q1
20
0
1
-M
Q2
50
1
1
Zj - Cj
-70M
-M-50 -2M-80
0
0
-1
1
0
0
0
M
0
Indeks
0
Nilai yang terdapat pada baris Zj – Cj Tabel di atas diisi dengan menggunakan cara sebagai berikut:
Z = [0, -M, -M]
- 0 = 0 – 20M – 50M = - 70M
Z1 = [0, -M, -M]
- 50 = 0 – M – 50 = - M - 50
Z2 = [0, -M, -M]
- 80 = 0 – M – M - 80 = - 2M - 80
Z4 = [0, -M, -M]
-0=0+M+0=M
Dan seterusnya.
Dengan mengikuti langkah-langkah metode simpleks terdahulu, penyelesaian contoh ke-2 dapat dilihat
berikut ini.
Tabel iterasi 1
CB
Vrb. basis
Cj
50
80 0
0
-M
-M
bj
x1
x2
s1 s2
Q1
Q2
Indeks
0
S1
40
1
0 1
0
0
0
40/0 = ~
80
x2
20
0
1 0
-1
1
0
20/-1=-20
-M
Q2
30
1
0 0
1
-1
1
30/1 = 30
Zj - Cj
-30M+1.600
-M-50 0
0
-M-80 2M+80 0

6. Tabel Iterasi 2 (Optimum)
CB
Vrb. basis
Cj
50
80
0
0
-M
-M
bj
x1
x2
s1
s2
Q1
Q2
Indeks
0
S1
40
1
0
1
0
0
0
80
x2
50
1
1
0
0
0
1
0
s2
30
1
0
0
1
-1
1
Zj - Cj
4000
30
0
0
0
M
M+80
Solusi optimum dicapai apabila x1 = 0 dan x2 = 50, dengan nilai Z = 4.000
Metode dua fase
Dalam metode dua fase, penyelesaian dipisahkan menjadi dua tahapan. Setiap tahapan
menggunakan tabel simpleks dan proses kerjanya tetap menggunakan langkah-langkah metode
simpleks.
Fase 1
Tahapan pertama bertujuan untuk mngnolkan/menghilangkan variabel semu, dengan cara membuat
fungsi tujuan semu. Fungsi tujuan semu memiliki jumlah variabel sama dengan jumlah variabel
semuanya. Kemudian fungsi tujuan semu dimaksimumkan dengan table simpleks. Koefisien fungsi
tujuan untuk variabel semu diberi nilai minus satu atau (-1) jika fungsi tujuan maksimum dan plus
satu atau (+1) jika fungsi tujuan minimum. Fase satu berakhir apabila fungsi tujuan semu memiliki
nilai nol. Proses dilanjutkan ke fase ke-dua.
Lihat kembali Contoh 2 di atas. Jumlah variabel semu ada dua yaitu Q1 dan Q2. Oleh karena
itu fungsi tujuan semunya adalah maksimum Z= - Q1 - Q2. Fungsi tujuan semu ini kita
maksimumkan , sehingga penyelesaian fase pertama nampak sebagai berikut.
Tabel Awal
CB
Vrb. basis
Cj
0
0
0
0
-1
bj
x1
x2
s1
s2 Q1
-1
Q2
Indeks
0
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
-1
Q1
20
0
1
0
-1
1
0
20/1 = 20
-1
Q2
50
1
1
0
0
0
1
50/1 = 50
Zj - Cj
-70
-1
-2
0
1
0
0

7. Tabel Iterasi 1 Fase Pertama
CB
Cj
0
0
0
0
-1
-1
bj
Vrb. basis
x1
x2
s1
s2
Q1
Q2
Indeks
0
S1
40
1
0
1
0
0
0
40/0 = ~
0
x2
20
0
1
0
-1
1
0
20/-1 = -20
-1
Q2
30
1
0
0
1
-1
1
30/1 = 30
Zj - Cj
-30
-1
0
0
-1
2
0
Tabel Iterasi 2 Fase Pertama (Optimum)
CB
Vrb. basis
0
0
x1
x2
s1
s2
Q1
Cj
bj
0
0
-1
-1
Q2
0
S1
40
1
0
1
0
0
0
0
x2
50
1
1
0
0
1
1
0
s2
30
1
0
0
1
-1
1
Zj - Cj
30
1
0
0
0
1
Indeks
1
Pada table di atas (optimum) fungsi tujuan semu sudah di optimumkan, dan variabel semu Q1
dan Q2 sudah keluar dari basis. Proses dapat dilanjutkan ke fase ke-dua.
Apabila variabel semu masih berada dalam basis dengan nilai positif, maka persoalan tersebut
tidak layak. Mungkin kesalahan dalam proses perhitungan atau kesalahan dalam formulasi LP.
Proses tahap kedua tidak perlu dilanjutkan.
Fase 2
Tabel akhir fase pertama merupakan tabek awal fase kedua. Kemudian dioptimalkan dengan
memasukkan fungsi ujuan aslinya. Karena pada fase pertama kita telah mengnolkan variabel semu,
maka pada fase kedua variabel semu tidak perlu disertakan lagi dalam table (dihilangkan). Lihat
table awal fase kedua berikut ini.

8. Tabel awal fase kedua
CB
Vrb. basis
Cj
80
0
0
x1
bj
50
x2
s1
s2
0
S1
40
1
0
1
0
80
x2
50
1
1
0
0
0
s2
30
1
0
0
1
4.000
30
0
0
Indeks
0
Zj - Cj
Setelah koefisien fungsi tujuan asli dimasukkan ke dalam table awal fase kedua, secara
langsung table awal tersebut menunjukkan table optimum. Karena nilai yang terdapat pada baris Zj
– Cj ≥ 0. Solusi optimum adalah x1 = 0 dan x2 = 50.
Membandingkan metode M besar dengan metode dua fase, dapat disimpulkan bahwa kedua
metode sama-sama menggunakan variabel semu. Perbedaan terletak pada tahapan penyelesaian.
disamping itu Metode M besar perhitungannya lebih rumit. Hal ini yang perlu diperhatikan dalam
penggunaan metode M besar dan dua fase adalah :
1. Variabel semu hanya ditambahkan untuk mendapatkan pemecahan awal yang fisibel. Jika kita
menggunakan program komputer seperti QSB (Quantitative System for Business), maka
penambahan variabel semu tidak perlu dilakukan, karena QSB sudah diprogram sedemikian
rupa dalam menghadapi berbagai macam bentuk kendala.
2. Apabila variabel semu telah keluar dari dalam basis, maka pada abel berikutnya variabel semu
tidak perlu muncul kembali.
3. Pada tabel optimum semua variabel semu harus keluar dari dalam basis. Jika variabel semu
masih terdapat dalam basis dengan nilai positif, maka persoalan tidak layak.