Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan dan kondisi optimum.

1. HAZHIYAH RAMADHANI
(14.01.0046/M)

2. Secara sistematis, dualitas merupakan alat bantu masalah LP, yang
secara langasung didefinisikan dari persoalan aslinya atau dari model
LP primal. Dalam kebanyakan perlakuan LP, dualitas sangat
tergantung pada primal dalam hal tipe kendala, variabel keputusan
dan kondisi optimum. Oleh karena itu dalam kenyataannya teori
dualitas secra tegas tidak diharuskan penggunaannya.
Primal-dual menunjukan hubungan secara simetris dengan ketentuan
sebagai berikut:
 Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan
dual.
 Konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan
dual.
 Semua kolom primal menjadi kendala dual.
 Semua kendala primal menjadi variabel keputusan dual.
 Koefisien kendala dari variabel primal menjadi menjadi koefisien
yang berkorespondensi dengan kendala dual.

3. Perusahaan sepatu “IDEAL” membuat 2 macam sepatu. Yang
pertama adalah sepatu dengan sol karet (X1), dan yang kedua adalah
sepatu dengan sol dari kulit (X2). Untuk memproduksi kedua macam
sepatu tersebut perusahaan menggunakan 3 jenis mesin. Mesin 1 =
khusus untuk membuat sepatu karet, dengan kapasitas max = 8 jam.
Mesin 2 = khusus untuk membuat sepatu dari kulit, dengan
kapasitas max = 15 jam. Mesin 3 = khusus untuk assemblim kedua
macam sepatu tersebut, dengan kapasitas max = 30 jam.
 Setiap lusin X1 mula-mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam dan
selanjutnya menuju mesin 3 selama 6 jam. Sedangkan
X2 dikerjakan oleh mesin 2 selama 3 jam dan langsung ke mesin 3
selama 5 jam.
 Sumbangan terhadap laba untuk setiap sepatu X1 = Rp. 30.000
sedangkan sepatu X2 = Rp. 50.000.
 Untuk mendapatkan hasil yang optimal, berapakah sepatu X1 dan
X2 yang harus diproduksi?

4. Jawab :
 Langkah pertama kita buat tabel dari soal
diatas agar lebih mudah penyelesaiannya, lihat
tabel dibawah ini :
Variabel X1 X2 Kapasitas Maksimum
Mesin
Y1 2 0 ≤ 8
Y2 0 3 ≤ 15
Y3 6 5 ≤ 30
Laba dalam Rp. 10.000 ≥ 3 ≥ 5

5.  Kemudian kita buat perumusan fungsi maksimum
dan minimum beserta batasan-batasannya,
perhatikan perumusan dibawah ini :
Maksimumkan : Z = 3X1 +5X2 Minimumkan : Y0 = 8Y1 +15Y2 + 30Y3
Batasan-Batasan : Batasan-Batasan :
2X1 ≤ 8 2Y1 + 6Y3 ≥ 3
3X2 ≤ 15 3Y2 + 65Y3 ≥ 5
6X1 + 5X2 ≤ 30 Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0
X1 , X2 ≥ 0

6.  Selanjutnya kita buat perumusan fungsi kendala
dari fungsi maksimum :
2X1 ≤ 8 à 2X1 + X3 = 8
3X2 ≤ 15 à 3X2 + X4 = 15
6X1 + 5X2 ≤ 30 à 6X1 + 5X2 + X5 = 30
 Kemudian kita rubah fungsi Z menjadi fungsi
tujuan maks, lihat perumusan dibawah ini :
Fungsi Z = 3X1 + 5X2
Fungsi tujuan maks : Z – 3X1 – 5X2

8.  Kemudian kita merubah nilai baris kunci(pivot) à S2
0/3 = 0 , 3/3 = 1 , 0/3 = 0 , 1/3 , 0/3 = 0 , 15/3 = 5
 Lalu kita hitung baris ke 1 (Z) :
–3 –5 0 0 0 0
0 1 0 1/3 0 5
(–5) ------------------------------------------------------ –
–3 0 0 5/3 0 25
 Selanjutnya kita hitung baris ke 2 (S1) :
2 0 1 0 0 8
0 1 0 1/3 0 5
(0) ------------------------------------------------------ –
2 0 1 0 0 8

9.  Kemudian kita hitung baris ke 4 (S3) :
6 5 0 0 1 30
0 1 0 1/3 0 5
(5) ------------------------------------------------------- –
6 0 0 –5/3 1 5

11.  Kemudian kita merubah nilai baris kunci(pivot) à S3
6/6 = 1 , 0/6 = 0 , 0/6 = 0 , –5/3 / 6 = –5/18 , 1/6 , 5/6
 Lalu kita hitung baris ke 1 (Z) :
–3 0 0 5/3 0 25
1 0 0 –5/18 1/6 5/6
(–3) --------------------------------------------------------- –
0 0 0 5/6 1/2 27 1/2
 Selanjutnya kita hitung baris ke 2 (S1) :
2 0 1 0 0 8
1 0 0 –5/18 1/6 5/6
(2) --------------------------------------------------------- –
0 0 1 5/9 –1/3 6 1/3

12.  Kemudian kita hitung baris ke 3 (X2) :
0 1 0 1/3 0 5
1 0 0 –5/18 1/6 5/6
(0) --------------------------------------------------------- –
0 1 0 1/3 0 5

13.  Setelah itu kita masukkan hasil perhitungan
diatas kedalam tabel simpleks, lihat tabel
dibawah ini :
Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK
Z 1 0 0 0 5/6 ½ 27 1/2
S1 0 0 0 1 5/9 –1/3 6 1/3
X2 0 0 1 0 1/3 0 5
X1 0 1 0 0 –5/18 1/6 5/6

14. Kesimpulan :
Dari hasil tabel diatas sudah dinyatakan optimal karena nilai pada kolom
X1 dan X2 sudah bernilai positif (+). Oleh karena itu kita bisa lanjutkan ke
proses dualitas dengan cara dibawah ini :
 Pertama kita masukkan nilai solusi optimal simpleksnya :
Ø X1 = 5/6
Ø X2 = 5
Ø Laba = 27 1/2
 Kemudian dengan cara yang sama, masukkan solusi optimal
masalah dualnya :
Ø Y1 = 0
Ø Y2 = 5/6
Ø Y3 = 1/2

15.  Terakhir kita masukkan perumusan Fungsi Tujuan
Dual :
Minimalkan Y = 8Y1 + 15Y2 + 30Y3
= 8(0) + 15(5/6) + 30(1/2)
= 27 1/2 → “nilai ini sama dengan
yang dihasilkan dari fungsi tujuan primal / simpleks
sebelumnya”.